Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm tạo một tài liệu tham khảo nhỏ giúp học sinh sẽ tư duy tốt hơn, có tầm nhìn bao quát và có trong tay nhiều cách giải khác nhau, từ đó có thể hoàn thành tốt các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HÓAỞ Ụ Ạ
TR ƯỜ NG THPT ĐÀO DUY T Ừ
SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ
M T S K THU T S D NG MÁY TÍNH C M TAY Ộ Ố Ỹ Ậ Ử Ụ Ầ
Đ NH H Ị ƯỚ NG GI I BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN Ả
Người th c hi n: Nguy n Vi t Dũngự ệ ễ ệ
Ch c v : Giáo viênứ ụ
SKKN thu c môn: Toán h cộ ọ
Trang 2M C L CỤ Ụ
2.1.1.Phím CALC: 2 2.1.2.Phím SHIFT+ CALC : 2 2.1.3.Chức năng TABLE (MODE+ 7): 2 Bất đẳng thức luôn là một lĩnh vực khó trong toán học nhưng nó không phải là một thử thách quá lớn không thể vượt qua mà đơn thuần nó là một bài toán khó Nhiệm vụ của thầy
cô là định hướng cho các em để có thể tìm ra lời giải đáp cho vấn đề khó nhằn này Từ đó động viên các em tìm tòi, sáng tạo ra những bất đẳng thức mới, những phương pháp giải mới, phù hợp với mục tiêu dạy học tích cực mà Bộ Giáo dục đề ra 18
Trang 31 M đ uở ầ
1.1. Lí do ch n đ tài.ọ ề
Nh ng năm g n đây, trong kì thi Đ i h c, Cao đ ng hay kì thi Trung h cữ ầ ạ ọ ẳ ọ
ph thông Qu c gia, các bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t thổ ố ị ớ ấ ị ỏ ấ ườ ngxuyên được đ a v dư ề ướ ại d ng hàm s m t bi n. ố ộ ế Đó là k thu t k t h p b tỹ ậ ế ợ ấ
đ ng th c c đi n và phẳ ứ ổ ể ương pháp tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c aị ớ ấ ị ỏ ấ ủ hàm s b ng cách s d ng đ o hàm k t h p v i l p b ng bi n thiên.ố ằ ử ụ ạ ế ợ ớ ậ ả ế Phươ ngpháp này có b n bố ước quan tr ng:ọ
Đ a bi u th c v m t bi n duy nh t.ư ể ứ ề ộ ế ấ
Tìm đi u ki n cho bi n.ề ệ ế
Đ t bi u th c dặ ể ứ ướ ại d ng hàm s m t bi n và l p b ng bi n thiênố ộ ế ậ ả ế
đ tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ể ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
K t lu n giá tr l n nh t, giá tr nh nh t và đi u ki n đ d u b ngế ậ ị ớ ấ ị ỏ ấ ề ệ ể ấ ằ
x y ra.ả
Tuy nhiên bài toán B t đ ng th c, Giá tr l n nh t, Giá tr nh nh t luôn làấ ẳ ứ ị ớ ấ ị ỏ ấ
m t th thách l n đ i v i h c sinh. Đ ng trộ ử ớ ố ớ ọ ứ ước m i bài toán này các emỗ
