Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

Chuyén dé 3 GIAI TOAN HINH HOC KHONG GIAN BANG PHUONG PHAP TOA DO Chúng ta biết rằng, nói chung, mỗi sự kiện của Hình học không gian đều có thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải

Chuyén dé 3 GIAI TOAN HINH HOC KHONG GIAN BANG PHUONG PHAP TOA DO

Chúng ta biết rằng, nói chung, mỗi sự kiện của Hình học không gian đều có thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải tích Do đó, có thể giải một bài toán

Hình học không gian bằng cách toạ độ hoá để chuyển thành bài toán Hình học giải:

tích Việc chuyển đổi này bao gồm những bước sau :

Bước: ï : Chọn hệ toạ độ

Bước này sẽ dễ dàng thực hiện nếu trong bài toán Hình học không gian đang

xét có sắn góc tam diện vuông, hai mặt phẳng vuông góc với nhau hay có các quan

hệ vuông góc khác Tuy vậy, không ít trường hợp ta phải tự kẻ thêm đường phụ để gây nên góc tam diện vuông

Trong khi chọn góc tam diện vuông để gắn với hệ toạ độ, ta cũng cần lưu ý để

các bước sau được thuận lợi

Bước 2 : Tính toạ độ của các điểm trong đề bài theo hệ toạ độ vừa chọn Thực

ra chỉ cần tính toạ độ của những điểm liên quan tới giả thiết và kết luận của bài

toán Đối với những bài toán Hình học không gian mà trong đề bài đã có sắn số

liệu thì việc tính toạ độ của từng điểm nói chung là dựa trực tiếp vào hình vẽ Đối

với những bài toán mà đề bài chưa cho số liệu thì trước hết cần tự đưa số liệu vào

bài toán và sau đó dựa vào hình vẽ để tính toạ độ các điểm dựa theo số liệu đó ` Bước 3 : Thể hiện giả thiết của bài toán theo cách thức của Hình học giải tích

Nói chung mọi sự kiện của Hình học giải tích đều được tìm ra bằng con đường

tính toán Do đó, giả thiết của Hình học giải tích nên để ở dạng ràng buộc của các

số liệu

Bước 4 : Giải quyết kết luận của bài toán theo cách thức của Hình học giải tích Ở đây, cũng như Bước 3, một lần nữa cần phải “phiên dịch” từ ngôn ngữ của bài toán Hình học không gian sang bài toán Hình học giải tích

Cần lưu ý rằng mặc dù các sự kiện của Hình học không gian nói chung đều có

thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải tích, tuy vậy mức độ khó, dễ khác nhau Điều đó dẫn tới việc có rất nhiều bài toán Hình học không gian gặp nhiều

khó khăn khi chuyển sang bài toán Hình học giải tích Phương pháp toạ độ hoá bài toán Hình học không gian khá hữu hiệu trong việc giải toán Hình học không gian, tuy vậy không nên tuyệt đối hoá nó

207

Trước khi quyết định giải quyết một bài toán Hình học không gian cụ thể bằng phương pháp toạ độ, ta nên xét những khó khăn có thể gặp trong những bước trên

Để làm rõ bình luận trên, ta xét ví dụ sau :

Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A'BC'D' Các điểm M, N lần lượt thay

đổi trên các đoạn thẳng BD và AD' sao cho DM = AN

a) Xác định vị trí của hai điểm X, N để MN nhỏ nhất Chứng minh rằng khi

đó MN vuông góc với BD và AI

b) Chứng minh rằng MN vuông góc với một đường thẳng cố định

Xét ham sé f(r) = 37? - 2V2ar + a” Ham số này có đô thị là một parabol

quay bé lém lén phia trén Do dé f(¢) nhỏ nhất khi và chỉ khi ¢ = wt

Vi ¬ € |0, av? | nén MN nho nhat khi rt = wh <> M,N thuộc đoạn

BD, AD' tuong tmg sao cho DM = 2Ð, AN = SAP

208

Khi MN nho nhat tac6: ¢ = aV2 nén MN - man 3 aa 3 Raf

Vay MN vuông góc với BD va AD"

b) Trước hết ta tìm phương a = (x:y;z} #0 vuông gốc véi vecto MN Điều đó tương đương với

œơ.MN =0Vie 0; av2 |

Ví dụ 2 Cho tam gidc ABC vuông tại A và đường thẳng A vuông góc với mặt

phẳng (ABC) tai diém A Cac điểm M, N thay đổi trên đường thẳng A sao cho

(MBC) L (NBC)

a) Chứng minh rằng AM.AN không đối

b) Xác định vị trí của M, N để tứ diện M4MBC có thể tích nhỏ nhất

Dau dang thitc xay ra khi va chi khi m = —n = a,

be +0?

