Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các tính chất hình học để tìm lời giải cho một số bài toán tọa độ trong mặt phẳng (chương III hình học 10)

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm thông qua đề tài phát huy khả năng tự tìm lời giải cho các bài tập liên quan đến các kiến thức ở chương III hình học lớp 10, phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo cho học sinh.

S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HÓAỞ Ụ Ạ

TR ƯỜ NG THPT TRI U S N 4 Ệ Ơ

SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ

PHÁT TRI N NĂNG L C T  DUY CHO H C SINH Ể Ự Ư Ọ   THÔNG QUA VI C KHAI THÁC CÁC TÍNH CH T HÌNH Ệ Ấ  

H C  Ọ Đ  TÌM L I GI I CHO M T S  BÀI  Ể Ờ Ả Ộ Ố TOÁN T A Ọ  

Đ  TRONG M T PH NG Ộ Ặ Ẳ  (CH ƯƠ NG III HÌNH H C 10) Ọ

Người th c hi n: Lê Th  Hự ệ ị ương

Ch c v : Giáo viênứ ụ

SKKN môn: Toán

2.4. Hi u qu  c a sáng ki n ệ ả ủ ế 19

1. M   Đ UỞ Ầ

LÍ DO CH N Đ  TÀIỌ Ề

M t trong nh ng muc tiêu cu thê c a giáo d c phô thông hi n nay là:ộ ữ ̣ ̣ ̉ ủ ụ ̉ ệ  

“T p trung phát tri n trí tu , th  ch t, hình thành ph m ch t, năng l c công ậ ể ệ ể ấ ẩ ấ ự   dân phát hi n và b i d ệ ồ ưỡ ng năng khi u, đ nh h ế ị ướ ng ngh  nghi p cho h c ề ệ ọ   sinh; Phát tri n kh  năng sáng t o, t  h c, khuy n h c t p su t đ i” ể ả ạ ự ọ ế ọ ậ ố ờ  Để 

th c hi n đự ệ ược m c tiêu trên thì vi c phát tri n năng l c t  duy cho h c sinhụ ệ ể ự ư ọ  

có vai trò h t s c quan tr ng. Do đó trong quá trình d y h c nói chung và d yế ứ ọ ạ ọ ạ  

h c môn toán nói riêng ngọ ười giáo viên c n ph i h t s c coi tr ng v n đầ ả ế ứ ọ ấ ề này

Trong chương III hình h c l p 10 có m t ph n r t quan tr ng c a hìnhọ ớ ộ ầ ấ ọ ủ  

h c ph  thông đó là phọ ổ ương pháp t a đ  trong m t ph ng, đây là ph n ti pọ ộ ặ ẳ ầ ế  

n i c a hình h c ph ng   c p THCS nh ng đố ủ ọ ẳ ở ấ ư ược nhìn dưới quan đi m đ iể ạ  

s  và gi i tích. Nh  v y m i bài toán hình h c t a đ  trong m t ph ng đ uố ả ư ậ ỗ ọ ọ ộ ặ ẳ ề  mang b n ch t c a m t bài toán hình h c ph ng nào đó, khi gi i các d ng bàiả ấ ủ ộ ọ ẳ ả ạ  

t p này thì kh  năng t  duy c a h c sinh đậ ả ư ủ ọ ược nâng lên r t nhi u. Tuy nhiênấ ề  khi tìm l i gi i cho các bài toán hình h c t a đ  h c sinh thờ ả ọ ọ ộ ọ ường không chú 

tr ng đ n b n ch t hình h c c a bài toán  y, khi c n gi i quy t bài toán cácọ ế ả ấ ọ ủ ấ ầ ả ế  

em không bi t b t đ u t  đâu, d a vào đâu đ  suy lu n tìm l i gi i. Nguyênế ắ ầ ư ự ể ậ ờ ả  nhân c a v n đ  trên là m t ph n vì h c sinh ng i hình h c ph ng vì c  nghĩủ ấ ề ộ ầ ọ ạ ọ ẳ ứ  hình h c ph ng là khó nên “lọ ẳ ười” t  duy, m t ph n vì giáo viên khi d y cũngư ộ ầ ạ  không chú tr ng khai thác họ ướng d n cho h c sinh,ẫ ọ  ch a phân tích tác kĩ cácư  thao t  duy đ  tìm l i gi i cho các bài toán, các bài t p minh h a cũng đ nư ể ờ ả ậ ọ ơ  

đi u, r i r c, thi u s c h p d n, đi u này không gây đệ ờ ạ ế ứ ấ ẫ ề ược h ng thú h c t pứ ọ ậ  

và s  sáng t o cho các em.ự ạ  D n đ n k t qu  h c t p c a h c sinh còn nhi uẫ ế ế ả ọ ậ ủ ọ ề  

h n ch ạ ế

       Vì v y, th c t  yêu c u ph i trang b  cho h c sinh các phậ ự ế ầ ả ị ọ ương pháp suy lu n gi i toán hình h c t a đ  trong m t ph ng d a trên vi c k t h p cácậ ả ọ ọ ộ ặ ẳ ự ệ ế ợ  tính ch t hình h c mà các em đã có   THCS và các ki n th c mà các em đãấ ọ ở ế ứ  

ti p thu đế ược khi h c ph n phọ ầ ương pháp t a đ  trong m t ph ng nh m kíchọ ộ ặ ẳ ằ  thích kh  năng t  duy sáng t o, tăng cả ư ạ ường h ng thú h c t p c a h c sinh.ứ ọ ậ ủ ọ  

