Bài giảng Toán B1 - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng Toán B1 - Chương 1: Ma trận và hệ phương trình tuyến tính có nội dung xoay quanh các kiến thức về ma trận, các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, hệ phương trình tuyến tính, ma trận khả nghịch, phương trình ma trận,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

Bài giảng môn

2 Các phép biến đổi

sơ cấp trên dòng

Bài giảng môn học Toán B1

Nguyễn Anh Thi Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

2015

Trang 2

Trang 3

2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

3 Hệ phương trình tuyến tính

4 Ma trận khả nghịch

5 Phương trình ma trận

Trang 4

Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

3 Hệ phương trình tuyến tính

Trang 5

Trang 6

4 Ma trận khả nghịch

5 Phương trình ma trận

1.1 Định nghĩa và ký hiệu

a ij là hệ số ở dòng i , cột j của ma trận A (hệ số này còn được ký hiệu là A ij ).

Trang 7

1.1 Định nghĩa và ký hiệu

Ma trận có các hệ số bằng 0, được gọi là ma trận không , ký

Trang 8

Trang 9

1.2 Ma trận vuông

Định nghĩa

Nếu A = (a ij ) ∈ M n×n (R) thì đường chứa các phần tử

a 11 , a 22 , , a nn được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của A.

Trang 10

Trang 11

Trang 12

• A = (a ij ) n×n là ma trận tam giác trên khi và chỉ khi

a ij = 0, ∀1 ≤ j < i ≤ n.

• B = (b ij ) n×n là ma trận tam giác dưới khi và chỉ khi

Trang 13

Trang 14

1.3 Các phép toán ma trận

Định nghĩa (so sánh hai ma trận)

Cho hai ma trận cùng loại A = (a ij ) m×n và B = (b ij ) m×n Ta nói A bằng B , ký hiệu A = B, nếu a ij = b ij , ∀ i ∈ 1, m, j ∈ 1, n.

Ví dụ

Tìm x, y, z để

Trang 15

Định nghĩa (phép lấy chuyển vị)

Cho A = (a ij ) là một ma trận loại m × n Ta gọi ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A T , là ma trận loại n × m, có được từ

A bằng cách xếp các dòng của A thành các cột tương ứng, nghĩa là nếu A =

Trang 16

Nếu A T = A thì ta nói A là ma trận đối xứng Nếu A T = − A thì

nói A là ma trận phản xứng

Tính chất

Cho A, B ∈ M m×n (R) Khi đó

• ( A T ) T = A;

Trang 17

Trang 18

Định nghĩa (Phép nhân vô hướng với ma trận)

Cho ma trận A = (a ij ) và số thực α ∈ R Ta định nghĩa α A là

ma trận có từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A với α, nghĩa là

α A = (αa ij )

Ma trận (−1)A được ký hiệu là −A , được gọi là ma trận đối của A.

Trang 19

Trang 20

Định nghĩa (Phép cộng ma trận)

Cho A, B ∈ M m×n (R) Khi đó tổng của A và B, ký hiệu A + B , là ma trận được xác định bởi:

A + B = (a ij + b ij ) m×n

Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu của A và B.

Ví dụ

Trang 21

Trang 22

Định nghĩa (phép nhân ma trận)

Cho hai ma trận A = (a ij ) loại m × n và B = (b ij ) loại n × p.

Ta định nghĩa tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB , là

Trang 23

Trang 24

Trang 25

• Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nghĩa là

( AB)C = A(BC).

• Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng , nghĩa là

A(B 1 + B 2 ) = AB 1 + AB 2 ; ( D 1 + D 2 ) A = D 1 A + D 2 A.

Trang 26

Trang 27

Định nghĩa (lũy thừa ma trận vuông)

Cho A ∈ M n (R) Ta gọi lũy thừa bậc k của A là một ma trận thuộc M n (R), ký hiệu A k , được xác định như sau:

A 0 = I n ; A 1 = A; A 2 = AA; ; A k = A k−1 A.

Như vậy A k = A · · · A

| {z }

k lần

Trang 28

Trang 29

Trang 30

Trang 31

Trang 32

Trang 33

Trang 34

2 Các phép biến đổi sơ cấp trên

dòng

2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

2.2 Ma trận bậc thang.

2.3 Hạng của ma trận.

Trang 35

• Loại 1: Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu: d i ↔ d j

• Loại 2: Nhân dòng i với một số α 6= 0 Ký hiệu: d i := α d i

• Loại 3: Cộng vào một dòng i với β lần dòng j (j 6= i) Ký hiệu: d i := d i + β d j

Với ϕ là một phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) là ma trận có

Trang 36

Trang 37

Trang 38

2.2 Ma trận bậc thang

Định nghĩa

Cho A ∈ M m×n (R) Hệ số khác 0 đầu tiên kể từ bên trái của

mỗi dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó Ta nói A là

ma trận bậc thang nếu A thỏa hai tính chất sau:

1 Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng bằng 0 của A.

2 Trên hai dòng khác 0 của A, phần tử cơ sở của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng

Trang 39

2.2 Ma trận bậc thang Như vậy ma trận bậc thang sẽ có dạng

Trang 40

Trang 41

Trang 42

2.2 Ma trận bậc thang

Định nghĩa (Ma trận bậc thang rút gọn)

Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang rút gọn nếu các tính chất sau được thoả

1 A có dạng bậc thang.

2 Các phần tử cơ sở đều bằng 1.

3 Trên cột có chứa phần tử cơ sở, các hệ số ngoài phần tử cơ sở đều bằng 0.

Trang 43

Trang 44

2.3 Hạng của ma trận

Định nghĩa

Cho A ∈ M m×n (R), số dòng khác 0 của một dạng bậc thang

của A là hạng của A, ký hiệu r(A)

Mệnh đề

Cho A, B ∈ M m×n (R) Khi đó:

ii r(A) = 0 ⇔ A = 0;

Trang 45

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Thuật toán Gauss - Tìm dạng bậc

• Bước 2: Nếu i > m hoặc j > n thì kết thúc.

• Bước 3: Nếu a ij = 0 thì sang bước 4 Nếu a ij 6= 0 thì thực hiện các phép BĐSCTD sau:

Trang 49

Trang 50

Trang 51

Trang 52

Trang 53

Để đưa ma trận A về dạng bậc thang rút gọn , ta làm như thuật

toán Gauss ở các Bước 1, 2, 4, riêng ở Bước 3 ta cần thực hiện các phép biến đổi sau:

Trang 54

Trang 55

Trang 56

3 Hệ phương trình tuyến tính

3.1 Định nghĩa

3.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính

3.4 Định lý Kronecker-Capelli

Trang 57

a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m ,

(∗)

trong đó

Trang 58

3.1 Định nghĩa

• a ij là các hệ số;

• b i ∈ R là các hệ số tự do;

• x 1 , x 2 , , x n là các ẩn số nhận giá trị trong R;

Nếu các hệ số b i = 0 thì ta nói hệ phương trình tuyến tính trên là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên R.

Trang 59

3.1 Định nghĩa

Trang 60

3.1 Định nghĩa

Trang 61

3.1 Định nghĩa

Nếu các hệ số b i = 0 thì ta nói hệ phương trình tuyến tính trên

là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên R.

Trang 62

3.1 Định nghĩa

Định dạng
Số trang	118
Dung lượng	1,3 MB