Giải phương trình hàm bằng phương pháp thế

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng vận dụng phương pháp thế giá trị đặc biệt, thế biến trong việc giải các bài toán phương trình hàm cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia.

GI I PHẢ ƯƠNG TRÌNH HÀM B NG PHẰ ƯƠNG PHÁP THẾ

L I NÓI Đ UỜ Ầ

     Toán h c là m t b  môn khoa h c đòi h i s  t  duy cao đ  c a ngọ ộ ộ ọ ỏ ự ư ộ ủ ườ ại d y, ngườ  i

h c và c  ngọ ả ười nghiên c u. Qua vi c d y và h c toán, con ngứ ệ ạ ọ ườ ượi đ c rèn luy nệ   năng l c phân tích, t ng h p, t  duy linh ho t và kh  năng sáng t o, góp ph n hìnhự ổ ợ ư ạ ả ạ ầ   thành k  năng, nhân cách c n thi t c a ngỹ ầ ế ủ ười lao đ ng trong th i đ i m i. Mu n h cộ ờ ạ ớ ố ọ  

gi i toán, h c sinh ph i luy n t p, th c hành nhi u, t c là ph i h c gi i toán. H c gi iỏ ọ ả ệ ậ ự ề ứ ả ọ ả ọ ả   toán là m t cách t  duy sáng t o v  toán, đ ng th i là m t v n đ  tr u tộ ư ạ ề ồ ờ ộ ấ ề ừ ượng và khá  khó đ i v i h c sinh, nh ng đó l i là đi u c n thi t cho m i h c sinh trong quá trìnhố ớ ọ ư ạ ề ầ ế ỗ ọ  

h c toán   trọ ở ường THPT và nh t là h c sinh   các l p chuyên c a trấ ọ ở ớ ủ ường THPT  chuyên.Vì v y, đ  nâng cao ch t lậ ể ấ ượng d y và h c toán, ngạ ọ ười th y giáo c n truy nầ ầ ề   cho h c sinh s  ham thích h c toán và gi i toán, b ng nh ng phọ ự ọ ả ằ ữ ương pháp khác nhau      

     Ngày nay trong các kì thi h c sinh gi i qu c gia và qu c t  ta thọ ỏ ố ố ế ường th y xu t hi nấ ấ ệ   bài toán v  phề ương trình hàm. Thông thường đây là m t d ng toán khó không ch  v iộ ạ ỉ ớ  

h c sinh t nh ta mà v i c  h c sinh các t nh, thành ph  l n, các t nh có b  dày truy nọ ỉ ớ ả ọ ỉ ố ớ ỉ ề ề  

th ng trong các cu c thi h c sinh gi i.ố ộ ọ ỏ

     V i m c đích trang b  cho các em h c sinh gi i thêm m t s  ki n th c c  b n vớ ụ ị ọ ỏ ộ ố ế ứ ơ ả ề 

phương trình hàm nên trong bài vi t này tôi xin trình bày ế “ Chuyên đ  : Gi i phề ả ương  trình hàm b ng phằ ương pháp th  ế ”  Tôi hy v ng nh n đ c nhi u s  ph n h i,ọ ậ ượ ề ự ả ồ   đóng góp, trao đ i c a quý th y cô đ  chuyên đ  này ngày m t hoàn thi n h n.ổ ủ ầ ể ề ộ ệ ơ

I. HI N TR NGỆ Ạ

     Trong chương trình Toán THPT dành cho h c sinh l p 10, 12 chuyên toán , tôi th yọ ớ ấ   các bài t p phậ ương trình hàm là ph n ki n th c khó,ầ ế ứ  m t trong nh ng n i dung quanộ ữ ộ  

tr ng là ph i bi t ọ ả ế dùng phương pháp th  đ  gi i phế ể ả ương trình hàm , vì đây là ph nầ  

ki n th c đòi h i h c sinh ph i có k  năng toán h c t t.ế ứ ỏ ọ ả ỹ ọ ố  Chính vì v y tôi biên so nậ ạ   chuyên đ  ề“ Gi i phả ương trình hàm b ng phằ ương pháp th  ế ” nh m góp ph n cungằ ầ  

c p ki n th c c  b n, rèn luy n kĩ năng v n d ng phấ ế ứ ơ ả ệ ậ ụ ương pháp th  giá tr  đ c bi t,ế ị ặ ệ  

th  bi n trong vi c gi i các bài toán phế ế ệ ả ương trình hàm cho h c sinh chu n b  thi h cọ ẩ ị ọ   sinh gi i các c p và đ c bi t là h c sinh đ i tuy n d  thi h c sinh gi i qu c gia.ỏ ấ ặ ệ ọ ộ ể ự ọ ỏ ố