T  đó phát huy kh  năng t  duy tích c c, ch  đ ng gi i quy t v n đ , từ ả ư ự ủ ộ ả ế ấ ề ự mình có th  suy lu n tìm ra phể ậ ương án t i  u đ  gi i quy t các yêu c u màố ư ể ả ế ầ  

m i bài toán đ t ra và hình thành   h c sinh năng l c gi i quy t các tìnhỗ ặ ở ọ ự ả ế  

hu ng th c t   . ố ự ế

T  nh ng lí do trên tôi ch n đ  tài ừ ữ ọ ề “Phát tri n năng l c t  duy cho ể ự ư  

h c sinh thông qua vi c khai thác các tính ch t hình h c đ  tìm l i gi i ọ ệ ấ ọ ể ờ ả   cho m t s  bài toán t a đ  trong m t ph ng (ch ộ ố ọ ộ ặ ẳ ươ ng III hình h c 10)’’ ọ

M C ĐÍCH NGHIÊN C U Ụ Ứ

Thông qua đ  tài phát huy kh  năng t  tìm l i gi i cho các bài t p liênề ả ự ờ ả ậ  quan đ n các ki n th c   chế ế ứ ở ương III hình h c l p 10, phát huy tính tích c c,ọ ớ ự  

ch  đ ng, t  duy sáng t o cho h c sinh .ủ ộ ư ạ ọ

Đ I TỐ ƯỢNG  NGHIÊN C U Ứ

 + Tìm hi u các thao tác t  duy, các bể ư ước suy lu n đ  tìm l i gi i cho m t bàiậ ể ờ ả ộ  toán hình h c t a đ  trong m t ph ng.ọ ọ ộ ặ ẳ

 + Xây d ng và đ nh hự ị ướng khai thác m t s  tính ch t hình h c thu n tuý, k tộ ố ấ ọ ầ ế  

h p v i các ki n th c c a hình h c gi i tích đ  gi i quy t m t s  bài t pợ ớ ế ứ ủ ọ ả ể ả ế ộ ố ậ  

ph n phầ ương pháp t a đ  trong m t ph ng.ọ ộ ặ ẳ

 + Th c nghi m s  ph m nh m đánh giá tính kh  thi và hi u qu  c a đ  tài.ự ệ ư ạ ằ ả ệ ả ủ ề

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C UỨ

 + Phương pháp nghiên c u xây d ng c  s  lí thuy t.ứ ự ơ ở ế

 + Phương pháp nghiên c u đi u tra kh o sát th c t , thu th p thông tin.ứ ề ả ự ế ậ

 + Phương pháp th ng kê, x  lí s  li u.ố ử ố ệ

2. N I DUNGỘ  SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ

2.1 C  s  lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m ơ ở ậ ủ ế ệ

       Trong h c t p môn Toán thì ho t đ ng ch  đ o và thọ ậ ạ ộ ủ ạ ường xuyên c a h củ ọ  sinh là ho t đ ng t  duy gi i bài t p, thông qua đó hình thành k  năng, k  x oạ ộ ư ả ậ ỹ ỹ ả  

đ ng th i rèn luy n phát tri n trí tu  Vì v y, nó đồ ờ ệ ể ệ ậ ược quan tâm nhi u trongề  

d y h c. Vi c hạ ọ ệ ướng d n cho h c sinh t  h c, t  nghiên c u, bi n quá trìnhẫ ọ ự ọ ự ứ ế  đào t o thành quá trình t  đào t o là m t v n đ  c n thi t. Đ i v i môn toánạ ự ạ ộ ấ ề ầ ế ố ớ  

vi c rèn luy n kh  năng t  duy trìu tệ ệ ả ư ượng, t  duy logic, kh  năng phân tíchư ả  

t ng h p, d  đoán, tổ ợ ự ương t  hóa, khái quát hóa, bi t liên h , xâu chu i ki nự ế ệ ỗ ế  

th c s  góp ph n quy t đ nh trong vi c tìm ra l i gi i c a m t bài t p hìnhứ ẽ ầ ế ị ệ ờ ả ủ ộ ậ  

h c nói chung và các bài t p ph n phọ ậ ầ ương pháp t a đ  trong m t ph ng nóiọ ộ ặ ẳ  riêng. Do đó trong quá trình hướng d n h c sinh làm bài t p giáo viên c nẫ ọ ậ ầ  quan tâm đ n v n đ   phát huy kh  năng t  duy đ c l p, đ nh hế ấ ề ả ư ộ ậ ị ướng tìm l iờ  

