Thiết lập hệ trục tọa độ giải một số dạng toán Hình học không gian

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn khái quát về phương pháp thiết lập hệ tọa độ cho một số dạng toán hình học không gian, cung cấp một phương pháp giải toán cho học sinh.

S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ Ở Ụ Ạ

        M C L CỤ Ụ

A. PH N M  Đ UẦ Ở Ầ  

 1

3.1. N i dung bài toán th ộ ườ ng g p  ặ

 1

3.2. Ph ươ ng pháp 

 3

3.3. C  s  th c ti n ơ ở ự ễ

a. Thu n l i  ậ ợ

 3

b. Khó khăn 

 3

4. Ph ươ ng pháp nghiên c u  ứ

 3

5. Đ i t ố ượ ng và ph m vi áp d ng c a đ  tài  ạ ụ ủ ề

 3

B. PH N N I DUNGẦ Ộ  

 3

1. Các d ng hình th ạ ườ ng g p và ví d  áp d ng  ặ ụ ụ

 3

D NG 1 Ạ : Hình chóp có ch a góc tam di n vuông  ứ ệ

 3

a. Ph ươ ng pháp thi t l p  ế ậ

 3

b. Ví d  áp d ng  ụ ụ

 4

D NG 2 Ạ : Hình chóp tam giác đ u  ề

 6

a. Ph ươ ng pháp thi t l p  ế ậ

 6

b. Ví d  áp d ng  ụ ụ

 6

D NG 3 Ạ :  Hình chóp có đáy là hình thoi, hình ch  nh t, hình vuông và hình chi u c a đ nh  ữ ậ ế ủ ỉ trùng v i tâm đa giác đáy  ớ

 9

a. Ph ươ ng pháp thi t l p  ế ậ

 9

b. Ví d  áp d ng  ụ ụ

 9

D NG 4 Ạ :  Hình chóp có c nh bên vuông góc v i m t ph ng đáy; đáy là tam giác cân, tam  ạ ớ ặ ẳ giác

 đ u, tam giác vuông  ề

 11

a. Ph ươ ng pháp thi t l p  ế ậ

 11

b. Ví d  áp d ng ụ ụ

 12

D NG 5 Ạ : Hình lăng tr  đ ng đáy là tam giác cân, tam giác đ u  ụ ứ ề

 14

a. Ph ươ ng pháp thi t l p  ế ậ

 14

b. Ví d  áp d ng  ụ ụ

 15

D NG 6 Ạ : Hình lăng tr  đ ng đáy là hình ch  nh t, hình vuông, tam giác vuông  ụ ứ ữ ậ

 17

a. Ph ươ ng pháp thi t l p  ế ậ

 17

b. Ví d  áp d ng  ụ ụ

 17

D NG 7: Ạ  Hình lăng tr  đ ng đáy là hình thoi  ụ ứ

 17

a. Phương pháp thi t l p  ế ậ

 17

b. Ví d  áp d ng  ụ ụ

 17

D NG 8: Ạ  Hình lăng tr  xiên có hình chi u c a m t đ nh trùng v i t m đa giác đáy  ụ ế ủ ộ ỉ ớ ạ

 20

a. Ph ươ ng pháp thi t l p  ế ậ

 20

b. Ví d  áp d ng  ụ ụ

 20

D NG 9: Ạ  Các d ng hình khác  ạ

 22

a. Ph ươ ng pháp thi t l p  ế ậ

 22

b. Ví d  áp d ng  ụ ụ

 22

2. Bài tâp v n d ng  ậ ụ

 24

K T LU NẾ Ậ  

 26

      A. PH N M  Đ UẦ Ở Ầ

1. Lý do ch n đ  tài :ọ ề

Trong quá trình gi ng d y và ôn luy n cho h c sinh d  thi t t nghi pả ạ ệ ọ ự ố ệ  cũng nh  thi Đ i h c – Cao đ ng và bây gi  là d  thi THPT Qu c Gia, b nư ạ ọ ẳ ờ ự ố ả  thân tôi nh n th y h c sinh g p không ít khó khăn khi gi i bài t p hình h cậ ấ ọ ặ ả ậ ọ  không gian. 

