Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp thêm cho các em học sinh một tài liệu tham khảo hữu ích, một vũ khí đắc lực, kim chỉ nam mang tính chất định hướng để rút ngắn con đường đi tìm lời giải hệ phương trình.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ Ở Ụ Ạ
TRƯỜNG THPT NÔNG C NG 2Ố
SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ
M T S TH THU T S D NG MÁY TÍNH C M TAY Ộ Ố Ủ Ậ Ử Ụ Ầ CASIO Đ Đ NH H Ể Ị ƯỚ NG NHANH CÁCH GI I CÁC BÀI Ả TOÁN H PH Ệ ƯƠ NG TRÌNH TRONG KÌ THI THPT QU C GIA Ố
Người th c hi n: Lê Th Phự ệ ị ương
Ch c v : Giáo viênứ ụ
SKKN thu c môn: Toánộ
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ Ở Ụ Ạ
TRƯỜNG THPT NÔNG C NG 2Ố
SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ
M T S TH THU T S D NG MÁY TÍNH C M TAY Ộ Ố Ủ Ậ Ử Ụ Ầ CASIO Đ Đ NH H Ể Ị ƯỚ NG NHANH CÁCH GI I CÁC BÀI Ả TOÁN H PH Ệ ƯƠ NG TRÌNH TRONG KÌ THI THPT QU C Ố
GIA
Người th c hi n: Lê Th Phự ệ ị ương
Ch c v : Giáo viênứ ụ
SKKN thu c môn: Toánộ
Trang 2
M C L CỤ Ụ
M Đ UỞ Ầ
3
Lí do ch n đ tài.ọ ề
3
M c đích nghiên c u.ụ ứ
3
Đ i tố ượng nghiên c u.ứ
4
Phương pháp nghiên c u.ứ
4
N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI MỘ Ế Ệ
4
C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m.ơ ở ậ ủ ế ệ
4
Th c tr ng v n đ trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.ụ ế ệ
4 Các sáng ki n kinh nghi m đã s d ng đ gi i quy t v n đ ế ệ ử ụ ể ả ế ấ ề
5
M t s th thu t Casio h tr gi i h phộ ố ủ ậ ỗ ợ ả ệ ương trình
5
Đ nh hị ướng l i gi i h phờ ả ệ ương trình nh th thu t Casio.ờ ủ ậ
12
Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáo d c, v i b n ệ ả ủ ế ệ ố ớ ạ ộ ụ ớ ả thân, đ ng nghi p và nhà trồ ệ ường
18
Hi u qu đ i v i ho t đ ng giáo d cệ ả ố ớ ạ ộ ụ
18
Hi u qu đ i v i b n thânệ ả ố ớ ả
18
Hi u qu đ i v i đ ng nghi p và nhà trệ ả ố ớ ồ ệ ường
18
K T LU N, KI N NGHẾ Ậ Ế Ị
18
K t lu n.ế ậ
18
Ki n ngh ế ị
19 TÀI LI U THAM KH OỆ Ả
20
Trang 3M Đ UỞ Ầ
Lí do ch n đ tài.ọ ề
H phệ ương trình là m t chuyên đ r t quan tr ng trong h th ng ki nộ ề ấ ọ ệ ố ế
th c chứ ương trình môn Toán THPT nói chung và trong chương trình môn Toán
l p 10 nói riêng. Trớ ước đây trong h u h t các đ thi đ i h c, cao đ ng đ u cóầ ế ề ạ ọ ẳ ề câu H phệ ương trình. T năm 2015 đ n nay, H phừ ế ệ ương trình là m t trong baộ câu phân lo i h c sinh gi i trong đ thi THPT Qu c Gia.ạ ọ ỏ ề ố
Trong quá trình gi ng d y, tôi nh n th y h c sinh r t ng i h c chuyênả ạ ậ ấ ọ ấ ạ ọ
đ h phề ệ ương trình vì các em cho r ng có quá nhi u phằ ề ương pháp gi i hả ệ