gi i cho m i bài toán đ ng th i t o đi u ki n thu n l i đ  phát huy tính tíchả ỗ ồ ờ ạ ề ệ ậ ợ ể  

c c, t  duy sáng t o cho các em.  ự ư ạ

       Các d ng bài t p ph n t a đ  trong m t ph ng r t phong phú, nhi u bàiạ ậ ầ ọ ộ ặ ẳ ấ ề  toán hay, xâu chu i đỗ ược nhi u m ng ki n th c, có nhi u v n đ  đ  h c sinhề ả ế ứ ề ấ ề ể ọ  khai thác. Do v y khi d y h c ph n này giáo viên c n l u ý t o đi u ki n đậ ạ ọ ầ ầ ư ạ ề ệ ể 

h c sinh phát huy tính tích c c, ch  đ ng, kh  năng t  duy đ  có th  t  mìnhọ ự ủ ộ ả ư ể ể ự  tìm l i gi i cho các bài t p. T  đó phát huy   các em tính đ c l p, t  ch , khờ ả ậ ừ ở ộ ậ ự ủ ả năng gi i quy t các tình hu ng mà th c t  mà mình g p trong cu c s ng.ả ế ố ự ế ặ ộ ố

2.2. Th c tr ng c a v n đ  tr ự ạ ủ ấ ề ướ c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m ụ ế ệ

Khi d y xong chạ ương III hình h c 10 phọ ương pháp t a đ  trong m tọ ộ ặ  

ph ng tôi th y đa s  h c sinh m i ch  làm đẳ ấ ố ọ ớ ỉ ược m t s  d ng bài t p đ nộ ố ạ ậ ơ  

gi n; còn nh ng bài t p mang tính suy lu n, đòi h i kh  năng v n d ng caoả ữ ậ ậ ỏ ả ậ ụ  thì các em không t  mình tìm đự ượ ờc l i gi i m c dù trả ặ ước đó khi  giáo viên 

ti n hành gi ng d y các ti t ch a bài t p các em t  ra khá hi u bài. Trong khiế ả ạ ế ữ ậ ỏ ể  

đó, các bài toán liên quan đ n ph n này   các đ  thi đ i h c, trung h c phế ầ ở ề ạ ọ ọ ổ thông qu c gia, các đ  thi h c sinh gi i trong nh ng năm g n đây l i đòi h iố ề ọ ỏ ữ ầ ạ ỏ  tính suy lu n cao. Đ  gi i đậ ể ả ược nh ng bài toán này h c sinh không ch  ph iữ ọ ỉ ả  

n m đắ ược các ki n th c c a hình h c gi i tích mà còn ph i phát hi n raế ứ ủ ọ ả ả ệ  

“đi m nút” c a bài toán đó là các tính ch t hình h c thu n túy   trung h c cể ủ ấ ọ ầ ở ọ ơ 

s    n ch a trong m i bài toán. Đi u này d n đ n k t qu  làm bài c a h cở ẩ ứ ỗ ề ẫ ế ế ả ủ ọ  sinh ch a đư ược nh  mong mu n.ư ố

Khi d y các d ng bài t p ph n này, m t th c t  thạ ạ ậ ầ ộ ự ế ường x y ra là nhi uả ề  giáo viên đi theo l i mòn nh : Nêu d ng toán, phố ư ạ ương pháp gi i ch  ch aả ứ ư  phân tích cho h c sinh th y đọ ấ ược trong bài toán t i sao l i ph i đi tìm to  đạ ạ ả ạ ộ 

đi m này trể ước, đi m kia sau,  u tiên để ư ường này trước, đường kia sau, tính 

đ  dài các đo n th ng , tính các góc đ  làm gì? T i sao l i k  thêm độ ạ ẳ ể ạ ạ ẻ ườ  ng

th ng này, k  v i m c đích gì? S  dĩ có th c tr ng trên là vì giáo viên ch aẳ ẻ ớ ụ ở ự ạ ư  

ch u th c hi n đ i m i phị ự ệ ổ ớ ương pháp d y h c ho c bi t nh ng ng i áp d ng,ạ ọ ặ ế ư ạ ụ  thi u kiên nh n phân tích, gi i thích cho h c sinh. Đi u này làm h n ch  khế ẫ ả ọ ề ạ ế ả năng t  duy, ni m đam mê, h ng thú h c t p c a các em. Theo tôi vi c phânư ề ứ ọ ậ ủ ệ  tích, đ nh hị ướng cho h c sinh cách ti p c n m t bài hình h c là r t c n thi t,ọ ế ậ ộ ọ ấ ầ ế  đây là công vi c mà ngệ ười giáo viên ph i chú tr ng h n là cung c p cho cácả ọ ơ ấ  

em m t l i gi i khô khanộ ờ ả .