     Sau đây là n i dung c a chuyên đ :ộ ủ ề

      ­ C  s  lý thuy t.ơ ở ế

      ­ Các bài t p t ng h p.ậ ổ ợ

II. GI I PHÁP THAY TH  Ả Ế

1. C  s  lý thuy t ơ ở ế

1.1. Đ nh nghĩa phị ương trình hàm

       Phương trình hàm là phương trình mà trong đó  n ph i tìm là m t hàm s  M iẩ ả ộ ố ỗ  

m t hàm s  th a phộ ố ỏ ương trình hàm được g i là nghi m c a phọ ệ ủ ương trình hàm

C u trúc c a m t phấ ủ ộ ương trình hàm g m 3 ph n:ồ ầ

   ­ T p xác đ nh và t p giá tr  c a hàm s ậ ị ậ ị ủ ố

   ­ Phương trình hàm ho c b t phặ ấ ương trình hàm

   ­ M t s  đi u ki n b  sung (đ n đi u, b  ch n, tu n hoàn, ch n, l …).ộ ố ề ệ ổ ơ ệ ị ặ ầ ẵ ẻ

       Không có m t phộ ương pháp chung nào đ  gi i các phể ả ương trình hàm. Vi c tìm raệ  

l i gi i ph  thu c vào t ng phờ ả ụ ộ ừ ương trình hàm c  th  và m t s  kĩ thu t liên quan. Xinụ ể ộ ố ậ   nêu ra đây m t phộ ương pháp thường s  d ng: Phử ụ ương pháp th  bi n, phế ế ương pháp  quy n p, phạ ương pháp s  d ng các tình ch t c a hàm s , phử ụ ấ ủ ố ương pháp đánh giá, 

phương pháp kh o sát t p h p, phả ậ ợ ương pháp đ i bi n, phổ ế ương pháp tìm nghi m ri ng,ệ ệ  

phương pháp s  d ng tính ch t đ i x ng c a bi n, phử ụ ấ ố ứ ủ ế ương pháp đ a v  phư ề ương trình  sai phân; phương pháp s  d ng chu trình, đi m b t đ ng, không đi m.ử ụ ể ấ ộ ể

       L i gi i c a bài toán gi i phờ ả ủ ả ương trình hàm thường được b t đ u b ng m nh đắ ầ ằ ệ ề 

“ Già s  t n t i hàm s  ử ồ ạ ố f x( ) th a mãn các yêu c u c a bài ra”. Khi tìm đỏ ầ ủ ược bi u th cể ứ  

c a hàm s  nghi m, ta ph i ki m tra vào phủ ố ệ ả ể ương trình đã cho r i m i k t lu nồ ớ ế ậ   nghi m.ệ

1.2. Hàm đ c tr ng c a m t s  hàm s  c pặ ư ủ ộ ố ơ ấ

Nh ng hàm đ c tr ng c a m t s  hàm s  s  c p đữ ặ ư ủ ộ ố ố ơ ấ ược xét trong chương trình phổ  thông. Nh  các hàm đ c tr ng mà ta có th  d  đoán mà đáp s  c a các bài t p phờ ặ ư ể ự ố ủ ậ ươ  ng trình hàm

