SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

Mục tiêu của đề tài là tìm hiểu những dạng toán tích phân sao cho khi giải không dùng được ngay máy tính bỏ túi mà phải nắm được phương pháp giải các dạng toán tích phân thì mới giải quyết được bài toán.

     2.4.2. Tính ch t 2.4.2ấ 22

2.5. S  d ng các gi  thi t có s n đ  xác đ nh hàm  n ử ụ ả ế ẵ ể ị ẩ 242.6. Bài t p t  luy n t ng h p đánh giá k t qu  h c sinhậ ự ệ ổ ợ ế ả ọ 26

1. Lý do ch n đ  tàiọ ề

Nguyên hàm, tích phân là hai khái ni m c  b n, r t quan tr ng c a gi i tích, cóệ ơ ả ấ ọ ủ ả  liên h  m t thi t v i khái ni m đ o hàm. Phép tính tích phân cho chúng ta m t phệ ậ ế ớ ệ ạ ộ ươ  ngpháp t ng quát đ  tính di n tích c a nh ng hình ph ng và th  tích c a nh ng v t thổ ể ệ ủ ữ ẳ ể ủ ữ ậ ể 

có hình d ng ph c t p. Nh ng năm g n đây B  Giáo d c và Đào t o đã đ i m i hìnhạ ứ ạ ữ ầ ộ ụ ạ ổ ớ  

th c thi t  lu n sang tr c nghi m, nên h u h t các bài toán tích phân có th  làm đứ ự ậ ắ ệ ầ ế ể ượ  c

nh  máy tính b  túi. Xu t phát t  nh ng lý do trên thôi thúc tôi tìm hi u nh ng d ngờ ỏ ấ ừ ữ ể ữ ạ  toán tích phân sao cho khi gi i không dùng đả ược ngay máy tính b  túi mà ph i n mỏ ả ắ  

được phương pháp gi i các d ng toán tích phân thì m i gi i quy t đả ạ ớ ả ế ược bài toán. 

Th ng kê thi THPT Qu c gia các năm g n đây. S  Bài h i có n i dung liên quan t iố ố ầ ố ỏ ộ ớ  tích phân 

d ng c a tích phân. V i t t c  lý do trên tôi m nh d n vi t sáng ki n v i tiêu đ :ụ ủ ớ ấ ả ạ ạ ế ế ớ ề  

Phương pháp gi i m t s  bài toán tích phân hàm  n.ả ộ ố ẩ

­ S  đi n tho i: 0982 358 268; E_mail: Tranduchai.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vnố ệ ạ

4. Ch  đ u t  t o ra sáng ki n: ủ ầ ư ạ ế Là b n thân tác giả ả

7. Mô t  b n ch t c a sáng ki n: ả ả ấ ủ ế Sáng ki n g m 2 ph n: ế ồ ầ

Ph n 1: Ki n th c c  s ; Ph n 2: Phầ ế ứ ơ ở ầ ương pháp gi i m t s  bài toán tích phân hàm  n.ả ộ ố ẩ  

ϕ ϕ

=

Đ nh lý 1.2: ị Gi  s  hàm s  ả ử ố u u x= ( ) có đ o hàm liên t c trên ạ ụ K, hàm s  ố y= f u( ) liên 

t c sao cho hàm h p ụ ợ f u x��( )��xác đ nh trên ị K; a, b là 2 s  thu c K. Khi đóố ộ

( )

( )

u b b

Bài toán 1.1: Cho hàm s  ố y= f x( ) liên t c trên đo n ụ ạ [ ]a b;  G i ọ H là mi n ph ng gi iề ẳ ớ  

h n b i đ  th  hàm s  ạ ở ồ ị ố y= f x( ), tr c hoành và hai đụ ường th ng ẳ x a= , x b=  thì di nệ  

tích mi n ph ng ề ẳ H được tính theo công th c ứ ( )

b

a

S= f x dx

Bài toán 1.2: Cho hàm s  ố y= f x1( ) và y= f x2( ) liên t c trên đo n ụ ạ [ ]a b;  G i ọ H là mi nề  

ph ng gi i h n b i hai đ  th  hàm s  đó hai đẳ ớ ạ ở ồ ị ố ường th ng  ẳ x a= , x b=  thì di n tíchệ  

Bài toán 1.3: G i ọ B là ph n v t th  gi i h n b i hai m t ph ng vuông góc v i tr cầ ậ ể ớ ạ ở ặ ẳ ớ ụ  