­ K t qu  th c tr ng trên.ế ả ự ạ

        Trong các năm h c 2013­2014; 2014­2015 t  l  h c sinh l p 12 trọ ỉ ệ ọ ớ ườ  ngTHPT Tri u S n 4 làm đệ ơ ược câu hình h c t a đ  trong m t ph ng  khi đi đ iọ ọ ộ ặ ẳ ạ  

h c và THPT Qu c Gia không nhi u (đi u đó th  hi n   k t qu  thi, sọ ố ề ề ể ệ ở ế ả ố 

lượng h c sinh đ t đi m tám tr  lên m i đ t kho ng 25% trên t ng s  thíọ ạ ể ở ớ ạ ả ổ ố  sinh d  thi) ự

       Năm h c 2014­ 2015 khi ch a áp d ng sáng ki n vào gi ng d y. Sau khiọ ư ụ ế ả ạ  

d y xong chạ ương III hình h c l p 10 và t  ch c ôn t p, rèn kĩ năng gi i bàiọ ớ ổ ứ ậ ả  

t p trong các ti t d y t  ch n và các bu i d y thêm trong nhà trậ ế ạ ự ọ ổ ạ ường. Tôi cho 

h c sinh l p 10D3 gi i th  m t s  bài t p l y t  đ  thi th  Đ i h c c a m tọ ớ ả ử ộ ố ậ ấ ừ ề ử ạ ọ ủ ộ  

s  trố ường THPT và các đ  thi đ i h c năm 2014 . K t qu  nh  sauề ạ ọ ế ả ư :

T  k t qu  đó, ừ ế ả trong năm h c 2015­ 2016 ọ tôi đã ti n hành đ i m i d yế ổ ớ ạ  

n i dung này t i l p 1ộ ạ ớ 0A3  (l p  ớ 10A3  có ch t lấ ượng tương đương v i  ớ l pớ  10D3)

2.3. Các gi i pháp đã s  d ng đ  gi i quy t v n đ ả ử ụ ể ả ế ấ ề

       T  ch c cho h c sinh hình thành k  năng gi i toán thông qua m t ổ ứ ọ ỹ ả ộ số bu iổ  

h c có s  họ ự ướng d n c a giáo viên. Trong đó yêu c u kh  năng l a ch n l iẫ ủ ầ ả ự ọ ờ  

ch c ki m tra đ  thu th p thông tin v  kh  năng n m v ng ki n th c c a h cứ ể ể ậ ề ả ắ ữ ế ứ ủ ọ  sinh; Cung c p h  th ng các bài t p m  r ng đ  h c sinh t  rèn luy n. N iấ ệ ố ậ ở ộ ể ọ ự ệ ộ  dung c  th  là:ụ ể

  2.3.1: T  ch c cho h c sinh ôn t p c ng c  l i m t s  ki n th c c  b n ổ ứ ọ ậ ủ ố ạ ộ ố ế ứ ơ ả

Trước khi hướng d n h c sinh khai thác các tính ch t hình h c ph ngẫ ọ ấ ọ ẳ  

đ  gi i bài toán phể ả ương pháp t a đ  trong m t ph ng c n t  ch c cho h cọ ộ ặ ẳ ầ ổ ứ ọ  sinh ôn t p l i m t s  tính ch t hình h c c  b n mà các em đã đậ ạ ộ ố ấ ọ ơ ả ược h c ọ ở trung h c c  s  C  th  là tính ch t v  các đọ ơ ở ụ ể ấ ề ường trong tam giác, các tính 

ch t c a đấ ủ ường tròn t  giác n i ti p, tính ch t c a hình thang, hình bình hành,ứ ộ ế ấ ủ  hình ch  nh t, hình thoi, hình vuông; các tính ch t c  b n c a ph n véc tữ ậ ấ ơ ả ủ ầ ơ trong m t ph ng và ph n phặ ẳ ầ ương pháp t a đ  trong m t ph ng.ọ ộ ặ ẳ

 Ti p theo, hế ướng d n h c sinh tìm hi u và ch ng minh m t s  tínhẫ ọ ể ứ ộ ố  

ch t hình h c thu n túy thấ ọ ầ ường được khai thác trong các bài toán phươ  ngpháp t a đ  trong m t ph ng nh m m c đích c ng c , kh c sâu thêm kĩ năngọ ộ ặ ẳ ằ ụ ủ ố ắ  

ch ng minh quan h  vuông góc, quan h  song song, s  b ng nhau c a cácứ ệ ệ ự ằ ủ  

đo n th ng, các góc ạ ẳ  đ ng th i cũng đ  các em có c  s  đ  t  duy, phát hi nồ ờ ể ơ ở ể ư ệ  các tính ch t hình h c  n ch a trong m i bài toán và v n d ng chúng trongấ ọ ẩ ứ ỗ ậ ụ  quá trình tìm gi i. C  th  là m t s  tính ch t sau:ả ụ ể ộ ố ấ

G iọ   ; ; I G H l n l t là tâm đ ng tròn ngo i ti p, tr ng tâm, tr c tâm,ầ ượ ườ ạ ế ọ ự  tâm  đường tròn n i ti p tam giácộ ế  ABC. Ta có các tính ch t sau:ấ

­ Tính ch t 1 ấ :

  Cho tam giác  ABC n i ti p độ ế ường tròn (C),  A  là đi m đ i x ng c a ' ể ố ứ ủ A qua I, 