1. Hàm b c nh t ậ ấ f x( )=ax b+  (v i ớ a b, 0) có hàm đ c tr ng là: ặ ư

( ) ( )

x y f x f y

f ��+ ��= +

� �  v i m i ớ ọ x y R,

2. Hàm tuy n tính ế f x( )=ax  (v i ớ a 0) có hàm đ c tr ng là: ặ ư

f x y+ = f x + f y  v i m i ớ ọ x y R,  

3. Hàm mũ  f x( )=a x (v i ớ 0 <a 1) có hàm đ c tr ng là: ặ ư

( ) ( ) ( )

f x y+ = f x f y  v i m i ớ ọ x y R,  

4. Hàm logarit  f x( ) log= a x  (v i ớ 0<a 1) có hàm đ c tr ng là: ặ ư

( ) ( ) ( )

f x y = f x + f y  v i m i ớ ọ x y, R+ 

5. Hàm sin  f x( ) sin= x có hàm đ c tr ng là: ặ ư

3 (3 ) 3 ( ) 4 ( )

f x = f x − f x  v i m i ớ ọ x R 

6. Hàm sin  f x( ) cos= x có hàm đ c tr ng là: ặ ư

2

(2 ) 2 ( ) 1

f x = f x −  v i m i ớ ọ x R ho c ặ f x y( + +) f x y( − ) 2 ( ) ( )= f x f y  v i m i ớ ọ x y R,

1.3  Phương pháp th  bi nế ế

Phương pháp th  bi n có l  là phế ế ẻ ương pháp thường được s  d ng nh t khi gi iử ụ ấ ả  

phương trình hàm. Ta có thể

­ Ho c cho các bi n nh n các giá tr  b ng s  Thặ ế ậ ị ằ ố ường là các giá tr  đ c bi t ị ặ ệ 0; 1; 2;

­ Ho c th  các bi n b ng các bi u th c đ  làm xu t hi n các h ng s  ho c các bi uặ ế ế ằ ế ứ ể ấ ệ ằ ố ặ ể  

th c c n thi t. Ch ng h n, n u trong phứ ầ ế ẳ ạ ế ương trình hàm có m t ặ f x y( + ) mà mu n cóố   (0)

f  thì

  ta th  ế y  b i  ở −x; mu n có  ố f x( )  thì ta cho  y=0; mu n có  ố f nx( )  thì ta th  ế y  b iờ   (n−1)x

2. Gi i pháp kh  thi và hi u qu  khi giãi phả ả ệ ả ương trình hàm b ng phằ ương pháp 

thế

Phương pháp th  là phế ương pháp thường hay s  d ng khi gi i các phử ụ ả ương trình  hàm, đ c bi t là phặ ệ ương trình hàm v i c p bi n t  do. N i dung c  b n c a phớ ặ ế ự ộ ơ ả ủ ươ  ng pháp này là ta thay các bi n b i các giá tr  đ c bi t. Đi u quan tr ng l u ý là giá tr  cácế ở ị ặ ệ ề ọ ư ị  

bi n này ph i thu c t p xác đ nh c a hàm s  và ph i th a mãn các đi u ki n ràngế ả ộ ậ ị ủ ố ả ỏ ề ệ  

bu c gi a các bi n n u có. Trong phộ ữ ế ế ương pháp này khi thay bi n ế x y, ,  b i các giá trở ị 

đ c bi t thì vi c ch n các giá tr  đ c bi t đòi h i ph i có s  nh y c m nh t đ nh, nóặ ệ ệ ọ ị ặ ệ ỏ ả ự ạ ả ấ ị   giúp ta tìm được hàm  f x( ) t  m t phừ ộ ương trình đã cho

III. V N Đ  NGUYÊN C U, GI  THUY T NGUYÊN C UẤ Ề Ứ Ả Ế Ứ

1. Các bài toán phương trình hàm

Bài toán 1. Tìm t t c  các hàm ấ ả f R: R   th a mãnỏ

 f x y( + ) = +y f x( ),∀x y, R  (1)

Gi i.ả

Gi  s  hàm s  ả ử ố f  th a mãn các yêu c u đ  bài. ỏ ầ ề

Đ t ặ f ( )0 =C. 

Trong (1) cho x=0 ta được  f y( ) = + ∀y C y, R  

V y ậ f x( ) = + ∀x C x, R   (v i ớ C là  h ng s ).       (2)ằ ố

Th  l i th y (2) th a mãn (1). ử ạ ấ ỏ

V y hàm s  c n tìm là ậ ố ầ f x( ) = + ∀x C x, R (v i ớ C  là  h ng s ).ằ ố

Nh n xétậ : phương trình trên có 2 bi n t  do là ế ự x y  nên ta cho , x=0 thì đượ  c

( ) (0),

f y = +y f ∀y R , l i đ t ạ ặ f ( )0 =C ta được hàm s  c n tìm.ố ầ

Bài toán 2. Tìm t t c  các hàm ấ ả f R: R  th a mãn ỏ f xy( ) =y2017f x( ),∀x y, R

