SKKN: Kỹ năng giải một số bài toán hình học phẳng trong hệ tọa độ Oxy

Mục tiêu của đề tài là hướng dẫn học sinh kỹ năng nhận dạng, biến đổi, khả năng suy luận lôgic, tư duy thuật toán, kỹ năng quan sát, phân tích, tổng hợp,...đề từ đó giải được một số bài toán về tọa độ trong hình học phẳng. Qua đó giúp học sinh trở thành người yêu lao động, sáng tạo, có trình độ tay nghề cao, biết quy lạ về quen, quyết đoán trước các vấn đề mới mẻ, tình huống bất ngờ thường gặp trong cuộc sống.

SỞ  GIÁO  D C  VÀ  ĐÀO T O VĨNH PHÚC Ụ Ạ

TR ƯỜ NG TRUNG H C PH  THÔNG YÊN L C Ọ Ổ Ạ

  BAO CÁO K T QU ́ Ế Ả

 Tên sáng ki n: ế

K  NĂNG GI I M T S  BÀI TOÁN HÌNH H C PH NG Ỹ Ả Ộ Ố Ọ Ẳ  

TRONG H  TR C T A Đ  OXY Ệ Ụ Ọ Ộ

   Ng ườ i th c hi n: ĐÀO TH  BÍCH LIÊN ự ệ Ị

   Mã: 52

I.3   Liên   h   gi a   t a   đ   2   véc   t   vuông   góc   ,   cùngệ ữ ọ ộ ơ  

8

II   Lý   thuy tế   về   đườ  ng

8

11

II.8 . Góc gi a 2 đữ ường th ng và v  trí tẳ ị ương đ i c a 2 đố ủ ường th ng………ẳ 13

III.2   CÁC   D NGẠ   TOÁN   VỀ   TỨ 

GIÁC 48

m tậ ……….77

10. Đánh giá l i ích thu đợ ược ho c d  ki n có th  thu đặ ự ế ể ược do áp d ng sángụ  

Hình h c ph ng trong h  t a đ  Oxy  la môt l p bai toan co vi tri đăc biêt quan trong trongọ ẳ ệ ọ ộ ̀ ̣ ớ ̀ ́ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̣  

chương trinh toan hoc trung hoc phô thông. No xuât hiên nhiêu trong cac ki thi hoc sinh gioi cung nh̀ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ̃ ư 

ki thi tuyên sinh vao đai hoc. Hoc sinh phai đôi măt v i rât nhiêu dang toan ma ph̀ ̉ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ́ ̣ ớ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ương phap giaí ̉  chung lai ch a đ́ ̣ ư ược liêt kê trong sach giao khoa. ̣ ́ ́

Viêc tim pḥ ̀ ương phap giai cung nh  viêc xây d ng các ph́ ̉ ̃ ư ̣ ự ương pháp gi i m i la niêm say mêả ớ ̀ ̀  cua không it ng̉ ́ ươi, đăc biêt la nh ng ng̀ ̣ ̣ ̀ ữ ươi giao viên đang tr c tiêp day toan. Chinh vi vây, đê đap̀ ́ ự ́ ̣ ́ ́ ̀ ̣ ̉ ́ 

ng nhu câu giang day va hoc tâp, tôi đa chon đê tai “K  NĂNG GI I M T S  BÀI TOÁN HÌNH

H C PH NG TRONG H  T A Đ  OXY” lam đê tai nghiên c u cua sang kiên kinh nghiêm. Đê taiỌ Ẳ Ệ Ọ Ộ ̀ ̀ ̀ ứ ̉ ́ ́ ̣ ̀ ̀ 

nhăm môt phân nao đo đap  ng mong muôn cua ban thân vê môt đê tai phu h p đê co thê phuc vù ̣ ̀ ̀ ́ ́ ứ ́ ̉ ̉ ̀ ̣ ̀ ̀ ̀ ợ ̉ ́ ̉ ̣ ̣ thiêt th c cho viêc giang day cua minh trong tŕ ự ̣ ̉ ̣ ̉ ̀ ương phô thông.̀ ̉

1.2. Muc đich nghiên c ụ ́ ứ

­ V i mong muôn tâp h p va phân loai môt sô dang toan vê đi m và đ ng th ng trên h  tr c Oxy.ớ ́ ̣ ợ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ể ườ ẳ ệ ụ