Nh t là đ i v i  h c sinh có l c h c trung bình, do kh  năng t  duy tấ ố ớ ọ ự ọ ả ư ưở  ng

tượng hình không gian c a các em còn nhi u h n ch  Đ c bi t là các bài toánủ ề ạ ế ặ ệ  

đ nh góc, tính di n tích c a các hình, th  tích các kh i. Trong khi đó, r t nhi uị ệ ủ ể ố ấ ề  

thì  bài toán có th  để ược gi i quy t đả ế ược m t cách đ n gi n h n. Vì phộ ơ ả ơ ươ  ngpháp t a đ  có th  đọ ộ ể ược xem nh  m t phư ộ ương pháp đ i s  hóa bài toán hìnhạ ố  

h c. B ng phọ ằ ương pháp này, h c sinh ch  y u làm vi c v i các con s , khôngọ ủ ế ệ ớ ố  

c n t  duy hình h c nhi u và gây h ng thú cho h c sinh khi gi i các bài toànầ ư ọ ề ứ ọ ả  này. Tuy nhiên thi t l p h  tr c t a đ  nh  th  nào cho phù h p và thu nế ậ ệ ụ ọ ộ ư ế ợ ậ  

ti n cho quá trình tính toán thì không ph i b t c  h c sinh nào cũng làm đệ ả ấ ứ ọ ượ  c

Đ i v i m i d ng hình khác nhau thì có nh ng cách thi t l p h  t a đ  khácố ớ ỗ ạ ữ ế ậ ệ ọ ộ  nhau

Vì lý do trên, tôi quy t đ nh ch n nghiên c u chuyên đ  ế ị ọ ứ ề “Thi t l p h ế ậ ệ  

tr c t a đ ụ ọ ộ  gi i m t s  d ng toán Hình h c không gian ả ộ ố ạ ọ ”, v i hy v ng cungớ ọ  

c p cho h c sinh m t cái nhìn khái quát v  phấ ọ ộ ề ương pháp thi t l p h  t a đế ậ ệ ọ ộ cho m t s  d ng toán hình h c không gian, cung c p m t phộ ố ạ ọ ấ ộ ương pháp gi iả  toán cho h c sinh.ọ

đi n:ể

đi n ể

    ­ Không xác đ nh đị ược đường cao c a hình ho c kh i đã choủ ặ ố

đường th ng, m t ph ng, đ  t  đó tính kho ng cách c a đi m đ n m tẳ ặ ẳ ể ừ ả ủ ể ế ặ  

ph ng, t  m t đi m t i đẳ ừ ộ ể ớ ường th ng , gi a hai đẳ ữ ường th ng chéo nhau,…ẳ

    ­ Khi th c hi n g n h  tr c t a đ  trong không gian ch a bi t cách l aự ệ ắ ệ ụ ọ ộ ư ế ự  

ch n g n tr c đ  t  đó xác đ nh t a đ  các đi m trên hình và kh i m t cáchọ ắ ụ ể ừ ị ọ ộ ể ố ộ  

+ C n ch n h  t a đ  Oxyz m t cách thích h p đ  thu n ti n cho cácầ ọ ệ ọ ộ ộ ợ ể ậ ệ  

bước gi i sau.ả

vuông, hai m t ph ng vuông góc, các quan  h  vuông góc khác thì ta có th  l aặ ẳ ệ ể ự  

ch n h  t a đ  d a trên các quan h  vuông góc có s n đó. Tuy nhiên c n d aọ ệ ọ ộ ự ệ ẵ ầ ự  

vào các tính ch t đ c bi t c a hình đang xét, đ c bi t các tính ch t có th  suyấ ặ ệ ủ ặ ệ ấ ể  

ra được các quan h  vuông góc đ  ch n h  t a đ  m t cách thích h p.ệ ể ọ ệ ọ ộ ộ ợ

B ướ c 2: Xác đ nh t a đ  các đi mị ọ ộ ể

+ Tìm t a đ  các đi m trong đ  bài theo h  t a đ  v a ch n, th c raọ ộ ể ề ệ ọ ộ ừ ọ ự  

ch  c n tìm t a đ  m t s  đi m có liên quan đ n gi  thi t, k t lu n bài toán.ỉ ầ ọ ộ ộ ố ể ế ả ế ế ậ