phương trình và r t khó đ nh hấ ị ướng chính xác phương pháp gi i cho m i bài.ả ỗ
Đ gi i quy t t t bài toán h phể ả ế ố ệ ương trình h c sinh không nh ng ch c nọ ữ ỉ ầ
n m v ng ki n th c v các phắ ữ ế ứ ề ương pháp gi i h phả ệ ương trình mà còn ph iả
có đ u óc phân tích nh y bén đ đ nh hầ ạ ể ị ướng đúng phương pháp gi i. Chính vìả
th mà đa s h c sinh h c y u chuyên đ này, v ph n giáo viên cũng g pế ố ọ ọ ế ề ề ầ ặ không ít khó khăn khi truy n đ t n i dung ki n th c. ề ạ ộ ế ứ
Hi n nay, máy tính c m tay Casio đã tr nên vô cùng quen thu c và h uệ ầ ở ộ ữ
d ng đ i v i h c sinh ph thông trong gi i toán. Trong SGK hi n hành cũngụ ố ớ ọ ổ ả ệ
l ng ghép r t nhi u bài th c hành gi i thi u cách s d ng máy tính c m tayồ ấ ề ự ớ ệ ử ụ ầ Casio. V i t tớ ư ưởng d y h c sinh không ch d y ki n th c cho các em mà cònạ ọ ỉ ạ ế ứ
c n ph i d y c kh năng v n d ng, kh năng k t n i các môn khoa h c,ầ ả ạ ả ả ậ ụ ả ế ố ọ
b ng nh ng kinh nghi m gi ng d y c a cá nhân mình tôi đã đ a ra m t sằ ữ ệ ả ạ ủ ư ộ ố
th thu t s d ng máy tính c m tay Casio nh m h tr đ nh hủ ậ ử ụ ầ ằ ỗ ợ ị ướng nhanh chóng và chính xác l i gi i cho bài toán h phờ ả ệ ương trình. Hy v ng tài li u nhọ ệ ỏ này s tháo g đẽ ỡ ược nh ng vữ ướng m c, khó khăn mà h c sinh thắ ọ ường hay
g p ph i v i mong mu n nâng d n ch t lặ ả ớ ố ầ ấ ượng d y và h c.ạ ọ
M c đích nghiên c u.ụ ứ
Xu t phát t th c t kì thi THPT Qu c gia, v i các em h c sinh sấ ừ ự ế ố ớ ọ ử
d ng k t qu môn Toán đ xét tuy n đ i h c, thì s c nh tranh ch y u di nụ ế ả ể ể ạ ọ ự ạ ủ ế ễ
ra b ba câu phân lo i. M t trong b ba câu này thở ộ ạ ộ ộ ường r i vào ch đ Hơ ủ ề ệ
phương trình v i tr ng s 1 đi m. Tôi đã vi t tài li u: ớ ọ ố ể ế ệ “M t s th thu t s ộ ố ủ ậ ử
d ng máy tính c m tay Casio đ đ nh h ụ ầ ể ị ướ ng nhanh cách gi i các bài toán h ả ệ
ph ươ ng trình trong kì thi THPT Qu c Gia” ố nh m m c đích cung c p thêm choằ ụ ấ các em h c sinh m t tài li u tham kh o h u ích, m t vũ khí đ c l c, kim chọ ộ ệ ả ữ ộ ắ ự ỉ nam mang tính ch t đ nh hấ ị ướng đ rút ng n con để ắ ường đi tìm l i gi i hờ ả ệ
phương trình
Ngoài ra, tác gi vi t tài li u này còn mong ch nó s là m t tài li uả ế ệ ờ ẽ ộ ệ hay được b n bè, đ ng nghi p đón nh n, đánh giá cao, s d ng làm tài li uạ ồ ệ ậ ử ụ ệ trong quá trình gi ng d y, b i dả ạ ồ ưỡng h c sinh.ọ
Trang 4Đ i tố ượng nghiên c u.ứ
Đ i tố ượng nghiên c u trong đ tài này là các th thu t c a máy tínhứ ề ủ ậ ủ
c m tay Casio giúp đ nh hầ ị ướng nhanh l i gi i h phờ ả ệ ương trình
Phương pháp nghiên c u.ứ
