Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này là nghiên cứu các sai lầm thường gặp của học sinh lớp 11 khi giải bài toán về tính giới hạn của hàm số, đồng thời đề xuất biện pháp sửa chữa các sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 THPT.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HÓAỞ Ụ Ạ
TR ƯỜ NG THPT LÊ VI T T O Ế Ạ
SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ
NÂNG CAO K NĂNG TÍNH GI I H N HÀM S Ỹ Ớ Ạ Ố
CHO H C SINH L P 11 THÔNG QUA Ọ Ớ
VI C PHÂN TÍCH CÁC SAI L M TH Ệ Ầ ƯỜ NG G P Ặ
Người th c hi n: Nguy n Th Thu nự ệ ễ ị ậ
Ch c v : Giáo viênứ ụ
SKKN môn: Toán
Trang 2M C L CỤ Ụ
1.1 Lí do ch n đ tài ọ ề 1 1.2 M c đích nghiên c u ụ ứ 1 1.3 Đ i t ố ượ ng nghiên c u ứ 1 1.4 Ph ươ ng pháp nghiên c u ứ 2
2.1 C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m ơ ở ậ ủ ế ệ 2 2.2 Th c tr ng v n đ tr ự ạ ấ ề ướ c khi áp d ng sáng ki n kinh ụ ế
2.3 Gi i pháp th c hi n ả ự ệ 2 2.3.1 H th ng ki n th c c b nệ ố ế ứ ơ ả 3 2.3.2 D ng và phạ ương pháp tính gi i h n hàm sớ ạ ố 4 2.3.3 Phân tích sai l m c a h c sinh thông qua m t s ví d cthể ầ ủ ọ ộ ố ụ ụ 6 2.4 Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m ệ ả ủ ế ệ 11 2.4.1 Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ nggiáo d cệ ụ ả ủ ế ệ ố ớ ạ ộ 11 2.4.2 Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i đ ng nghi pệ ả ủ ế ệ ố ớ ồ ệ 12
Trang 31. M đ uở ầ
1.1. Lí do ch n đ tài.ọ ề
Theo A. A. Stoliar: D y toán là d y ho t đ ng toán h c. trạ ạ ạ ộ ọ Ở ường phổ thông, đ i v i h c sinh, gi i toán là hình th c ch y u c a ho t đ ng toánố ớ ọ ả ứ ủ ế ủ ạ ộ
h c. Các bài toán trọ ở ường ph thông là m t phổ ộ ương ti n r t có hi u qu vàệ ấ ệ ả không th thay th để ế ược trong vi c giúp h c sinh n m v ng tri th c, phátệ ọ ắ ữ ứ tri n t duy, hoàn thi n k năng, k x o. ể ư ệ ỹ ỹ ả
c p h c Trung h c Ph thông (THPT), môn Toán đỞ ấ ọ ọ ổ ược chia thành ba phân môn: Hình h c, Đ i s và Gi i tích, trong đó Gi i tích là m t phân mônọ ạ ố ả ả ộ khó và hoàn toàn m i m N u Đ i s đ c tr ng b i ki u t duy ớ ẻ ế ạ ố ặ ư ở ể ư “h u h nữ ạ ”,
“r i r cờ ạ ”, “tĩnh t iạ ” thì khi h c Gi i tích, ki u t duy ch y u đọ ả ể ư ủ ế ược v n d ngậ ụ liên quan đ n “vô h n”, “liên t c”, “bi n thiên” khi n cho h c sinh g p nhi uế ạ ụ ế ế ọ ặ ề khó khăn. Phân môn Gi i tích trong chả ương trình THPT được b t đ u b ngắ ầ ằ khái ni m ệ “gi i h n”ớ ạ đ u h c k II c a l p 11ở ầ ọ ỳ ủ ớ Lúc này, các em h c sinhọ
bướ ừ “m nh đ t h u h nc t ả ấ ữ ạ ” sang “m nh đ t vô h nả ấ ạ ” v i nh ng đ i lớ ữ ạ ượ ng