Gi i.ả

Gi  s  hàm s  ả ử ố f  th a mãn các yêu c u đ  bài. ỏ ầ ề

Đ t ặ f ( )1 =C. Trong (1) cho x=1 ta được f y( ) =Cy2017,∀y R  V y  ậ f x  có d ng( ) ạ

( ) 2011,

f x =Cx ∀x R  (v i ớ C là  h ng s ).       (2)ằ ố

Th  l i th y (2) th a mãn (1). ử ạ ấ ỏ

V y hàm s  c n tìm là ậ ố ầ f x( ) =Cx2011,∀x R  (v i ớ C  là h ng s ).ằ ố

Bài toán 3. Tìm t t c  các hàm ấ ả f R: R th a mãn ỏ

2

f x y+ + f x y− = f x + f y +x ∀x y R    

Gi i.ả

Gi  s   ả ử f  là hàm s  th a mãn các yêu c u đ  bài ố ỏ ầ ề

Đ t   ặ f(0)=C. Trong (1) cho y=0 ta đ ượ c:  f x( )=x2+2 ,C x∀ R.(2)

Th  l i: Thay (2) vào (1) ta đ ử ạ ượ c :

(x y+ ) +2C+ −(x y) +2C x= +2C+2y +4C x+ ,∀x y, ��R C=0

V y có duy nh t m t hàm s  th a mãn các yêu c u đ  bài là   ậ ấ ộ ố ỏ ầ ề f x( )=x2,∀x R          

Bài toán 4. Cho hàm s  ố f R: R th a mãn ỏ  

f x y+ − f x y− + f x − f y = − ∀y x y R (1)

Gi i.ả

Gi  s   ả ử f  là hàm s  th a mãn các yêu c u đ  bài ố ỏ ầ ề

Trong (1) cho y=0 ta đ ượ c:  f(0) 1.=  

Trong (1) cho x=0 ta đ ượ c: −2 ( )f − −y f y( )= − ∀y 3, y R.       (2) Trong (2) cho thayy b i  ở −y ta đ ượ c: −2 ( )f y − − = − − ∀f( )y y 3, y R.      (3)

T  (2) và (3) ta có: ừ f y( )= + ∀y 1, y R

Hay   f x( )= + ∀x 1, x R

Th  l i đúng.  ử ạ

V y có duy nh t m t hàm s  th a mãn các yêu c u đ  bài là   ậ ấ ộ ố ỏ ầ ề f x( )= + ∀x 1, x R Bài toán 5. Tìm t t c  các hàm s  ấ ả ố f R: R  th a mãnỏ

f xy + f x− y + f x+ y+ = xy+ x+ ∀x y R   (1)

Gi i.ả

Đ t ặ f ( )0 =a. Trong (1) thay  1

2

y= −  ta được :

f − +x f x+ + f x = + ∀x x R        (2)

Trong (1) cho y=0 ta được:

a f x+ + f x+ = x+ ∀x R        (3)

T  (2) và (3) suy ra ừ f ( )− = − ∀x a x, x R  Suy ra  f x( ) = + ∀a x, x R

Th  l i: ử ạ

Thay  f x( ) = +a x vào (1) ta đượ 2c:  xy a x+ + −2y a x+ + +2y+ + =1 a 2xy+2x+1�a=0.

V y có duy nh t m t hàm s  th a mãn đ  bài là ậ ấ ộ ố ỏ ề f x( ) = ∀x, x R

Nh n xétậ : các bài 2,3,4,5 có cách gi i tả ương t  nh  bài 1 sau khi tìm đự ư ược hàm ta th  l i b ngử ạ ằ   cách thay vào hàm đã cho đ  để ược hàm c n tìm.ầ

Bài toán 6. (Estonian 2003­2004). 