thường lúng túng không bi t đ nh hế ị ướng, không bi t b t đ u t đâu.Và nhi uế ắ ầ ừ ề khi nh ng cách gi i thi u t nhiên c a th y cô càng khi n h c sinh s vàữ ả ế ự ủ ầ ế ọ ợ không dám ti p c n đ n bài toán khó này.ế ậ ế
Có ba câu h i h c sinh luôn đ a ra trỏ ọ ư ước m i bài toán tìm giá tr l n nhât,ỗ ị ớ giá tr nh nh t c a m t bi u th c: D u b ng x y ra khi nào (Đi m r i)?ị ỏ ấ ủ ộ ể ứ ấ ằ ả ể ơ Làm th nào đ đ a v m t bi n? Khi đã đ a bi u th c v hàm s m t bi nế ể ư ề ộ ế ư ể ứ ề ố ộ ế thì GTLNGTNN c a hàm s là bao nhiêu? Và đ tr l i 3 câu h i này choủ ố ể ả ờ ỏ
h c sinh m t cách thuy t ph c nh t, tôi xin trình bày sáng ki n kinh nghi mọ ộ ế ụ ấ ế ệ
“M T S K THU T S D NG MÁY TÍNH C M TAY Đ NHỘ Ố Ỹ Ậ Ử Ụ Ầ Ị
HƯỚNG GI I BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN”.Ả
V i sáng ki n này và nh s tr giúp c a máy tính c m tay, tôi hy v ngớ ế ờ ự ợ ủ ầ ọ
h c sinh s t duy t t h n, có t m nhìn bao quát và có trong tay nhi u cáchọ ẽ ư ố ơ ầ ề
gi i khác nhau, t đó có th hoàn thành t t các bài toán tìm giá tr l n nh t, giáả ừ ể ố ị ớ ấ
tr nh nh t c a bi u th c.ị ỏ ấ ủ ể ứ
I.2 M c đích nghiên c u.ụ ứ
Khi gi i toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c, m c đíchả ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ ụ
c a chúng ta là tìm m t cách gi i logic đ tìm ra s bi n thiên c a hàm s tủ ộ ả ể ự ế ủ ố ừ
đó k t d đoán GTLNGTNN đ t đế ự ạ ược, cho nên máy tính ch đỉ ượ ử ụ c s d ng
1
Trang 4nh m t công c h tr các tính toán ph c t p và d đoán ch không ph iư ộ ụ ỗ ợ ứ ạ ự ứ ả máy tính s th c hi n gi i các bài toán đ a ra. Tuy nhiên n u bi t khai thácẽ ự ệ ả ư ế ế tri t đ các tính năng c a máy tính thì ta không ch tìm đệ ể ủ ỉ ượ ờc l i gi i cho bàiả toán mà còn tìm được nhi u cách gi i khác nhau, đ ng th i có th m r ng vàề ả ồ ờ ể ở ộ làm m i bài toán.ớ
I.3 Đ i tố ượng nghiên c u.ứ
Đ i tố ượng nghiên c u là các bài toán tìm GTNN, GTLN trong các đ thiứ ề
Đ i h c trong nh ng năm g n đây, t đó xây d ng đ nh hạ ọ ữ ầ ừ ự ị ướng bao quát để tìm tòi l i gi i trong các bài v tìm GTLN, GTNN khác.ờ ả ề
I.4 Phương pháp nghiên c u.ứ
Dùng các ch c năng c a máy tính c m tay đ tìm đi m r i ( đi m đ bi uứ ủ ầ ể ể ơ ể ể ể
th c đ t GTLN hay GTNN), tìm quy lu t tăng gi m c a hàm s , t đó đ nhứ ạ ậ ả ủ ố ừ ị