vô cùng bé, vô cùng l n r t tr u tớ ấ ừ ượng. Có th nói đây là các khái ni m n nể ệ ề móng cho các khái ni m khác c a Gi i tích. Và trong ph m vi chệ ủ ả ạ ương trình THPT, m t l p các bài toán quan tr ng nh đ o hàm, tính bi n thiên, giá trộ ớ ọ ư ạ ế ị
l n nh t, nh nh t, ti m c n … c a hàm s đ u có liên quan ch t ch v i bàiớ ấ ỏ ấ ệ ậ ủ ố ề ặ ẽ ớ toán gi i h n. V i ý nghĩa quan tr ng, thi t th c nh v y nh ng quá trình h cớ ạ ớ ọ ế ự ư ậ ư ọ khái ni m ệ “Gi i h nớ ạ ” và làm m t l p các bài toán v gi i h n, các em h cộ ớ ề ớ ạ ọ sinh l i r t d b m c sai l mạ ấ ễ ị ắ ầ
Nhà tâm lý và giáo d c h c J. A. Komensky đã kh ng đ nh: “B t kì m tụ ọ ẳ ị ấ ộ sai l m nào cũng có th làm cho h c sinh h c kém đi n u nh giáo viên khôngầ ể ọ ọ ế ư chú ý ngay t i sai l m đó, b ng cách hớ ầ ằ ướng d n h c sinh nh n ra và s aẫ ọ ậ ử
ch a, kh c ph c sai l m”. A. A. Stoliar nh n m nh: “Không đữ ắ ụ ầ ấ ạ ược ti c th iế ờ gian đ phân tích trên l p nh ng sai l m c a h c sinh”. ể ớ ữ ầ ủ ọ
B t đ u t năm h c 2016 2017, kì thi THPT Qu c gia môn Toán đắ ầ ừ ọ ố ượ c
đ i m i v i hình th c thi tr c nghi m, m i câu h i trong đ có b n phổ ớ ớ ứ ắ ệ ỗ ỏ ề ố ươ ng
án tr l i đ h c sinh l a ch n, trong đó ch có m t phả ờ ể ọ ự ọ ỉ ộ ương án đúng và ba
phương án gây nhi u, h n n a th i gian tr l i câu h i ng n, do đó ch m tễ ơ ữ ờ ả ờ ỏ ắ ỉ ộ chút sai l m cũng khi n h c sinh l a ch n phầ ế ọ ự ọ ương án sai.
Vì v y, ậ nh m giúp cho các em h c sinh bi t cách tránh nh ng sai l mằ ọ ế ữ ầ đáng ti c khi làm các bài toán v gi i h n c a hàm s đ các em h c t p phânế ề ớ ạ ủ ố ể ọ ậ môn Gi i tích có hi u qu caoả ệ ả , t đó ch t lừ ấ ượng d y h c môn Toán t t h n,ạ ọ ố ơ tôi xin đóng góp sáng ki n kinh nghi mế ệ :
“Nâng cao kĩ năng tính gi i h n hàm s cho h c sinh l p 11 thôngớ ạ ố ọ ớ
qua vi c phân tích các sai l m thệ ầ ường g pặ ” 1.2. M c đích nghiên c uụ ứ
Nghiên c u các sai l m thứ ầ ường g p c a h c sinh ặ ủ ọ l p 11ớ khi gi i ả bài toán
v tính gi i h n c a hàm sề ớ ạ ủ ố, đ ng th i đ xu t bi n pháp s a ch a các saiồ ờ ề ấ ệ ử ữ
Trang 4l m này, nh m rèn luy n năng l c gi i toán cho h c sinh ầ ằ ệ ự ả ọ l p 11 ớ THPT.
1.3. Đ i tố ượng nghiên c uứ
Các sai l m thầ ường g p khi gi i ặ ả bài toán tính gi i h n hàm sớ ạ ố thu cộ
n i dung Bài 2. Gi i h n c a hàm s , chộ ớ ạ ủ ố ương IV. Gi i h n, ớ ạ chương trình toán l p 11 ớ THPT.
1.4. Phương pháp nghiên c uứ
Xu t phát t đ i tấ ừ ố ượng nghiên c u, đ đ t đứ ể ạ ược m c đích đ ra tôi đãụ ề
ch y u s d ng các phủ ế ử ụ ương pháp sau :
Phương pháp nghiên c u tài li u.ứ ệ
Phương pháp tìm hi u và t ng k t kinh nghi m gi ng d y.ể ổ ế ệ ả ạ
Tôi đã s d ng các ki n th c v Gi i h n c a hàm s thu c chử ụ ế ứ ề ớ ạ ủ ố ộ ương IV.