­ Hương dân hoc sinh ky năng nhân dang, biên đôi, kha năng suy luân lôgic, t  duy thuât toan, ký ̃ ̣ ̃ ̣ ̣ ́ ̉ ̉ ̣ ư ̣ ́ ̃ năng quan sat, phân tich, tông h p, đê t  đo giai đ́ ́ ̉ ợ ̀ ̀ư ́ ̉ ược môt s  bai toan vê t a đ  trong hình h c̣ ố ̀ ́ ̀ọ ộ ọ  

ph ng. Qua đo giup hoc sinh tr  thanh ngẳ ́ ́ ̣ ở ̀ ươi yêu lao đông, sang tao, co trinh đô tay nghê cao, biêt̀ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ́ quy la vê quen, quyêt đoan tṛ ̀ ́ ́ ươc cac vân đê m i me, tinh huông bât ng  th́ ́ ́ ̀ ớ ̉ ̀ ́ ́ ơ ườ ng găp trong cuôc sông.̀ ̣ ̣ ́

­ H n n a cung giup chinh ban thân co cai nhin tông quat va ro net h n vê bai toan t a đ  trong hìnhơ ữ ̃ ́ ́ ̉ ́ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̃ ́ ơ ̀ ̀ ́ ọ ộ  

h c ph ng đê nâng cao trinh đô chuyên môn trong giang day va công tac.ọ ẳ ̉ ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ́

1.3. Nhiêm vu nghiên c ụ́ ̣ ư

­ Nghiên c u môt sô phứ ̣ ́ ương phap giai bài toán hình h c ph ng trên h  t a đ  Oxy.́ ̉ ọ ẳ ệ ọ ộ

1.4. Đôi t́ ượng va pham vi nghiên c ù ̣ ứ

­ Đôi t́ ượng nghiên c u: Bài toán hình h c ph ng trên h  t a đ  Oxy.ứ ọ ẳ ệ ọ ộ

­  Pham vi nghiên c u: Giai bài toán hình h c ph ng trên h  t a đ  Oxỵ ứ ̉ ọ ẳ ệ ọ ộ  áp dung trong giang̣ ̉  day thi hoc sinh gioi va ôn thi Đai hoc cho hoc sinh l p 10A1.2, 11A1.1, 11A4̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ̣ ̣ ớ  trường Trung 

h c ph  thông Yên L c.ọ ổ ạ

1.5. Phương phap nghiên c ú ứ

S  dung kiên th c c  ban cua phử ̣ ́ ư ớ ̉ ̉ ương phap đa nêu   trên va ky năng biên đôi đê giai ́ ̃ ở ̀ ̃ ́ ̉ ̉ ̉ bài toán hình h c ph ng trên h  t a đ  Oxyọ ẳ ệ ọ ộ

1.6. Th i gian va đia điêm th c hiênờ ̀ ̣ ̉ ự ̣

­ Th i gian th c hiên: T  thang 08 đên thang 02 năm hoc 2018­2019ờ ự ̣ ừ ́ ́ ́ ̣

­ Đia điêm th c hiên: Tṛ ̉ ự ̣ ương THPT Yên Lac̀ ̣

2.Tên sáng ki n:ế

OXY”