hướng, tìm tòi l i gi i cho Bài toán tìm GTLN, GTNN.ờ ả
m t l n nh p, ti t ki m kho ng th i gian đáng k ộ ầ ậ ế ệ ả ờ ể
2.1.2 Phím SHIFT+ CALC :
Nguyên t c ho t đ ng c a ch c năng này là khi ta nh p m t giá tr b t kìắ ạ ộ ủ ứ ậ ộ ị ấ thì màn hình hi n th ”X=?” thì b x lý s quay m t hình tròn có tâm là đi mể ị ộ ử ẽ ộ ể
ta v a nh p trên tr c hoành, v i bán kính l n d n. Khi g p giá tr g n nh từ ậ ụ ớ ớ ầ ặ ị ầ ấ
th a mãn thì máy s d ng l i và hi n th giá tr đó dỏ ẽ ừ ạ ể ị ị ướ ại d ng phân s t i gi nố ố ả
ho c s th p phân. N u trong m t th i gian nh t đ nh mà máy v n ch a tìmặ ố ậ ế ộ ờ ấ ị ẫ ư
được nghi m thì máy s hi n th giá tr g n nh t máy tìm đệ ẽ ể ị ị ầ ấ ược th a mãnỏ
phương trình v i sai s hai v là th p nh t. LR hàng th hai trên màn hìnhớ ố ế ấ ấ ở ứ chính là sai s hai v (thông thố ở ế ường sai s này r t bé kho ng ố ấ ả 10 − 6 trở
xu ng).ố
2.1.3 Ch c năng TABLE (MODE+ 7):ứ
Ch c năng này cho phép hi n th đ ng th i các k t qu c a m t bi u th cứ ể ị ồ ờ ế ả ủ ộ ể ứ trong đó các giá tr bi n ta gán là c p s c ng. Ch c năng này cho phép ta nhìnị ế ấ ố ộ ứ
Trang 5t ng th các giá tr c a bi u th c, thu n l i cho vi c s d ng tính liên t c vàổ ể ị ủ ể ứ ậ ợ ệ ử ụ ụ xác đ nh các kho ng đ n đi u đ ng th i tìm c c tr c a hàm s ị ả ơ ệ ồ ờ ự ị ủ ố
2.1.4. Ch c năng tính đ o hàm (SHIFT+ứ ạ d
dx ):
Ch c năng này dùng đ tính giá tr c a ứ ể ị ủ f x'( ) t i giá tr ạ ị x x= 0 v i m c đíchớ ụ xác đ nh ị x x= 0 có ph i c c tr c a hàm s ả ự ị ủ ố y f x= ( ) hay không? N u hàm sế ố ( )
2.2. Th c tr ng v n đ trự ạ ấ ề ước khi áp d ng Sáng ki n kinh nghi mụ ế ệ
Khi đ ng trứ ước m t bài toán tìm GTLN, GTNN h c sinh thộ ọ ường m t đ nhấ ị
hướng không bi t b t đ u t đâu ho c khi đ c l i gi i không bi t t i saoế ắ ầ ừ ặ ọ ờ ả ế ạ
người gi i l i đ a ra đánh giá đó. Khi b t tay vào làm m t bài toán v GTLN,ả ạ ư ắ ộ ề GTNN h c sinh thọ ường ph i tìm các đánh giá ph đ đ a bài toán v d ngả ụ ể ư ề ạ
đ n gi n h n. Tuy nhiên n u không tìm đơ ả ơ ế ược đi m r i ho c tìm sai đi m r iể ơ ặ ể ơ
c a bài toán thì m i đánh giá có th d n đ n b t c. Khi đó h c sinh s r iủ ọ ể ẫ ế ế ắ ọ ẽ ơ vào vòng lu n qu n không tìm đẩ ẩ ược k t qu bài toán ho c s đ a ra các đánhế ả ặ ẽ ư giá ngược.