Gi i h n trong chớ ạ ương trình môn Toán l p 11 THPT đ phân tích m t s saiớ ể ộ ố
l m thầ ường g p khi tính gi i h n hàm s c a h c sinh. C th , xu t phát tặ ớ ạ ố ủ ọ ụ ể ấ ừ
l i gi i sai, tôi phân tích các nguyên nhân d n đ n sai l m và đ xu t l i gi iờ ả ẫ ế ầ ề ấ ờ ả đúng cho bài toán.
2. N i dung sáng ki n kinh nghi mộ ế ệ
2.1. C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi mơ ở ậ ủ ế ệ
Vi c nghiên c u đ tài : ệ ứ ề “Nâng cao kĩ năng tính gi i h n hàm s choớ ạ ố
h c sinh l p 11 thông qua vi c phân tích các sai l m thọ ớ ệ ầ ường g pặ ” đ cượ
d a trên các c s lý lu n sau đây:ự ơ ở ậ
D a vào m c tiêu d y h c n i dung Gi i h n c a Sách giáo khoa Đ i s vàự ụ ạ ọ ộ ớ ạ ủ ạ ố
Gi i tích 11:ả
+ Cho h c sinh ti p c n v i các khái ni m c s c a Gi i tích: gi i h n c aọ ế ậ ớ ệ ơ ở ủ ả ớ ạ ủ dãy s , gi i h n c a hàm s và qua đó bố ớ ạ ủ ố ước đ u hình thành ki u t duy toánầ ể ư
h c g n li n v i s vô h n.ọ ắ ề ớ ự ạ
+ Cung c p m t s đ nh lý c b n làm công c cho vi c nghiên c u gi i h nấ ộ ố ị ơ ả ụ ệ ứ ớ ạ
c a hàm s H c sinh bi t v n d ng đ nh lý đ gi i m t s bài t p tính gi iủ ố ọ ế ậ ụ ị ể ả ộ ố ậ ớ
h n.ạ
D a vào quan đi m c a các nhà giáo d c h c nh R.A.Axanop : “Vi c ti pự ể ủ ụ ọ ư ệ ế thu tri th c m t cách có ý th c đứ ộ ứ ược kích thích b i vi c h c sinh phân tíchở ệ ọ
m t cách có suy nghĩ n i dung c a t ng sai l m mà h c sinh ph m ph i, gi iộ ộ ủ ừ ầ ọ ạ ả ả thích ngu n g c các sai l m này và t duy, lý lu n v b n ch t c a các saiồ ố ầ ư ậ ề ả ấ ủ
l m”. Thông qua sai l m h c sinh ti p thu tri th c m t cách tr n v n h n.ầ ầ ọ ế ứ ộ ọ ẹ ơ 2.2. Th c tr ng v n đ trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi mụ ế ệ
Trong quá trình d y h c n i dung gi i h n các năm h c trạ ọ ộ ớ ạ ở ọ ước, tôi
nh n th y khi làm các bài tính gi i h n, h c sinh thậ ấ ớ ạ ọ ường m c các sai l m cắ ầ ơ
b n sau:ả
Hi u không đ y đ và chính xác khái ni m gi i h n d n đ n khi trình bàyể ầ ủ ệ ớ ạ ẫ ế bài dùng sai kí hi u gi i h n: th t kí hi u không đúng, không có kí hi u lim,ệ ớ ạ ứ ự ệ ệ không có kí hi u ệ x a hay x + ,x − dưới kí hi u lim.ệ
Trang 5 Th c hi n các phép bi n đ i đ i s sai, tính toán sai.ự ệ ế ổ ạ ố
Không n m v ng gi thi t và k t lu n c a các đ nh lý v gi i h n d n đ nắ ữ ả ế ế ậ ủ ị ề ớ ạ ẫ ế
h c sinh áp d ng đ nh lý ra ngoài ph m vi c a gi thi t. Do đó h c sinh th cọ ụ ị ạ ủ ả ế ọ ự
hi n các phép tính gi i h n m t cách tùy ti n.ệ ớ ạ ộ ệ
Không n m v ng phắ ữ ương pháp tìm gi i h n d ng vô đ nh d n đ n th cớ ạ ạ ị ẫ ế ự