3.Tác gi  sáng ki n:ả ế

D y h c cho h c sinh THPT.ạ ọ ọ

6. Ngày sáng ki n đế ược áp d ng l n đ u ho c áp d ng th :ụ ầ ầ ặ ụ ử   05 / 02 / 2019.

I.2. T a đ  đi m.ọ ộ ể

I.3. Liên h  gi a t a đ  2 véc t  vuông góc , cùng phệ ữ ọ ộ ơ ương

II. Lý thuy t v  đế ề ường th ng.ẳ

II.1. Phương trinh t ng quát c a đ̀ ổ ủ ường th ng.ẳ

II.2. Phương trinh tham s  c a đ̀ ố ủ ường th ng.ẳ

II.3. Phương trình chính t c c a đắ ủ ường th ng.ẳ

II.4. Chuy n d ng phể ạ ương trình đường th ng.ẳ

II.5. M t s  trộ ố ường h p riêng c a phợ ủ ương trình đường th ng.ẳ

II.6. Kho ng cách t  m t đi m đ n m t đả ừ ộ ể ế ộ ường th ng.ẳ

II.7. V  trí tị ương đ i c a 2 đi m đ i v i 1 đố ủ ể ố ớ ường th ng.ẳ

II.8 . Góc gi a 2 đữ ường th ng và v  trí tẳ ị ương đ i c a 2 đố ủ ường th ng.ẳ

Ph n II. M t s  d ng toán c  th ầ ộ ố ạ ụ ể

I.1.  D ng 1: L p phạ ậ ương trình c a đủ ường th ngẳ

I.2.  D ng 2. M t s  bài toán v  tìm đi mạ ộ ố ề ể

II.1.1. Các đường trong tam giác

II.1.2. Các tính ch t tam giácấ

II.1.3. Phương pháp chung đ  gi i m t bài toán tam giác ể ả ộ

­ Ph n III: K t qu  th c nghi m ầ ế ả ự ệ

­ Ph n IV: K t lu n và ki n ngh ầ ế ậ ế ị

K  NĂNG GI I M T S  BÀI TOÁN Ỹ Ả Ộ Ố

 HÌNH H C PH NG TRONG H  TR C T A Đ   Ọ Ẳ Ệ Ụ Ọ Ộ

OXY

PH N 1.      TÓM T T LÝ THUY TẦ Ắ Ế

I.1. To  đ  vectạ ộ ơ: Trong m t ph ng v i h  to  đ  Oxyặ ẳ ớ ệ ạ ộ

1) a= (a1; a2) <=> a= a1i  +a2j

2) Cho a = (a1; a2), b= (b1; b2). Ta có: 

a b = (a1 b1; a2 b2)

b a

I.2. To  đ  đi mạ ộ ể : Trong m t ph ng v i h  to  đ  Oxyặ ẳ ớ ệ ạ ộ

1) M x y( M; M) �OMuuuur=(x y M; M)

2) Cho A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có: 

= (xB­xA; yB­yA)  và AB =  ( xB xA)2 ( yB yA)2

3) N u đi m M chia đo n th ng AB theo t  s  k (kế ể ạ ẳ ỉ ố 1)� MA kMB uuur = uuur 

thì 

k

ky y y

k

kx x x

B A M

B A M

1 1

Đ c bi t khi M là trung đi m c a đo n th ng AB thì ặ ệ ể ủ ạ ẳ

2

2

B A M

B A M

y y y

x x x

N u G là tr ng tâm ế ọ ABC thì 

3

3

C B A G

C B A G

y y y y

x x x x

I.3. Liên h  gi a to  đ  hai vect  vuông góc, cùng phệ ữ ạ ộ ơ ương

Cho a= (a1; a2), b= (b1; b2). Ta có: 

1) a b a.b = 0      a1b1 + a2b2 = 0

2) a cùng phương v i ớ b   a1b2 ­ a2b1 = 0 

3) Ba đi m A, B, C th ng hàng khi và ch  khi  ể ẳ ỉ

 cùng phương

II.1. Phương trình t ng quát c a đổ ủ ường th ngẳ

a) Véc t  pháp tuy n c a đơ ế ủ ường th ngẳ

Đ nh nghĩa 1ị

 Véc t  ơ n khác 0, có giá vuông góc v i đớ ường th ng ẳ  được g i là ọ véc t  ch  pháp tuy n (vtpt)ơ ỉ ế  

c a đủ ường th ngẳ  

Nh n xét 1 ậ

 ­N u véc t  ế ơ n là m t ộ véc t  pháp tuy n (vtpt) ơ ế c a đủ ường th ngẳ    thì m i véc t  kọ ơ n, v i k ớ 0 

đ u là véc t  pháp tuy nề ơ ế  c a đ ng th ng đó.ủ ườ ẳ

­ V i m i đi m I và véc t  ớ ỗ ể ơ n khác 0 có duy nh t 1 đt đi qua I và nh n véc t  ấ ậ ơ n làm véc t  phápơ  tuy n.ế

b) Phương trình t ng quát c a đổ ủ ường th ng ẳ

­Trong mp t a đ  Oxy, m i đọ ộ ỗ ường th ng ẳ  đi qua đi m ể MO( xo  ; yo) và nh n ậ n (a ;b)làm véc tơ pháp tuy n đ u có phế ề ương trình t ng quát d ng: a(x ­ ổ ạ x0) + b(y ­ y0) = 0 

        ax + by ­ axo­by0)  = 0  (v i ớ a2 b2 0)

