Extraction of cues for insideoutside scan registration ,trích xuất các tín hiệu cho đăng ký quét bên trong và bên ngoài

A la suite nous mettons en œuvre la croissance de région en topologiecapteur mais de rayon possiblement plus grand que 1 à partir du premier point en negardant que les points suffisammen

UNIVERSITÉ NATIONALE DU VIETNAM, HANỌ INSTITUT FRANCOPHONE INTERNATIONAL

UNIVERSITÉ NATIONALE DU VIETNAM, HANỌ INSTITUT FRANCOPHONE INTERNATIONAL

MALLE Zoumana

Extraction of cues for inside/outside

scan registration

Spécialité : Systèmes Intelligents et Multimédia

Code : Programme pilote

MÉMOIRE DE FIN D’ÉTUDES DU MASTER

INFORMATIQUE

Sous la direction de :

Dr Bruno VALLET (MATIS-Team)

Dr Pascal MONASSE (IMAGINE-Team)

Attestation sur l’honneur

J’atteste sur l’honneur que ce mémoire a été réalisé par moi-même et que les données

et les résultats qui y sont présentés sont exacts et n’ont jamais été publiés ailleurs Lasource des informations citées dans ce mémoire a bien été précisée

Signature de l’étudiant

Ce travail de mémoire de Master recherche est le résultat de l’engagement de plusieurs personnes qui ont décidé de m’accompagner résolument dans cet exaltant parcours.

Je remercie Dieu le tout Puissant, très Miséricordieux, qui m’a donné la force, le cou-rage

et la persévérance durant ces deux années C’est avec une certaine émotion et une grande reconnaissance que je remercie l’Université Nationale du Vietnam à travers l’Ins-titut Francophone International La rencontre avec des professeurs brillants et des ca-marades remarquables m’a permis de progresser dans un domaine qui me passionne mais également de me sentir soutenu et entouré Ces années riches en découvertes res-teront longtemps gravées dans ma mémoire, tout comme les méthodes et les principes inculqués par les enseignants : la curiosité, le gỏt du travail, de l’effort, le sens de la persévérance,

la volonté de se remettre en question etc Autant de trésors qui me seront, sans nul doute, utiles toute ma vie Pour toutes ces raisons, je souhaite vous exprimer ma profonde gratitude, ainsi qu’à toute l’équipe pédagogique Je garderai longtemps un souvenir ému de mon passage dans cette école qui m’a tant donnée.

Je saisis aussi cette occasion pour adresser mes profonds remerciements à toute l’équipe MATIS-IGN très chaleureusement Stéphane GUINARD, Oussama ENNAFII, Wu TENG et

en particulier à mes encadrants, Mr Bruno VALLET et Mr Pascal MONASSE qui m’ont beaucoup aidé lors de ce stage ; leurs conseils m’ont permis de cibler et de m’orienter tout

au long de ce stage J’ai eu l’occasion d’être associé à leur travail et d’acquérir de nouvelles connaissances et compétences Celles-ci me seront fort précieuses pour la réalisation de mes projets à venir Ainsi, le temps, l’attention, l’intérêt qu’ils ont bien voulu

me témoi-gner n’ont pas été perdus, et ne seront pas perdus Ils m’ont donné envie de persévérer dans ce métier pour lequel ils ont le plus grand respect la recherche Je possède désormais une expérience du terrain qui me donne des pistes pour m’améliorer.

Un grand merci à mon oncle Soumaila DEMBELE, ma mère Mme Mallé Aramata BELE, à mon père Moumine MALLE et à mes frères et soeurs, pour leurs conseils ainsi que pour leur soutien inconditionnel, à la fois moral et économique Un grand merci aussi à ma très chère grande mère Fanta DEMBELE Je voudrais profiter de cet espace pour leur exprimer toute ma gratitude et ma reconnaissance.

DEM-Grâce à vous, j’aborde une nouvelle étape de ma vie avec confiance et dynamisme.

MALLE Zoumana

Une étape cruciale du projet BIOM (Building Indoor and Outdoor Modeling) vise à lamodélisation automatique et simultanée de l’intérieur et de l’extérieur de bâtiments( dont la précision est proche à celui d’un scan environ 1cm) à partir de donnéesd’acqui-sition image et Lidar (nuages de points denses) Pour atteindre une telleprécision, les indices doivent être extraits des données internes et externes, puisappariés C’est très contraignant parce que ces indices devraient être visibles del’intérieur et de l’extérieur Compte tenu des spécificités des données Lidar quitraversent les fenêtres, nous avons effectués une extraction des polygones planairesqui nous offrent une représentation compacte et localisée à travers la détection desfaçades (polygones verticaux planaires avec une étendue suffisante) Une premièremodification de RANSAC avec un tirage du premier point au hasard dans tout le nuage

de points mais le deuxième et troisième point à proximité en topologie capteur (entheta, phi) A la suite nous mettons en œuvre la croissance de région en topologiecapteur (mais de rayon possiblement plus grand que 1) à partir du premier point en negardant que les points suffisamment proches du plan A chaque étape de notreRANSAC, nous avons obtenus donc un ensemble de points connexes et planaires,qu’on approchera à la fin par alpha-shape pour en ex-traire un polygone plan

Mots clés : Ransac, Croissance de Region, LiDar , Topologie capteur, Nuage de Points

Abstract

A crucial step in the BIOM (Building Indoor and Outdoor Modeling) project is the gistration of indoor and outdoor scans of buildings with an accuracy close to that of ascan (about 1cm) To achieve this accuracy, the indices must be extracted from inter-nal and external data and then matched This is very constraining because these cuesshould be visible from the inside and outside Considering the specificities of the Li-dardata that pass through the windows, we extracted the planar polygons that offer us acompact and localized representation through the detection of the facades (planarvertical polygons with sufficient extent) A first modification of RANSAC with a ran-domdrawing of the first point in the whole point cloud, but the second and third point nearby

re-in sensor topology (re-in theta, phi) Then we implement the growth of region re-in sensortopology (but possibly with a radius greater than 1) from the first point, keeping only thepoints sufficiently close to the plane At each stage of our RANSAC, we there-foreobtained a set of related and planar points, which will be approached at the end byalpha-shape to extract a planar polygon