hi n các phép toán d ng vô đ nh nh các phép toán đ i s ệ ạ ị ư ạ ố
2.3. Gi i pháp th c hi nả ự ệ
Tr ướ c th c tr ng đã nêu trên, nh m ự ạ ở ằ h n ch và s a ch a sai l m khi ạ ế ử ữ ầ
gi i bài toán tính gi i h n c a h c sinh, ả ớ ạ ủ ọ tôi đã th c hi n các gi i pháp sau: ự ệ ả
M t là trang b đ y đ , chính xác nh ng ki n th c c b n v khái ộ ị ầ ủ ữ ế ứ ơ ả ề
ni m, đ nh nghĩa, đ nh lý gi i h n cho h c sinh ệ ị ị ớ ạ ọ
Hai là chia các bài toán tính gi i h n theo d ng và nêu ph ớ ạ ạ ươ ng pháp
gi i cho t ng d ng ả ừ ạ
Ba là thông qua các sai l m c a h c sinh khi tính gi i h n, tôi phân ầ ủ ọ ớ ạ tích nguyên nhân sai l m và nêu l i gi i đúng đ t đó, h c sinh thêm m t ầ ờ ả ể ừ ọ ộ
l n n m v ng n i dung đ nh nghĩa, đ nh lí và thành th c kĩ năng tính gi i ầ ắ ữ ộ ị ị ụ ớ
h n hàm s , tránh đ ạ ố ượ c nh ng sai l m các bài toán ti p theo. ữ ầ ở ế
C th :ụ ể
Đ u ầ tiên, c n trang b cho h c sinh h thông ki n th c c b n ầ ị ọ ệ ế ứ ơ ả
2.3.1. H th ng ki n th c c b nệ ố ế ứ ơ ả
2.3.1.1. Các đ nh nghĩa ị
Gi s K là m t kho ng và đi m ả ử ộ ả ể x0 K, f(x) là m t hàm s xác đ nh trên Kộ ố ị
ho c trên ặ K \ x { }0
Đ nh nghĩa 1 ị (Gi i h n h u h n c a hàm s t i m t đi m): ớ ạ ữ ạ ủ ố ạ ộ ể Ta nói hàm số f(x) có gi i h n là s th c L khi x d n t i ớ ạ ố ự ầ ớ x0n u v i dãy s ế ớ ố (x )n b t kì,ấ
n n 0
n
x x0, ta có limf (x ) Ln = Kí hi u: ệ
0
x xlim f (x) L=
Đ nh nghĩa 2 (Gi i h n h u h n c a hàm s t i vô c c): ị ớ ạ ữ ạ ủ ố ạ ự Gi s hàm s f(x)ả ử ố xác đ nh trên kho ng ị ả (a,+ ). Ta nói hàm s f(x) có gi i h n là s th c L khiố ớ ạ ố ự
x d n t i ầ ớ + n u v i dãy s ế ớ ố (x )n b t kì, ấ xn >a và xn + , ta có
n
limf (x ) L=
Kí hi u: ệ
xlim f (x) L
Đ nh nghĩa tị ương t đ i v i gi i h n: ự ố ớ ớ ạ
xlim f (x) L
Đ nh nghĩa 3 (Gi i h n vô c c c a hàm s ): ị ớ ạ ự ủ ố Ta nói hàm s f(x) có gi i h nố ớ ạ
là dương vô c c khi x d n t i ự ầ ớ x0n u v i dãy s ế ớ ố ( x ) n b t kì, ấ xnι K,xn x0
và xn x ,0 ta có limf (x )n = +
Kí hi u: ệ
0
x xlim f (x)= +
Trang 6
Đ nh nghĩa tị ương t đ i v i gi i h n: ự ố ớ ớ ạ
0
x xlim f (x)= −
Đ nh nghĩa 4 (Gi i h n m t bên): ị ớ ạ ộ
Cho hàm s f(x) xác đ nh trên kho ng ố ị ả (x ,b)0 . Ta nói hàm s f(x) cóố
gi i h n ph i là s th c L khi x d n t i ớ ạ ả ố ự ầ ớ x0n u v i dãy s ế ớ ố (x )n b tấ
kì, xn (x ,b)0 và xn x0, ta có limf (x ) Ln = Kí hi u:ệ 0
x xlim f (x) L.+ =
Cho hàm s f(x) xác đ nh trên kho ng ố ị ả (a,x )0 . Ta nói hàm s f(x) cóố
gi i h n trái là s th c L khi x d n t i ớ ạ ố ự ầ ớ
0
x n u v i dãy s ế ớ ố (x )n b tấ
