Trong bài báo này, trình bày thuật toán khử nhiễu ảnh bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet và khuếch tán phi tuyến. Đối với ảnh nói riêng và tín hiệu 1D, 2D, 3D, MD (nhiều chiều) nói chung, các điểm đột biến chứa đựng thông tin quan trọng cần bảo toàn.
Trang 1Khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sườn bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet và Khuếch tán phi tuyến
Đặng Phan Thu Hương, Nguyễn Thúy Anh, Nguyễn Hữu Trung
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Hà Nội, Việt Nam Email: trung.nguyenhuu@hust.edu.vn
Tóm tắt—Trong bài báo này, chúng tôi trình bày thuật
toán khử nhiễu ảnh bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet
và khuếch tán phi tuyến Đối với ảnh nói riêng và tín hiệu
1D, 2D, 3D, MD (nhiều chiều) nói chung, các điểm đột biến
chứa đựng thông tin quan trọng cần bảo toàn Bằng việc
kết hợp giữa Curvelet và khuếch tán phi tuyến có thể tận
dụng các ưu điểm và hạn chế các nhược điểm của từng
phương pháp Đặc biệt, tăng cường tính bền vững của
khuếch tán phi tuyến trên cơ sở biến đổi Curvelet và tăng
cường hiệu quả loại trừ nhiễu có khả năng bảo toàn biên
sườn nhờ biến đổi Curvelet Kết quả mô phỏng chỉ rõ hiệu
quả bảo toàn đường biên của phương pháp hỗn hợp so với
phương pháp truyền thống khác
Từ khóa— Loại trừ nhiễu, Biến đổi Curvelet,
Khuếch tán phi tuyến, Đường biên.
I.GIỚITHIỆU Loại trừ nhiễu và tăng cường ảnh là các nhiệm vụ
quan trọng trong xử lý ảnh nhằm khôi phục tin cậy ảnh
quan sát được dưới tác động của các loại nhiễu Đã có
nhiều phương pháp, nhiều thuật toán tối ưu đề xuất xử
lý tín hiệu trong miền tần số (lọc Wiener), miền
Wavelet, làm trơn Gauss,… loại trừ nhiễu mà vẫn bảo
toàn các thuộc tính quan trọng của ảnh đầu vào [1][2]
Biến đổi Curvelet, kế thừa từ biến đổi Wavelet, hiệu
quả trong việc biểu diễn các đột biến dọc theo các biên
sườn trong ảnh Đã có nhiều nghiên cứu ứng dụng biến
đổi Curvelet loại trừ nhiễu ảnh thông thường, ảnh cộng
hưởng từ (MR), ảnh CT mang lại kết quả tốt [3]
Cùng với biến đổi Curvelet, còn có các công cụ xử
lý ảnh được xây dựng từ phương trình vi phân từng
phần (PDE) Phần lớn các nghiên cứu áp dụng phương
trình vi phân từng phần để loại trừ nhiễu tín hiệu (1D,
2D, 3D, MD) đều nhằm vào việc bảo vệ các thuộc tính
đột biến của tín hiệu – các điểm kỳ dị (singularities)
