Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 1: Giới hạn của dãy số trình bày về giới hạn hữu hạn của dãy số, định lý về giới hạn hữu hạn, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, giới hạn vô cực. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết nội dung kiến thức.

Ch ươ ng IV :  GI I H N Ớ Ạ

§1: GI I H N C A DÃY S Ớ Ạ Ủ Ố

Giáo viên

Bài gi ng t i l p ………… ả ạ ớ

TiÕt 49, 50, 51 vµ 52

Ng Quốc Tuấn-PTTH Đào Duy Từ-TP Thanh hoá-Email:tuacahivuong@yahoo.com.vn

I/ GI I H N H U H N C A DÃY S Ớ Ạ Ữ Ạ Ủ Ố 

 Câu hỏi 1> Cho dãy số ( un ) với

 a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

 b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên

trục số:

 Hãy tính các khoảng cách từ u4 ; u10 ; u100;

u2008; … đến 0  

 Em có nhận xét gì về các khoảng cách này

khi n trở nên rất lớn ?

n

u n 1

,

2008

1 , ,

100

1 , ,

10

1 , , 5

1 , 4

1 , 3

1 , 2

1 ,

1

Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu thì

khoảng cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn

0,00001 ?

 Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng

cách này tiến dần đến 0, hay ta nói rằng un

dần đến 0

 Ta ký hiệu: un 0

 ĐỊNH NGHĨA 1 :   ( SGK )

 VÝ dô 1: Cho d·y sè (un) víi

 Chøng minh r»ng

2

1

n u

n n

0 lim n

Đ NH NGHĨA 2 Ị  (SGK) 

 Vớ dụ 2: Cho dóy số ( u n ) với  

 Một vài giới hạn đặc biệt:  

Với k là s ố nguyên dương và /q/<1, c -

const

2 3

1

6

n

n

un

2 2

3

1

6 lim

n

n

n

c c

c

q b

n n

a

n

n n

k n

n

lim )

0 lim

)

0

1 lim

; 0

1 lim )

II* Đ NH LÝ V  GI I H N H U H N Ị Ề Ớ Ạ Ữ Ạ

 ĐINH LÝ 1 :

a

a b

a

b a

b a

v a

n n

n n

u lim

vµ

0 a

thi u

lim

vµ n

mäi víi

u NÕu

b)

) 0 b

Õu

lim(

/

lim

µ lim

Õu

0

N   (

  v

u lim   

/

)

lim(

/

) lim(

/  

    )

:  thi b

   v

a   N

)

n n

n n

n n

n n

.v u

v u

b a

v u

u

 Ví dụ 3 :

 Tìm 

 Lgi i ả :  Chia cả tử và 

mẫu cho n 2  thì:

2

2

1

3 lim

n

n n

1 1

1 3

1

3

2 2

2

n

n n

n n

Làm thế nào để tìm được 

giới hạn này ?

Em h∙y cho biết  kết quả tìm được của mình?

3 1

3 1

1 lim

1 3 lim 1

1 1

 v 3

2

2

n

n n

n

2

2

3n lim n

Nê

n

1 lim

à n

1 -3 lim có

Ta

C¸c vÝ dô :

 VÝ dô 4:

 T×m

n

n

2 1

4

1

Cã thÓ t×m ®­îc giíi h¹n 

mµ kh«ng ph¶i dïng  phÐp chia hay kh«ng? 

NÕu ®­îc, H∙y tr×nh bµy lêi gi¶i ?

1 2

2 2

1

4

1 lim

2 1

4

1 lim

2

2

n n

n n

n

n

2n

-1

4n

1 lim

cã

Bài tập vận dụng

 Bài tập 1 : Biết dãy số (un) thoả mãn:

        Chứng minh rằng : lim un = 1  

Lời  gi i ả :

Do đó | Wn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ

một số hạng nào đó trở đi (1)

M ặt khác theo giả thiết

Từ (1) và (2) suy ra lim an = 0 Vậy lim un = 1 ( đpcm)

* N n

; 3

1 1

n

u n

0

1 lim ,

1

.