Đ gi i quy t các v n đ nói tên h c sinh ph i tr l i để ả ế ấ ề ọ ả ả ờ ược:
+ D u b ng x y ra khi nào (Đi m r i)? ấ ằ ả ể ơ
+ Làm th nào đ đ a v m t bi n?ế ể ư ề ộ ế
+ Khi đã đ a bi u th c v hàm s m t bi n thì GTLNGTNN c a hàm sư ể ứ ề ố ộ ế ủ ố
(các máy tính c m tay khác có cùng ch c năng cũng áp d ng tầ ứ ụ ương t ).ự
Các k thu t s d ng máy tính c m tay có m c đích h tr và giúp choỹ ậ ử ụ ầ ụ ỗ ợ
h c sinh đ nh họ ị ướng cũng nh có cái nhìn đ n gi n, t duy đúng đ n h n khiư ơ ả ư ắ ơ
ti p c n m t bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t.ế ậ ộ ị ớ ấ ị ỏ ấ
3
Trang 6Do các bi n có đi u ki n n m trong kho ng ch n nên kh năng đi m r iế ề ệ ằ ả ặ ả ể ơ
x y ra khi có ít nh t m t bi n n m biên. Bi u th c P đ i x ng 3 bi n nênả ấ ộ ế ằ ở ể ứ ố ứ ế vai trò a, b, c nh nhau, ta c đ nh a=1 b+c=5 c=5b. Thay vào P:ư ố ị → →
D a vào b ng giá tr ta th y hàm s đ t giá tr l nự ả ị ấ ố ạ ị ớ
nh t là ấ 160
11 t i X=2 và X=3.ạ
X F(X)
2 14.5452.1 14.5372.2 14.5312.3 14.5272.4 14.5252.5 14.5252.6 14.5252.7 14.5272.8 14.5312.9 14.537
3 14.545
V i giá tr trên thì đi m r i c a bài toán là a=1, b=3, c=2 và các hoán v ớ ị ể ơ ủ ị
Trang 7Ví d 2: ụ Cho x, y, z là các s th c không âm th a mãn đi u ki n ố ự ỏ ề ệ
D a vào b ng giá tr ta th y hàm s đ t giáự ả ị ấ ố ạ
12 14.5
Trang 8Đ thi tuy n sinh Đ i H c kh i A2014 ề ể ạ ọ ố
Trang 9D a vào b ng giá tr ta th y hàm s đ nự ả ị ấ ố ơ
đi u gi m trên ệ ả [0; 2] và đ t giá tr l n nh tạ ị ớ ấ
t i X=0, x p x 0.4746ạ ấ ỉ
0 0.47460.2 0.47440.4 0.46980.6 0.46280.8 0.4543
1 0.44441.2 0.43041.4 0.38371.5
V i trớ ường h p trên thì đi m r i c a bài toán là ợ ể ơ ủ x= 0,y= 2,z= 0.
TH2: C đ nh z=0 (do bài toán đ i x ng theo hai bi n y, z nên ta khôngố ị ố ứ ế
c n xét trầ ường h p y=0) ợ �y2+ =x2 2�y= 2−x2 , thay vào P ta
D a vào b ng giá tr ta th y hàm s đ t giáự ả ị ấ ố ạ
1 0.55551.2 0.53831.4 0.41531.5
K t h p hai trế ợ ường h p ta th y đi m r i c a bài toán là x=1, y=1,ợ ấ ể ơ ủ z=0 ho c x=1, y=0, z=1.ặ
Trang 10Nh n xét: ậ Khi bài toán cho các bi n không âm thì đi m r i thế ể ơ ường x y ra khiả
ít nh t m t bi n b ng 0, các em h c sinh có th xem đây nh m t đ nh hấ ộ ế ằ ọ ể ư ộ ị ướ ng
đ gi i toán.ể ả
Ví d 3: ụ Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn đi u ki n (a+b)c>0 ố ự ỏ ề ệ
Trang 11Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
Do bài toán đ i x ng theo hai bi n a, b mà (a+b)c>0 nên đi m r i khôngố ứ ế ể ơ
th là a=b=0 ho c c=0 nên đi m r i khi m t trong hai bi n a ho c bể ặ ể ơ ộ ế ặ
D a vào b ng giá tr ta th y hàm s có c c ti uự ả ị ấ ố ự ể