Đối với ảnh 2D, đó là các biên sườn (edges) Theo cách
tiếp cận tiên đề, xuất hiện tập các tiên đề riêng dẫn đến
nghiệm của phương trình vi phân từng phần ứng dụng
trong loại trừ nhiễu tín hiệu Các tiên đề có cấu trúc và
hình thái nhằm đảm bảo quá trình trở thành semigroup
đủ mềm mại [4] Nguyên lý “Minimum–Maximum” là
một trong các tiên đề quan trọng, trong đó, phải đảm
bảo không tạo ra cực trị địa phương tại bất kỳ thời điểm nào để không xuất hiện thành phần phụ không mong muốn (artifact) ở tín hiệu được khuếch tán Nguyên lý này còn đảm bảo, cực trị toàn cục dọc theo tiến trình của tín hiệu theo thời gian bị giới hạn bởi cực trị toàn cục ở tín hiệu khởi tạo với tín hiệu có bất kỳ chiều, và là hàm không giảm (cực trị là minimum) hoặc không tăng (cực trị là maximum) nhằm đảm bảo tính bền vững của khuếch tán phi tuyến
Gần đây, trong [5] các tác giả đã đề xuất một phương pháp kết hợp (combined) Curvelet và khuếch tán phi tuyến tận dụng các ưu điểm và hạn chế các nhược điểm của từng phương pháp Cụ thể, phương pháp kết hợp đề xuất bao gồm hai bước: (1) áp dụng biến đổi Curvelet shrinkage và (2) khuếch tán phi tuyến ảnh đã làm mềm bằng Curvelet Phương pháp nhằm giảm hiệu ứng tần số cao (pseudo-Gibbs) Nhưng, hai bước của quá trình là độc lập và bước (1) chính là quy trình làm trơn quy tắc hóa (regularization) làm hỏng các biên sườn đáng lẽ phải bảo toàn của ảnh
Bài báo này đề xuất phương pháp hỗn hợp (mixed) khử nhiễu ảnh gồm ba bước lồng ghép chính: Bước 1: Tạo thông tin cấu trúc ảnh bằng tensor khuếch tán phi tuyến Bước 2: Tiến hành Curvelet shrinkage nhưng loại trừ hướng có biên sườn vì quy trình Curvelet shrinkage cho phép làm trơn theo hướng Bước 3: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận được từ bước 1 và hiệu chỉnh biên sườn bằng biến đổi Wavelet 1D từ thông tin nhận được từ bước 1 Các hệ số rời rạc của biến đổi Curvelet có thể nhận được bằng nhiều cách Trong đó, thuật toán tối ưu
về mặt tính toán thực hiện bởi biến đổi FFT 2D [5] được sử dụng trong thuật toán đề xuất
Bố cục của bài báo như sau Sau phần giới thiệu, phần II trình bày cơ sở lý thuyết về biến đổi Curvelet, tính toán hệ số Curvelet rời rạc theo FFT, khuếch tán phi tuyến, đề xuất mô hình hỗn hợp Curvelet và khuếch tán phi tuyến Phần III trình bày các kết quả mô phỏng thuật toán Phần IV là kết luận và hướng phát triển