H ’ là giao đi m th  hai c a ể ứ ủ AH v i  ớ (C). Khi đó ta có các k t qu  sau:ế ả

1.  T  giác ứ BHCA ’ là hình bình hành. 

2.  G i ọ M là trung đi m c a ể ủ BC, ta có uuurAH = 2IMuuur

3.   Ba đi m ể I, G, H th ng hàng và ẳ IHuuur=3IGuur (đ nh lí  le )ị Ơ

4.   H ’  đ i x ng v i ố ứ ớ H qua BC

Ch ng minh ứ

1.  Ta có: ﾷACA' = 90 0 (góc n i ti p ộ ế

ch n n a đắ ử ường tròn)  BH / /AC'

(cùng vuông  góc v iớ AC ).

Tương t  ta cóự HC BA/ / '. T  đó suy ừ

ra t  giác ứ BHCA' là hình bình hành

3. Do G là tr ng tâm c a tam giác ọ ủ

ABC nên  IA IB ICuur uur uur+ + = 3IGuur (1). M là 

trung đi m c aể ủ  BC nên  IB ICur uur+ =2IMuur 

Theo ch ng minh trên ứ uuurAH =2IMuuur

IA IB IC IA AH IH+ + = + =

�uur uur uur uur uuur uuur (2)

T  (1) và (2) ừ �IHuuur=3IGuur 

4. BAHﾷ ' =BCHﾷ  (cùng ph  v i gócụ ớ ﾷABC)

Mà BAHﾷ ' =BCHﾷ ' (hai góc n i ti p cùng ch n cung ộ ế ắ BHﾷ ')

 ﾷBCH BCH= ﾷ ' � ∆HCH'cân t i ạ C nên H ’  đ i x ng v i ố ứ ớ H qua B

­ Tính ch t 2 ấ :

   Cho tam giác ABC. G i  ọ D, E l n lầ ượt là chân các đường cao k  t  đ nh ẻ ừ ỉ B và 

C lên các c nh ạ AB, AC. Các đi m  ể I, H  l n lầ ượt là tâm đường tròn ngo i ti pạ ế  

và tr c tâm c a tam giácự ủ  ABC, K là trung đi m c a ể ủ AH, M là trung  đi m c aể ủ  

5. T  giác ứ AEHD n i ti p độ ế ường tròn đường kính AH �KE KD= Tương t , taự  

có t  giác ứ EDCB n i ti p độ ế ường tròn đường kính BC nên  ME MD=

KM  là trung tr c c a ự ủ ED

6. Cách 1: T  giác ứ BEDC n i ti p nên: ộ ế ﾷABC ADE= ﾷ

Mà ﾷABC AAC=ﾷ ' (hai góc n i ti p cùng ch n cung ộ ế ắ ﾷAC)

  Cách 2 : Qua A k  ti p tuy n ẻ ế ế AJ v i đớ ường tròn. Khi 

đó AJ ⊥ AA' M t khác ặ JAB ACBﾷ = ﾷ (cùng ch n cungắ ﾷAB) 

Mà ﾷAED ACB= ﾷ � ﾷAED JAB= ﾷ AJ DE/ /  T  đó suy ra ừ

K

H

E

D I

C A

B

+ DM  là đường trung tuy n c a tam giác ế ủ DBC nên 

2

BC

DM MB= = � ∆MBD cân t i ạ M �BDM CBDﾷ = ﾷ   KDH BDMﾷ + ﾷ =ﾷBCA DBC+ﾷ = 90 0 � ﾷKDM = 90 0(1)

Tương t  ta có ự KEMﾷ = 90 0(2)

T  (1) và (2) suy ra t  giác ừ ứ EKDM n i ti p độ ế ường tròn đường kính KM  

­ Tính ch t 3: ấ  

       Cho tam giác  ABC  n i ti p độ ế ường tròn  (C)  tâm  I,  D  là giao đi m c aể ủ  

đường phân giác trong góc A v i đớ ường tròn (C). Khi đó ta có các tính ch t :ấ

7.    V i  ớ ∀M AB, M'  là  đi m   đ i   x ng v i  qua  để ố ứ ớ ường  phân  giác  AD  thì 

V i m i ớ ỗ M AB  mà M không trùng v i  ớ A, qua M k  ẻ

đường th ng vuông góc v i đẳ ớ ường phân giácAD c t, ắ  AC 

t i ạ M'  Khi đó AD v a là đừ ường cao v a là đừ ường phân 

giác c a ủ ∆AMM' �AD MM� 't i trung đi m c aạ ể ủ MM'nên

'