+ C n l u ý, n u bài toán đã cho có s n s  li u thì vi c suy ra t a đầ ư ế ẵ ố ệ ệ ọ ộ các đi m d a tr c ti p vào hình v  , đ i v i các bài toán ch a có s n s  li uể ự ự ế ẽ ố ớ ư ẵ ố ệ  thì c n đ a s  li u vào bài toán sau đó d a vào hình v  và theo s  li u đó đầ ư ố ệ ự ẽ ố ệ ể tính t a đ  các đi m có liên quan.ọ ộ ể

B ướ c 3: Th  hi n các gi  thi t bài toán theo quan đi m c a Hình h cể ệ ả ế ể ủ ọ  

­ Tính kho ng cách: gi a hai đi m, t  m t đi m đ n m t đả ữ ể ừ ộ ể ế ộ ường th ng,ẳ  

gi a hai đữ ường th ng chéo nhau, gi a đẳ ữ ường th ng v i m t ph ng song songẳ ớ ặ ẳ  

Còn r t nhi u h c sinh ch a nh n th c đúng v  t m quan tr ng c aấ ề ọ ư ậ ứ ề ầ ọ ủ  

vi c phân tích đ  bài, d ng hình và đ nh hệ ề ự ị ướng phương pháp gi i quy t bàiả ế  

t o, ng i ghi nh  công th c nên k t qu  không nh  mong đ i.ạ ạ ớ ứ ế ả ư ợ

b. G i  ,  ,   l n lọ α β γ ầ ượt là góc h p b i các m t ph ng (OAB, OBC),ợ ở ặ ẳ  

uuur uuur  

ﾵ2

.cos cos( , )

( )cos

2 2

( ) cos

( ) cos

x t

y a t z

Cách 1: Thi t l p h  t a đ  Oxyz sao cho g c O trùng v i tâm c a tamế ậ ệ ọ ộ ố ớ ủ  giác đáy; tr c cao ch a đụ ứ ường cao c a hình chóp. Tr c th  hai đi qua đ nh c aủ ụ ứ ỉ ủ  tam giác đáy, tr c còn l i song song v i c nh đáy c a tam giác đáy (h.3).ụ ạ ớ ạ ủ

Cách 2: Thi t l p h  t a đ  Oxyz sao cho g c O trùng v i trung đi mế ậ ệ ọ ộ ố ớ ể  

m t c nh c a tam giác đáy, tr c cao vuông góc v i m t ph ng đáy, tr c thộ ạ ủ ụ ớ ặ ẳ ụ ứ hai trùng v i c nh tam giác đáy và tr c còn l i đi qua đ nh c a tam giác đáyớ ạ ụ ạ ỉ ủ  (h.4)

Đ c bi t n u bài toán đã cho là m t t  di n đ u thì ta có th  thi t l pặ ệ ế ộ ứ ệ ề ể ế ậ  

h  t a đ  Oxyz v i I chính là trung đi m c a đệ ọ ộ ớ ể ủ ường trung tuy n  ng v i m tế ứ ớ ộ  

đ nh c a t  di n, các tr c Ox, Oy, Oz l n lỉ ủ ứ ệ ụ ầ ượt đi qua ba đ nh còn l i c a tỉ ạ ủ ứ 

di n (h.5).ệ

b. Ví d  áp d ng ụ ụ

M, N l n lầ ượt là trung đi m c a SB, SC. Bi t r ng ể ủ ế ằ (AMN) (⊥ SBC). Tính thể tích kh i chóp.ố

Gi i: ả Ch n h  t a đ  Oxyz nh  hình v  (h.6)ọ ệ ọ ộ ư ẽ

Nh  v y trong t  di n đ u SABC thì ta luôn có IA, IB, IC đôi m tư ậ ứ ệ ề ộ  vuông góc. V i I là trung đi m c a đớ ể ủ ường trong tuy n  ng v i đ nh S c a tế ứ ớ ỉ ủ ứ 

di n. T  đó ta có th  thi t l p h  t a đ  v i góc t a đ  O trùng v i I, các tiaệ ừ ể ế ậ ệ ọ ộ ớ ọ ộ ớ  