II.CƠSỞLÝTHUYẾT
A Biến đổi Curvelet
Trang 2Biến đổi Curvelet là hướng tiếp cận mới trong xử lý
tín hiệu Biến đổi Curvelet được xây dựng từ ý tưởng
biểu diễn một đường cong bằng tổ hợp các hàm có độ
dài khác nhau tuân theo luật Curvelet, tức là độ rộng
xấp xỉ bình phương độ dài Trong miền ảnh hai chiều,
một cặp các cửa sổ 𝑊 𝑟 và 𝑉(𝑡) được định nghĩa là
các cửa sổ radial và angular Các cửa sổ này là các hàm
trơn, không âm và giá trị thực Như vậy, 𝑉 nhận các giá
trị dương trên đoạn 𝑡 ∈ −1,1 và 𝑊 trên đoạn 𝑟 ∈
1
2, 2 Các cửa sổ thỏa mãn các điều kiện chấp nhận
𝑉2 𝑡 − 𝑙 = 1, 𝑡 ∈ ℝ
∞
𝑙=−∞ (1)
𝑊2 2−𝑗𝑟 = 1, 𝑟 > 0
∞
𝑗 =−∞ (2)
Để xây dựng các hàm Curvelet, ta phải sử dụng các
hàm cửa sổ đặc biệt Xét các hàm cửa sổ Meyer có tỷ lệ
thỏa mãn điều kiện trên như sau [4]
𝑉 𝑡 =
1 𝑡 ≤ 1/3 𝑐𝑜𝑠 𝜋2𝑣 3 𝑡 − 1 1/3 ≤ 𝑡 ≤ 2/3
0 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖
(3)
𝑊 𝑟 =
1 5/6 ≤ 𝑟 ≤ 4/3
𝑐𝑜𝑠 𝜋2𝑣 5 − 6𝑟 2/3 ≤ 𝑟 ≤ 5/6
𝑐𝑜𝑠 𝜋2𝑣 3𝑟 − 4 4/3 ≤ 𝑟 ≤ 5/3
0 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖
(4)
trong đó 𝑣 là một hàm trơn thỏa mãn
𝑣 𝑥 = 0 𝑥 ≤ 0
1 𝑥 ≥ 1 , 𝑣 𝑥 + 𝑣 1 − 𝑥 = 1, 𝑥 ∈ ℝ (5)
Các cửa sổ W và V được sử dụng để xây dựng họ
hàm phức có ba thông số: Tỉ lệ 𝑎 ∈ 0,1 ; Vị trí 𝑏 ∈ ℝ2
và hướng 𝜃 ∈ 0,2𝜋
Biến đổi Fourier của một hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 được
định nghĩa bởi 𝑓 𝜉 ≜2𝜋1 𝑓 𝑥 𝑒ℝ2 −𝑖 𝑥,𝜉 𝑑𝑥
Cho 𝝃 = 𝜉1, 𝜉2 𝑇 ∈ ℝ2là biến trong miền tần số
trong đó 𝑟, 𝜃 biểu thị tọa độ cực tương ứng với 𝜉 Ta
có 𝑟 = 𝜉 = 𝜉12+ 𝜉22 và góc 𝜃 = arctan(𝜉1
𝜉2) Ta định nghĩa cửa sổ tỉ lệ 𝑈𝑎 𝝃 như sau
𝑈𝑎 𝝃 = 𝑎3/4𝑊 𝑎𝑟 𝑉 𝑎−1/2𝜃 , 𝝃 ∈ ℝ2 (6)
Miền giá trị của 𝑈𝑎 được phân bố trong mỗi cực
(wedge) phụ thuộc vào miền giá trị của V và W Cửa số
tỉ lệ 𝑈𝑎 này được sử dụng để xây dựng các hàm
Curvelet Cho hàm 𝜑𝑎,0,0∈ 𝐿2 ℝ2 xác định bởi biến
đổi Fourier của nó
𝜑 𝑎,0,0≜ 𝑈𝑎 𝝃 (7)
Họ hàm Curvelet được tạo ra bởi sự dịch và quay
của hàm cơ sở 𝜑𝑎,0,0
𝜑𝑎,𝑏,𝜃(𝑥) ≜ 𝜑𝑎,0,0(𝐑𝜃 𝑥 − 𝑏 ) (8)
Với hệ số dịch 𝑏 ∈ ℝ2 , và 𝐑𝜃= 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 là
ma trận quay 2 × 2 với góc quay 𝜃
Sự quay trong miền không gian với góc 𝜃 đúng với
sự quay trong miền tần số với 𝜃 vì
𝜑 𝑎,𝑏,𝜃 𝜉 = 𝑒−𝑡 𝑏,𝜉 𝜑 𝑎,0,0 𝐑𝜃𝜉 = 𝑒−𝑡 𝑏,𝜉 𝑈𝑎 𝐑𝜃𝝃 (9)
Các hệ số của biến đổi Curvelet liên tục của hàm
𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 được cho bởi