B ng cách s u t m các tài li u, nghiên c u và phân lo i chúng, k t h pằ ư ầ ệ ứ ạ ế ợ
v i ki n th c và kinh nghi m c a b n thân và nh ng trao đ i v i b n bè,ớ ế ứ ệ ủ ả ữ ổ ớ ạ
đ ng nghi p tôi đã h th ng hóa nên tài li u ồ ệ ệ ố ệ “M t s th thu t s d ng máy ộ ố ủ ậ ử ụ tính c m tay Casio đ đ nh h ầ ể ị ướ ng nhanh cách gi i các bài toán h ph ả ệ ươ ng trình trong kì thi THPT Qu c Gia” ố
C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m.ơ ở ậ ủ ế ệ
C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m này chính là nh ng ki n th cơ ở ậ ủ ế ệ ữ ế ứ
c b n v h phơ ả ề ệ ương trình. Đ tránh dài dòng thì tôi không nh c l i cácể ắ ạ
phương pháp gi i h phả ệ ương trình n a.ữ
Th c tr ng v n đ trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.ụ ế ệ
Khi làm bài t p toán nói chung, bài t p H phậ ậ ệ ương trình nói riêng, h cọ sinh thường t tìm tòi, v n d ng các k t qu ph n lý thuy t đ gi i quy t,ự ậ ụ ế ả ở ầ ế ể ả ế
nhiên, nhi u h c sinh nh n đ nh ch a t t d n đ n vi c m t phề ọ ậ ị ư ố ẫ ế ệ ấ ương hướng,
m t nhi u th i gian, s d ng gi thi t không tri t đ và l i gi i thì dài dòng,ấ ề ờ ử ụ ả ế ệ ể ờ ả
ph c t p. ứ ạ
Khó khăn khi đ nh hị ướng l i gi i m t bài h phờ ả ộ ệ ương trình là ph i nh nả ậ
đ nh đị ược m i liên h đ n gi n gi a các n. Đa s h c sinh c m th y khóố ệ ơ ả ữ ẩ ố ọ ả ấ khăn khi đi tìm m i liên h này và t đó ng i h c r i h c kém chuyên đ Hố ệ ừ ạ ọ ồ ọ ề ệ
phương trình
Là m t giáo viên yêu ngh , thộ ề ương trò, th c tr ng này đã làm cho tôiự ạ trăn tr , hao tâm t n s c không ít. Sau m t th i gian tìm tòi, nghiên c u tàiở ố ứ ộ ờ ứ
li u, trao đ i v i b n bè, đ ng nghi p v m i b n tâm này tôi đã hoàn thànhệ ổ ớ ạ ồ ệ ề ố ậ sáng ki n kinh nghi m: ế ệ “M t s th thu t s d ng máy tính c m tay Casio ộ ố ủ ậ ử ụ ầ
đ đ nh h ể ị ướ ng nhanh cách gi i các bài toán h ph ả ệ ươ ng trình trong kì thi THPT Qu c Gia” ố
S có ngẽ ười cho r ng vi c s d ng máy tính s làm h ng t duy c aằ ệ ử ụ ẽ ỏ ư ủ
h c trò. Tuy nhiên đ gi i đọ ể ả ược h phệ ương trình không ph i ch c n thànhả ỉ ầ
th c các th thu t Casio là xong mà còn c n k t h p v i v n ki n th c toánụ ủ ậ ầ ế ợ ớ ố ế ứ
h c tọ ương đ i t t. Kĩ thu t Casio ch là gi i pháp nh m đ nh hố ố ậ ỉ ả ằ ị ướng nhanh l iờ
gi i đ tìm ra nh ng phả ể ữ ương pháp ng n g n, nh m đ n t i u hóa quá trìnhắ ọ ắ ế ố ư
gi i toán.ả
Trang 5Các sáng ki n kinh nghi m đã s d ng đ gi i quy t v n đ ế ệ ử ụ ể ả ế ấ ề
M t s th thu t Casio h tr gi i h phộ ố ủ ậ ỗ ợ ả ệ ương trình
Chu n bẩ ị: Máy tính Casio fx570ES PLUS, fx570VN PLUS.
