Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vector

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vector có nội dung trình bày về các định nghĩa không gian vector, tổ hợp tuyến tính, cơ sở và số chiều của không gian vector, không gian vector con, tọa độ và ma trận chuyển cơ sở,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Nguyễn Anh Thi

Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

2014

Chöông 3

KHOÂNG GIAN VECTOR

Khi đó ta gọi :

I mỗi phần tử u ∈ V là mộtvector

I mỗi số α ∈ R là mộtvô hướng

I vector 0 là vector không

I vector (−u) là vector đối của u.

Ví dụ

Tập hợp Mm×n (R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số thực thông thường là một không gian vector trên R Trong đó,

I Vector không là ma trận không.

I Vector đối của A là ma trận −A.

Ví dụ

Tập hợp

R[x] = {p(x) = anx n+ · · · +a1x + a0|n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vector trên R với phép cộng vector là phép cộng đa thức thông thường và phép nhân vô hướng với vector là phép nhân thông thường một số với đa thức.

Ví dụ

Cho V = {(x1,x2,x3) ∈ R3|2x1+ 3x2+x3= 0} Khi đó V là một

không gian vector trên R.

Ví dụ

Cho W = {(x1,x2,x3) ∈ R3|x1+x2− 2x3= 1} Khi đó W không là

không gian vector, vì

u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W nhưng u + v = (3, 5, 3) 6= W

2.1 Tổ hợp tuyến tính

2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

2.1 Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa

Cho u1,u2, ,uk ∈ V Một tổ hợp tuyến tính của u1,u2, ,uk là một vector có dạng

u = α1u1+ α2u2+ · · · + αkuk với αi ∈ R(i ∈ 1, k).

Khi đó, đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn của u theo các vector u1,u2, ,um.

I Vector 0 luôn luôn là tổ hợp tuyến tính của u1,u2, ,uk vì

0 = 0u1+ 0u2+ · · · + 0uk

I Mọi tổ hợp tuyến tính của u1,u2, ,uj (j ∈ 1, k) đều là tổ

hợp tuyến tính của u1,u2, ,uj, uj+1, , u k vì

α1u1+ · · · + αjuj= α1u1+ · · · + αjuj+ 0uj+1+ · · · + 0uk

I Mọi tổ hợp tuyến tính của u1,u2, ,uk−1, uk đều là tổ hợp

tuyến tính của u1,u2, ,u k−1 khi và chỉ khi u k là một tổ hợp

tuyến tính của u1,u2, ,uk−1

Khi đó vector u = (b1,b2, ,bn) ∈ R n là tổ hợp tuyến tính của

u1,u2, ,uk khi và chỉ khi hệ pt UX = B có nghiệm X,

2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

I u1,u2, ,u k phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại

α1, α2, , αk ∈ R không đồng thời bằng 0 sao cho

αu + αu + · · · + α u = 0

2 Tập con S ⊆ V được gọi làđộc lập tuyến tính nếu mọi tập con

hữu hạn {u1,u2, ,uk} ⊆ S (k ∈ N) tùy ý) đều độc lập tuyến tính Nếu S không độc lập tuyến tính, ta nói Sphụ thuộc tuyếntính

Ví dụ

Trong không gian R3 cho các vector

u1= (1, 2, −3);u2= (2, 5, −1);u3 = (1, 1, −8)

I u1,u2 độc lập tuyến tính.

I u1,u2,u3 phụ thuộc tuyến tính.

Nhận xét

Các vector u1,u2, ,uk phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vector ui, sao cho ui được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.

Hệ quả

Cho u1,u2, ,u k là k vector trong R n Gọi A là ma trận có được bằng cách xếp u1,u2, ,uk thành các dòng Khi đó u1,u2, ,uk độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A có hạng là r(A) = k.

Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vector trong Rn

Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1,u2, ,um thành cácdòng

Bước 2: Xác định hạng r(A) của A.

I Nếu r(A) = m thì u1,u2, ,um độc lập tuyến tính

I Nếu r(A) < m thì u1,u2, ,um phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông Khi đó có thể thay

bước 2, thành bước 2‘ sau đây:

Bước 2`: Tính định thức det A.