𝑐𝑎,𝑏,𝜃 𝑓 ≜ 𝜑𝑎,𝑏,𝜃, 𝑓 = 𝜑ℝ2 𝑎,𝑏,𝜃 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 (10)
Biến đổi Curvelet rời rạc
Hệ Curvelet rời rạc được biểu diễn bởi ba tham số rời rạc: Tham số tỷ lệ 𝑎𝑗 = 2−𝑗, 𝑗 ∈ ℕ0; Chuỗi cách đều các góc quay 𝜃𝑗 ,𝑙= 2𝜋𝑙 ∙ 2− 2𝑗 , 0 ≤ 𝑙 ≤ 22𝑗 − 1; và tọa
độ 𝐱𝑘 𝑗 ,𝑙 = 𝐑𝜃−1𝑗 ,𝑙(𝑘12−𝑗, 𝑘22− 2𝑗 )𝑇, 𝑘1, 𝑘2 ∈ 𝕫2 Trong
đó 𝐑𝜃𝑗 ,𝑙 là ma trận quay với góc 𝜃𝑗 ,𝑙 Sự lựa chọn này làm cho hệ Curvelet rời rạc trở thành khung chặt, và do
đó tồn tại biến đổi nghịch Họ các hàm Curvelet rời rạc được định nghĩa như sau [6]
𝜑𝑗 ,𝑙,𝑘 𝐱 ≜ 𝜑𝑗 ,0,0 𝐑𝜃𝑗 ,𝑙 𝐱 − 𝐱𝑘 𝑗 ,𝑙 , 𝐱 = 𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ2 (11) trong đó 𝜑 𝑗 𝝃 ≜ 𝑈𝑗(𝝃), là biến đổi Fourier của 𝜑𝑗 Bây giờ với 𝑗 ≥ 0 tương tự trường hợp liên tục, định nghĩa cửa sổ tỉ lệ 𝑈𝑗 𝝃
𝑈𝑗 𝝃 = 2−3𝑗 /4𝑊 2−𝑗𝑟 𝑉 2 𝑗 /2 𝜃 , 𝝃 ∈ ℝ2 (12) Miền giá trị của 𝑈𝑗 được phân bố trong mỗi cực
„wedge‟ được xác định bởi supp𝑊 2−𝑗 = 2𝑗 −1, 2𝑗 +1
và supp𝑉 2 𝑗 /2 = −2 𝑗 /2 , 2 𝑗 /2 Nhận thấy, trong miền không gian, đặc điểm của
𝜑𝑗 ,𝑙,𝑘 là suy giảm nhanh từ 2−𝑗 bởi 2−𝑗 /2 hình chữ nhật với tâm 𝑥𝑘 𝑗 ,𝑙 và hướng 𝜃𝑗 ,𝑙 cùng với trục tung theo x Curvelet ở tỉ lệ mức thô để phân tích tần số thấp
𝜑−1,0,𝑘 𝑥 ≜ 𝜑−1 𝑥 − 𝑘 , 𝜑 −1 𝜉 ≜ 𝑊0 𝜉 (13)
Để đơn giản, cho 𝜇 = 𝑗, 𝑙, 𝑘 là tập hợp của ba tham
số Hệ Curvelet 𝜑𝜇 biểu diễn khung chặt [6] trong
𝐿2 ℝ2 , mỗi hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 có thể được biểu diễn
𝑓 = 𝑐𝜇 𝜇 𝑓 𝜑𝜇 (14)
Các hệ số Curvelet rời rạc được xác định như sau [7]
𝑐𝜇 𝑓 ≜ 𝑓, 𝜑𝜇 = 𝑓 𝜉 𝜑 ℝ2 𝜇 𝜉 𝑑𝜉
= 𝑓 𝜉 𝑈ℝ2 𝑗 𝐑𝜃𝑗 ,𝑙, 𝜉 𝑒𝑖 𝑥𝑘 𝑗,𝑙 ,𝜉 𝑑𝜉 (15) Chúng ta thấy rằng, các góc 𝜃𝑗 ,𝑙 nằm trong dải −𝜋/4
và 𝜋/4 không cách đều nhưng gradient giảm dần
Trang 3Phần Đề-các của các hệ số
𝑐 𝜇 𝑓 = 𝑓, 𝜑 𝜇 = 𝑓 𝜉 𝑈 ℝ2 𝑗 𝑆𝜃−1𝑗 ,𝑙𝜉 𝑒𝑖 𝑥 𝑘 𝑗,𝑙 ,𝜉 𝑑𝜉 =
𝑓 𝑆ℝ2 𝜃−1𝑗 ,𝑙𝜉 𝑈 𝑗 𝜉 𝑒𝑖 𝑘𝑗,𝜉 𝑑𝜉 (16) Đối với các ứng dụng xử lý ảnh, người ta cần biến
đổi Curvelet cho các hàm ảnh Vì thế, xét 𝜑 𝜇, lặp lại có
chu kỳ N
𝜑 𝜇𝑝 𝑥 ≜ 𝑛∈𝕫 2𝜑 𝜇 𝑥 − 𝑁𝑛 , 𝑥 ∈ ℝ2, 𝑛 = 𝑛1, 𝑛2 (17)
trong đó 𝑁 ∈ ℕ là cố định, hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 Ω , Ω =
0, 𝑁 2, chu kỳ N Lúc này, f có thể được viết dưới dạng
𝑓 = 𝜇 ∈𝑀𝑐 𝜇𝐷 𝑓 𝜑 𝜇𝑝 (18)
với một tập hệ số đã biết M
𝑀 = −1,0, 𝑘1, 𝑘2 : 𝑘1, 𝑘2= 0, … , 𝑁 − 1 ∪
𝑗, 𝑙, 𝑘1, 𝑘2 : 𝑗 ∈ ℕ0 (19) Chuỗi Fourier 2D của 𝑓
𝑓 𝑥 = 𝑚∈𝕫 2𝑑𝑚 𝑓 𝑒2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 𝑁 (20)