Th thu t rút g n bi u th c m t n (th thu t 1) ủ ậ ọ ể ứ ộ ẩ ủ ậ
Ý tưởng: Làm sao đ rút g n nhanh chóng, chính xác bi u th c này mà khôngể ọ ể ứ
t n th i gian c m bút nháp?ố ờ ầ
Ta s xét bi u th c khi ẽ ể ứ x 1000= D a vào ch s hàng đ n v , hàngự ữ ố ơ ị nghìn, hàng tri u, hàng t , … ta s tìm đệ ỉ ẽ ược h s t do, h s x, h s ệ ố ự ệ ố ệ ố x , …2
Ví d xét: ụ f x( )=ax3+bx2 +cx+d thì f (1000) =a b c00 00 00d 10 a Suy ra 9
9
1000
a
10
f
Làm th nào đ tính nhanh giá tr bi u th c khi ế ể ị ể ứ x 1000= Ta s dùngẽ phím CALC, cho x 1000= và n “=” thì máy s hi n th k t qu c a bi uấ ẽ ể ị ế ả ủ ể
th c khi ứ x 1000=
Đ hi u rõ h n ta hãy xem cách làm ví d 1 trên:ể ể ơ ụ ở
Th c hi n:ự ệ
Bước 1: Nh p bi u th c vào máy.ậ ể ứ
Bước 2: Tính giá tr c a ị ủ f (1000) b ng cách b m l n lằ ấ ầ ượt: “CALC” “1000”
“=”
Máy hi n th : ể ị −9.9410992 1011.
V y ậ f (1000) = −9.9410992 1011 −1012 = −x4
Bước 3: Tính giá tr c a ị ủ f (1000) +x4 b ng cách quay l i màn hình nh p bi uằ ạ ậ ể
th c ứ f X( ) + X4. B m ti p: “CALC” “1000” “=”. Máy hi n th : 5989007998.ấ ế ể ị
V y ậ f (1000) +x4 =5989007998 6.109 =6x3
Hoàn toàn tương t ta tính đự ược:
(1000) 4 6x3
(1000) 4 6x3 11x2
(1000) 4 6x3 11x2 8x
V y ậ f x( ) = − +x4 6x3−11x2+8x−2
Th thu t tìm nghi m c a ph ủ ậ ệ ủ ươ ng trình (th thu t 2) ủ ậ
Ví d 2:ụ Gi i phả ương trình: 2x 1− +x2−3x+1 0=
(Đ thi đ i h c kh i D năm 2006) ề ạ ọ ố
Trang 6Ý tưởng : Thông thường v i d ng toán này ta s bình phớ ạ ẽ ương ho c đ t nặ ặ ẩ
đ đ a v phể ư ề ương trình b c 4. đây ta làm theo hậ Ở ướng bình phương hai v :ế
Đi u ki n xác đ nh: ề ệ ị 1;
2
x ��� +���
2
Câu h i đ t ra là làm sao đ tìm các nghi m c a phỏ ặ ể ệ ủ ương trình này? Câu
tr l i là ta dùng phím SOLVE đ tìm nghi m, nh ng trong m t s trả ờ ể ệ ư ộ ố ườ ng
h p phím SOLVE cho ta đúng m t nghi m c a bài toán. V y v i bài toán cóợ ộ ệ ủ ậ ớ nhi u nghi m thì sao? Làm sao đ bi t bài toán có m t nghi m duy nh t?ề ệ ể ế ộ ệ ấ
Th c hi n : ự ệ
Bước 1: Nh p bi u th c vào máy.ậ ể ứ