Tìm t t c  các hàm s  ấ ả ố f : 0; 0;  th a mãnỏ

( ) ( ) ( ) 1 1, , (0; )

x y

= + + ∀ � +� (1)

Gi iả

Gi  sả ử f là hàm s  tố h a yêu c u đ  bài. ỏ ầ ề

Trong  1 ,  ch n ọ y 1 ta được: f x f( ) ( )1 f x( ) 1 1, x (0; ) ( )2

x

= + + ∀ � +�

T  ừ 2  ch n ọ x 1 ta được:

2 1 0

2 1 1

2 1

Thay  f 1 2 vào  2  ta được:  1 1, x 0;

x x

Th  l i v iử ạ ớ f x( ) 1 1

x

= +  th a (1)  . V y ỏ ậ 1 1, x 0;

x x

f  là hàm s  c n tìmố ầ

Nh n xét :ậ  Bài 6 này t p xác đ nh và tâp gái tr  là ậ ị ị (0;+ ) nên khi gi i ph i l u ý l yả ả ư ấ  

0; ( ) 0, 0

x> f x > ∀ >x

Bài toán 7. (Japan Mathematical Olympiad Final – 2012)

Tìm t t c  các hàm s  ấ ả ố f ﾡ: ﾡ  sao cho   f f x y f x y( ( + ) ( − ) )=x2−yf y( ),∀x y, ﾡ (1)

Gi iả

T  ừ 1  cho x y 0 ta được  f f2 0 0. 

T  ừ 1  cho x 0,y f2 0 , k t h p v i k t qu  ế ợ ớ ế ả f f2 0 0 ta suy ra  f 0 0. 

T  ừ 1  cho x yta được: x2 xf x 0 f x x, x 0

V i ớ f ( )0 =0� f x( ) =x, ∀x�ﾡ  Th  l i đúng.ử ạ

V y ậ f x( ) = ∀x, x ﾡ  là hàm s  c n tìmố ầ

Bài toán 8. Tìm t t c  các hàm s  ấ ả ố f : 0;( + ) ﾡ  th a:ỏ

; 0 , , 2

x yf

y xf

y

f

x

Gi iả

Gi  s  ả ử f  là hàm s  th a đ  bài. ố ỏ ề

Trong  1  ch n ọ x y ta được:( ( ) )2 ( )

2

x

f x = xf � �� � ∀x� +�

� � ( ) 2

f x

x

f

x

� � �= �

� � �

� �

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

f x f y

( ) ( ) ( ) ( ), , (0; )

x f y y f x f x f y

x y

B i v y: ở ậ

x

x

f

 là h ng s , do đó: ằ ố f x ax, x 0;  ( a  là h ng s ). ằ ố Thay vào  1  ta được:  , , 0;

2 2

.ay ax y ay x axy x y

Th  l i th y th a. ử ạ ấ ỏ

V y có hai s  th a đ  bài: ậ ố ỏ ề f x( ) = ∀0, x�(0;+� và ) f x( ) = ∀x, x�(0;+�    )

Bài toán 9. (Banglades MO – 2012)

Tìm t t c  các  hàm s  ấ ả ố f ﾡ: ﾡ  th a mãnỏ

( 2 2) ( ) ( ) ( ) , ,

f x −y = −x y f x�� + f y ��∀x y R  (1)

Gi iả

T  ừ 1  cho x y ta được f 0 0. 

T  ừ 1  cho y 0 ta được:  f x( )2 =x f x��( )+ f ( )0 ��=xf x( ), ∀x ﾡ

T  đây ta cóừ

( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0

f x = −xf −x �xf x = −xf −x � f − = −x f x ∀x�

K t h p v i ế ợ ớ f 0 0 ta được f ( )− = −x f x( ), ∀x ﾡ  T  gi  thi t ta cóừ ả ế

x yf y xf y yf x xf y f x f y x y

x

f 2 2        (2)

        ( ) ( ) ( ) ( )

xf x y y yf x xf y

= − + −       (3)

K t h p ế ợ 2  và  3 , ta được: xf y( ) −yf x( ) =yf x( ) −xf y( )

( ) ( ) f x( ) f y( ) , 0, 0

Suy ra  f x cx, x 0. K t h p v i ế ợ ớ f 0 0 ta được : 

( ) ,

f x =cx ∀x ﾡ  (v i ớ c  là h ng s ).ằ ố

Th  l i th y th a mãn (1). ử ạ ấ ỏ V y ậ f x( ) =cx,∀x ﾡ  là hàm s  c n tìmố ầ

Bài toán 10. (Olympic toán Oxtrâylia­1995). 