𝑑𝑚 𝑓 ≜𝑁12 𝑓(𝑥)𝑒Ω 2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 /𝑁𝑑𝑥 (21)
Các hệ số Curvelet có thể nhận được bởi biến đổi
FFT 2D như sau [5]
𝑐 𝜇𝐷 𝑓 = 𝑑𝑚 𝑓 𝑒2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 /𝑁𝜑 𝑑𝑥𝜇 𝑥
ℝ 2
𝑚 ∈𝕫 2
= 𝑁 𝑑𝑚 𝑓 𝑈 𝑗 2𝜋𝑁 𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙𝑚 𝑒−2𝜋𝑖𝑁 𝑆 𝜃𝑗,𝑙𝑇 𝑚 ,𝑘𝑗
B Khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (Anisotropic
nonlinear diffusion)
Mô hình kinh điển mô tả quá trình khuếch tán tuyến
tính như sau [8]
𝜕𝐼(𝑥,𝑦,𝑡)
𝜕𝑡 = 𝑐 ∆𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡); 𝐼 𝑡=0= 𝐼0(𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑐 ∈ ℝ (23)
với I là ảnh thay đổi theo thời gian và 𝐼0(𝑥, 𝑦) là ảnh
ban đầu
𝐼: ℝ2× Ω → ℝ; (𝑥, 𝑦, 𝑡) ↦ 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) (24)
Nghiệm của (23) trong trường hợp hệ số vô hướng c = 1
𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) = (𝐾 𝐼 𝑥, 𝑦 với 𝑡 = 0
2𝑡∗ 𝐼)(𝑥, 𝑦) với 𝑡 > 0 (25) tương đương với quá trình làm trơn ảnh bằng cách
chập ảnh gốc với hàm nhân Gaussian hai chiều có độ
lệch tiêu chuẩn 𝜍 = 2𝑡 Biến thời gian t có liên quan
với độ rộng không gian 𝜍 theo 𝜍 = 2𝑡, do đó, các cấu
trúc làm trơn yêu cầu dừng quá trình khuếch tán tại
𝑇 = 𝜍2/2 Thông tin xử lý được tạo ra bởi nghiệm của
quá trình khuếch tán theo thời gian t Tuy nhiên, quá
trình khuếch tán làm mờ đi các biên sườn (edges), các
điểm đột biến kỳ dị (singularities) vốn dĩ chứa đựng các thông tin quan trọng ở tín hiệu Để giải quyết vấn đề này, người ta sử dụng quá trình khuếch tán phi tuyến thích nghi hay còn gọi là khuếch tán bất đẳng hướng (anisotropic diffusion) tạo ra các hệ số khuếch tán thay đổi thích nghi với cấu trúc tín hiệu nhằm làm giảm hiệu ứng làm trơn ở biên sườn Mô hình khuếch tán Perona – Malik có dạng [8]
𝜕𝐼(𝑥,𝑦,𝑡)
𝜕𝑡 = 𝑑𝑖𝑣(𝑐( ∇𝐼 )∇𝐼) (26)
với c(.) là hàm gradient không tăng, 𝐼 𝑡=0= 𝐼0(𝑥, 𝑦)
là điều kiện biên Neumann c(.) có dạng 𝑐 ∇𝐼 =
1 (1 + ( ∇𝐼
𝑘 )2) hoặc 𝑐 ∇𝐼 = 𝑒−( ∇𝐼 𝑘 )2 Trong đó k
được gọi là hệ số tương phản Mặc dù (26) được Perona – Malik gọi là bộ lọc bất đẳng hướng, nhưng vẫn được xem là mô hình đẳng hướng, vì đã sử dụng hàm khuếch tán có giá trị vô hướng, không phải là một Tensor khuếch tán Xét mô hình sau
𝜕𝐼(𝑥,𝑦,𝑡)
𝜕𝑡 = ∇ ∙ 𝐷∇𝐼 (27) với 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) là ảnh thay đổi theo thời gian và