M  là đi m đ i x ng v i  ể ố ứ ớ M qua đường th ng ẳ AD

8. D là đi m chính gi a cung ể ữ BC nên  ID BC⊥   

(Tính ch t đấ ư ngờ  kính đi qua đi mể  chính gi aữ  c a cung)ủ

­ Tính ch t 4: ấ  Cho hình chữ nh t  ậ ABCD. Khi đó n u ế MA MC⊥  thì MB MD⊥

Ch ng minh ứ

ABCD là hình ch  nh t nên nó n i ti p đữ ậ ộ ế ường tròn

đường kính AC. Mà  MA MC⊥  nên M cũng thu cộ

đường tròn này. M t khác đặ ường tròn đường kính 

AC cũng chính là đường tròn đường kính DB nên 

M nhìn BD dưới m t góc vuông hay ộ MB MD⊥

­ Tính ch t 5 ấ :  Cho hình vuông  ABCD . G i  ọ M, N l n lầ ượt là trung đi m c aể ủ  các c nh ạ AB, AD. Khi đó  DM ⊥CN

M t bài toán hình h c t a độ ọ ọ ộ ph ng ẳ có th  để ược gi i theo m t trong baả ộ  

hướng chính sau: Gi i hoàn toàn theo quan đi m hình h c gi i tíchả ể ọ ả ; Gi i hoànả  

I M'

D

C B

A M

C D

toàn theo quan đi m hình h c ể ọ thu n túy ầ sau đó áp d ng vào tụ ọ  độ; K t h pa ế ợ  khai thác các y u t  hình h c ph ng ế ố ọ ẳ và hình gi i tích đ  gi i toánả ể ả

         M i hỗ ướng gi i đ u có nh ng  u th  riêng cho t ng bài toán nh ng nóiả ề ữ ư ế ừ ư  chung đ i v i các bài toán v  phố ớ ề ương pháp t a đ  trong m t ph ng trong đọ ộ ặ ẳ ề thi đ i h c và trung h c ph  thông qu c gia nh ng năm g n đây thì gi i theoạ ọ ọ ổ ố ữ ầ ả  

hướng th  ba thứ ường hi u qu  h n c  ệ ả ơ ả

         Quy trình tìm và trình bày l i gi i cho bài toán ờ ả hình h c ọ t a đ  trong m tọ ộ ặ  

ph ng theo hẳ ướng th  ba thứ ường g m các bồ ước sau:

B ướ c 1: V  hình ph ng bi u th  cho bài toán (v  hình càng chính xác càng dẽ ẳ ể ị ẽ ễ quan sát đ  nh n ra “ đi m nút” c a bài toán). ể ậ ể ủ

B ướ c 2: Phân tích bài toán, tìm l i gi i:ờ ả

      Quan sát hình v , xác đ nh gi  thi t và yêu c u c a bài toán; Trên c  sẽ ị ả ế ầ ủ ơ ở các d  ki n c a bài toán phân tích các y u t  hình ph ng c n thi t đ  gi iữ ệ ủ ế ố ẳ ầ ế ể ả  toán. 

­  S p x p các đi m ch a bi t t a đ , các đắ ế ể ư ế ọ ộ ường c n tìm theo th  t  t  nhi uầ ứ ự ừ ề  

gi  thi t đ n ít gi  thi t. Xác đ nh xem nên  u tiên tìm đi m nào? Đả ế ế ả ế ị ư ể ường nào 

trước?

­  Phân tích các đi m, các để ường trên hình v : Liên h  các đi m, các đẽ ệ ể ường đã 

bi t v i nhau; liên h  các đi m, các đế ớ ệ ể ường c n tìm v i các đi m đã bi t t aầ ớ ể ế ọ  

đ  ho c tìm độ ặ ược ngay t a đ  v i các đi m khác, v i các đọ ộ ớ ể ớ ường mà gi  thi tả ế  cho, v i tính ch t các đớ ấ ường, các góc trong tam giác, trong đường tròn, trong 

t  giác (thứ ường là t  giác n i ti p, hình thang, hình bình hành, hình ch  nh t,ứ ộ ế ữ ậ  hình vuông)…đ  d  đoán tính ch t hình h c  n ch a trong bài toán, ti n hànhể ự ấ ọ ẩ ứ ế  

ch ng minh tính ch t đã phát hi n r i d a vào tính ch t  đó đ  gi i quy t bàiứ ấ ệ ồ ự ấ ể ả ế  toán. 

­  L p s  đ  các bậ ơ ồ ước gi i bài toán.ả

­ B ướ c 3: Trình bày l i gi i.ờ ả

Ví d  1: ụ  Trong m t ph ng v i h  t a đ  ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường th ng ẳ BC x y: − − = 4 0, các đi m ể H( ) ( )2;0 , I 3;0  l n lầ ượt là tr c ựtâm và tâm đường tròn ngo i ti p tam giác. Hãy l p phạ ế ậ ương trình c nh ạ AB, 

bi t đi m ế ể B có hoành đ  không l n h n 3.ộ ớ ơ

H ướ ng d n h c sinh tìm l i gi i ẫ ọ ờ ả

Cách 1: 

­ B ướ c 1:  Giáo viên  h ướ ng d n h c sinh v  hình ẫ ọ ẽ

­ B ướ c 2:  Phân tích tìm l i gi i ờ ả

+ Đ u bài đã cho các đi m ầ ể H( ) ( )2;0 , I 3;0 và phương trình

đường th ng ẳ BC nên ta tìm m i liên h  gi a ố ệ ữ H I, và  BC  ta s  liên h  đ n tínhẽ ệ ế  

ch t ấ IM ⊥BC(v i ớ M là trung đi m c a ể ủ BC)   tìm đượ ọc t a đ  đi m ộ ể M.