Keywords : Ransac, Region Growth, LiDar, Sensor Topology, Point Cloud

Table des matières

1.1 IGN-DRE 1

1.2 MATIS 2

1.2.1 L’équipe MATIS 2

1.2.2 Missions du MATIS 2

1.2.3 Impacts Activités Industrielles 3

2 Contexte d’étude et problématique 5 2.1 Projet BIOM 5

2.2 Objectifs 6

2.2.1 Problématique d’extraction 7

3 État de l’art 8 3.1 Introduction 8

3.2 Recalage 10

3.3 Segmentation d’un nuage de points 13

3.4 Détection de plan 13

3.5 Détection de patch planaires 16

3.6 Reconstruction 3D 17

4 Méthodes Proposées 24 4.1 RANSAC 24

4.1.1 Topologie Capteur : 27

4.1.2 Croissance de Région : 29

4.2 Alpha-Shape 29

4.3 Détails Techniques 29

4.3.1 Données Utilisées 29

4.3.2 Bibliothèques et Logiciels 30

4.3.3 Environnement de travail 32

TABLE DES MATIÈRES

5.1 Implémentations 335.2 Résultats 34

6.1 Conclusion générale 426.2 Perspectives 42

A.1 Résultats complets 48A.2 Vue Aérienne LiDAR Chapelle Saint Donat 55

Table des figures

1.1 Système de cartographique mobile 3

1.2 Visualisation 3D Géoportail 4

1.3 Application de visualisation 3D 4

1.4 Visualisation 3D lidar aérien Paris 4

3.1 Scan LiDAR colorisé 9

3.2 Acquisition d’un objet par deux stations [Reshetyuk, 2009] 10

3.3 Exemple de transformée de Hough 16

3.4 Exemple d’étapes d’algorithme de reconstruction 19

3.5 Classification des méthodes de reconstruction 19

3.6 Image illustrant la croissance de région 21

3.7 Représentation traditionnelle de la démarche 22

3.8 Calcul de coque convexe à l’aide d’alphaShape 22

4.1 Détails du pipeline 27

4.2 La topologie capteur avec 6 voisinages 28

4.3 Chaque écho est connecté à tous les échos de toutes les impulsions voi-sines 28

4.4 Schémas illustrant notre approche pour la topologie capteur 28

4.5 IGN Scan Lidar Église Saint-Donat 30

4.6 Saint-Donat de Montfort Façade sud en 2007 30

5.1 Scan Intérieur Chapelle Saint-Donat 35

5.2 Scan Extérieur Chapelle Saint-Donat 35

5.3 Résultat RANSAC scan intérieur 36

5.4 Résultat RANSAC scan extérieur 36

5.5 Résultat RANSAC scan intérieur avec la topologie capteur 37

5.6 Résultat RANSAC scan extérieur avec la topologie capteur 38

5.7 Résultat RANSAC scan intérieur avec la croissance de région 39

5.8 Résultat RANSAC scan extérieur avec la croissance de région 39

5.9 Résultat RANSAC scan intérieur avec l’alpha-shape 40

TABLE DES FIGURES

5.10 Résultat RANSAC scan extérieur avec l’alpha-shape 41

5.11 Résultat vue extérieure Façades de la Chapelle 41

A.1 Résultats Extérieur Bâtiment Chapelle Saint-Donat 48

A.2 Résultats Façades Chapelle Saint-Donat 49

A.3 Résultats 1 Alpha-shape Extérieur Façades Chapelle Saint-Donat 50

A.4 Résultats 2 Alpha-shape Façades Chapelle Saint-Donat 51

A.5 Résultats Intérieur Bâtiment Chapelle Saint-Donat 52

A.6 Résultats 1 Alpha-shape Intérieur Bâtiment Chapelle Saint-Donat 53

A.7 Résultats 2 Alpha-shape Intérieur Bâtiment Chapelle Saint-Donat 54

A.8 Vue Aérienne 1 Bâtiment Chapelle Saint-Donat 55

A.9 Vue Aérienne 2 Bâtiment Chapelle Saint-Donat 56

Liste des sigles et acronymes

Building Indoor & Outdoor Modelling

Building Information Models

Institut National de l’information Géographique et Forestière LIght Detection And Ranging

Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation

RANdom SAmple Consensus

RAdio Detection And Ranging

de l’Armée (SGA), dissout en 1940.

L’activité de recherche est organisée au sein de cinq laboratoires de la Direction de

la recherche et de l’enseignement ; ces cinq laboratoires sont :

— COGIT : (conception d’objet et généralisation de l’information topographique),

spécialisé en SIG et cartographie ;

— MATIS : (méthodes d’analyse et de traitement d’images pour la

stéréorestitu-tion), spécialisé en photogrammétrie et vision par ordinateur ;

— LOEMI : (Laboratoire d’optique, d’électronique et de micro-informatique) qui

développe des instruments (notamment de prise de vues) ;

— LAREG : (laboratoire de recherche en géodésie), un laboratoire de géodésie

si-tué dans les murs même de l’ENSG, qui entretient ITRF, le référentiel

géodésique mondial ;

— LIF : (laboratoire d’inventaire forestier).

Les données collectées par l’IGN sont diffusées sur Internet via des applications web,pour des usages professionnels ou grand public, comme par exemple la plateformeiTowns Cette plateforme permet de naviguer de manière immersive et fluide dans les

1 http://www.ign.fr/

CHAPITRE 1 PRÉSENTATION DE LA STRUCTURE D’ACCUEIL

données collectées, de les annoter, éventuellement avec des objets multimédias, deréaliser des mesures de précision centimétrique, et aussi d’ajouter de nouveaux objetsvirtuels pour notamment présenter des projets d’aménagement

1.2 MATIS

1.2.1 L’équipe MATIS

L’équipe MATIS 2 est située dans les locaux de l’IGN à Saint Mandé Elle mène desrecherches en mathématiques et en informatique appliquées à la photogrammétrie, lavision par ordinateur et la télédétection pour l’imagerie multi-capteurs (optique, Li-DAR,radar, etc.) et multi-sources Ses membres ont développé des compétences dans toute

la chaîne de l’imagerie pour la télédétection : radiométrie, photogrammétrie, analyse etsynthèse d’image physique, vision par ordinateur 2D et 3D, reconstructiontridimensionnelle de surfaces et d’objets complexes, indexation à large échelle, recon-naissance des formes, classification, qualification de données, visualisation et inter-action Ces compétences sont déployées dans un contexte métrologique propre à laphotogrammétrie, à plusieurs niveaux de la chaîne Depuis plusieurs années, la va-riété, la complexité et le volume des données produites et manipulées le positionnentégalement dans le domaine du Big Data, pour lequel il a acquis une expertise dans lepassage à l’échelle de ses méthodes algorithmiques et dans la gestion des grands vo-lumes de données hétérogènes

1.2.2 Missions du MATIS

L’équipe a pour principales missions l’amélioration de la production, de l’analysegrâce à l’acquisition d’imagerie terrestre, aéroportée et/ou satellitaire MATIS utilise destechniques de classification à la reconstruction 3D en passant par la segmenta-tion Lavalorisation de ces données acquises pouvant à la ensuite être exploitées par diversacteurs (État, collectivités locales, armée etc) Le MATIS s’implique aussi dans lacommunauté open source en développant et proposant des librairies telle que Cut-Pursuit 3 tant d’autres et des jeux de données en libre accès Il mène également encontinu plusieurs actions de soutien envers les services de production et de dévelop-pement de l’IGN (vectorisation de la BD parcellaire, reconstruction de modèles 3D devilles, segmentation et classification de la végétation, système de numérisation ter-

restre Stéréopolis (figure 1.1) [Paparoditis et al., 2012] , plateforme de visualisation

et d’interaction Itowns 4 , etc.).