𝐼 𝑡=0= 𝐼0(𝑥, 𝑦) là ảnh quan sát được dưới ảnh hưởng của nhiễu
𝐼 , 𝑡 : Ω × 0, +∞ → ℝ và 𝐼0: Ω → ℝ (28) Tensor khuếch tán D là một ma trận phụ thuộc vào
các giá trị riêng và các vector riêng của tensor cấu trúc
𝐽 = ∇𝐼 ∇𝐼 𝑇 Tích vô hướng 𝐷∇𝐼, 𝑛 = 0 trên 𝐼 × 𝜕Ω,
n là pháp tuyến ngoài, 𝜕Ω là miền biên
Nhằm làm cho hệ số khuếch tán thích nghi cục bộ
với dữ liệu và hướng làm trơn ta thay thế hàm khuếch tán vô hướng bởi một tensor khuếch tán dạng ma trận theo hai bước [9] Bước thứ nhất xây dựng vector mô tả cấu trúc ∇𝐼𝜍 Ma trận 𝐽0 nhận được từ tích tensor
𝐽0 ∇𝐼𝜍 ≜ ∇𝐼𝜍 ⨂ ∇𝐼𝜍 ≜ ∇𝐼𝜍∇𝐼𝜍 (29)
có cơ sở trực chuẩn hình thành từ các vector riêng v1, v2
với v1 || ∇𝐼𝜍 và v2 ⊥ ∇𝐼𝜍 Các trị riêng tương ứng là
|∇𝑢𝜍|2 và 0 Bước hai, thông tin về hướng khuếch tán nhận được bằng cách chập 𝐽0 ∇𝐼𝜍 với một hàm nhân Gaussian 𝐾𝜌, phương sai 𝜌2 Ta có tensor cấu trúc
𝐽𝜌 ∇𝑢𝜍 ≜ 𝐾𝜌∗ ∇𝑢𝜍 ⨂ ∇𝑢𝜍 (30)
Ma trận đối xứng 𝐽𝜌 = 𝑗11 𝑗12
𝑗12 𝑗22 bán xác định dương và
có các vector riêng trực giao v1, v2 với
𝑣1|| 𝑗22− 𝑗11+ 𝑗11− 𝑗22 2+ 4𝑗122 (31) Tương ứng với các giá trị riêng 𝜇1 và 𝜇2 được xác định bởi
𝜇1,2=12 𝑗11+ 𝑗22± 𝑗11− 𝑗22 2+ 4𝑗122 (32)
Trang 4Trong đó dấu + là của 𝜇1 Các trị riêng mô tả độ
tương phản trung bình theo các hướng riêng hệ số tỉ lệ
tích phân 𝜌 phản ánh đặc trưng cửa sổ theo hướng được
phân tích Nhược điểm là các trị riêng nhạy cảm đối với
nhiễu, do đó, cần phải loại trừ nhiễu trước khi thực hiện
khuếch tán [10]
C Thuật toán loại trừ nhiễu hỗn hợp Curvelet và
khuếch tán phi tuyến
Phương pháp khuếch tán phi tuyến bảo toàn đường
biên do tính chất thích nghi cục bộ với dữ liệu nhờ áp
dụng Tensor cấu trúc nhưng hiệu quả loại trừ nhiễu
không cao và có nguy cơ mất ổn định dưới tác động của
nhiễu Đề xuất thuật toán ba bước: Bước 1: Tạo thông
tin cấu trúc ảnh bằng tensor khuếch tán phi tuyến Bước
2: Tiến hành Curvelet shrinkage loại trừ hướng có biên
sườn vì quy trình Curvelet shrinkage cho phép làm trơn
theo hướng Bước 3: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận
được từ bước 1 và hiệu chỉnh biên sườn bằng biến đổi
Wavelet 1D từ thông tin nhận được từ bước 1
Thuật toán hỗn hợp chi tiết như sau:
1: Tạo thông tin cấu trúc ảnh: Tính Tensor khuếch tán
D theo (31) với các trị riêng 𝜇1 và 𝜇2 Trace(D) =
𝜇1+ 𝜇2; Det(D) = 𝜇1𝜇2
2: Tính hệ số kết hợp c (coherent) theo
𝑐 = 𝜇 1−𝜇 2𝜇 1+𝜇 2
2 nếu 𝜇1+ 𝜇2 > 0