Tìm t t c  các hàm s  ấ ả ố f : 0;( + ) ﾡ th a mãn các đi u ki n sau đâyỏ ề ệ

( )1 1

2

f =  và  f xy( ) f x f( ) 3 f y f( ) 3 , x y, (0; )

= � �+ � �∀ � +�

� �

Gi i. ả

Gi  s  hàm ả ử f  th a yêu c u đ  bài. Trong (1) cho ỏ ầ ề y=1 ta được:

( 2 2) ( 2 ( )2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x −y = f x − −y = +x y f x�� + f −y ��= +x y f x�� − f y ��

( ) ( ) ( )3 1 3 , (0; ).

2

x

� �

� �        (2) Trong (2) cho x=3 ta được  ( )3 ( )3 2 1 2 ( )3 1.

f =��f � � �� � �+� �� f =  Thay vào (2) ta đượ  c ( ) 1 ( ) 1 3 , (0; )

x

� �

= + � �∀ � +�

x

� �

= ∀ >

Do đó (1) tr  thành  ở f xy( ) =2f x f y( ) ( ), ∀x y, �(0;+�       (3))

Trong (3) thay  y  b i ở 3

xta được f ( )3 2f x f( ) 3 , x y, (0; )

x

� �

= � �∀ � +�

4

f x =

Trong (3) thay  y b i  ở x  ta được:   ( )2 ( ) ( ) ( ) 2 1 1

4 2

f x = f x f x = ��f x ��= =

T  đây suy ra v i ừ ớ x>0 ta có  ( ) 1

2

f x =  

Th  l i th y th a mãn. Đó là hàm s  duy nh t th a mãn các đi u ki n c a bài toán.ử ạ ấ ỏ ố ấ ỏ ề ệ ủ

Bài toán 11. (HSG Qu c gia­2013)ố  

Tìm t t c  các hàm s  ấ ả ố f R: R  th a mãn ỏ f ( )0 =0, f ( )1 =2013 và 

( ) ( 2( ) ) ( 2( ) ) ( ) ( ) 2( ) 2( )

x y f f− �� x − f y ��=��f x − f y ����f x − f y ��∀x y R  (1)

Gi iả

T  (1) cho ừ y=0 ta được xf f( 2( )x ) = f x3( ),∀x R  

Suy ra  f f( 2( )x ) f x3( ) , x

x

= ∀ R        (2)

Thay (2) vào (1), suy ra v i m i ớ ọ x 0 và y 0 ta có:

( ) f x3( ) f3( )y ( ) ( ) 2( ) 2( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

xf y yf x

f x f y f y f x

�

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x f y −xyf x f y +y f x −xyf y f x =

�

( ) ( ) 2( ) 2( ) 0

xf y −yf x �xf y −yf x �=

� �� ��� �       (3)

T  (3) cho ừ y=1, ta được

2013x f x− �2013 x f− x �=0, ∀x 0

� �� �       (4)

T  (4) suy ra ừ f x( ) =2013 ,x ∀x 0. B i v y, t  (3) cho ở ậ ừ y= −1 ta đượ  c

2013x f x �2013 x f x � 0, x 0

T  (5) suy ra ừ f x( ) =2013 ,x ∀ >x 0. 

Nh  v y ư ậ f x( ) =2013 ,x ∀x R  Th  l i th y th a mãn. ử ạ ấ ỏ

V y có duy nh t m t hàm s  th a mãn yêu c u đ  bài là :ậ ấ ộ ố ỏ ầ ề f x( ) =2013 ,x ∀x R

Bài toán 12. Tìm t t c  các hàm s  ấ ả ố f  xác đ nh trên ị (0;+ ),nh n giá tr  trong  ậ ị (0;+ ) và 

th a mãn  ỏ f x f y( ) ( ) f y f xf y( ) ( ( ) ) 1 , x y, (0; )

xy

Gi i.ả

Trong (1) thay (x y   b i ; ) ở 1 1;

x y

� � ta được :

� �� � � �= � � ��+ ∀ � +�

� �

� � � � � �� � ��        (2)

Đ t ặ f 1 g x( )

x

� �=

� �

� �  T  (2) ta có ừ

( ) ( ) ( ) ( )x , , (0; )

g y

= �� ��+ ∀ � +�

� �       (3)