2 http://recherche.ign.fr/labos/matis/accueilMATIS.php

3 https://github.com/loicland/cut-pursuit

4 https://github.com/iTowns/itowns

CHAPITRE 1 PRÉSENTATION DE LA STRUCTURE D’ACCUEIL

1.2.3 Impacts Activités Industrielles

Ces véhicules, qui parcourent l’espace public et le numérisent spatialement sontappelés Stéréopolis pour ceux qui circulent sur la voie publique et Viapolis pour ceuxqui circulent sur les trottoirs ou sur les espaces ouverts au public Tous deux sont équi-pés de dispositifs de photographie (caméras panoramiques ou stéréoscopiques) et demesures tridimensionnelles

— ITOWNS :

ITowns est une plateforme technologique de l’IGN permettant de visualiser 5 et d’ex-ploitertous types de données géographiques 6 3D à travers le web Initialement dé-veloppée parles laboratoires de recherche de l’IGN, iTowns est une plateforme web industrielle pourvisualiser des données géographiques 3D Adaptable facilement, elle répond également à

de nombreux autres besoins plus précis tels que la simulation ou l’interaction avancée.Utilisant la technologie WebGL, iTowns propose de nouvelles fonctionnalités devisualisation 3D : navigation immersive dans un très grand corps de donnéesgéoréférencées depuis l’espace au sol, visualisation des images panora-miques à 360degrés, des modèles 3D texturés, des bâtiments, des données 3D hétéro-gènes 7 (MNT,MNS, image et lidar aérien et terrestre, maillages, données vecteur avec légendesadaptatives, gestion de la transparence) ITowns est une plateforme ouverte et

CHAPITRE 1 PRÉSENTATION DE LA STRUCTURE D’ACCUEIL

collaborative gouvernée par des acteurs issus de la recherche et du développement

Les équipes de l’IGN, le laboratoire CNRS LIRIS et deux PME, Oslandia et AtolCD,contri-buent activement au développement de nouveaux services et applications La

plate-forme, hébergée sur GitHub sous licence libre, est par ailleurs ouverte à tous lescontri-buteurs souhaitant participer à son développement

de données hétérogènes car la modélisation complète d’un bâtiment requiert desacquisition intérieures et extérieures aériennes et au niveau du sol Le projet vise aussi àexploiter la complémentarité image/LiDAR et

à gérer les occultations dues au mobilier intérieur et urbain Enfin, une large variété destyles architecturaux, d’arrangements intérieurs et de nombreux types d’objets devront êtregérés Les approches de l’état de l’art traitent en général soit de l’extérieur, soit de l’intérieur

et en se limitant alors souvent à une seule pièce, au mieux un seul étage, et souvent enutilisant des a priori très forts de parallélisme et d’orthogonalité qui ne sont pasnécessairement vérifiés De notre point de vue, aucune méthode n’a proposé unemodélisation conjointe intérieur/extérieur dans le cadre d’un formalisme unifié Après uneanalyse séparée des données acquises à l’intérieur et l’extérieur, nous proposons deformaliser les a priori complexes sur la structure des bâtiments et des objets inclus demanière probabiliste Un problème ouvert crucial dans la modélisation probabiliste

à partir de nuages de points est la prise en compte de la granularité des objet et la pologie de larges scènes partiellement occultées De ce point de vue, nos rechercheschercheront le meilleur compromis entre les approches de modélisation générative ouprocédurales et la reconstruction par généralisation ou à partir de primitives De plus,

to-CHAPITRE 2 CONTEXTE D’ÉTUDE ET PROBLÉMATIQUE

un compromis entre les approches non supervisées rapides et superviséesexpressives et détaillées pour la reconnaissance d’objets sera recherché Le projetBIOM s’intéres-sera à des cas d’application multi-échelles et à leurs besoins enmodélisation et dé-veloppera des méthodologies opérationelles pour produire desmodèles BIM prêts à l’usage dans les formats IFC et CityGML standards Des preuves

de concept couvrant différentes phases et aspects d’un projet urbain serontexpérimentées sur deux sites et industrialisées au travers de services web Ledéveloppement de nouvelles métho-dologies et services (simulations, optimisations, )basées sur des clones virtuels de bâtiments ne peuvent s’appliquer qu’au sousensemble très limité de bâtiments qui disposent de ces clones Le projet BIOMproposera comme solution une méthodologie de référence robuste et exhaustive demodélisation BIM à partir de données d’acqui-sition pour adresser un large champsd’applications : inventaire et études urbaines, gestion du chantier et du cycle de vie,phase d’occupation, consultation et communi-cation des informations urbaines Leprojet a un potentiel applicatif important pour des produits industriels

2.2 Objectifs

Une étape importante du projet BIOM est la réalisation d’un enregistrement desscans intérieurs et extérieurs avec une précision proche de celui d’un scan (environ1cm) Pour atteindre cette précision , ainsi l’étude portera sur l’extraction des donnéesinternes et externes, puis appariés Néanmoins très contraignant parce que les indicesdevraient être visible de l’intérieur et de l’extérieur Nous définissons l’extraction de cesindices à partir des travaux de recherches ci-dessous énumérés dont nous détailleronsdans l’état de l’art

1 Cadres de fenêtres 3D comme dans [Cohen et al., 2016]

2 Segments 3D comme dans [Akinlar and Topal, 2011, Bay et al., 2005, Koch et al., 2016]

3 Polygones planaires comme dans [Salaün et al., 2016]

Compte tenu des spécificités des données LiDAR qui traversent les fenêtres, nous posons d’extraire des polygones planaires qui offrent une représentation compacte etlocalisée Ainsi nous proposons les étapes suivantes pour extraire ces polygones :

pro-1 Détection de points à l’intérieur des bâtiments lors du scan extérieur

— détection de Façades (RANSAC)

— Sélectionner les rayons Lidar qui traversent ce plan (suffisamment loin)