Bước 2: Tìm nghi m c a phệ ủ ương trình ( )1 b ng cách b m ti p: “SHIFT”ằ ấ ế
“SOLVE” “0” “=”
K t qu : ế ả x =0.5857864376
Ta có th nh p 1 = ho c 10 = ho c 10 = ho c ể ậ ặ ặ ặ 1
10= ho c ặ
1 10
− = ho c chặ ỉ
nh p = thôi cũng đậ ược. N u nh p 1 = thì k t qu là ế ậ ế ả x=1. N u nh p 10 = thìế ậ
k t qu là: ế ả x=3,414213562(đây là 1 nghi m khác c a phệ ủ ương trình). N uế
nh p 10 = thì k t qu là ậ ế ả x=0.5857864376(gi ng nghi m khi nh p 0 =). ố ệ ậ Ở đây 0 hay 10 hay 10 là các giá tr kh i t o đ máy dò nghi m xung quanh giáị ở ạ ể ệ
tr đó.ị
K t qu :ế ả Ph ng trình ươ ( )1 có các nghi m là: ệ x =0.5857864376; x=1; 3,414213562
x = T đó thay vào phừ ương trình ban đ u lo i đi nghi mầ ạ ệ 3,414213562
Th thu t phân tích đa th c thành nhân t (th thu t 3) ủ ậ ứ ử ủ ậ
Ví d 3: ụ Phân tích đa th c thành nhân t :ứ ử
Ý tưởng: ví d 2 trên ta đã dò đỞ ụ ở ược m t nghi m c a phộ ệ ủ ương trình
th c A thành nhân t mà trong đó có m t nhân t làứ ử ộ ử ( x−1)
Th c hi n:ự ệ
Ta dùng th thu t 1 đ rút g n bi u th c ủ ậ ể ọ ể ứ f x( ) x4 6x3 11x1 2 8x 2
x
=
Bước 1: Nh p bi u th c. ậ ể ứ
Bước 2: Tính f (1000) : “CALC” “1000” “=” ra k t qu ế ả −995005998
Trang 7Bước 3: Tính f (1000) +x3: b m phím mũi tên sang trái nh p ti p ấ ậ ế +x3 vào để
1
x
“=” ra k t qu : 4994002ế ả 5.106 =5x2
Tương t ta tính đự ược: f (1000) + −x3 5x2= −5998 −6.103 = −6x
(1000) 3 5x2 6x
( ) x4 6x3 11x1 2 8x 2
f x
x
=
Phương trình f x( ) =0 là phương trình b c 3 nên ta có th th c hi n nh sauậ ể ự ệ ư
đ gi i: b m l n lể ả ấ ầ ượt “MODE” “5” “4”. Nh p ậ a= −1 ; b=5 ;c= −6 ;d 2=
được x1=3,414213562; x2 =1; x3 =0.5857864376. V y ậ f x có th phân( ) ể tích thành nhân t mà trong đó có m t nhân t là ử ộ ử (x−1)
Dùng th thu t 1 đ rút g n : ủ ậ ể ọ g x( ) f x( )1 x3 5x2 16x 2
Th thu t chia bi u th c m t bi n có ch a căn (th thu t 4) ủ ậ ể ứ ộ ế ứ ủ ậ
Tr ườ ng h p bi u th c có m t căn ợ ể ứ ộ
2
2x 1 1
x
f x
x
=
Phân tích: f x( ) =(ax b c+ + 2x 1− ) ho c ặ f x( ) =(ax b+ +(cx d+ ) 2x 1− )
Xác đ nh ch có căn th c: ị ỉ ứ 2x 1− Ch n x sao cho ọ 2x 1− không nguyên.