I Nếu det A 6= 0 thì u1,u2, ,um độc lập tuyến tính

I Nếu det A = 0 thì u1,u2, ,um phụ thuộc tuyến tính

3 Cơ sở và số chiều của không gian vector

3.1 Tập sinh

3.2 Cơ sở và số chiều

3.1 Tập sinh

Định nghĩa

Cho V là không gian vector và S ⊂ V S được gọi là tập sinh của V

nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S Khi đó, ta

nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = hSi

Ví dụ

Trong không gian R3, cho

S = {u1= (1, 1, 1),u2= (1, 2, 1),u3 = (2, 3, 1)}Hỏi S có là tập sinh của R3 hay không?

 Hệ có nghiệm,

suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3

3.1 Tập sinh

Định nghĩa

Cho V là không gian vector và S ⊂ V S được gọi là tập sinh của V

nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S Khi đó, ta

nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = hSi

Ví dụ

Trong không gian R3, cho

S = {u1= (1, 1, 1),u2= (1, 2, 1),u3= (2, 3, 1)} Hỏi S có là tập

sinh của R3 hay không?

 Hệ có nghiệm,

suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3

3.1 Tập sinh

Định nghĩa

Cho V là không gian vector và S ⊂ V S được gọi là tập sinh của V nếu mọi vector u của V đều là tổ hợp tuyến tính của S Khi đó, ta nói S sinh ra V hoặc V được sinh ra bởi S, ký hiệu V = hSi

Ví dụ

Trong không gian R3, cho

S = {u1= (1, 1, 1),u2= (1, 2, 1),u3= (2, 3, 1)} Hỏi S có là tập sinh của R3 hay không?

 Hệ có nghiệm,

suy ra u là tổ hợp tuyến tính của u1,u2,u3

u0= (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm Vậy u0 không là tổ hợp tuyến

tính của u1,u2,u3 Suy ra S không là tập sinh của R3

u0= (1, 1, 1) thì hệ trên vô nghiệm Vậy u0 không là tổ hợp tuyến

tính của u1,u2,u3 Suy ra S không là tập sinh của R3

3.2 Cơ sở và số chiều

Định nghĩa

Cho V là không gian vector và B là con của V B được gọi là một

cơ sở của V nếu B là một tập sinh và B độc lập tuyến tính.

Trong không gian R4, cho B = {u1= (1, 1, 1, 1),u2 =

(2, 3, −1, 0),u3 = (−1, −1, 1, 1),u4= (1, 2, 1, −1)} Kiểm tra B là

cơ sở của R4.

Bổ đề

Giả sử V sinh bởi m vector V = hu1,u2, ,umi Khi đó mọi tập hợp con độc lập tuyến tính của V có không quá m phần tử.

Hệ quả

Nếu V có một cơ sở B hữu hạn gồm m vector B = {u1,u2, ,um}

thì mọi cơ sở khác của V cũng hữu hạn và có đúng m vector Khi đó ta nói không gian vector V hữu hạn chiều trên R; m được gọi là số chiều (dimension) của V trên R và ký hiệu dimRV, hay dim V Trong trường hợp ngược lại, ta nói không gian vector V vô hạn chiều trên R, ký hiệu dimRV = ∞, hay dim V = ∞.

Ví dụ

Trong không gian R n , xét B0= {e1,e2, ,en}, trong đó

e1 = (1, 0, 0, , 0),

e2 = (0, 1, 0, , 0),

en = (0, 0, 0, , 1)

Với u = (x1,x2, ,xn) ∈ R n Ta có

u = x1e1+x2e2+ · · · +xnen

Do đó B0 là tập sinh của R n Mặt khác B0 độc lập tuyến tính nên

B0 là cơ sở của R n B0 được gọi là cơ sở chính tắc của R n Như vậy

dim Rn=n

dim Rn[x] = n + 1 với cơ sở B0= {1,x, , x n } Ta gọi

B0 = {1,x, , x n } là cơ sở chính tắc của Rn[x].

Ví dụ

Trong không gian R3, cho

S = {u1= (1,m − 2, −2), u2= (m − 1, 3, 3), u3= (m, m + 2, 2)}.

Tìm điều kiện của m để S là cơ sở của R3

Do số phần tử của S bằng 3 nên S là cơ sở của R3 khi S độc lập

det A = m − m2 Suy ra S độc lập tuyến tính khi det A 6= 0 Vậy S

là cơ sở của R3 khi m 6= 0 và m 6= 1.