M H

I

A

+ M c tiêu bài toán là vi t phụ ế ương trình AB nên ta tìm m i liên h  gi a cácố ệ ữ  

đi m ể H I M A B, , , ,  Đã có t a đ  các đi m ọ ộ ể H I M, ,  nên đ  tìm ể A ta liên h  đ nệ ế  tính ch t ấ uuurAH =2uuurIM  tìm đượ ọc t a đ  đi m ộ ể A.

+ Ti p theo ta phân tích các d  ki n liên quan đ n đi m  ế ữ ệ ế ể B,  ta nh n th yậ ấ  

IA IB=   và B BC. T   đó ta tìm đừ ượ ọc t a đ  đi m ộ ể B.

+ Sau khi tìm đượ A, B ta vi t đc  ế ược phương trình AB.

­ B ướ c 3 : Trình bày l i gi i ờ ả

G i ọ M là trung đi m c a ể ủ BC �IM ⊥BC. Đường th ng ẳ IM đi qua I và có véc 

t  pháp tuy n ơ ế nr( )1;1 phương trình đường th ng ẳ IM:   x y+ − = 3 0  t a đ  ọ ộ

x

A y

l n lầ ượt là tr c tâm và tâm đự ường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế

nên ta liên h  ngay đ n tính ch t ba đi m ệ ế ấ ể I, G, H  th ngẳ

hàng và IHuuur= 3IGuur v i ớ G là tr ng tâm c a tam giác ọ ủ ABC.

T  đó tìm đừ ượ ọc t a đi m ể G. Sau khi tìm được đi m ể G, đã

bi t phế ương trình BC m t cách r t t  nhiên ta quan tâmộ ấ ự

đ n trung đi m ế ể M c a  ủ BC, tìm m i quan h  gi a ố ệ ữ M v i các đi m, các đớ ể ườ  ng

đã bi t, nh n th y  ế ậ ấ IM ⊥BC   tìm đượ ọc t a đ  đi m  ộ ể M. M c tiêu c a bàiụ ủ  toán là vi t phế ương trình c nh  ạ AB  nên c n l u ý đ n các đi mầ ư ế ể A B;  Nh nậ  

th y tìm ngay đấ ượ A  d a vào tính ch t  c   ự ấ uuurAG= 2GMuuuur,  ti p theo ta tìm t a đế ọ ộ 

đi m ể B, d a vào các điêu ki n ự ệ B BC IA IB; =  và đi mể  B có hoành đ  khôngộ  

l n h n 3. Khi đã tìm đớ ơ ượ ọc t a đ  ộ A B;  ta d  vi t đễ ế ược phương trình đườ  ng

th ngẳ AB

+ H c sinh t  trình bày l i gi i theo quá trình phân tích   b ọ ự ờ ả ở ướ c 2. 

Nh n xét: ậ  Đi m m u ch t c a bài toán là các tính ch t liên quan đ n ể ấ ố ủ ấ ế  

tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ọ ự ườ ng tròn ngo i ti p tam giác; m i liên h  gi a ạ ế ố ệ ữ  

đ ườ ng kính và dây cung c a đ ủ ườ ng tròn  Cũng v i m i liên h  đó khi thay ớ ố ệ  

đ i m t s  gi  thi t c a bài toán ta s  đ ổ ộ ố ả ế ủ ẽ ượ c nh ng bài t p m i ữ ậ ớ

G H M I A

B

C D

M

C B

A

A'

Ví d  2 ụ : Trong m t ph ng v i h  t a đ  ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho tam giác ABC có A( ­2;­1), 

tr c tâm  ự H (2; 1),  BC = 2 5. Hãy l p phậ ương trình đường th ng  ẳ BC   bi tế  trung 

 đi m ể M c a  ủ BC n m trên đằ ường th ng ẳ d: x ­ 2y ­ 1= 0 và đi m  ể M có tung độ 

dương

­ B ướ c 1:   Yêu c u h c sinh t  v  hình ầ ọ ự ẽ

­ B ướ c 2:  Phân tích : Đường th ng ẳ BC đi qua đi m  ể M

nh nậ uuurAH  làm véc t  pháp tuy n, ơ ế uuurAH đã bi t nên ta c nế ầ

tìm  to  đ  đi m ạ ộ ể M. Đ u bài đã cho các đi m ầ ể A và H;

2 5

BC=  do đó ta nghĩ đ n m i liên h  gi a ế ố ệ ữ M và AH

đó là uuurAH = 2uuurIM (v i ớ I là tâm đường tròn ngo i ti p ạ ế ∆ABC)

và m i liên h  v  đ  dài gi a ố ệ ề ộ ữ BC IA IM; ; đ  tìm t a đ  ể ọ ộ M

­ B ướ c 3:  Trình bày l i gi i ờ ả

Do M� �d M a(2 + 1;a) (, a> 0)  G iọ  I là tâm đường tròn

ngo i ti p tam giác ạ ế ABC. Khi đó uuurAH =2IMuuur

Ta có uuurAH =( )4;2 ;AH = 2 5 và uuurAH = 2IMuuur�I a(2 − 1;a− 1)