và đ t giá tr nh nh t t i X=1. ạ ị ỏ ấ ạ
Ta đ nh hị ướng tính đ o hàm c a hàm s đ l pạ ủ ố ể ậ
b ng bi n thiên c a hàm s ả ế ủ ố
X F(X)
0.5 1.5833
1 1.51.5 1.55
2 1.6662.5 1.8214
3.5 2.1944
4 2.44.5 2.6136
5 2.833
Trang 13Do bài toán không có đi u ki n nên đ hàm sề ệ ể ố
4 0.6254.5 0.6119
5 0.58575.5 0.5558
6 0.5266.5 0.4977
7 0.4714
Đi m r i c a bài toán là a=b=c=2.ể ơ ủ
Trang 14� khi a b c= = =2
Ví d 5: ụ Cho a, b, c là các s th c d ố ự ươ ng th a mãn đi u ki n (a+c)(b+c)=4 ỏ ề ệ c2
. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ
Trang 16Ta có 24 ( 12) 55 4 48 6 348 5 5( 6)4 0
2( 6)
D a vào b ng giá tr ta th y hàm sự ả ị ấ ố
đ n đi u tăng và hàm s đ t giá tr nhơ ệ ố ạ ị ỏ
nh t t i X=2ấ ạ
2 0.4142.1 0.3242.2 0.1542.3 0.09882.4 0.44392.5 0.8892.6 1.4442.7 2.12012.8 2.92942.9 3.8847
Tuy nhiên bi u th c hàm s r t c ng k nh v i s mũ l n nên n u taể ứ ố ấ ồ ề ớ ố ớ ế
đ o hàm và ch ng minh tr c ti p s r t khó khăn đ ch ra s đ nạ ứ ự ế ẽ ấ ể ỉ ự ơ
đi u. ệ
Ta s d ng ch c năng ử ụ ứ TABLE c a máy tính Casio v i:ủ ớ
5 4
24 ( 12)( )
2.1 3.21062.2 3.88472.3 4.65452.4 5.52722.5 6.51032.6 7.61092.7 8.83622.8 10.1932.9 11.69
3 13.333
Ta s d ng ch c năng ử ụ ứ TABLE c a máy tính Casio v i:ủ ớ
2
1( )
2 2.12132.1 1.91882.2 1.7772.3 1.67312.4 1.59212.5 1.52752.6 1.47462.7 1.43052.8 1.3931
Trang 17Bài 1: Cho các s th c d ng ố ự ươ a b c, , th a mãn ỏ a b c+ + =1 . Tìm giá tr l n ị ớ
nh t c a bi u th c ấ ủ ể ứ P=7(ab bc ca+ + ) 9− abc.
Trang 18Bài 5: Cho các s th c d ng ố ự ươ a b c, , th a mãn:ỏ a b( 2 +c2)= +b c. Tìm giá tr ị
Trang 19ĐS: MinP=1 khi a b c= , =0 ho c ặ a c b= , =0 ho c ặ b c a= , =0.
2.4 Hi u qu c a Sáng ki n kinh nghi m.ệ ả ủ ế ệ
Trong khuôn kh c a m t bài vi t tôi ch đ a ra 5 ví d đi n hình. T 5 víổ ủ ộ ế ỉ ư ụ ể ừ
d này dụ ướ ự ưới s h ng d n c a th y giáo, h c sinh tìm tòi các l i gi i c a cácẫ ủ ầ ọ ờ ả ủ bài toán. Sau khi gi i đả ược m i bài toán, tôi hỗ ướng d n h c trò thay đ i cáchẫ ọ ổ
ti p c n bài toán, đ đ a ra đế ậ ể ư ượ ực s so sánh v tính kh thi và hi u qu c aề ả ệ ả ủ
phương pháp đó. Trong quá trình tìm tòi h c sinh không nh ng ph n ch n, tọ ữ ấ ấ ự giác ti p nh n các ki n th c và k năng gi i các bài toán d ng này mà cònế ậ ế ứ ỹ ả ạ hình thành được cho các em cách nhìn nh n cách đoán nh n tính ch t c a hàmậ ậ ấ ủ qua các đi m r i r c, t đó đ a ra phể ờ ạ ừ ư ương hướng đúng đ n đ gi i bài toánắ ể ả tìm GTLN, GTNN c a bi u th c nhi u bi n theo phủ ể ứ ề ế ương pháp hàm s ố
17