1 1

2

2

n u

n u

n

n

n n

n n

limw v

cã

Ta

w

vµ v

Æt

§

(2) w

vn u n 1 n w n

Bài tập 2: Tìm       n n

n n

2 4

4 5 3

lim

H ướ ng d n h c   nhà: ẫ ọ ở

 1/ C n n m v ng 2 đ nh nghĩa 1 và đ nh nghĩa ầ ắ ữ ị ị

2 v  gi i h n 0 và gi i h n h u h nề ớ ạ ớ ạ ữ ạ

 2/ Nh  3 gi i h n đ c bi t và thu c các công ớ ớ ạ ặ ệ ộ

th c c a đ nh lý v  gi i h n h u h nứ ủ ị ề ớ ạ ữ ạ

 3/ Làm bài t p 1; bài 3 ( Các câu a, b, d ) trang ậ

121

III/ Tæ ng cña cÊp s è nh©n lïi v« h¹n

,

2

1 , , 8

1 , 4

1

2 1

: sau sè

cÊp vÒ

xÐt nhËn

u nª H·y

*/ D∙y s è lµ mét cÊp s è nh©n. V× s ao?

*/ C«ng béi lµ q = 1/ 2, q < 1

*/ D∙y s è lµ cÊp s è nh©n v« h¹n. 

CÊp s è nh©n lïi v« h¹n lµ cÊp s è nh©n v« h¹n 

cã c«ng béi q víi / q / < 1

III/ Tổ ng của cấp s ố nhân lùi vô hạn

,

3

1 , ,

27

1 ,

9

1 ,

1

n

3

1

1,-Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?

Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đó?

0

1 1

1 lim

1 1

*

1

1

1 1

1

1 1

1 2

1

n

n

n n

lim q  

lim S  

 S : d¹ng  

vÒ ViÕt 

 S ã

Do

q

u q

q

u q

u ra

Suy

q q

u q

u

q

q

u u

u u

n n

n n

c   Ta

q

u u

u

1

2

 Tæ ng S

C¸c vÝ dô :

 VÝ dô 5: TÝnh tæng cña c¸c cÊp sè nh©n lïi

v« h¹n (un), sau:

n

3

1 n

u Víi

2

1

, 8

1 , 4

1 , 2

1 ,1

1

n

Víi 2/

§¸p s è: S = 1/ 2 §¸p s è: S = 2/ 3

 1/ H·y kÓ mét vµi sè h¹ng u2008 ?

 2/ Cho un lµ mét sè tù nhiªn bÊt kú, cã thÓ

chØ ra ®­îc nh÷ng sè lín h¬n un kh«ng?

 3/ H·y nªu nhËn xÐt vÒ d·y sè võa xÐt?

Kho¶ng c¸ch gi÷a 0 vµ un nh­ thÕ nµo khi n —

> +∞ ?§Þnh nghÜa vÒ giíi h¹n v« cùc: ( SGK ) 

KÝ hiÖu: limun= +∞ hay un—>+∞ khi n—>+∞

Limun =­∞ hay un—>­∞ khi n—>+∞

NhËn xÐt: limun=+∞ <=> lim(­un) = ­∞

2/ Một vài giới hạn đặc biệt:

 2.1) Lim n k  = +∞ với k nguyên dương

 2.2) Lim q n  = +∞ nếu q>1

 Ví dụ 7:

 Ví dụ 8:

n

n

n.3

5

2n lim

: sau hạn

giới

ra suy nào

thế Làm

lim3

và n

5 2

lim hạn

giới các

Tính

2

5n

2

n -lim Tính

Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng 

vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ s au.

n

v a

c

a b

a

n n

n n

n

n n

n

n n

n

limu thi

limv

vµ limu

NÕu

v

u

lim

thi n

víi limv

vµ limu

NÕu

v

u lim thi

limv

vµ limu

NÕu

a)

0 )

0 0

)

0

H ướ ng d n h c   nhà: ẫ ọ ở

 1/ C n n m v ng 2 đ nh nghĩa 1 và đ nh nghĩa ầ ắ ữ ị ị

2 v  gi i h n 0 và gi i h n h u h n, về ớ ạ ớ ạ ữ ạ à đ nh  ị

nghĩa v  gi i h n vô c c ề ớ ạ ự

 2/ Nh  5 gi i h n đ c bi t và thu c các công ớ ớ ạ ặ ệ ộ

th c c a đ nh lý v  gi i h n h u h n, giứ ủ ị ề ớ ạ ữ ạ ớ ạ i h n 

vô c c ự

 3/ Làm bài t p 5,6,7,8 trang 122.ậ

 4/ Làm bài t p trong sách bài t p g m bài  ậ ậ ồ

1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14.