2 Extraction de polygones planaires

— Détection planaire des points intérieurs à partir des scans intérieurs et térieurs

ex-— Pour chaque plan, regrouper les points du plan de regroupement

— Pour chaque groupe, extraction et simplification de la limite des points pés en un polygone

grou-CHAPITRE 2 CONTEXTE D’ÉTUDE ET PROBLÉMATIQUE

2.2.1 Problématique d’extraction

Il est intéressant de noter que la méthode d’extraction de polygones planaires peut être utilisée pour la détection des façades et l’extraction des repères La plupart des po-lygones planaires détectés à l’intérieur ne seront pas visibles de l’extérieur qui reste une problématique non négligeable Cependant, il pourrait être utile d’ajouter des contraintes

de parallélisme, d’orthogonalité avec la façade détectée de l’extérieur

nous appellons "nuages de points", de même qu’un appareil photo mesure des couleurs

pour un ensemble de pixels discrets Le traitement de ces nuages de points ouvre donc denombreuses perspectives algorithmiques L’une d’entre elle est celle de la détection deplans Résoudre ce problème permet en effet d’envisager le calcul d’un modèletridimensionnel simple de l’objet observé, par exemple sous forme d’un maillage composé

de faces Les Données provenant de LiDAR ( détection et estimation de la distance par lalumière ou par laser) dans notre contexte sont une source d’in-formation pour lamodélisation des scènes urbaines (bâtiments, toitures, intérieur et extérieur etc ), ainsi quepour la génération des modèles numériques de terrain Les récents développements desscanners lasser terrestre ont apportés de nouvelles pro-blématiques de recherche à lamodélisation des façades Ils permettent de donner une description de l’ensemble de pointsqui sont définis dans un système de coordonnées cartésiennes en 3D Les modèles deBâtiments issues des données LiDAR fournissent une description simplifiée complète ettrès pertinente à travers les nuages de points en 3D d’une part avec un rendu réaliste etd’autre part donne une meilleure compré-hension de la représentation des objets urbains.Les relevés laser terrestres peuvent être réalisés en mode statique ou dynamique selon lanature de la plateforme consi-dérée Contrairement aux systèmes statiques à balayagelaser statique, les systèmes dynamiques utilisent des plateformes mobiles pour acquérir del’information tout en se déplaçant Ceci a pour avantage de couvrir des scènes aussi largesque possible dans un laps de temps très court, avec une précision raisonnable Ilspermettent un gain de temps considérable et possèdent donc un avantage économiqueindéniable comparés aux systèmes statiques Du point de vue technique, ces systèmesfont intervenir des

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

instruments permettant de maitriser le positionnement du véhicule et donc le férencement des données acquise Ainsi le résultat d’un scan laser est un ensemble de

géoré-points définis par les coordonnées 3D, représenté par les nuages de géoré-points dans la

fi-gure 3.1 Chaque point est donc référencé par ses coordonnées (x, y, z) dans le

repère du scanner Le balayage laser terrestre permet un enregistrement de millions de

points dans un laps de temps très court

Il en résulte des nuages de points très denses, mais souvent très volumineux Si onattribue à chaque point numérisé les valeurs RVB (rouge, vert, bleu) issues d’imagesnumériques correctement recalées sur le nuage, ce dernier reflétera d’une manière réa-liste l’objet scanné et s’apparentera à une image photographique couleurs Les points nesont qu’un échantillonnage discret de la réalité tandisque le modèle 3D représente unereproduction plus ou moins fidèle de celle-ci La gestion de ces données s’avèrent trèscomplexe vue la quantité de points à importer d’ó une alternative afin d’y pal-lier enpassant par une modélisation géométrique du bâtiment à partir des nuages de points Uneautre solution à ce problème est de passer à un modèle composé de points, indépendantsles uns des autres, à un modèle de surface composé d’un nombre réduit d’entitésgéométriques liées entre elle par une reconnection entre polygones Ainsi la notion de latopologie capteur permet en ce sens de donner la structure d’un nuage de points et lesrelations d’adjacence entre points

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

3.2 Recalage

Le principe du recalage selon [Monnier et al., 2013] consiste à mettre en cohérence

au minimum deux jeux de données entre eux ou le premier sert de référence sur quel le second est recalé Le but ainsi est de déterminer la transformation (rotation,translation) nécessaire pour rapprocher au mieux les données entre elles Pour garan-tir une densité suffisante du nuage de points et de pallier à l’effet d’occlusion, l’ob-jetest scanné à partir de plusieurs points de vues (ou stations ou positions) Ainsi lenuage de points de chaque position est acquis dans le référentiel propre à la station[Reshetyuk, 2009]

La numérisation d’un objet à partir d’une seule station est très souvent difficile Il est

à préciser néanmoins dans certains cas, il est possible de modeliser des objets à partird’une station fixe comme dans [Guinard and Vallet, 2018] Pour couvrir toutes les faces

de l’objet, plusieurs points de vue différents sont nécessaires Nous pouvons dire quecela est dû à des raisons assez disparate, soit le champ de vision du scan-ner estlimité, l’objet est de dimension ou d’architecture complexe, mais pourrait être aussi desobstacles empêchant une visée directe et génèrent des masques sur la surface

à scanner Les nuages de points provenant de ces stations multiples sont définis cha-cundans un repère relatif au scanner laser Un regroupement dans un même système decoordonnées l’ensemble des nuages de points acquissent depuis les différentes sta-tions Ceprocessus s’appel le « recalage » (registration en anglais) Dans les travaux de [Mezian et al.,2016], ils ont eu à calculer l’incertitude de propagation pour les don-nées LiDAR terrestre 3D A

la suite choisissent un modèle indéterminé pour le mo-dèle de construction 3D, en formulant uneméthode mathématique pour l’enregistre-ment entre les deux ensembles de données [Besl andMcKay, 1992] proposent une mé-thode très efficace en considérant des points, des lignes, descourbes comme des élé-ments homologues, à travers leur algorithme connu sous le sigle ICP(Iterative Closest

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

Point), ils ont étudié les relations mathématiques nécessaires pour définir le point leplus proche spatialement qui appartient à un ensemble géométrique d’un autre pointconnu par exemple la distance entre un point et un ensemble de points est définie par

la distance minimale entre ce point et chaque point de l’ensemble ainsi Le point del’ensemble qui permet le calcul de ce minimum sera considéré comme étant le plusproche ; plusieurs variantes de cet algorithme ont fait objet de publication Nous pou-vons considérer deux méthodes qui permettent de faire le recalage de nuage :

1 Correspondance entre les points :

Parmi les méthodes basées sur la correspondance entre points, on peut citer les deux plus courantes qui sont la méthode ICP et la méthode DARCES

— Méthode ICP :