kì, xn (a,x )0 và xn x0, ta có limf (x ) Ln = Kí hi u:ệ 0
x xlim f (x) L.− =
2.3.1.2. Các quy t cắ
Quy t c 1: Gi i ắ ớ h n c a t ng, hi u, tích, th ạ ủ ổ ệ ươ ng , căn th c ứ
Cho
x xlim f (x) A; lim g(x) B;A,B= x x = ﾡ
x xlim f (x) g(x)+ =x xlim f (x) lim g(x) A B;+x x = +
[ ]
x xlim f (x) g(x)− =x xlim f (x) lim g(x) A B;−x x = −
[ ]
x xlim f (x).g(x) =x xlim f (x) lim g(x) A.B;x x =
N u ế B 0 thì:
0 0
0
x x
x x
x x
lim f (x)
g(x) = lim g(x) B=
N u ế f (x) 0 v i m i ớ ọ x x0 thì A 0 và
0
x xlim f (x) = A
Quy t c 2: Liên h gi a gi i h n h u h n và gi i h n vô c c ắ ệ ữ ớ ạ ữ ạ ớ ạ ự
N u ế
0
x xlim f (x) A 0= và
0
x xlim g(x)= thì 0
0
x x
x x
lim f (x).g(x) ;
f (x)
g(x)
=
N u ế
0
x xlim f (x) A 0= > và
0
x xlim g(x) 0,g(x) 0= > thì
0
x x
f (x)
g(x) = +
N u ế
0
x xlim f (x) A 0= < và
0
x xlim g(x) 0,g(x) 0= > thì
0
x x
f (x)
g(x) = −
N u ế
0
x xlim f (x) A 0= > và
0
x xlim g(x) 0,g(x) 0= < thì
0
x x
f (x)
g(x) = −
N u ế
0
x xlim f (x) A 0= < và
0
x xlim g(x) 0,g(x) 0= < thì
0
x x
f (x)
g(x) = +
Quy t c 3: Liên h gi a gi i h n và gi i h n trái, gi i h n ph i ắ ệ ữ ớ ạ ớ ạ ớ ạ ả
Trang 7∃x xlimf (x)0 và
x xlim f (x) A0 = � x xlim f (x) lim f (x) A.0+ = x x 0− =
Sau khi h c sinh đã đ ọ ượ c h c đ nh nghĩa, quy t c tính gi i h n, tôi đã ọ ị ắ ớ ạ chia các bài toán tính gi i h n theo t ng d ng nh sau: ớ ạ ừ ạ ư
2.3.2. D ng và phạ ương pháp tính gi i h n hàm s ớ ạ ố
D ng 1: ạ Cho f(x) là hàm s c p xác đ nh trên D vàơ ấ ị x0 D. Tính x xlim f (x).0
Ph ươ ng pháp gi i: ả x xlim f (x) f (x ).0 = 0
D ng 2 : ạ Gi i h n d ng vô đ nh ớ ạ ạ ị 0
0: x x 0
f (x) lim g(x) trong đó f (x ) g(x ) 0.0 = 0 =
Tr ườ ng h p 1: ợ N u f(x) và g(x) là các đa th c thì phế ứ ương pháp gi i là:ả
Phân tích f(x) và g(x) thành tích các nhân t đ làm xu t hi n các nhân tử ể ấ ệ ử chung d ng ạ (x x ).− 0
Rút g n bi u th c ọ ể ứ f (x)g(x) m c t i đa các nhân t chung d ng ở ứ ố ử ạ (x x )− 0 để
đ a v d ng gi i h n áp d ng đư ề ạ ớ ạ ụ ược các quy t c đã h c. ắ ọ
Tr ườ ng h p 2: ợ N u f(x), g(x) ch a các căn th c cùng b c (thế ứ ứ ậ ường ch a cănứ
b c hai ho c căn b c ba) thì phậ ặ ậ ương pháp gi i là: nhân c t và m u v i bi uả ả ử ẫ ớ ể
th c liên h p nh m tr c các nhân t ứ ợ ằ ụ ử (x x )− 0 ra kh i căn th c. ỏ ứ
Chú ý cho h c sinh các bi u th c liên h p.ọ ể ứ ợ
Tr ườ ng h p 3: ợ N u f(x) ho c g(x) ch a các căn th c không cùng b c, ví d ế ặ ứ ứ ậ ụ
f (x)=mu(x) − n v(x) (m n,m,n ﾡ \ 0 ){ }
thì phương pháp gi i là: ả
Xác đ nh h ng s ị ằ ố m n
c= u(x ) = v(x ).