Ví dụ

Trong không gian R3, cho

S = {u1= (1,m − 2, −2), u2= (m − 1, 3, 3), u3= (m, m + 2, 2)} Tìm điều kiện của m để S là cơ sở của R3

Do số phần tử của S bằng 3 nên S là cơ sở của R3 khi S độc lập

det A = m − m2 Suy ra S độc lập tuyến tính khi det A 6= 0 Vậy S

là cơ sở của R3 khi m 6= 0 và m 6= 1.

4 Không gian vector con

4.1 Định nghĩa

4.2 Không gian sinh bởi tập hợp4.3 Không gian dòng của ma trận4.4 Không gian tổng

4.5 Không gian nghiệm

αu+v = α(u1,u2,u3)+(v1+v2+v3) = (αu1+v1, αu2+v2, αu3+v3).

2(αu1+v1)+αu2+v2−αu3−v3 = α(2u1+u2−u3)+(2v1+v2−v3) = 0

Định lý

Giao của một họ tùy ý các không gian con của V cũng là một không gian con của V.

Cho {Wi}i∈I là một họ những không gian con của V Đặt

W = ∩i∈IWi = {u ∈ Wi, ∀i ∈ I}

Ta chứng minh W là một không gian con của V Trước hết ta có

W 6= ∅, vì 0 ∈ W Chọn u, v ∈ W, và α ∈ R, ta chứng minh

αu + v ∈ W Vì u, v ∈ W, nên u, v ∈ Wi với mọi i ∈ I Do đó

αu + v ∈ Wi với mọi i ∈ I Hay αu + v ∈ W.

Chú ý

Hợp của hai không gian con của V không nhất thiết là một không gian của của V

4.2 Không gian con sinh bởi một tập hợp

Định nghĩa (Không gian con sinh bởi một tập hợp)

Cho S là một tập con của V (S không nhất thiết là không gian con của V) Gọi {Wi}i∈I là họ tất cả những không gian con của V có chứa S (họ này khác rỗng vì có chứa V) Đặt

W = ∩i∈IWi Khi đó W là một không gian con của V và W phải là không gian con nhỏ nhất của V có chứa S Ta gọi

1) W là không gian con sinh bởi S và được ký hiệu là hSi.

2) S là tập sinh của hSi.

3) Nếu S hữu hạn, S = {u1,u2, ,un} thì hSi được gọi là không gian con hữu hạn sinh bởi u1,u2, ,un và được ký hiệu là

hu1,u2, ,uni

Định lý

Cho ∅ 6= S ⊆ V Khi đó không gian con của V sinh bởi S là tập

hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn nhưng tùy

ý các vector trong S, nghĩa là

hSi = {u = α1u1+ · · · + αnun|n ∈ N, ui ∈ S, αi ∈ R, i ∈ 1, n}

Hệ quả

i) Nếu S = ∅ thì hSi = {0}.

ii) Nếu S = {u1,u2, ,un} thì

hSi = {α1u1+ α2u2+ · · · + αnun|αi ∈ R, i ∈ 1, n}

iii) Nếu S ≤ V thì hSi = S

iv) Cho S ⊆ V và W ≤ V Khi đó S ⊆ W ⇔ hSi ≤ W

v) Nếu S1⊆ S2⊆ V thì hS1i ≤ hS2i

Định lý

Cho ∅ 6= S ⊆ V Khi đó không gian con của V sinh bởi S là tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn nhưng tùy

ý các vector trong S, nghĩa là

hSi = {u = α1u1+ · · · + αnun|n ∈ N, ui ∈ S, αi ∈ R, i ∈ 1, n}

Hệ quả

i) Nếu S = ∅ thì hSi = {0}.

ii) Nếu S = {u1,u2, ,un} thì

hSi = {α1u1+ α2u2+ · · · + αnun|αi ∈ R, i ∈ 1, n}

iii) Nếu S ≤ V thì hSi = S

iv) Cho S ⊆ V và W ≤ V Khi đó S ⊆ W ⇔ hSi ≤ W

v) Nếu S1⊆ S2⊆ V thì hS1i ≤ hS2i

= {(aij)m×n|aij∈ R} = M m×n(R)

a) Chứng minh W là không gian con của R3.

b) Tìm một tập sinh của W.

a) Ta thấy 0 ∈ W Cho u = (x1+ 2y1,x1− y1,y1) và

v = (x2+ 2y2,x2− y2,y2) là 2 vector trong W Ta chứng minh rằng với mọi α ∈ R, ta có αu + v ∈ W.