La méthode ICP (Iterative Closest Point), proposée par [Besl and McKay, 1992], est probablement la méthode la plus fréquemment employée par les logi-ciels permettant de réaliser un recalage automatique entre deux modèles

de données géométriques Par cette méthode, le recalage est possible quelle que soit la nature des données géométriques (points, courbes de degrés dif-férents, surfaces) Elle cherche à minimiser la distance entre deux nuages, point à point, par itérations successives De la même manière qu’en photo-grammétrie, le recalage exige de connaitre des points « homologues » dans les différents nuages Cependant, trouver des points « homologues » n’est paspossible si l’on considère des nuages de points (données discrètes) On préférera parler de « points de correspondance » Si l’algorithme ne les trouve pas, il tente de remplacer le point de correspondance par le point le plus proche, d’ó le nom de la méthode [Besl and McKay, 1992] ont étudié les relations mathématiques nécessaires pour définir le point le plus proche spatialement (appartenant à un ensemble géométrique) d’un autre point connu Par exemple, ils considèrent que la distance entre un point et un ensemble de points est définie par la distance minimale entre ce point et chaque point de l’ensemble Le point de l’ensemble qui permet le calcul de ce minimum sera considéré comme étant le plus proche Les inconvénients principaux de la méthode de l’ICP dans sa forme originale sont d’une part qu’elle converge vers un minimum qui risque d’être faux, surtout lorsqu’il existebeaucoup de bruit dans les données D’autre part, un grand nombre

d’itérations est nécessaire à la convergence du modèle Plusieurs solutions constituant les variantes de l’ICP ont été mises en œuvre pour surmonter ces inconvénients [Gelfand et al., 2003] ont critiqué le fait de prendre en compte tous les points de correspondance car cela n’améliore pas les ré-sultats Alors ils ont proposé une solution consistant à ré-échantillonner le nuage, ce qui accentue la complexité géométrique de la scène et par consé-quent accélère

la convergence et affine l’alignement entre les deux nuages de points [Krebs

et al., 1996] ont reconstruit la méthode ICP fondée sur la logique floue, en introduisant à chaque itération une fonction d’apparte-nance basée sur le calcul des distances des points à transformer par rapport

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

aux points du nuage « modèle » Cette fonction fonctionne de façon idéale lorsqu’il s’agit de reconnaître un objet de forme connue dans un nuage de points On trouve encore des méthodes qui adoptent le même principe que l’algorithme ICP mais en améliorant les fonctions à minimiser [Mitra et al., 2004,

Li and Wang, 2008]

— Méthode DARCES :

Elle est destinée particulièrement aux traitements des données 3D pourlesquelles le recouvrement est partielle ; DARCES (DATA-Aligned Rigidity-Constrained Exhaustive Search) a été proposée par [Chen et al., 1999] Pourchercher les points de correspondance dans les deux nuages, leur méthodeprofite des avantages de l’algorithme RANSAC dont nous parlerons dans lapartie méthode proposée L’algorithme commence par le choix aléatoire d’untriplet de points dans le nuage observé 1, calcule les paramètres de la sphèrepassant par ces trois points et cherche ensuite les points, dans le nuagemodèle 2 , qui appartiennent à la même sphère L’atout de DARCES est qu’ilpermet un recalage 3D en intégrant des contraintes géométriques dans unintervalle de temps réduit comparé aux autres méthodes mais l’un desinconvénients de l’algorithme elle ne se repose que sur l’hypothèse qu’il y atoujours des triplets de points de correspondance dans les deux nuagesconsidérés Cela n’est pas toujours le cas, notamment si l’on acquiert desnuages avec des résolutions spatiales et angulaires différentes

2 Correspondance entre entités géométriques :

Selon [Boulaassal et al., 2007] elle a pour objectif de retrouver des entités métriques homologues (cylindres, plans, sphères, ) dans les deux nuages depoints Le principal défaut consiste en une grande dépendance aux détails lo-caux saillants, mais également un temps de calcul assez important L’avantageprincipal est d’accentuer les propriétés géométriques au lieu de dépendre seule-ment des points du scan Néanmoins une reconnaissance préalable des entitésgéométriques de l’élément ou objet scanner est nécessaire Elle doit être précisevue que la qualité du recalage en dépendra par la suite La méthode n’est pasloin de la recherche de points de correspondance qui s’appuie très souvent surl’ex-traction des entités géométriques Nous la considérons comme uneextension de la méthode cité ci-dessus Les atouts des méthodes se basant surles entités géo-métriques, est qu’elles permettent d’avoir plus de paramètresfacilitant le calcul des inconnues de la transformation ; en plus ils n’exigent pas

géo-de valeurs appro-chées pour initialiser cette transformation Mais un désavantagepeut se révéler, dû au manque de détails locaux saillants et le temps detraitement nécessaire lors de l’extraction des entités pour les sauvegarder

1 Le nuage « observé » est le nuage qui subit les transformations de l’ICP (rotation+translation) pour s’aligner avec le nuage modèle

2 Le nuage « modèle » est le nuage de référence considéré comme fixe pendant les transformations de l’ICP

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

3.3 Segmentation d’un nuage de points

La segmentation du nuage de points peut être vu comme un problème de classifica-tion non-supervisée : l’objectif est de regrouper des points adjacents certaines similari-tés (position, orientation, couleurs, ) Chaque point est affecté au modèle avec lequel il a le plus de

similarités Cette dernière est généralement mesurée par une distance entre le point et le modèle La description d’un nuage de points correspondant à un bâ-timent est de le considérer comme la réunion d’ensembles de points appartenant à des plans qui vont représenter les différentes parties du bâtiment (façade, plan de toiture, terrasse, )[Bennis et al., 2011] et toutesles autres primitives de RANSAC (cylindres, sphères etc) Chaque ensemble de points 3D extrait appartient à un plan donné si sa distance par rapport au plan est nulle Un point

appartient à un plan donné si sa dis-tance à ce plan est faible[Boulaassal et al., 2007], en pratique, compte tenu des erreurs dues au bruit de mesure, aux erreurs de modèle, à la

granularité de la façade L’objec-tif est de trouver un sous-ensemble de points qui a une plus grande cardinalité dont la distance à un plan inconnu est inférieure à un seuil Les travaux de [Pu et al., 2006, Stamos and Allen, 2002] utilisent des extensions de l’algorithme de croissance

de ré-gion pour extraire des éléments plans des façades de bâtiments numérisées avec des scanners laser terrestres Dans le même contexte, [Wang and Tseng, 2004, Schnabel et al., 2007]) proposent des approches de segmentation basées sur l’algorithme de division-fusion (split-and-merge) en utilisant une structure octree (équivalente de quadtree sur les images)

En raison de leur abondance dans les environnements artificiels, ainsi que de leurs

propriétés géométriques attrayantes, les plans sont couramment utilisés dans diverses

tâches de vision par ordinateur Comme indiqué dans la littérature, les plans ont été utilisésavec succès dans diverses applications telles que le groupage [Van Gool et al., 1998],