0 khác (33) 3: Tạo các mảng (array) biên ảnh 1D từ các điểm ảnh
liền kề
4: Curvelet shrinkage: Tính hệ số Curvelet theo ba
bước [5]
4.1: Tính các hệ số Fourier 𝑑𝑚 𝑓 của 𝑓 dùng FFT 2D
4.2: Tính 𝑑𝑚 𝑓 𝑈𝑗 2𝜋𝑁𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙𝑚 với ∀𝑚 thỏa 𝑆𝜃𝑇𝑗 ,𝑙𝑚 ∈
𝑠𝑢𝑝𝑝𝑈𝑗
4.3: Tính các hệ số 𝑐 𝜇𝐷(𝑓) theo (22) dùng IFFT 2D
5: Lấy ngưỡng cứng các hệ số 𝑐 𝜇𝐷(𝑓) không thuộc miền
biên ảnh (theo hệ số kết hợp c)
6: Biến đổi ngược Curvelet khôi phục ảnh ban đầu
7: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận được từ bước 6
8: Hiệu chỉnh biên sườn bằng Wavelet 1D trên tập biên ảnh liền kề (bước 3)
III KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
Mô phỏng được thực hiện bằng chương trình Matlab nhằm đánh giá hiệu quả của phương pháp đề xuất so với các phương pháp khác bao gồm: Loại trừ nhiễu bằng biến đổi Wavelet, loại trừ nhiễu bằng biến đổi Curvelet, khuếch tán phi tuyến Ảnh đầu vào là bộ ảnh gray (bao gồm: Lena, Barbara, Boat, Cameraman, House) kích thước 512x512 bao gồm các biên sườn Nhiễu tác động
là nhiễu Gauss trị trung bình không và độ lệch chuẩn hóa σn= 0.01 (dùng hàm imnoise trong Matlab) Tham
số đánh giá là PSNR (dB) và hiệu ứng biên sườn trực
quan Hình 4 minh họa hiệu ứng loại trừ nhiễu bảo vệ biên sườn, trong đó (a) ảnh gốc, (b) Ảnh nhiễu (20.7 dB), (c) Wavelet DB4 (23.9931 dB), (d) Curvelet (29.5928 dB), (e) Loại trừ bằng phương pháp lọc khuếch tán phi tuyến NLDF (24.5419 dB), (f) Loại trừ nhiễu bằng phương pháp đề xuất (27.4950 dB) Nhận thấy, phương pháp loại trừ nhiễu bằng Curvelet cho tỉ
số PSNR cao nhất Tuy nhiên, phương pháp hỗn hợp có
tỉ số PSNR thấp hơn lại cho hiệu quả biên sườn cao hơn Minh họa hiệu quả bảo vệ biên sườn được biểu diễn trên hình 5 Bảng 1 trình bày các kết quả mô phỏng
tính toán PSNR cho bộ ảnh đầu vào
BẢNG 1 BẢNG SO SÁNH CÁC GIÁ TRỊ PSNR
Phương pháp
Ảnh
(*) NLDF : Khuếch tán phi tuyến
(a) (b) (c)
Trang 5(d) (e) (f)
Hình 4 (a) ảnh gốc, (b) Ảnh nhiễu (20.7 dB), (c) Wavelet DB4 (23.9931 dB), (d) Curvelet (29.5928 dB), (e) NLDF (24.5419 dB), (f) Đề xuất
(27.4950 dB)
(a) (b) (c) (d)
Hình 5 Chi tiết được làm rõ (a) Wavelet DB4, (b) Curvelet, (c) NLDF, (d) Phương pháp đề xuất
IV KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
Trong bài báo này, chúng tôi đã trình bày phương
pháp hỗn hợp Curvelet và Khuếch tán phi tuyến để khử