Bi n đ i b ng cách thêm, b t h ng s ế ổ ằ ớ ằ ố c vào bi u th c c a f(x):ể ứ ủ
f (x)
đ a v trư ề ường h p 2.ợ
D ng 3 : ạ Gi i h n d ng vô đ nh ớ ạ ạ ị :
x
f (x) lim g(x) trong đó
x
x
limf (x) ; limg(x)
=
=
Ph ươ ng pháp gi i: ả
Chia c t và m u cho x v i lũy th a cao nh t có m t m u.ả ử ẫ ớ ừ ấ ặ ở ẫ
D ng ạ 4: Gi i h n d ng vô đ nh ớ ạ ạ ị − : xlim f (x) g(x)[ − ] trong đó
x
x
lim f (x) ; lim g(x)
=
=
Trang 8và f(x) ho c g(x) có d ng căn th c, đ ng th i gi i h n vô c c c a f(x) và g(x)ặ ạ ứ ồ ờ ớ ạ ự ủ luôn cùng d u.ấ
Ph ươ ng pháp gi i: ả
Nhân và chia bi u th c [f(x)g(x)] v i liên h p c a nó đ đ a gi i h n v d ngể ứ ớ ợ ủ ể ư ớ ạ ề ạ 3
D n ạ g 5: Gi i h n d ng vô đ nh ớ ạ ạ ị 0 : [ ]
0
x (x x )
0)
0)
x
(x x
x
(x x
lim f (x) 0;
lim g(x)
=
=
Tr ng h p 1: ườ ợ N u ế x thì ph ng pháp gi i là bi n đ i gi i h n v d ngươ ả ế ổ ớ ạ ề ạ
Tr ng h p 2: ườ ợ N u ế x x0 thì ph ng pháp gi i là bi n đ i gi i h n v d ngươ ả ế ổ ớ ạ ề ạ
0.
0
M c dù đã đ ặ ượ c h c đ nh nghĩa, quy t c, ph ọ ị ắ ươ ng pháp tính gi i h n ớ ạ
nh ng trong quá trình làm bài h c sinh v n v p ph i m t s sai l m. T ư ọ ẫ ấ ả ộ ố ầ ừ chính nh ng sai l m này c a h c sinh, tôi đã phân tích cho các em th y l i sai ữ ầ ủ ọ ấ ỗ đâu, h ng kh c ph c nh th nào. Nh đó các em có th rút ra bài h c
cho mình.
2.3.3. Phân tích sai l m c a h c sinh thông qua m t s ví d c thầ ủ ọ ộ ố ụ ụ ể
Đ u tiên có th nói đ n l i sai c a h c sinh trong cách trình bày nh ầ ể ế ỗ ủ ọ ư ở
ví d 1 dụ ưới đây:
Ví d 1: ụ Tính
x
x 1
x 2
+
+
H c sinh gi i nh sau: ọ ả ư
x
1 1
x 2 1
x
+
+
Phân tích sai l m:ầ
L i gi i trên có cách làm và k t qu đúng nh ng đã trình bày sai: thi u kí ờ ả ế ả ư ế
hi uệ
Trang 9+ ” đ ng trứ ước bi u th c ể ứ
1 1
x 2 1 x
+ + Giáo viên c n nh c h c sinh quá trình ầ ắ ọ
bi n đ i đ i s bi u th c c n tính gi i h n còn ch a k t thúc thì đ ng trế ổ ạ ố ể ứ ầ ớ ạ ư ế ằ ước
bi u th c đó v n ph i vi t kí hi u ể ứ ẫ ả ế ệ limx a
L i gi i đúng là:ờ ả
1 1
x
+
L i sai nh ví d trên là l i sai v m t hình th c, thỗ ư ở ụ ỗ ề ặ ứ ường g p ặ ở
nh ng h c sinh không c n th n. Qua ví d này, giáo viên có th rèn luy n tínhữ ọ ẩ ậ ụ ể ệ
c n th n cho h c sinh. ẩ ậ ọ
Ngoài l i sai v m t hình th c, h c sinh thỗ ề ặ ứ ọ ường v p ph i nhi u sai l mấ ả ề ầ
v phề ương pháp, quy t c tính gi i h n, v vi c th c hi n các phép toánắ ớ ạ ề ệ ự ệ không ph i là phép toán đ i s ho c h c sinh còn sai ngay c phép bi n đ iả ạ ố ặ ọ ả ế ổ
đ i s nh trong các ví d sau:ạ ố ư ụ
Ví d 2: ụ Tính 2
x 2
4 x
x 2
−
−
H c sinh gi i nh sau: ọ ả ư 2 2
x 2
−
Phân tích sai l m:ầ
H c sinh hi u sai r ng tính gi i h n c a hàm s ọ ể ằ ớ ạ ủ ố f(x) khi x d n đ n ầ ế x0 t cứ
là thay x x= 0 vào bi u th c ể ứ f(x)
Không có phép toán 0
0 nên không th vi t ể ế
0 0.