Reconstruction 3D et analyse de scène [Kaucic et al., 2001, Kähler and Denzler, 2006], la reconnaissance de formes [Rothwell et al., 1995],

la segmentation [Lerma and Biosca, 2008] et la réalité augmentée [Simon et al., 2000]

L’une des méthodes les plus connues pour la détection de plan est l’algorithme

RAN-dom SAmple Consensus [Fischler and Bolles, 1981] Les travaux ont permis de

detecter avec succès les plans en 2D comme en 3D RANSAC est fiable même en

présence d’une forte proportion d’outliers

Le principe a été bien expliqué par [Fischler and Bolles, 1981, Yang and Förstner, 2010]

Dans la modélisation automatique de bâtiments basée sur les données Lidar, de

nom-breux auteurs suggèrent son utilisation pour la réalisation de différentes tâches Par

exemple, [Brenner et al., 2001] utilisent l’algorithme RANSAC pour détecter les plans du

toit des bâtiments [Schnabel et al., 2007] utilisent RANSAC pour la detection des formes

géometrique primitives, telles que des plans, des sphères, cylindres, cônes, dans

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

les nuages de points Dans notre cas, nous l’appliquerons dans le but de détecter les plans

— Algorithme RANSAC pour la détection plane :

Le principe de l’algorithme RANSAC consiste à rechercher le meilleur plan dans unnuage de points 3D Dans le même temps, une réduction du nombre d’itérations esteffectué, même si le nombre de points est très important Pour cela, il sélectionne aléa-toirement trois points et calcule les paramètres du plan correspondant le RANSAC dé-tecte ensuite tous les points du nuage d’origine appartenant au plan en calculant enfonction d’un seuil(threshold) donné Ensuite, il répète ces procédures N fois ; danschacune d’elles, l’algorithme compare le résultat obtenu avec le dernier résultat enre-gistré Si le nouveau résultat est meilleur, RANSAC remplace le resultat enregistré par

le nouveau

— Principe de RANSAC 3 :

1 Sélectionner des échantillons de points qui définissent une primitive unique

2 Garder la primitive qui explique le plus de points

3 Supprimer les points expliqués

— Notion d’inliers et d’outliers :

1 On choisit un seuil de distance

2 On appelle inlier un point dont la distance à la primitive est inférieure au seuil

On considère que ce point appartient à la primitive

3 On appelle outlier un point dont la distance à la primitive est supérieure au seuil.

On considère que ce point n’appartient pas à la primitive Il peut appartenir à une autreprimitive ou venir d’une erreur de mesure

Pour le choix du nombre d’itérations, le nombre minumum de points par primitive est unparamètre, on peut s’en servir pour calculer la probabilité de tirer un point sur une

primitive minimum : P mi n ˘ N mi n /N r est et tirer à la suite tous les points définissant la

primitive minimum sur celle-ci : P al l ˘ P n mi n Ainsi la probabilité de ne pas trouver la

primitive au bout de m tirages est alors : P not ˘ (1¡P al l )m On peut donc se fixer cetrte

probabilité en choissisant m ˘ l og (P not)

l og (1¡P al l )

— Trois paramètres critiques :

1 Distance de séparation des inliers et outliers :

(a) Donne le pouvoir de séparation de l’algorithme

(b) Compromis entre moins de primitives et moins d’erreur

3 Source RANSAC & Limites : Bruno Vallet, Extraction de Structure, Laboratoire MATIS–IGN bruno vallet@ign.fr

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

2 Seuil sur l’arrêt :

(a) Définit un nombre de points minimum pour justifier l’existence d’une mitive

pri-(b) Compromis entre moins de primitives et plus de points expliqués

3 Probabilité de ne pas avoir une primitive minimale :

(a) compromis entre temps de calcul et garanties sur l’optimalité du résultat

pro-La segmentation du nuage de points est basée sur les formes géométriques reconnues

et extraites Nous ne pourrons terminer cette partie sans évoquer brièvement rithme de Hough

l’algo-— La transformée de Hough :

[Hough, 1962] est un outil de reconnaissance de formes basé sur une connaissance apriori Cette méthode fait partie de la famille des algorithmes de votes Elle est sou-ventutilisée dans la détection de lignes 2D (en analyse d’images) Mais, l’extension àd’autres primitives géométriques représentées par une fonction mathématique simple(plan, cercle, ellipse ) ou à des espaces de dimension quelconque est aussi possible.Dans la transformée de Hough 4, dite aussi transformée standard de Hough ou SHT,chaque ligne est un vecteur de coordonnées paramétriques :

— µ : représente l’angle ;

— p : la norme du vecteur (la longueur du segment perpendiculaire à la droite d’angle

µ et passant par l’origine).

En transformant toutes les lignes possibles qui passent par un point, c’est-à-dire en

calculant la valeur de p pour chaque µ , on obtient une sinusọde unique appelée «

espace de Hough » Si les courbes associées à deux points se coupent, l’endroit óelles se coupent dans l’espace de Hough correspond aux paramètres d’une droite qui

relie ces deux points (figure 3.3).

4 Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Transform%C3%A9e_de_Hough

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

C’est une méthode d’extraction des primitives basé sur le changement d’un espace objet à un espace des paramètres [Borrmann et al., 2011] ont utilisés la transformée de Hough pour détecter les plans de toiture tandis que [Rabbani and Van Den Heuvel,

2005] soulignent la dépendance du temps d’implémentation de l’algorithme par rapport à

la résolution du nuage de points, ce qui inhibe sa perfection

3.5 Détection de patch planaires

les méthodes d’approximation fidèle et concise des jeux de données 3D complexesest essentielles pour la réduction du cỏt de calcul des applications graphiques Détec-

ter efficacement la géométrie d’une surface reste une tâche fastidieuse [Cohen-Steiner et al., 2004] proposent des contributions théoriques et pratiques qui a permis d’aboutir à un nou-veau cadre polyvalent pour l’approximation géométrique des formes ; en définissantune stratégie transformant l’approximation de forme en problème de partitionnementgéométrique variationnel, pour créer une partition d’une triangulation arbitraire nonplate [Cohen-Steiner et al., 2004] utilisent un algorithme de croissance de région mi-nimisant les erreurs qui segmentera l’objet dans des régions connectées qui ne se che-vauchent pas Le concept de proxy géométrique a permis de réduire l’erreur de distor-sion tout en regroupant de manière répétée les faces dans les régions les mieux adap-tées

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

L’approche [Cohen-Steiner et al., 2004] est entièrement discrète et basée sur les erreurs, et

ne nécessite pas de paramétrage ou d’estimation locale des grandeurs différentielles ilsproposent une nouvelle métrique basée sur la déviation de la normale et démontre lecomportement supérieur pour visualiser localement les directions considérées