Ox t i các đi m ạ ể a và b;  S x( ) là di n tích thi t di n c a v t th  b  c t b i m t ph ngệ ế ệ ủ ậ ể ị ắ ở ặ ẳ  vuông góc v i tr c ớ ụ Ox t i đi m ạ ể x (a x b)  Gi  s  ả ử S x( ) là hàm s  liên t c trên đo nố ụ ạ  

[ ; ]a b  Khi đó, th  tích c a v t th  ể ủ ậ ể B được tính theo công th c ứ ( )

y f x

y 0 H

C y f x

C y f x H

1.5.2.2. Th  tích kh i tròn xoay ể ố

Bài toán 1.4: Gi  s  m t hình thang cong gi i h n b i đ  th  hàm s  ả ử ộ ớ ạ ở ồ ị ố y= f x( ), tr c ụ Ox 

và hai đường th ng ẳ x a= , x b=  (a b< )  quay xung quanh tr c ụ Ox t o thành m t kh iạ ộ ố  

tròn xoay. Khi đó th  tích c a nó để ủ ược tính theo công th c ứ b ( ) 2

V = π f x dx a

y f x y

L i gi iờ ả  . Theo gi  thi t ta có: ả ế 5 3 ( )

Nh n xét:ậ  Nh  v y đ i v i các bài toán c  b n nh  này h c sinh ch  c n n m ch cư ậ ố ớ ơ ả ư ọ ỉ ầ ắ ắ  

ki n th c lý thuy t c  b n là có th  gi i quy t đế ứ ế ơ ả ể ả ế ược

Bài 2.5: Cho hàm s  ố f x( )  liên t c trên đo n ụ ạ [−6;5] có đ  th  g m hai đo n th ng và ồ ị ồ ạ ẳ

n a đử ường tròn nh  hình v   ư ẽ Tính giá tr  ị 5 ( )

h c sinh gi i bài toán theo họ ả ướng dài h n là dùng đ nh nghĩa và tính ch t c a tích phânơ ị ấ ủ  

đ  gi i quy t bài toán.ể ả ế

Ta có:  f x( ) =  2

4       khi  6 22

1+ 4    khi  2 x 2

2 1         khi 2 x 53

x x

Bài 2.6: Cho các hàm s  ố y= f x( ) và y g x= ( ) có đ o hàm liên t c trên ạ ụ [ ]0;2  và th a ỏmãn 2 ( ) ( )

'' '

2 '

J = ��f x +g x dx��       

A. J =1  B. J = −1  C. J =0  D. J =2Bài 2.12: Cho hàm s  ố y= f x( ) có đ  th  là đồ ị ườ  ng

Bài 2.14: Cho hàm s  ố f x( ) liên t c trên ụ ﾡ và  1 ( )

T  hai đ nh lý 1 và đ nh lý 2 trong ph n 1.4.1 chúng ta có hai phừ ị ị ầ ương pháp đ i bi n sổ ế ố

Đ i bi n s  lo i 1ổ ế ố ạ

ln 1 d 1

Đ i c n: ổ ậ

0 1

.1

v x

Bài 2.25: Cho hàm s  ố y= f x( )  xác đ nh và liên t c trên ị ụ ﾡ , th a ỏ ( 5 )

f x + x+ = x+  

v i m i ớ ọ x ﾡ  Tích phân 8 ( )

2d

3

2

2 3

31

dx x

Đ nh líị  : N u ế u x( )  và v x( )  là hai hàm s  có đ o hàm và liên t c trên K; a,b là 2 số ạ ụ ố 

th c thu c K thì ự ộ

( ) ( ) ' ( ) ( ) | '( ) ( ).

b a

t ng ph n đ  gi i quy t bài toán.ừ ầ ể ả ế

Bài   2.32:  Cho   hàm   s  ố f x( )   có   đ o   hàm   liên   t c   trên  ạ ụ 0; ,

2

π

� �

� �  th a   mãnỏ  ( )

2 0

1

3 0

1

1

0 0

Bài   2.41:  Cho   hàm   s  ố f x( )  liên   t c   trên  ụ ﾡ   và  

2

0

f = f x dx=   Tính 4

1 2x+3 'f x dx=15  và  7 2f ( )−5 1f ( ) =8. Tính 

=+ . Tính 2 ( )

Tính ch t 2.4.2. ấ N u ế f x( )là hàm s  liên t c trên đo n ố ụ ạ [−a a; ] v i ớ a>0thì 

Bài 2.51: Cho hàm s  ố f x( ) liên t c trên đo n ụ ạ [ ]1;2  th a mãn ỏ f x( ) = f (3−x)  và 