T  (3) thay ừ x  b i ở xg y  ta đ c : ( ) ượ

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , (0; )

g xg y g y =g y g x +xyg y ∀x y� +�

( )

g xg y =g x +xy ∀x y +

� � � (do g y( ) >0).       (4)

T  (4) cho ừ x= 1 ta được

( )

g g y =g +y ∀y +

� � �        (5)

T  (4) thay ừ x  b i ở g x  ta đ c ( ) ượ

( ) ( )

g g x g y =g g x +g x y ∀x y� +�        (6)

T  (5) và (6) suy ra ừ

( ) ( )

g g x g y =g + +x g x y ∀x y� +�       (7)

T  (7) thay ừ x  b i  ở y  và thay  y b i  ở x  ta được 

( ) ( )

g g x g y =g + +y g y x ∀x y� +�        (8)

T  (7) và (8) suy ra ừ

x g x y y g y x+ = + ∀x y� +�

( ) 1 ( ) 1 , , (0; )

g x − y= g y − x ∀x y +

x y

g x

C x y x

−

� � � (C là h ng s )ằ ố

( ) 1, , (0; )

g x =Cx+ ∀x y +

� � �       (9)

Thay hàm  g  t  (9) vào (3) ta đừ ược 

1

x

Cy

+

T  (10) cho ừ x y= =1 ta được 

( ) (2 )

1

C

C

+ = + �+ �+

+

1 2+ C C+ = + + +1 C C 1 C =1 C= 1

Do g x( ) = +1 Cx>0, ∀x y, �(0;+�  nên ta ch  l y ) ỉ ấ C=1. V y ậ g x( ) 1+x,suy ra 

( ) 1 1, , (0; )

x

= + ∀ � +�  Th  l i th y th a mãn.ử ạ ấ ỏ

Nh t xétậ : các bài t  7,8,9,10,11,12 có các cách th  ph c t p , có tính k  th a. Vì v y ngừ ế ứ ạ ế ừ ậ ười 

gi i ph i quan sát đ  l a ch n cho thích h p. ả ả ể ự ọ ợ

2. Gi  thuy t nghiên c uả ế ứ

      Đ   gi i quy t các bài toán trên, ta dùng ph ng pháp th  giá tr  đ c bi t,th  bi n.ể ả ế ươ ế ị ặ ệ ế ế  

Ch ng han, cho  ẳ x 0,y 1,x y x, 1

x

= = − = = đ t ặ f ( )0 =a,…, t  đó suy ra hàm c n tìmừ ầ

IV. THI T KẾ Ế

Trong các bài toán trên vi c thay các bi n b ng nh ng giá tr  đ c bi t c n l u ýệ ế ằ ữ ị ặ ệ ầ ư  

là các giá tr  đó ph i n m trong t p xác đ nh, vi c th  giá tr  ph i có tính k  th a.ị ả ằ ậ ị ệ ế ị ả ế ừ

        Trong các bài toán trên đ u đề ược xây d ng trên t p s  th c và đự ậ ố ự ượ ắc s p x p theoế  

c p đ  tăng d n nh m giúp cho các em làm quen v i vi c gi i phấ ộ ầ ằ ớ ệ ả ương trình hàm 

V. K T QU  Ế ẢGI IẢ  PHƯƠNG TRÌNH HÀM B NG PHẰ ƯƠNG PHÁP THẾ

Trong nh ng năm d y b i dữ ạ ồ ưỡng h c sinh gi i, giáo viên và h c sinh đã cùng nhau tìmọ ỏ ọ  

hi u, nghiên c u th t nhi u tài li u tham kh o, sách b i dể ứ ậ ề ệ ả ồ ưỡng chuyên môn, sách bài 

t p nâng cao Giáo viên đã ch  nh ng phậ ỉ ữ ương pháp, cách th c trình bày và hứ ướng d nẫ  

h c sinh t  nghiên c u tài li u, g p nh ng trọ ự ứ ệ ặ ữ ường h p khó, nan gi i thì giáo viên g i ý,ợ ả ợ  

hướng d n gi i ti p h c sinh. ẫ ả ế ọ

Giáo viên đã giao cho h c sinh nhi u d ng bài t p tọ ề ạ ậ ương t  đ  h c sinh n m v ngự ể ọ ắ ữ   cách th c hi n, ti n trình gi i bài t p, cách trình bày nh  th  nào cho phù h p.ự ệ ế ả ậ ư ế ợ

