Sự hội tụ của hệ tựa gradient chứa số hạng giảm xóc

Trong bài viết này, tác giả trình bày nghiên cứu sự hội tụ của hệ tựa gradient chứa số hạng giảm xóc. Hy vọng bài viết sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai đang học tập và nghiên cứu trong các lĩnh vực Toán-Tin. Mời các bạn cùng tham khảo.

SỰ HỘI TỤ CỦA HỆ TỰA GRADIENT CHỨA SỐ HẠNG GIẢM XÓC

Bùi Nhựt Minh

(Sinh viên năm 4, Khoa Toán – Tin học)

GVHD: TS Nguyễn Thành Nhân

TÓM TẮT

Bài viết khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của phương trình

trong đó, g là một metric Riemann, với một số điều kiện khác nhau của hàm Thêm vào đó, bài viết bàn về những hướng mở rộng của các kết quả và những vấn đề liên quan

1 Giới thiệu

Trong [1], các tác giả đã trình bày về việc khảo sát dáng điệu tiệm cận (tức là khảo sát giới hạn tại vô cực) của nghiệm bị chặn của phương trình

trong đó g là một metric Riemann trên không gian Hilbert Xuất phát từ bài toán này, bài viết trình bày về việc khảo sát dạng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của phương trình

với các điều kiện khác nhau của lượng “nhiễu nhỏ” Sự mở rộng này là cần thiết, vì (1) “quá lí tưởng” để có thể bắt gặp thường xuyên Hình thức mở rộng tương tự

có thể được tìm thấy trong [4,5,6] đối với hệ gradient bậc nhất và bậc 2

2 Một số định nghĩa và kí hiệu

Trong suốt bài viết này, ta giả sử là không gian Hilbert thực, với tích vô hướng

và chuẩn tương ứng Ngoài ra, ta kí hiệu là tập tất cả các tích vô

Metric Riemann và gradient ứng với metric Riemann

Ta kí hiệu là không gian các dạng song tuyến tính bị chặn trên , tức

là các ánh xạ song tuyến tính sao cho có một số thỏa mãn

Ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng là không gian vectơ trên với phép toán cộng hai ánh xạ và phép toán nhân vô hướng một số thực với ánh xạ thông thường Hơn nữa, là không gian Banach với chuẩn

trong đó, Do định nghĩa của tích vô hướng và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta suy ra ; do đó, ta có thể bàn về sự hội tụ trên Một metric Riemann trên là một ánh xạ liên tục Với mỗi , để thuận tiện về mặt kí hiệu, ta viết thay cho

Cho là một ánh xạ khả vi Fréchet và cho g là một metric Riemann trên Ta kí hiệu

Cho , không khó để kiểm tra được rằng phần tử nói trên là duy nhất; do đó, ta có thể kí hiệu Ngoài ra, ta gọi là gradient của ứng với metric g Ta có nhận xét đơn giản sau

trong đó, là gradient Fréchet của trên

Tập - giới hạn của một ánh xạ liên tục trên

Cho là một không gian metric và cho là một ánh xạ liên tục Tập

được gọi là tập -giới hạn của ánh xạ u

3 Sự hội tụ của hệ gradient

Trong mục này, ta giả sử là một ánh xạ khả vi Fréchet, hàm

và g là một metric Riemann trên Mục tiêu của ta trong mục này là nghiên cứu sự hội tụ của phương trình

với một trong hai điều kiện sau của hàm :

(i) Điều kiện thứ nhất

(ii) Điều kiện thứ hai

điều kiện nào là hệ quả của điều kiện còn lại Ngoài ra, sự khác nhau giữa hai điều kiện này dẫn tới sự khác biệt đôi chút trong chứng minh mà người đọc có thể dễ dàng nhận

ra

Cho Ta nói u là nghiệm của phương trình (3) nếu , với mọi t thì và phương trình (3) được thỏa Từ giờ về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu là nghiệm của phương trình (3)

Trước khi vào kết quả chính, ta nhắc lại một khái niệm về bất đẳng thức gradient được trình bày trong [4, Definition 2.2]

Định nghĩa 3.1 Cho và Khi đó, ta nói thỏa mãn bất đẳng thức gradient lớp gần nếu có hàm và thỏa mãn các điều kiện sau:

3.1 Sự hội tụ với điều kiện (4)

Kết quả chính trong mục này của ta được phát biểu như sau

Định lí 3.2 Giả sử:

(ii) Tập compact tương đối trong ;

; (iv) Có sao cho thỏa bất đẳng thức gradient lớp gần (với các dữ kiện như trong Định nghĩa 3.1)

Khi đó

Chứng minh

Xét

Ta có với hầu hết ,

Ngoài ra, ta có

Tiếp theo, ta định nghĩa

Do tính liên tục của u, ta suy ra Với hầu hết , ta có

và do (9), ta được

kết hợp với (8), ta suy ra

Từ đó và (9), với hầu hết , ta có

Từ đây, ta có thể chứng tỏ

Nhận xét 3.3 Thực ra giả thiết có số sao cho

có thể bỏ được Vì trong chứng minh, ta chỉ cần

sử dụng

tuy nhiên, điều này có thể được suy ra từ tính liên tục của metric g và tính tiền compact

của tập bằng cách áp dụng nguyên lí bị chặn đều

3.2 Sự hội tụ với điều kiện (5)

Định lí 3.4 Giả sử các điều kiện (ii)&(iii)&(iv) của Định lí 3.2 được thỏa Ngoài

ra, ta giả sử và thỏa (5) Khi đó,

Chứng minh Dễ thấy rằng hàm cho bởi

xác định đúng Hơn nữa, do u là nghiệm của phương trình (3) nên với hầu hết t thì

Tiếp theo, ta định nghĩa

Do tính liên tục của u, ta suy ra Với hầu hết , ta có

thêm vào đó, theo giả thiết về hàm và (9), ta được

trong đó Tổng hợp lại, ta có

và do đó

Từ đây, ta có thể chứng tỏ

Nhận xét 3.5 So với chứng minh của Định lí 3.2, ta thấy chứng minh của định lí

trên không cần sử dụng giả thiết có số b dương sao cho

4 Kết luận

Bài viết đã trình bày việc khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của phương trình

với hàm điều kiện khác nhau của hàm Tuy nhiên, vấn đề còn sót lại là mối liên hệ giữa hai điều kiện đã trình bày trong bài viết Liệu rằng hai điều kiện này là độc lập với nhau, hay có một điều kiện là hệ quả của điều kiện còn lại? Câu hỏi này xin để lại cho bạn đọc và những thế hệ sinh viên sau của khoa Toán-Tin

Dựa vào [2, Theorem 1], các kết quả trong bài viết có thể dùng để khảo sát hệ

với hàm thỏa một số điều kiện nhất định Đây chính là mở rộng của kết quả có trong [3] Ngoài ra, tác giả tin rằng, bằng phương pháp nghiên cứu và lí luận như đã làm trong bài viết, ta cũng có thể mở rộng kết qua cho hệ

(được khảo sát trong [6]) thành kết quả cho hệ

trong đó, g là một metric Riemann trên không gian Hilbert đang xét

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Ralph Chill, Eva Faˇsangova (2010), Gradient Systems, 13th International Internet

Seminar, June 7

2 Tomaˇs Barta, Ralph Chill, Eva Faˇsangova (2012), “Every ordinary differential

equation with a strict Lyapunov function is a gradient system”, Monatsh Math,

166:57-72

3 Ralph Chill, Alain Haraux, and Mohamed Ali Jendoubi (2009), “Applications of the Lojasiewicz-Simon gradient inequality to gradient-like evolution equations”,

Anal Appl (Singap.), 7(4): 351-372

4 Sen-Zhong Huang (2006), Gradient Inequalities with Applications to Asymptotic Behavior and Stability of Gradient-like Systems, American Mathematical Society

5 H Attouch, X Goudou, P Redont (2000), "The heavy ball with friction method",

I The continuous dynamical system: Global exploration of the local minima of a real-valued function by asymptotic analysis of a dissipative dynamical system”,

http://dx.doi.org/10.1142/S0219199700000025

6 Mohamed Ali Jendoubi, Ramzi May (2014), “Asymptotics for a second-order differential equation with nonautonomous damping and an integrable source term”,

Applicable Analysis, DOI: http://dx.doi.org/10.1080/00036811.2014.903569