Trang 20Trong 2 l p 12C1, 12C2 tôi d y năm nay, tôi ch n m t nhóm 20 h c sinhớ ạ ọ ộ ọ khá, gi i đ d y và cho làm bài t p áp d ng. ỏ ể ạ ậ ụ K t qu s h c sinh gi i đế ả ố ọ ả ượ c
B t đ ng th c luôn là m t lĩnh v c khó trong toán h c nh ng nó khôngấ ẳ ứ ộ ự ọ ư
ph i là m t th thách quá l n không th vả ộ ử ớ ể ượt qua mà đ n thu n nó là m tơ ầ ộ bài toán khó. Nhi m v c a th y cô là đ nh hệ ụ ủ ầ ị ướng cho các em đ có thể ể tìm ra l i gi i đáp cho v n đ khó nh n này. T đó đ ng viên các em tìmờ ả ấ ề ằ ừ ộ tòi, sáng t o ra nh ng b t đ ng th c m i, nh ng phạ ữ ấ ẳ ứ ớ ữ ương pháp gi i m i,ả ớ phù h p v i m c tiêu d y h c tích c c mà B Giáo d c đ ra.ợ ớ ụ ạ ọ ự ộ ụ ề
Trên đây là m t s k t qu mà tôi đã đ t độ ố ế ả ạ ược khi tìm tòi m t phộ ương án
gi i quy t bài toán tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th cả ế ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ B nả thân tôi th y đấ ược vai trò r t l n c a vi c s d ng máy tính c m tay đ i v iấ ớ ủ ệ ử ụ ầ ố ớ
h c sinh hi n nay. Tôi mong r ng trong th i gian t i tôi s ti p t c họ ệ ằ ờ ớ ẽ ế ụ ướ ng
Trang 21nghiên c u c a mình và mong nh n đứ ủ ậ ược s đóng góp ý ki n c a đ ngự ế ủ ồ nghi p, h c sinh đ cho nh ng ti t h c môn Toán h c càng ngày càng b íchệ ọ ể ữ ế ọ ọ ổ
và có ý nghĩa h n.ơ
V i nh ng hi u bi t còn h n ch c a b n thân, tôi r t mong nh ng ý ki nớ ữ ể ế ạ ế ủ ả ấ ữ ế góp ý, nh ng b xung đ các k năng dùng máy tính c m tay khi gi i bài toánữ ổ ể ỹ ầ ả tìm GTLN, GTNN ngày càng đ y đ và hoàn thi n h n. ầ ủ ệ ơ Tôi xin chân thành
c m n!ả ơ
3.2 Ki n ngh ế ị
Trong th c hành gi i toán, vi c s d ng máy tính c m tay r t quen thu cự ả ệ ử ụ ầ ấ ộ
v i h c sinh, nh ng làm th nào đ khai thác th m nh c a nó trên c sớ ọ ư ể ể ế ạ ủ ở ở
ki n th c ph thông là m t lĩnh v c ch a đế ứ ổ ộ ự ư ược nhi u giáo viên và h c sinhề ọ
đ ý. Qua sáng ki n kinh nghi m này tôi mu n nhân r ng vi c d y cho h cể ế ệ ố ộ ệ ạ ọ sinh các k năng s d ng máy tính c m tay trong trỹ ử ụ ầ ường THPT, đ c bi t trongặ ệ
gi i toán. Đ h c sinh đả ể ọ ược trang b các kĩ năng s d ng máy tính c m tayị ử ụ ầ giúp vi c h c Toán đệ ọ ược hi u qu h n, tôi đ ngh các nhà trệ ả ơ ề ị ường THPT ngoài các ti t d y theo PPCT, nên t ch c các bu i h c ngo i khóa dế ạ ổ ứ ổ ọ ạ ướ ạ i d ngcác chuyên đ cho h c sinh . ề ọ
c a ngủ ười khác
19
Trang 22Nguy n Vi t Dũngễ ệ
TÀI LI U THAM KH OỆ Ả
1. Sách giáo khoa Gi i tích 12 ( NXB Giáo d c năm 2010).ả ụ
2 Các đ thi tuy n sinh Đ i h c, Đ thi THPT Qu c gia c aề ể ạ ọ ề ố ủ
B Giáo d c & Đào t o.ộ ụ ạ
3. Các đ thi th THPT Qu c gia năm 2015 và 2016 c a cácề ử ố ủ
trường THPT trên toàn qu c.ố