Bài 2.53. Cho hàm s  ố y= f x( )có đ o hàm liên t c trên ạ ụ ﾡ và th a mãnỏ  

12

c= � f x = +x x �I = x +x dx=  Đáp s  C.ố

Nh n xét:ậ  Qua ví d  trên ta có th  khái quát cách gi i cho bài toán t ng quát sauụ ể ả ổ  : Khi 

g p bài toán có gi  thi t có d ng ặ ả ế ạ a x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( )+b x f x =c x  thì ta tìm cách đ a v  tráiư ế  

v  d ng ề ạ (u x( ) + f x( ) ) =c x( )  sau đó s  d ng nguyên hàm 2 v  đ  tìm hàm  n ử ụ ế ể ẩ f x( )

Bài 2.55: Cho hàm s  ố f x( ) có đ o hàm liên t c trên đo n ạ ụ ạ [ ]0;1 ,  f x( )  và f x'( )  đ uề  

nh n   giá   tr   dậ ị ương   trên   đo nạ  [ ]0;1   và   th a   mãnỏ   f ( )0 =2, 

3 2

Bài t p t  luy n t ng h p đánh giá k t qu  h c sinhậ ự ệ ổ ợ ế ả ọ

Bài 2.57: Xét hàm s  ố f x( )liên t c trên đo n ụ ạ [ ]0;1  và th a mãnỏ  

d 1

f x

x

=+

 Bài 2.59: Cho s  th c ố ự a>0. Gi   s  hàm s  ả ử ố f x( ) liên t c và luôn dụ ương trên đo nạ  

[ ]0;a th a mãn ỏ f x f a x( ) ( − = ∀) 1, x [ ]0; a  Tính tích phân  0 ( )

0 f x dx 

d 1

f x

x

= +

A. 2. B. 10. C. 32.

Bài 2.69. Cho hàm s  ố f x( ) xác đ nh và liên t c trên ị ụ [0;1 ,]  th a mãn ỏ f x'( )= f' 1( - x)  v iớ  

9. Các đi u ki n c n thi t đ  áp d ng sáng ki n:ề ệ ầ ế ể ụ ế

Sách giáo khoa, v  ghi, máy tính c m tay và tài li u tham kh oở ầ ệ ả

10. Đánh giá l i ích thu đợ ược ho c d  ki n có th  thu đặ ự ế ể ược do áp d ng sángụ  

ki n theo ý ki n c a tác gi  và theo ý ki n c a t  ch c, cá nhân đã tham gia ápế ế ủ ả ế ủ ổ ứ  

d ng sáng ki n l n đ u, k  c  áp d ng thụ ế ầ ầ ể ả ụ ử 

Đ  th y để ấ ược k t qu  sát th c c a sáng ki n. Tôi đã ch n l p 12A3, 12A6 đ  ti nế ả ự ủ ế ọ ớ ể ế  hành làm đ i ch ng c  th  nh  sau:ố ứ ụ ể ư

Đ u tiên tôi đã ra bài v  nhà cho h c sinh các bài t p: T  ví d  2.1 đ n 2.8. Yêu c uầ ề ọ ậ ừ ụ ế ầ  

h c sinh làm bài t p này ra gi y và tôi đã thu đọ ậ ấ ược k t qu  nh  sau:ế ả ư

và đ  thi THPT Qu c Gia.ề ố

M c dù đã r t c  g ng trong qúa trình tìm tòi và nghiên c u, nh ng do h n chặ ấ ố ắ ứ ư ạ ế 

v  m t v  m t năng l c và th i gian nên nh ng trình bày trong sáng ki n không tránhề ặ ề ặ ự ờ ữ ế  

tôi ch  c  g ng đ a ra nh ng tình hu ng th c t  đ  h c sinh gi i quy t, vi c đ a raỉ ố ắ ư ữ ố ự ế ể ọ ả ế ệ ư  

nh ng phữ ương pháp giúp h c sinh v n d ng ki n th c toán h c vào gi i quy t cácọ ậ ụ ế ứ ọ ả ế  tình hu ng toán h c th c t  nh  th  nào v n đ  này n u có đi u ki n tôi s  nghiênố ọ ự ế ư ế ấ ề ế ề ệ ẽ  

c u thêm. Kính mong đứ ượ ực s  nh n xét, b  sung góp ý c a quý th y cô và các b n.ậ ổ ủ ầ ạ  

11. Danh sách nh ng t  ch c/cá nhân đã tham gia áp d ng th  ho c áp d ng sángữ ổ ứ ụ ử ặ ụ  

1 L p 12A3ớ Trường THPT Tam Đ o 2ả

2 L p 12A6ớ Trường THPT Tam Đ o 2ả