αu + v = (αx1+ 2αy1+x2+ 2y2, αx1− αy1+x2− y2, αy1+y2)

=((αx1+x2) + 2(αy1+y2), (αx1+x2) − (αy1+y2), αy1+y2) ∈W

vì αx1+x2, αy1+y2 ∈ R Vậy W ≤ R3

b)

W = {(x+2y, x−y, y)|x, y ∈ R} = {x(1, 1, 0)+y(2, −1, 1)|x, y ∈ R}

Vì mọi vector trong W là tổ hợp tuyến tính của u1= (1, 1, 0) và

u2= (2, −1, 1), nên S = {u1,u2} là tập sinh của W.

Định lý

Cho V là không gian vector và S1,S2 là tập con của V Khi đó, nếu mọi vector của S1 đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong S2 và ngược lại thì hS1i = hS2i

Định lý (về cơ sở không toàn vẹn)

Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều và S là một tập con độc lập tuyến tính của V Khi đó, nếu S không phải một cơ sở của

V thì có thể thêm vào S một số vector để được một cơ sở của V.

Định lý

Cho V là một không gian vector hữu hạn chiều sinh bởi S Khi đó tồn tại một cở sở B của V sao cho B ⊆ S Nói cách khác, nếu S không phải là một cơ sở của V thì ta có thể loại bỏ ra khỏi S một số vector để được một cơ sở của V.

4.3 Không gian dòng của ma trận

Định lý

Nếu A và B là hai ma trận tương đương dòng, thì WA=WB, nghĩa là hai ma trận tương đương dòng có cùng không gian dòng.

Cách tìm số chiều và cơ sở của không gian dòng

Vì các vector dòng khác 0 của một ma trận dạng bậc thang luônluôn độc lập tuyến tính nên chúng tạo thành một cơ sở của khônggian dòng Từ đây ta suy ra cách tìm số chiếu và một cơ sở của

không gian dòng của ma trận A như sau:

I Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R.

I Số chiều của không gian dòng WA bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng r(A)) và các vector dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của WA

Thuật toán tìm số chiều và cơ sở của một không gian con của Rn khi biết một tập sinh

Giả sử W = hu1,u2, ,umi ≤ R n , (u1,u2, ,umkhông nhất thiết

độc lập tuyến tính) Để tìm số chiều và một cơ sở của W ta tiến

hành như sau:

Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp u1,u2, ,um thành các

dòng

Bước 2: Dùng các phép BĐSCTD đưa A về dạng bậc thang R.

Bước 3: Số chiều của W bằng số dòng khác 0 của R (do đó bằng

r(A)) và các vector dòng khác 0 của R tạo thành một cơ sở của W.

Ví dụ

Tìm một cơ sở cho không gian con của R4 sinh bởi các vector

u1,u2,u3,u4, trong đó u1 = (1, 2, 1, 1);u2= (1, 2, 1, 2);u3=

(4, 8, 6, 8);u4= (8, 16, 12, 20).

4.4 Không gian tổng

Định lý

Cho W1,W2, ,Wn là các không gian con của V Đặt

W = {u1+u2+ · · · +un|ui ∈ Wi, i ∈ 1, n}

Khi đó W là không gian con của V sinh bởi ∪ n

i=1 Wi Ta gọi W là không gian tổng của W1,W2, ,Wn, ký hiệu là

W1+W2+ · · · +Wn hayPni=1 Wi.

Ví dụ

Trong không gian R4 cho các vector u1= (1, 2, 1, 1);v1=

(1, 3, 3, 3);u2= (3, 6, 5, 7);v2= (2, 5, 5, 6);u3 = (4, 8, 6, 8);v3=(3, 8, 8, 9);u4= (8, 16, 12, 16);v4= (6, 16, 16, 18) Dặt

W1= hu1,u2,u3,u4i và W2= hv1,v2,v3,v4i Tìm một cơ sở và xác định số chiều của không gian W1+W2.