 IM = 5.Vì M là trung đi m c a ể ủ BC nên  IM ⊥BC. Do đó: 

th  gi i quy t đ ể ả ế ượ c yêu c u c a bài toán m i ầ ủ ớ

Ví d  3: ụ  Trong m t ph ng ặ ẳ t aọ  đ  Oxy,ộ  cho tam giác ABC n i ti p độ ế ường tròn 

có phương trình x2 + y2 −4x+4y− =2 0, đường th ng ẳ AC đi qua E( 2 ; 3 ). G iọ  

H và K l n lầ ượt là chân đường cao k  t  đ nhẻ ừ ỉ  B và C. Tìm t aọ  đ  các đ nh c aộ ỉ ủ  

tam giác ABC, bi t phế ương trình đường th ng ẳ HK là 3x y 0 và A có hoành 

đ  âmộ , B có tung đ  dộ ương

H ướ ng d n h c sinh tìm l i gi i ẫ ọ ờ ả

­ B ướ c 1:  H ướ ng d n h c sinh v  hình ẫ ọ ẽ

­ B ướ c 2:  Phân tích: + Ta tìm được ngay t a đ  tâm ọ ộ I và

bán kính r c a đủ ường tròn ngo i ti p tam giác.Trên c  s  ạ ế ở ở

gi  thi t c a bài toán xác đ nh s  tìm t a đ  đi m ả ế ủ ị ẽ ọ ộ ể A trước

liên h  đi m ệ ể A v i các đi m, các đớ ể ường đã bi t là đi mế ể  I 

và đường th ngẳ  HK, ta tìm m i liên h  gi a ố ệ ữ AI và HK. Dự

đoán AI vuông góc v i  ớ HK và ti n hành ch ng minh (tính ch t 2). ế ứ ấ

I H M

A

A'

D

H K

A

+ Sau khi ch ng minh đứ ược AI ⊥HK, vi t đế ược phương trình đường th ng ẳ AI 

( )

A= C ��AI  t a đ  đi m ọ ộ ể A, sau khi tìm đượ ọc t a đô đi m ể A, vi t đế ược 

phương trình đường th ng ẳ AC (AC đi qua A và E)�H HK= �AC BH, t  ừ

đó suy ra B BH= ( )C    

­ B ướ c 3: Trình bày l i gi i ờ ả

Đường tròn (C) có tâm là I(2;­2) và bán kính R= 10

Ta có t  giác ứ HKBC n i ti p nên ộ ế ﾷABC AHK= ﾷ  (1) 

G i ọ D là giao đi m th  hai c a ể ứ ủ AI v i (C). Khi đó ớ

 ﾷABC ADC= ﾷ (2). T  (1) và (2) ta có ừ ﾷAHK ADC= ﾷ

M t khác ặ CAD ADCﾷ + ﾷ = 90 0.Suy ra CAD AHKﾷ + ﾷ = 90 0

V y ậ IA HK

Do đó phương trình AI  là :  x− 3y− = 8 0. Suy ra t a đ  ọ ộ

đi m ể A là nghi m c a h  phệ ủ ệ ương trình:

0 2 4 4

0 8

  H là giao đi m c a để ủ ường th ng ẳ HK và AC nên H(1;­3)

­ Đường th ng ẳ BH đi qua H và vuông góc v i  ớ AC nên BH có phương trình : 

Ví d  4 ụ : Trong m t ph ng v i h  t a đ  ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho tam giác ABC có tr c tâmự  

H,  phương trình đường th ng  ẳ AH  là  3x y 3 0, − + = trung đi m c a c nh  ể ủ ạ B  là 

đi mể   M( )3;0  G i ọ E và F l n lầ ượt là chân đường cao h  tạ ừ C và B đ n  ế AB và 

AC, phương trình đường th ng ẳ EF là x 3y 7 0 − + =  Tìm t a đ  đi m ọ ộ ể A, bi t  ế A 

có hoành đ  dộ ương.  

­  H ướ ng d n h c sinh v  hình ẫ ọ ẽ

­   Phân tích: +  Đ u bài đã cho phầ ương trình EF và t a đ  trung đi m đi mọ ộ ể ể  

M c a  ủ BC nên ta liên h  ngay đ n tính ch t ệ ế ấ KM ⊥EF v i ớ K là trung đi m c a ể ủ

AH

Phương trình AH đã bi t t  đó tìm đế ừ ượ ọc t a đ  đi m ộ ể K

b n đi m  ố ể E; F; K; M thu c độ ường tròn (C) đường kính

KM (tính ch t 2); Có t a đấ ọ ộ K và M ta vi t đế ược phương

trình đường tròn này t  đó ta tìm đừ ượ ọc t a đ  đi m ộ ể E 

( )

K H

F E

A

B

E