Ox, Oy, Oz l n lầ ượt trùng v i các tia IA, IB, IC.ớ

phương các kho ng cách đ n các m t c a m t t  di n đ u ABCD cho trả ế ặ ủ ộ ứ ệ ề ướ  c

b ng m t s  dằ ộ ố ương k không đ i.ổ

N u ế k<3a2 thì t p h p đi m M là t p ậ ợ ể ậ  N u ế k=3a2thì M I

N u ế k>3a2 thì t p h p đi m M là m t c u tâm I bán kính ậ ợ ể ặ ầ 3 9 2

2

k a

r = − .

D NG 3Ạ :  Hình chóp có đáy là hình thoi, hình ch  nh t, hình vuôngữ ậ  

a. Ph ươ ng pháp thi t l p: ế ậ

c a đáy (h.9).ủ

hai tr c Ox, Oy l n lụ ầ ượt song song v i hai c nh c a đáy (h.10).ớ ạ ủ

+ Cách 2: Ch n h  t a đ  sao cho hai tr c ch a hai c nh đáy, tr c thọ ệ ọ ộ ụ ứ ạ ụ ứ 

b). Theo công th c tính kho ng cách t  m t đi m đ n m t m t ph ngứ ả ừ ộ ể ế ộ ặ ẳ  

n MN

=

�

ur uuuurur

+ Cách 2: ch n g c t a đ  t i A, hai tr c t a đ  l n lọ ố ọ ộ ạ ụ ọ ộ ầ ượt song song và 

(h.15)

­ V i hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân t i B và SA vuôngớ ạ  góc v i m t ph ng đáy. Khi đó ta ch n h  t a đ  v i g c O là trung đi m đáyớ ặ ẳ ọ ệ ọ ộ ớ ố ể  

góc v i m t ph ng đáy (xem d ng 1).ớ ặ ẳ ạ

+ Cách 1: Ch n h  t a đ  Oxyz v i ọ ệ ọ ộ ớ O A, tia Ox//BC; Oy, Oz l n lầ ượ  tqua B và S (h.17)

+ Cách 2: Ch n h  t a đ  Oxyz v i ọ ệ ọ ộ ớ O B, tia Ox, Oy l n lầ ượt qua C và 

A, Oz//AS (h.18)

Kho ng cách gi a AB và SC là: ả ữ

a. Ph ươ ng pháp thi t l p: ế ậ

­ V i hình lăng tr  đ ng có đáy là tam giác cân:ớ ụ ứ

+ Cách 1: Ch n h  t a đ  v i hai tr c l n lọ ệ ọ ộ ớ ụ ầ ượt là c nh đáy và chi uạ ề  cao tương  ng c a tam giác cân đáy, tr c còn l i ch a đứ ủ ụ ạ ứ ường trung bình c aủ  

m t bên (h.19).ặ

+ Cách 2: Ch n h  t a đ  v i hai tr c l n lọ ệ ọ ộ ớ ụ ầ ượt là c nh bên lăng tr  vàạ ụ  

đường cao  ng v i c nh đáy c a tam giác cân đáy. Tr c còn l i song song v iứ ớ ạ ủ ụ ạ ớ  

+ Cách 3: Ch n h  t a đ  v i hai tr c l n lọ ệ ọ ộ ớ ụ ầ ượt là c nh bên lăng tr  vàạ ụ  

c nh đáy c a tam giác cân đáy. Tr c còn l i song song v i đạ ủ ụ ạ ớ ường cao  ng v iứ ớ  

­ V i hình lăng tr  đ ng có đáy là tam giác đ u ta làm tớ ụ ứ ề ương t ự

b. Ví d  áp d ng ụ ụ :