W1 là không gian dòng của ma trận

Do đó W1 có số chiều là 2 và một cơ sở là {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2)}

W2 là không gian dòng của ma trận

Không gian W1+W2 sinh bởi các vector

4.5 Khoâng gian nghieäm

Hệ đã cho tương đương với hệ

tuyến tính Suy ra {u1,u2} là một cơ sở của W và dim W = 2.

Ta gọi W là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất (1)

am1x1 + am2x2 + + amn xn = 0.

Khi đó SA là một không gian con của R Ta gọi SA là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0.

Để tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm SA của hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, ta tiến hành các bước

sau:

nghiệm cơ bản của hệ AX = 0 có s ẩn tự do x k1,x k2, ,x k s Với

mỗi i ∈ 1, s, chọn xk i = 1;xk j = 0; ∀j 6= i, ta được nghiệm uki Khi

đó {uk1,uk2, ,uk s} là một nghiệm cơ bản

cơ bản {u k1,u k2, ,u k s} làm một cơ sở

5 Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở

5.1 Tọa độ

5.2 Ma trận chuyển cơ sở

5.1 Tọa độ

Định lý

Cho B = {u1,u2, ,un} là một cơ sở của không gian vector V trên R Khi đó với mọi u ∈ V phương trình

α1u1+ α2u2+ · · · + αnun=u luôn luôn có duy nhất một nghiệm.

Gọi (α01, α02, , α0n) là nghiệm của (1) Ta đặt [u]B =

là ma trận có được bằng cách dựng

u1,u2, ,u k thành các cột.

Nhận xét

I Đối với cơ sở chính tắc B0= {e1,e2, ,en} của không gian

Rn , với mọi u = (b1,b2, ,bn) ∈ R n , ta có

I Đối với cơ sở chính tắc B0= {E11, ,E 1n, ,Em1, , Emn}

của không gian Mm×n(R) các ma trận loại m × n hệ số trong

R và A = (aij)m×n ta có

I Đối với cơ sở chính tắc B0= {1,x, , x n} của không gianRn[x] các đa thức theo x bậc không quá n, với mọi

Ví dụ

Trong không gian R3, cho các vector u1= (1, 2, 1); u2= (1, 3, 1);

u3= (2, 5, 3)

a) Chứng minh B = (u1,u2,u3)là một cơ sở của R3.

b) Tìm tọa độ của vector u = (a, b, c) ∈ R3 trong cơ sở B.

5.2 Ma trận chuyển cơ sở.

Định lý

Cho V là một không gian vector có dim V = n và hai cơ sở

B1 = (u1,u2, ,un); B2= (v1,v2, ,vn) Với mỗi j ∈ 1, n, đặt

cột lần lượt là [v1]B 1, [v2]B 1, , [vn]B 1, nghĩa là

Khi đó P khả nghịch và là ma trận

duy nhất thỏa ∀u ∈ V, [u]B 1 =P[u]B 2.P được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2, ký hiệu là (B1→ B2) Như vậy,

∀u ∈ V, [u]B1 = (B1→ B2)[u]B2.

Hệ quả

Cho B1 = (u1,u2, ,un); B2 = (v1,v2, ,vn) là hai cơ sở của không gian R n Gọi B0= (e1,e2, ,en) là cơ sở chính tắc của

Rn Ta có

i) (B0 → B1) là ma trận có được bằng cách dựng các vector

u1,u2, ,un thành các cột.

ii) (B1 → B0) = (B0 → B1)−1.

iii) (B1 → B2) = (B0 → B1)−1(B0→ B2)

iv) Nếu qua một số phép BĐSCTD ma trận (B0→ B1)biến thành ma trận đơn vị In thì cũng chính qua những phép biến đổi đó ma trận (B0→ B2)sẽ biến thành ma trận (B1→ B2),

nghĩa là

((B0→ B1)|(B0→ B2))−−−−−→ (In BĐSCTD |(B1→ B2))

Ví dụ

Trong không gian R3, cho các vector u1= (1, 2, 1); u2= (1, 3, 1);

u3= (2, 5, 3)

a) Chứng minh B = (u1,u2,u3)là một cơ sở của R3.

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc B0 của R3.

c) Tìm tọa độ của vector u = (1, 2, −3) theo cơ sở B.