AB.AC

BC ˆ Vay Vuwac nho nhat khi M, N nam về hai phía của A và AM = AN =

Chú ý : Có thể tính thé tich tt dién MNBC theo cách :

Vunec = Yuasc + Vvasc = ảM “SAABC † AN SABC

= 2(AM + AN).SAxpgc = chim ~n)

Ví dụ 3 Cho tam gidc déu ABC cé canh a, / 1a trung điểm của ĐC, D là điểm

Chọn hệ trục Oxyz cé géc O tring diém /,

các tia Ox, Oy lan luot tring cdc tia /D, IC, tia

Óz song song và cùng chiều với tia 2S Khi đó

=

4) Mặt phẳng (SAB) di qua A|-S 6i] so:-5:0] Dnủ

nên có phương trình đoạn chắn :

Vay (SBC) có vectơ pháp tuyến H3 = |z | = (V6 0; -V3),

Mat phẳng (S47) trùng mặt phẳng toạ độ (xÓz) nên có pháp vectơ nạ(0 ;1;0)

Do mày = 0 nên (SBC) L (SAD)

Ví dụ 4 Cho hình vuông ABCD Các tia Ám và Cn cùng vuông góc với mặt

ABCD và cùng chiều Các điểm M, N lần lượt thuộc Am, Cn

Chứng minh rằng (BMN) L (DMN) © (MBD) L (NBD)

212

Loi gidi (h.68)

Chọn hệ trục toa độ Øxyz có gốc Ó trùng

điểm A, các tia Óx, Oy, Óz lần lượt trùng các

tia AB, AD, Am Gia sử hình vuông ABCD cé

Do đó (BMN) có pháp vectơ | BM, BN | = (-am ,an; -a?) {a (m ,—n3 a)

Mặt phẳng (DMM) có cặp vecto chỉ phương DM = (0;-a;m),

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ đều A8C.A'#C' có tất cả các cạnh bằng nhau, M là trung điểm cia BB’ Chứng minh rằng A'Ä⁄ vuông góc với AC' va CB’

213

Lời giải (h.69)

Gọi Ó là trung điểm cia AB Chọn hệ trục toạ dé Oxyz cé cac tia Ox, Oy lan lượt trùng với các tia ÓC, OB, tia Oz song song ciing chiéu vdi tia AA’ Gia su cac cạnh của hình lăng trụ bằng ¿ Khi đó :

Do ø.Ø =0, øy =0 nên A'M L ÁC' và A'M L CB

Ví dụ 6 Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng ¿ Gọi Ä⁄, N lần lượt

là trung điểm của SA, $C Biết rằng BM | DN Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Vi du 7 Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của $8, §C Biết rằng (AMN) 1 (SBC) Tính thể tích hình chóp

Vay (AMN) co phap vecto

Mat phang (SBC) cat truc Ov tai K($:0:0] va di qua Hoi J3 9)

(0:0; ) nên có phương trình đoạn chắn :

Ví dụ 8 Cho hình chóp S.ABŒD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP

b) Ching minh rang (ANP) 1 (ABCD)

Lời giải (h.72)

Gọi Ó là trung điểm của AB Chọn hệ trục

toạ độ Óxyz có các tia Ox, Oy, Oz lan luot

trùng các tia ON, OB, OS Khi do:

Vay d(MK, AP) = ax [ea] _ 3V3Ba _ 3a is” 25

b) Mặt phẳng (ANP) có cặp vectơ chỉ phương là

a) Viết phương trình mat phang (A'ME)

b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua C, 8, Ð' và có tâm thuộc mặt phẳng (A ME)

Mat phang (A'ME) có cặp „2P pee,

vecto chi phuong A'M = (31; -2), -

b) (S) di qua C, B', D' nén cé tam / thu6c céc mat phang (a), (9) lan luot 14 cdc

mat phang trung truc cla CB’, CD"

(a) di qua trung diém KỈ 3 | của ŒØ' và có pháp vectơ CB' = (0; -] ;2)

Vậy (ø): ~[y = 3] 3 ~ I)= 0 © 2y-4z+3=0

() đi qua trung điểm nee l; ) của CÐ' và có pháp vectơ Ð'C = (1:0: —2)

Vậy toa độ của / là nghiệm của hệ

x+y+z-2=0 2y—=4z+3=0 >1=[ 2:1]

2v=4z+3=0 Mặt cầu (S) có ban kinh R = IC = fe

Vay (8): (-;] +(»-4) +(z- = >

2

Bài tập

1 Cho tứ diện OABC vuông tại Ó Các mặt phang (OBC), (OCA), (OAB) tao véi

mặt phẳng (ABC) các góc ø, Ø, y tuong tng Goi Sy, 5x, Š;, S%c lần lượt là diện

tích các mặt đối diện với các đỉnh Ó, A, B8, C của tứ diện Chứng minh rằng :

b) Sy” = Sy? + Sp’ + Se”

c) sin’a@ + sin? B + sin? y = 2

Cho tứ diện OABC vuông tại Ó Điểm P bất kì thuộc mặt phẳng (ABC) Gọi ø

là góc giữa đường thẳng ÓP và mp(ABC) Chứng minh rằng :