Gi i:ả  Ch n h  t a đ  Oxyz nh  hình v  (h.22).ọ ệ ọ ộ ư ẽ

l n nh t, giá tr  nh  nh t di n tích c a tam giác MC’D.ớ ấ ị ỏ ấ ệ ủ

2

a a

a max f t = f = a f t = f = a

(Hình lăng tr  đ ng có 1 đ nh là đ nh c a m t góc tam di n vuông) ụ ứ ỉ ỉ ủ ộ ệ

a. Ph ươ ng pháp thi t l p ế ậ :

­ Phương pháp chung là ch n h  t a đ  sao cho g c t a đ  trùng v iọ ệ ọ ộ ố ọ ộ ớ  

đ nh c a góc tam di n vuông, các tr c t a đ  l n lỉ ủ ệ ụ ọ ộ ầ ượt ch a ba c nh c a gócứ ạ ủ  

­ Đ i v i lăng tr  có đáy là hình vuông, hình ch  nh t ta có th  ch n hố ớ ụ ữ ậ ể ọ ệ 

t a đ  v i g c là tâm c a đáy, tr c cao ch a đọ ộ ớ ố ủ ụ ứ ường n i hai tâm c a đáy, haiố ủ  

tr c còn l i song song v i hai c nh đáy (h.25).ụ ạ ớ ạ

­ Đ c bi t v i lăng tr  t  giác đ u (đáy là hình vuông) ta có th  ch nặ ệ ớ ụ ứ ề ể ọ  

h  t a đ  v i g c là tâm c a đáy, tr c cao ch a đệ ọ ộ ớ ố ủ ụ ứ ường n i hai tâm c a haiố ủ  đáy, hai tr c còn l i ch a hai đụ ạ ứ ường chéo c a hình vuông đáy (h.26).ủ

b. Ví d  áp d ng: ụ ụ

E và F sao cho EF // (ABB’A’). Tìm giá tr  nh  nh t đ  dài đo n EF. ị ỏ ấ ộ ạ

a. Phương pháp thi t l p ế ậ :

Ch n h  t a đ  v i g c là tâm c a hình thoi đáy, tr c cao ch a đọ ệ ọ ộ ớ ố ủ ụ ứ ườ  ng

n i hai tam c a hai đáy, hai tr c còn l i ch a hai đố ủ ụ ạ ứ ường chéo c a hình thoiủ  đáy (h.29)

V y ba vect  ậ ơ DM DN DBuuuur uuur uuuur, , '  đ ng ph ng hay b n đi m B’, M, D, N đ ngồ ẳ ố ể ồ  

a. Ph ươ ng pháp thi t l p: ế ậ

Ch n h  t a đ  v i g c là tâm c a đa giác đáy, tr c cao đi qua đ nh c aọ ệ ọ ộ ớ ố ủ ụ ỉ ủ  lăng tr , hai tr c còn l i thi t l p d a theo tính ch t đ c bi t c a đa giác đáy.ụ ụ ạ ế ậ ự ấ ặ ệ ủ

O c nh b ng a, góc ạ ằ ﾵBAD =600 'B O⊥(ABCD), BB’=a.

a. Ph ươ ng pháp thi t l p: ế ậ

d ng hình trên và tính ch t đ c bi t c a bài toán đ  thi t l p h  t a đ  choạ ấ ặ ệ ủ ể ế ậ ệ ọ ộ  phù h p, thu n ti n cho quá trình gi i toán.ợ ậ ệ ả

b. Ví d  áp d ng: ụ ụ

Ví d  1: ụ  Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là n a l c giác đ u n iử ụ ề ộ  

góc v i nhau t ng đôi m t. G i H là hình chi u c a đi m O lên (ABC) và cácớ ừ ộ ọ ế ủ ể  