L’interprétation des données 3D telles que les nuages de points dépend fortement del’échelle d’observation ; comme la précédente article et tant d’autres portant sur la dé-tection des formes, ils s’appuient sur le principe de l’essai ou de l’erreur avec réglagesdes paramètres pour des configurations de sortie représentatives d’une échelle struc-turelle [Fang et al., 2018] présentent une nouvelle approche qui permet d’extraire unensemble de représentations qui capturent la forme et la structure d’un objets fabri-qués par l’homme à différentes niveaux d’abstraction Ils effectuent un processus d’af-faissement de formes qui génère d’abord une séquence fine et grossière de représen-tations de la forme par l’exploitation de la planéité locale A la suite cette séquence estanalysée pour identifier des variations géométriques significatives à travers des repré-sentations par une minimisation d’énergie supervisée La modélisation et le traitementgéométrique d’environnements crées par l’homme à partir des données de mesure re-posent souvent sur une détection robuste de formes primitives planaires la détection et

le renforcement des régularités entre les parties planes constituent un moyen croître la résistance aux données manquantes ou chargées de défauts, ainsi permet deréduire la complexité des modèles et des algorithmes au sein du pipeline de modé-lisation [Oesau et al., 2016] proposent une méthode de détection et de régularisation

d’ac-en tandem ou après échantillonnage de l’d’ac-ensemble des points d’d’ac-entrées, ils effectud’ac-entune détection de forme parallèle par la croissance de région que nous présenterons endétail dans notre méthode proposée ; entrelacée avec une régularisation par détec-tion

et renforcement de relations régulières ( coplanaire, parallèle et orthogonale) proche proposée par [Oesau et al., 2016] s’apparente à celui de [Schnabel et al.,2007] [Whelan et al., 2015] proposent une méthode de segmentation planaireincrémentielle d’une carte de nuages de points qui s’étend progressivement vers uneméthode de tri-angulation et de texturation efficaces des segments de surface plansqui est capable de s’exécuter en temps réel tout en produisant une segmentation fidèlecontrairement à une segmentation par lots leur algorithme de simplification et detriangulation pla-naire supprime plus de 90% des points plans entrés, ce qui conduit àune triangulation avec seulement 10% de la quantité initiale de triangles par segmentplanaire celui de la génération de texture conserve toutes les informations de couleurcontenues dans les segments plans, ce qui donne une représentation simplifiée,attrayante visuellement et géométriquement précise

La reconstruction de scènes en 3D reste un enjeu pour de nombreuses applica-tions.Avec le développement des modèles Numériques de terrain en constitue une partie visible,ainsi que les techniques de scanner 3D L’environnement existant est tout

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

d’abord numérisé à l’aide d’un scanner laser Les données ainsi obtenues prennent laforme d’un nuage de points 3D non-structuré et non-homogène Ensuite une seg-mentationest effectuée sur ce nuage de points et reconstruire les différentes surfaces constituants lemodèle de la scène [Chauve et al., 2010] ont proposée une méthode de reconstruction quipermet de faire une représentation 3D concise et idéalisée à partir de données ponctuellesnon structurées de scènes du monde réel complexes et en-combrées, avec un niveau debruit élevé L’algorithme en question peut prendre des millions de points en entrée dans unmaillage polygonal léger, étanche et optimisé, sans intersection automatique, préservantles composants structurels de la scène à une échelle définie par l’utilisateur et complète demanière plausible les parties de scène manquantes Pour ce faire, [Chauve et al., 2010] ontincorporés des a priori sur le scènes urbaines et architecturales, à travers uneprédominance des structures ver-ticales et des intersections orthogonales Ils ajoutentcomme contribution, une dé-composition adaptative de l’espace 3D induite par desprimitives planaires, à savoir un complexe de cellules polyédriques L’expérimentation del’approche sur plusieurs dataset de nuages de points bruyants et difficiles de scènesurbaines et architecturales a permis de valider la méthode proposée [Boulch et al., 2014]

se sont appuyés sur les travaux de [Chauve et al., 2010] sur la reconstruction 3D d’unesurface par morceaux à travers un scan LiDAR comportant des millions de points Laprincipale contribution de [Boulch et al., 2014] c’est de proposer une reconstruction dansles zones invisibles du scan La surface reconstruite est un maillage polygonal étanche quiest conforme aux observations à une échelle donnée dans les parties planes visibles de lascène et plausible dans les parties cachées Ainsi ils formulent la reconstruction de surface

en tant que problème d’optimisation discret basé sur des plans détectés et supposés Atravers des nouvelles hypothèses de surface ; une régularisation de la surface recons-truitepar la longueur des arêtes et le nombre de coins par rapport à la régularisation surfaciqueclassique La technique des auteurs capture mieux la complexité de la sur-face et convientdonc mieux aux environnements créés par l’homme, tels que les bâti-ments [Berger et al.,2017] étudient le domaine de la reconstruction de surface et four-nissent une catégorisation

en fonction des priorités, des imperfections des données et des résultats de lareconstruction tout en considérant une vue holistique de la recons-truction de surface Lesrecherches dans la littérature qui portent sur la reconstruction de surface est vaste et ilexiste de nombreux algorithmes 5 et approches différents pour ce problème Il existe

différents algorithmes de reconstruction et il est difficile d’en dis-cuter tous La figure 3.5

suivante présente une classification des méthodes de recons-truction Nous n’aborderons que quelques-unes de chaque catégorie mais évoquerons en détail la croissance de région et l’alpha shape dans la méthode proposée.

5 NB : Cet étape représenter sur la figure 3.4 pour la reconstruction reste un exemple parmi tant d’autres.

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

1 Méthodes basées sur la Croissance de Région :

Propagent l’information et reconstruisent ainsi les surfaces dans un style gressif [Hoppe et al., 1992] fournit une estimation de la normale de surface pour

pro-le point en ajustant un plan au voisinage de chaque point de données Elpro-le estégalement classée comme méthode de segmentation d’images basée sur lespixels car elle implique la sélection de points de départ initiaux

[Rabbani and Van Den Heuvel, 2005] ont utilisé la normale de surface locale etl’algorithme de croissance de région pour regrouper les points appartenant auxsurfaces lisses [Xiong et al., 2013] utilisent des nuages de points discrets à l’aided’un nuage de points uniforme La structure des données de la grille 3D et lespatches planaires ont été extraits pour relier des points voisins avec une normale

de surface similaire [Zhang et al., 2008] proposent une approche qui porte sur lasegmentation d’un maillage 3D Ils utilisent la courbure de décalage moyen