——I +| —| +|——|] = 2+ cotan“ø

219

Cho hình chit nhat ABCD cé AB =a, AD = b Các tia Am và Cn cùng hướng và

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên các

tia Am, Cn sao cho (MBD) L (NBD) Chứng minh rằng AM.CN không đổi

Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a Goi Ä⁄, N lần lượt là trung

điểm của SA và 8C, Ó là tâm của đáy ABCD Biết MN tạo với mặt phẳng

(ABCD) góc 30”

a) Chứng minh rằng : SỞ = MN

b) Tính góc giữa MN và (SBD)

Cho hình chóp S.ABC có $4 vuông góc với mặt (ABC) Tam giác ABC vuông

tại 8, AB = a, BC = b Đường thang SC tao véi mat phang (ABC) géc 60° Tinh

thể tích hình chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cho hình chóp đều S.AĐC, đáy có cạnh bằng a Ä⁄, N lần lượt là trung điểm của SA, $C Biết 8M 1 AN Tính thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình

chop S.ABC

Cho điểm M nằm trong góc tam diện vuông Oxyz Mặt phẳng (ơ) thay đổi đi

qua M và cắt các tia Óx, Óy, Óz lần lượt tại các điểm phân biệt A, B, C Tim

giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC

Cho hai đường thẳng chéo nhau ¿, b-vuông góc với nhau, nhận AB làm đoạn

vuông góc chung (A thuộc ø¿, B thuộc b) Các điểm Mí, N lần lượt thay đổi trên

a, b sao cho MN = AM + BN Chimg minh rang khoảng cách từ trung diém O của đoạn A8 tới đường thăng MN không đổi Từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc

với mặt cầu đường kính A8

Trong không gian toạ độ cho các điểm A(0 ; 0; 1), D(0; 2; 0) Các điểm B va

C thay đổi trên truc Ox sao cho (ACD) L (ABD) Xác định vị trí của B và €

để thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất Ứng với vị trí đó, viết phương trình mặt phẳng (z) chứa AD và tạo với các mặt (ACD), (ABD) những góc bằng nhau

10 Trong không gian toạ độ Óxyz cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(0; ¬] ;0),

220

C(2:1;0), 8(2;-1;2), D(0;1;2) Các điểm 4, N lần lượt thay đổi trên

các đoạn A'8' và 8C sao cho D'M L AN

a) Chứng minh rằng MN luôn vuông góc với một đường thẳng cố định

b) Khi 4 là trung điểm của A'P', viết phương trình mặt phang (DMN).

Loi giai

1 Chon hé toa độ Óvyz như hình 74

Giả sit OA =a, OB = b, ÓC = c, khi đó

OH? OA? OB? OC?

b) Do các tam gidc OAB, OAC, OBC 1a cac tam giác vuông tai O nén :

4 Chon hé truc toa độ Óxyz như hình 77, khi đó :

6

Chon hé toa dé Oxyz nhu hinh 78

Gia sir SA =h, khi dé: B = (0;0;0),

A =(a;0;0), C =(0;5;0), S =(a;0;h)

=> SC = (-a;b;-A)

Mặt phẳng (ABC) cé phuong trinh : z = 0

¡ = (0;0;1) là vectơ pháp tuyến của (ABC)

Do SC tao với (48C) góc 60° nên

Gọi V là thể tích hình chóp, ta có :

V =—SA.S,„„e 3 AABC = —§A.BA.BC = —ab l3(a2 + bˆÌ 6 6 ( )

6 Goi O 1a tam của tam giác đều ABC và K là trung điểm của BC, khi đó :

7 Chon hé toa d6 Oxyz nhu hình 80 Z

8 Ké Ay//b Dé thay Ay L a, Ay L AB

Chọn hệ toạ độ Axyz như hình 81

Vậy khoảng cách từ Ó đến MN không đổi và bằng = Do đó MN luôn tiếp

xúc với mặt cầu đường kính AÖ

9 (h82) Giả sử B =(b;0;0), C=(c;0;0) Khi đó

(ABD) có phương trình : ot 5 +z=l và có vectơ

> 1 1 hap tuyén nv» = | —;—; l|

có vectơ pháp tuyến " = fara c

Do (ACD) 1 (ABD) nen n.n' = 0

Dau "=" xay ra = BO = CO = 2 Khi đó, mp(4ÓD) tạo với các mặt phẳng i

(ACD), (ABD) những góc bằng nhau và do d6, mat phang (a) qua AD va vuông góc với (AÓD) cũng tạo với các mặt (ACĐD), (ABD) những góc bằng nhau

(AOD) có phương trình : x = 0 và có vectơ pháp tuyến ø(1;0; 0)

Mặt phẳng (ø) có vectơ pháp tuyến m = E AD] = (0; 1; 2) Do đó (a) có phương trình :

O.(x — 0) + L(y - 0) +2(z-1) =0 hay y+2z-2=0

1

l

Tương tự, ta chứng minh được các mặt còn lại / LỢN

của hình hộp là những hình vuông, do đó jaa