Ngoài nh ng d ng bài t p trên, giáo viên s  giao ti p các d ng bài t p nâng cao h n,ữ ạ ậ ẽ ế ạ ậ ơ  

ho c khác d ng h n đ  h c sinh s  linh ho t h n trong cách gi i các bài t p.ặ ạ ơ ể ọ ẽ ạ ơ ả ậ

Chính vì nh ng đi u trên, mà trong nh ng năm qua h c sinh đ u đ t đữ ề ữ ọ ề ạ ược nh ng thànhữ   tích khá cao và đ u đề ược d  thi HSG c p qu c giaự ấ ố

VI. TÍNH TH C TI N C A CHUYÊN ĐỰ Ễ Ủ Ề

Chuyên đ  ề “ Gi i phả ương trình hàm b ng phằ ương pháp th  ế ” có th  nêu lên m tể ộ  

s  đi m chính sau đây:ố ể

1. Nh ng đi m m i trong chuyên đ  ữ ể ớ ề

­ Giúp h c sinh có cách nhìn và họ ướng gi i t t h n đ i v i phả ố ơ ố ớ ương trình hàm

­ Đ nh hị ướng cho h c sinh ọ bi t phế ương pháp gi i các bài t p v  phả ậ ề ương trình  hàm b ng phằ ương pháp th  đ i v i c p bi n là t  do.ế ố ớ ặ ế ự

­ H c sinh có th  k t ọ ể ế h p các phợ ương pháp khác đ  gi i các bài toán phể ả ươ  ng trình hàm ph c t p.ứ ạ

­ Chuyên đ  này có th  áp d ng trong vi c h c c a h c sinh và vi c d y c aề ề ụ ệ ọ ủ ọ ệ ạ ủ   giáo viên khi tham gia b i dồ ưỡng h c sinh gi i d  thi c p Qu c gia.ọ ỏ ự ấ ố

2. Đ i v i giáo viênố ớ

­ Có th  s  d ng chuyên đ  đ  thi t k  bài t p b i dể ử ụ ề ể ế ế ậ ồ ưỡng h c sinh gi i .ọ ỏ

­ V n d ng sáng t o chuyên đ  đ  khai thác các ki n th c liên quan và phátậ ụ ạ ề ể ế ứ   tri n chuyên đ  có hi u qu  phù h p v i đ i tể ề ệ ả ợ ớ ố ượng h c sinh. ọ

3. Đ i v i h c sinhố ớ ọ

­ Phát tri n phể ương pháp , kh  năng t  duy c a h c sinh trong quá trình h c.ả ư ủ ọ ọ

­ B i dồ ưỡng năng l cự  lao đ ng, làm vi c sáng t o cho h c sinh.ộ ệ ạ ọ

­ Phát tri n các kĩ năng, phể ương pháp và thái đ  t  h c c a h c sinh.ộ ự ọ ủ ọ

VII. K T LU NẾ Ậ

Phương trình hàm là m t ph n ki n th c khó nên đ i tộ ầ ế ứ ố ượng áp d ng ch  y u là ụ ủ ế các em h c sinh gi i tham gia các kì thi ch n h c sinh gi i c p t nh và qu c gia. ọ ỏ ọ ọ ỏ ấ ỉ ố

       Trong chuyên đ  này ch  đ a ra các d ng bài t p v   ề ỉ ư ạ ậ ề “ Phương pháp th  đế ể 

gi i phả ương trình hàm” . Hi v ng v i m t s  d ng toán đó s  giúp các em h c sinhọ ớ ộ ố ạ ẽ ọ   nâng cao kh  năng t  duy, kh  năng gi i quy t v n đ  khi g p m t bài toán phả ư ả ả ế ấ ề ặ ộ ươ  ng trình hàm trong các kì thi h c sinh gi i. ọ ỏ

         M c dù tôi đã c  g ng xây d ng các d ng bài t p, các cách gi i đ n gi n tuyặ ố ắ ự ạ ậ ả ơ ả   nhiên trong quá trình th c hi n bài vi t s  không tránh kh i nh ng khi m khuy t. Hiự ệ ế ẽ ỏ ữ ế ế