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

pour regrouper les sommets du maillage Un schéma d’une croissance de ré-gionest ensuite établi pour les rassembler dans des sous-graphes connectés Lesfaces de maillage constituées de sommets dans le même sous-graphe consti-tuent un patch, tandis que les faces dont les sommets se trouvent dans dessous-graphes différents sont scindées puis alignées sur des patchs proches pourter-miner la segmentation Une amélioration du modèle d’origine avant ledécalage de la moyenne, puis transfèrent la courbure du maillage amélioré àcelui d’ori-gine afin de rendre les caractéristiques distinctes Pour rectifier leslimites de la segmentation [Zhang et al., 2008] utilise l’algorithme Min-Cut pourrepartition-ner les régions autour des limites [Deschaud and Goulette, 2010] ontplutôt es-timé une meilleure normale pour extraire la forme plane par un voxel aulieu de faire croître avec l’algorithme de croissance basé sur les K plus prochesvoi-sins [Ma et al., 2013] ont choisi un point ayant la courbe plus faible en tantque graine comme région de croissance pour ajouter les K plus proches voisins

du point de départ courant de la région en segmentation [Biosca and Lerma,2008] présente une approche de clustering robuste non supervisée basée surdes mé-thodes floues Les paramètres flous sont analysés pour adapter lesméthodes de classification non supervisées à la segmentation des données duscanner la-ser [Liu and Xiong, 2008] utilise une méthode de segmentationautomatique des nuages de points bruités non organisés sur une sphèregaussienne La crois-sance de région [Shui et al., 2016] reste une méthodesimple de segmentation de nuages de points qui se base sur les régions .L’approche de la segmentation exa-mine les points voisins d’origine initiaux etdétermine si les voisins de points doivent être ajoutés à la région

— Avantages et inconvénients :

les régions qui ont les mêmes propriétés que nous définissons

ii Les méthodes de croissance par région peuvent fournir de bons tats de segmentation sur les nuages de points

résul-iii Le concept est simple Nous n’avons besoin que d’un petit nombre depoints de départ pour représenter la propriété que nous voulons, puis pour agrandir larégion

iv Nous pouvons déterminer les points de départ et les critères que nous voulons établir

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

A la suite des méthodes de croissance de région nous aborderons l’algorithme de

reconstruction par balle pivotante (Ball-Pivoting algorithm) de [Bernardini et al., 1999]

développe un maillage à partir d’un triangle initial de graines qui est correcte-ment orienté A la suite une boule d’un rayon spécifié est pivotée sur les bords de chaque triangle délimitant la maille en croissance Si la balle pivotante touche

des sommets qui ne font pas encore partie du maillage, un nouveau triangle est

instancié et ajouté au maillage en croissance

2 Méthodes sur la géométrie algorithmique :

dépendent de mécanismes tels que la triangulation de Delaunay Ces méthodesinterpolent les points d’origine et sont fondamentalement sensibles à la pré-sence de bruit Deux exemples les plus réussis de cette classification sont AlphaShapes et l’algorithme Crust

— Alpha Shapes :

C’est une triangulation de Delaunay 6 (2D ou 3D) pour laquelle chacun des

tri-angles ou tétraèdres (« simplex ») est comparé à la valeur d’un paramètre alpha

6 La triangulation de Delaunay appliquée à un ensemble de points d’un plan impose pour condition

qu’aucun point de cet ensemble ne soit à l’intérieur du cercle circonscrit d’un des triangles.

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

(fi) déterminé par la distance euclidienne entre les points ; la méthode a été

in-troduite par [Edelsbrunner et al., 1983] L’objectif était d’essayer de trouver lespoints « frontières » d’une enveloppe en permettant même d’y créer des trous

Pour comprendre la signification de ce paramètre fi, une allégorie intuitive avec

un bloc de crème glacée a été proposée par [Fischer, 2000] il suggère d’assimiler

le concept des formes alpha à un espace 3D rempli d’une importante masse decrème glacée contenant des pépites de chocolat Avec une cuillère à glace nouscreusons et retirons toute la crème glacée que nous pouvons atteindre sans tou-cher aux pépites (et ce y compris depuis l’intérieur) Plus le rayon de la cuillèrediminue, plus cette cuillère peut atteindre des endroits étroits et plus de crèmeglacée sera enlevée Avec un rayon infiniment petit, il ne restera que les pépites

À l’inverse, une cuillère de rayon trop grand nous empêchera de la bouger,

laissant la masse intacte Elle a été reprise dans CGAL 4.13 - 2D Alpha Shapes

( librai-rie C++ qui donne une solution plus performante pour les traiter, mais elle

est relativement difficile à installer) La valeur fi est le rayon de la cuillère à glace.

— si fi → 0, nous pouvons « théoriquement » manger toute la crème glacée en laissant seulement les pépites en chocolat L’objet résultant sera délimité

par des arcs, des surfaces bombées et des points sans aucune garantie

que ses différentes parties soient connectées entre elles ;

— si fi → 1, le résultat sera la masse de crème glacée, c’est-à-dire son

enve-loppe convexe

Selon [Akkiraju et al., 1995] l’alpha-shapes est un ensemble de points qui est unegénéralisation de l’enveloppe convexe et un sous-graphique de la triangulationDelaunay

Source : ©2015 The MathWorks, Inc

à l’aide d’alphaShapeL’enveloppe convexe correspond à une alpha-shape de rayon infini et permet de

CHAPITRE 3 ÉTAT DE L’ART

récupérer en 3D la forme d’ensembles non convexes et même non connectés, à partir d’un échantillon aléatoire de points pris en compte

— l’algorithme Crust :

La triangulation Delaunay est effectuée sur l’ensemble original de points avecdes sommets de Voronoi qui se rapprochent de l’axe médian de la forme La tri-angulation qui en résulte permet de distinguer les triangles qui font partie de lasurface de l’objet de ceux qui se trouvent à l’intérieur parce que les trianglesintérieurs ont un sommet Voronoi comme un de leurs sommets [Pawar, 2013]

3 Méthodes algébriques :

On essaye d’adapter une fonction aux points de données Ils évitent ainsi decréer des surfaces bruitées en adaptant une fonction lisse, et en n’exigeant pasque la fonction passe par tous les points de donnéese [Dinh et al., 2002]propose une approche de reconstruction basée sur une sommation des fonctions

de base non polynomiales dont le domaine est une valeur scalaire obtenue àpartir de la distance entre points d’échantillonnage La méthode proposéeconstruit une surface 3D implicite, formulée comme la somme de fonctions debase radiales pondérées [Fang and Gossard, 1995] présentent une méthodepour générer une courbe paramétrique lisse qui se rapproche d’un ensemble depoints de données remplis d’erreurs et non ordonnés Les utilisateurs peuventspécifier les extrémi-tés de la courbe La courbe qui en résulte est généralementtrès juste Par rapport aux systèmes d’interpolation ou d’approximation des points

de données exis-tants, cette méthode présente évidemment l’avantage de nenécessiter aucune information de connectivité autre que les points finaux