Ch n đọ ượ x 2c = , x 3=
Nh p bi u th c r i “CALC” v i ậ ể ứ ồ ớ x 2= được k t qu : ế ả 2− 3. Ti p t cế ụ
“CALC” v i ớ x 3= được k t qu : ế ả 3− 5. Nh n th y h s c a căn đ u làậ ấ ệ ố ủ ề −1
v y ậ f x( ) =(ax b c+ + 2x 1− ) v i ớ c= −1
Quay l i bi u th c, đ tìm a ta s a bi u th c thànhạ ể ứ ể ử ể ứ
2
2x 1 1
x
r i “CALC” v i x th t to: ồ ớ ậ x 1000= ra k tế
qu là 1. V y ả ậ a 1=
Trang 8Quay l i bi u th c, s a bi u th c thành ạ ể ứ ử ể ứ ( )
2
2x 1 1
x
“CALC” v i x tùy ý: ớ x 2= ra k t qu là 0. V y ế ả ậ b=0
K t qu làế ả f x( ) = −(x 2x 1− )
Tr ườ ng h p bi u th c có nhi u căn ợ ể ứ ề
Ví d 5:ụ Th c hi n phép chia sau: ự ệ
f x
=
Phân tích: Tìm x sao cho x+1 không nguyên còn x−1 nguyên. Ta có thể
ch n ọ x=2, x=5
Nh p bi u th c r i “CALC” v i ậ ể ứ ồ ớ x=2 được k t qu là: ế ả 1 3 3+ Ti p t cế ụ
“CALC” v i ớ x=5 được k t qu là: ế ả − +1 3 6. V y h s c a ậ ệ ố ủ x+1 trong
thương là 3
Tìm x sao cho x+1 nguyên còn x−1 không nguyên. Ta có th ch n ể ọ x=3, 8
x =
Quay l i bi u th c, s a thành ạ ể ứ ử f x( ) −3 x+1 r i “CALC” v i ồ ớ x=3 được k tế
qu là: ả 3 2 2− Ti p t c “CALC” v i ế ụ ớ x=8 được k t qu là: ế ả 3 2 7− V yậ
h s c a ệ ố ủ x−1 trong thương là −2
Quay l i bi u th c, s a thành ạ ể ứ ử f x( ) −3 x+ +1 2 x−1 r i CALC v i x th tồ ớ ậ
l n: ớ x =10000 được k t qu là: 3.ế ả
V y thậ ương c a phép chia là: ủ 3 x+ −1 2 x− +1 3
f x
=
Th thu t phân tích ph ủ ậ ươ ng trình vô t m t n thành nhân t (th thu t ỷ ộ ẩ ử ủ ậ 5) .
Tr ườ ng h p ph ợ ươ ng trình có m t căn ộ
Quay tr l i ở ạ Ví d 2:ụ Gi i phả ương trình: 2x 1− + x2 −3x+1 0=
(Đ thi đ i h c kh i D năm 2006) ề ạ ọ ố
Phân tích:
Đi u ki n : ề ệ 22 1 0
3x 1 0
x x
−
1 2
x
x
+
�
Trang 9Nh p tr c ti p phậ ự ế ương trình và gi i b ng “SHIFT” “SOLVE” ch thu đả ằ ỉ ượ c nghi mệ x 1=
Trong trường h p này ta mong mu n gi i phợ ố ả ương trình 2x 1− + x2 −3x+1 0=
b ng cách phân tích nó thành nhân t ằ ử
2x 1− +x −3x+1= a x b c+ + 2x 1− a x b+ +c 2x 1−
V y nhân t có d ng chung ậ ử ạ (ax b c+ + 2x 1− ) hay (ax c+ 2x 1− = −) b
Ý tưởng là ch n l n lọ ầ ượt các giá tr c nguyên, dùng TABLE dò a nguyên saoị cho b cũng nguyên là được
Tuy nhiên dùng cách này ta mong mu n ph i có 1 nghi m x u (khôngố ả ệ ấ nguyên). Nh ng gi i tr c ti p phư ả ự ế ương trình b ng SHIFT SOLVE l i khôngằ ạ thu được nghi m nào x u c Ta th đi tìm nghi m ngo i lai b ng cách đ iệ ấ ả ử ệ ạ ằ ổ
d u trấ ước căn: gi i phả ương trình − 2x 1− + x2 −3x+1 0= Ra m t nghi mộ ệ
x u là ấ 3.414213562 , l u nghi m này là A.ư ệ