0 =
H c sinh không n m v ng phọ ắ ữ ương pháp gi i gi i h n d ng vô đ nh ả ớ ạ ạ ị 0.
0
L i gi i đúng là:ờ ả
2
Bài t p tậ ươ tự: Tính các gi i h n sau ng ớ ạ
a)
2
x 1
x 1
−
−
b)
x 3 2
x 3
x 2x 15
−
−
c)
2 2
x 3
x 5x 6
x 8x 15
d)
3 2 1 x 2
8x 1
6x 5x 1
−
Ví d 3:ụ Tính
x
2x 5
x 3
+
+
Trang 10H c sinh gi i nh sau: ọ ả ư x x
x
lim (2x 5) 2x 5
+ +
+
+
Phân tích sai l m:ầ
H c sinh đã nghĩ: gi i h n c a thọ ớ ạ ủ ương b ng thằ ương các gi i h n theo nhớ ạ ư quy t c 1 (gi i h n c a t ng, hi u, tích, thắ ớ ạ ủ ổ ệ ương) mà không đ ý đi u ki n ápể ề ệ
d ng quy t c là: t và m u ph i có gi i h n h u h n. ụ ắ ử ẫ ả ớ ạ ữ ạ
H c sinh đã coi ọ + nh là m t s đ t đó rút g n theo phép toán đ i s màư ộ ố ể ừ ọ ạ ố không hi u ể + ch là m t kí hi u bi u th s vô h n.ỉ ộ ệ ể ị ự ạ
H c sinh không n m v ng phọ ắ ữ ương pháp gi i gi i h n d ng vô đ nh ả ớ ạ ạ ị .
L i gi i đúng là: ờ ả x x
5 2
x
+
Bài t p tậ ươ tự: Tính các gi i h n sau ng ớ ạ
a)
2 2 x
x 5x 1
3x 10
−
− −
b)
x 2
x 3
x 2x 18
−
−
c)
2
x
x 5x 1
8x 15
+
− +
d)
2
x
5x 1
+
− +
Ví d 4:ụ Tính 2
xlim ( x 1 x)
H c sinh gi i nh sau:ọ ả ư
xlim ( x 1 x) lim xx 1 lim xx ( ) 0
Phân tích sai l m:ầ
H c sinh đã nghĩ: gi i h n c a hi u b ng hi u các gi i h n theo nh quyọ ớ ạ ủ ệ ằ ệ ớ ạ ư
t c 1 (gi i h n c a t ng, hi u, tích, thắ ớ ạ ủ ổ ệ ương) mà không đ ý đi u ki n ápể ề ệ
d ng quy t c là: các gi i h n đụ ắ ớ ạ ược tách ph i là gi i h n h u h n. ả ớ ạ ữ ạ
H c sinh đã coi ọ + nh là m t s đ t đó tri t tiêu theo phép toán đ i sư ộ ố ể ừ ệ ạ ố
mà không hi u ể + ch là m t kí hi u bi u th s vô h n.ỉ ộ ệ ể ị ự ạ
H c sinh không n m v ng phọ ắ ữ ương pháp gi i gi i h n d ng vô đ nh ả ớ ạ ạ ị − .
L i gi i đúng là:ờ ả
2
Bài t p tậ ươ tự: Tính các gi i h n sau ng ớ ạ
a)
xlim ( x 1 x);
b) xlim ( x2 x 1 x);
c)
xlim ( 4x2 2x 3 2x 1);
+ − + − − d) 3 3
xlim ( x 1 x)