nhiễu ảnh nhằm bảo toàn biên sườn và minh họa bằng
các mô phỏng minh chứng ưu điểm của phương pháp đề
xuất Với những tính chất rất đặc biệt và tính hiệu quả
cao trong xử lý ảnh, các ứng dụng của lọc khuếch tán
phi tuyến sẽ là một hướng nghiên cứu rất được quan
tâm không chỉ trong lĩnh vực xử lý ảnh, mà còn có thể
phát triển cho nhiều lĩnh khác có liên quan trong tương
lai Vì vậy, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo là phát
triển khả năng mở rộng chiều, nghiên cứu mô hình lai
kết hợp giữa phương pháp lọc khuếch tán phi tuyến với
một số phương pháp khác nhằm cải tiến các phương
pháp và nâng cao chất lượng xử lý ảnh, mở rộng cho
các lĩnh vực khác liên quan
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sendur, L., Selesnick, I W, “Bivariate shrinkage functions for
Wavelet-based denoising exploiting interscale dependency,”
IEEE on Trans Signal Processing, 50, pp.2744-2756, 2002
[2] Bo Zhang, Jalal M Fadili, and Jean-Luc Starck, “Wavelets,
Ridgelets, and Curvelets for Poisson Noise Removal,” IEEE
TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL 17, NO
7, JULY 2008
[3] François G Meyer - “Wavelet-Based Estimation of a Semiparametric Generalized Linear Model of FMRI
Time-Series,” IEEE Trans on Medical Imaging 22 (3), 2003
[4] E Candes, D Donoho, “Continuous curvelet transform: I Resolution of the wavefront se,”, Appl Comput Harmon Anal., 19, pp.162-197, 2003
[5] Jianwei Ma and Gerlind Plonka, "Combined Curvelet Shrinkage and Nonlinear Anisotropic Diffusion", IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL 16, NO
9, SEPTEMBER 2007
[6] E Candes, D Donoho, “Continuous curvelet transform: II Discretization and frames,” Appl Comput Harmon Anal., 19, pp.198-222, 2003
[7] E Candes, L Demanet, D.Donoho, L Ying, “Fast discrete curvelet transforms,” Multiscale Model Simul., 5 (3),
pp.861-899, 2006
[8] Wei G W., Marimont D H., Heeger D, Generalized Perona-Malik Equation for Image Restoration,” IEEE Signal Processing Letters, vol.6, no.7, pp.165–167 1999
[9] Sum A K W., Cheung P Y S., “Stabilized anisotropic diffusio,” IEEE International Conf on Acoustics, Speech and Signal Processing, vol.1, pp.709-712, 2007
[10] You Y L., Kaveh M., “Fourth-order partial differential equations for noise removal,” IEEE Trans on Image Processing, vol.9, no.10, pp.1723–1730, 2000.