1. Ch ng minh H là tr c tâm c a ứ ự ủ D ABC

N l n lầ ượt là trung đi m c a SB, SC. Bi t r ng ể ủ ế ằ (AMN) (⊥ SBC). Tính di nệ  tích tam giác AMN theo a

và vuông góc v i đáy. G i M, N theo th  t  là trung đi m c a AB và AC.ớ ọ ứ ự ể ủ

vuông c nh a. G i D, F l n lạ ọ ầ ượt là trung đi m c a BC và B’C’. Tính kho ngể ủ ả  

l n lầ ượt là trung đi m c a A’D’, BB’, CD, BC.ể ủ

1. Ch ng minh I, K, M, N đ ng ph ng. Tính di n tích t  giác IKNM. ứ ồ ẳ ệ ứ

giao đi m các để ường chéo, bi t BB’ = a. ế

1. Tính góc gi a các m t bên và m t ph ng đáy.ữ ặ ặ ẳ

2. Tính th  tích hình h p.ể ộ

đi sâu vào nghiên c u và áp d ng chuyên đ  “Thi t l p h  tr c t a đ  gi iứ ụ ề ế ậ ệ ụ ọ ộ ả  

m t s  d ng toán Hình h c không gian” cho h c sinh l p 12 v i hy v ng cungộ ố ạ ọ ọ ớ ớ ọ  

c p cho các em m t cái nhìn khái quát v  phấ ộ ề ương pháp thi t l p h  t a đế ậ ệ ọ ộ cho m t s  d ng toán Hình h c không gian, m t phộ ố ạ ọ ộ ương pháp gi i toán h uả ữ  

hi u.Và qu  th c sau khi l ng ghép n i dung này vào các ti t h c chính khóa,ệ ả ự ồ ộ ế ọ  các ti t h c t  ch n, h c b i dế ọ ự ọ ọ ồ ưỡng thì tôi đã th y rõ s  thay đ i trong cáchấ ự ổ  nhìn nh n, cách gi i m t bài toán Hình h c không gian. Ban đ u khi m i đ aậ ả ộ ọ ầ ớ ư  

ra các bài toán đ n gi n thì các em h c t p, ti p thu nhanh chóng và v n d ngơ ả ọ ậ ế ậ ụ  thành th o đ ng th i  t o đạ ồ ờ ạ ược thói quen s  d ng phử ụ ương pháp t a đ  choọ ộ  

h c sinh. Sau khi gi i thành th o đọ ả ạ ược các bài toán đ n gi n, tôi đ a ra cácơ ả ư  bài toán nâng cao, h c sinh đã tham gia tích c c vào vi c gi i và v n d ng cácọ ự ệ ả ậ ụ  

phương pháp đ  gi i. Đ c bi t các em đã th y rõ để ả ặ ệ ấ ược tính  u vi t c aư ệ ủ  

phương pháp t a đ  so v i các phọ ộ ớ ương pháp thông thường. K t qu  thu đế ả ượ  c

nh  sau: ư

­ Đ i v i các bài toán đ n gi n thì 100% h c sinh v n d ng t t phố ớ ơ ả ọ ậ ụ ố ươ  ngpháp và thi t l p đế ậ ược h  t a đ  phù h p.ệ ọ ộ ợ

­ Đ i v i các bài toán ph c t p, m c đ  khó cao h n thì có đ n 80% trố ớ ứ ạ ứ ộ ơ ế ở lên h c sinh v n d ng t t phọ ậ ụ ố ương pháp và thi t l p đế ậ ược h  t a đ  phù h pệ ọ ộ ợ  

l p h  t a đ ậ ệ ọ ộ

Qua thành công bước đ u c a vi c áp d ng n i dung này tôi th y chúngầ ủ ệ ụ ộ ấ  

ta c n thi t ph i đ i m i trong cách d y và h c. Không nên d y h c sinh theoầ ế ả ổ ớ ạ ọ ạ ọ  

nh ng quy t c máy móc mà c n ch  ra cho h c sinh nh ng quy trình mô ph ngữ ắ ầ ỉ ọ ữ ỏ  mang tính ch n l a đ  h c sinh t  mình tuy duy tìm ra con đọ ự ể ọ ự ường gi i toán.ả

Sáng ki n kinh nghi m này ch  là kinh nghi m b n thân thu nh n đế ệ ỉ ệ ả ậ ượ  c

góp ý, b  sung c a các đ ng nghi p đ  đ  tài đổ ủ ồ ệ ể ề ược hoàn thi n h n.ệ ơ  

h c qu c gia Hà N i 2013.ọ ố ộ

h c qu c gia Hà N i 2012.ọ ố ộ