Th c hi n :ự ệ Trước h t ch n ế ọ c=1 nh p vào MODE TABLE bi u th cậ ể ứ
f X =XA+ − (X là đ dò, A là bi n ch a nghi m đã gi i để ế ứ ệ ả ược) Kho ng ch y khuyên dùng là ả ạ [−14;14] v i ớ Step 1=
Nh n đậ ược f ( )− = −1 1 là đ p. Suy ra ẹ a= −1 ; b=1. V y xu t hi n m t nhânậ ấ ệ ộ
t là ử (− +x 2x 1 1− + ) ? Nên nh ta v a đ i d u trớ ừ ổ ấ ước căn nên nhân t c a taử ủ
ph i là: ả (− −x 2x 1 1− + ) = − +( x 2x 1 1− − )
S d ng k t qu c a Ví d 4 trong th thu t 4 ta thu đử ụ ế ả ủ ụ ủ ậ ược k t qu là:ế ả
2
2x 1− +x −3x+1= +x 2x 1 1− − x− 2x1
K t qu :ế ả 2x 1− + x2 −3x+1= +(x 2x 1 1− − )(x− 2x1)
Tr ườ ng h p ph ợ ươ ng trình có nhi u căn ề
Ví d 6:ụ Phân tích thành nhân tử
2
7x 2 6+ + x+ −1 8 x− −1 8 x −1 Phân tích: Đi u ki n: ề ệ x 1
Nh p bi u th c r i SHIFT SOLVE v i ậ ể ứ ồ ớ x 10= ra k t qu ế ả 3.398111694 L uư nghi m này vào A. Ti p t c gi i v i các giá tr kh i t o khác đ u cho taệ ế ụ ả ớ ị ở ạ ề nghi m A.ệ
Tìm thêm m t nghi m ngo i lai b ng cách đ i d u trộ ệ ạ ằ ổ ấ ước các căn x+1, 1
x− và không đ i d u trổ ấ ước căn x2−1, ta có phương trình m iớ
2
7x 2 6+ − x+ +1 8 x− −1 8 x − =1 0. Nh p bi u th c r i SHIFT SOLVEậ ể ứ ồ
Trang 10v i ớ x 10= ra k t qu ế ả 1.046332751. L u nghi m này vào B. Ti p t c gi i v iư ệ ế ụ ả ớ các giá tr kh i t o khác đ u cho ta nghi m B.ị ở ạ ề ệ
9
4
B= và A B> T đó tìm đừ ược 20 4 7
9
3
1
3
Th c hi n phép chia ự ệ f x( ) 7x 2 6 x 1 21 8 x 1 11 8 x2 1
=
c a ví d 5 ta đủ ụ ược k t qu :ế ả 7x 2 6+ + x+ −1 8 x− −1 8 x2−1
Th thu t phân tích bi u th c hai n thành nhân t (th thu t 6) ủ ậ ể ứ ẩ ử ủ ậ
Ví d 7:ụ Phân tích thành nhân t bi u th cử ể ứ
2x3 −x y x2 + 2 + y2 −2xy y−
Ý tưởng: Đa ph n các bi u th c hai n có d ng phầ ể ứ ẩ ạ ương trình b c 2, b c 3ậ ậ theo n x ho c y có th phân tích thành nhân t đẩ ặ ể ử ược nh tính năng gi iờ ả
phương trình b c 2, b c 3 trong MODE EQNậ ậ
Th c hi n:ự ệ Gán y =1000 b ng cách b m “1000” “SHIFT” “STO” “ALPHA”ằ ấ
“Y”. Vào tính năng gi i phả ương trình b c 3 b ng cách MODE EQN 4. L nậ ằ ầ
lượt nh p h s c a phậ ệ ố ủ ương trình b c 3: ậ a=2, b= − −( y 1) , c= −2y,
2
2x −999x −2000x+999000 0= Máy tr v các nghi m: ả ề ệ 1 999
; 2
y−
= nên ta đượ 2xc − +y 1 là nhân t c a bài toán.ử ủ
Th c hi n phép chia đa th c 2 n b ng cách dùng gi i h n:ự ệ ứ ẩ ằ ớ ạ
( ) 2x3 x y x2 2x 2 y21 2xy y
f x
y
=
− +
Nh n th y ậ ấ f x là m t tam th c b c hai nên ( ) ộ ứ ậ f x( ) =ax2 +bx+c v i: ớ
2
−
V y ta đậ ược f x( ) 2x3 x y x2 2x 2 y21 2xy y
y
=