­ Trong mp t a đ  Oxy, m i phọ ộ ỗ ương trình d ng ax + by + c = 0, v i ạ ớ a2 b2 0 đ u là phề ương trình 

t ng quát c a đổ ủ ường th ng xác đ nh, nh n ẳ ị ậ n (a ;b)là véc t  pháp tuy nơ ế

II.2. Phương trình tham s  c a đố ủ ường th ngẳ

a) Véc t  ch  phơ ỉ ương c a đủ ường th ngẳ

 Đ nh nghĩa 2ị

 Véc t  ơ u khác 0, có giá song song ho c trùng v i đặ ớ ường th ng ẳ  được g i là ọ véc t  ch  phơ ỉ ương 

c a đủ ường th ngẳ  

Nh n xét 2ậ

­ N u véc t  ế ơ u là m t ộ véc t  ch  phơ ỉ ương (vtcp) c a đủ ường th ngẳ    thì m i véc t  kọ ơ u, v i k ớ 0 

đ u là véc t  ch  phề ơ ỉ ương c a đủ ường th ng đó.ẳ

­  V i m i đi m I và véc t  ớ ỗ ể ơ u khác 0 có duy nh t 1 đt đi qua I và nh n véc t  ấ ậ ơ u làm véc t  chơ ỉ 

phương

Nh n xét 3 ậ

­N u véc t  ế ơ u là m t ộ véc t  ch  phơ ỉ ương, n là m t ộ véc t  pháp tuy n ơ ế c a đủ ường th ngẳ thì u.n= 0

­N u đế ường th ngẳ     có  véc t  pháp tuy n  ơ ế n (a ;b)  thì     có  véc t  ch  phơ ỉ ương  u(­b; a) và 

ngượ ạc l i

b) Phương trình tham s  c a đố ủ ường th ngẳ

 Phương trình tham s  c a đố ủ ường th ng ẳ  đi qua  đi m  ể MO( xo  ; yo) cho trước và có véct  chơ ỉ 

phương u (a ;b) cho trước có d ng: ạ

bt y y

at x x

0

0

,   (a2 b2 0, t  R)      II.3. Phương trình chính t c c a đắ ủ ường th ngẳ

 Trong phương trình tham s  c a đố ủ ường th ng, n u a ẳ ế 0, b 0 thì đường th ng ẳ  nói trên có 

b

y y a

x x

 Chú ý: Khi a = 0 ho c b = 0 thì ặ đường th ng không có phẳ ương trình chính t c.ắ

II.4. Chuy n d ng phể ạ ương trình đường th ngẳ

at x x

x x

    (Ia)

  T  pt (Ia) ừ b(x­x0) – a(y­ y0) = 0 , bi n đ i ti p pt này ta đc PTTQ c a (d)ế ổ ế ủ

+) N u a=0 thì ế phương trình t ng quát c a (d) là x­ổ ủ x0= 0, (d) không có phương trình chính t c.ắ +) N u b =0 thì ế phương trình t ng quát c a (d) là y­ ổ ủ y0= 0, (d) không có phương trình chính t c.ắ

b. Đ  chuy n ể ể phương trình c a (d): Ax+ By + C=0 v  d ng tham s , chính t c, ta làm nh  sau:ủ ề ạ ố ắ ư

Bước 1: G i ọ u là vtcp c a (d), ta có ủ u(­B; A)

Bước 2: Tìm m t đi m ộ ể MO( xo  ; yo)  (d)

Bước 3: KL

        ­ Phương trình tham s  c a (d) là ố ủ

At y y

Bt x x

x

  ( trong trường h p AB ợ 0)

II.5. M t s  trộ ố ường h p riêng c a phợ ủ ương trình đường th ng ẳ

D a trên c  s  l p phự ơ ở ậ ương trình t ng quát ho c ổ ặ phương trình tham s  c a đố ủ ường th ng ta ch ngẳ ứ  minh được các k t qu  sau:ế ả

x

 ( phương trình đt theo đo n ch n). ạ ắ

5.7. Ph ng trình đt đi qua hai đi m phân bi t ươ ể ệ M(x1 ; y1)và N(x2  ; y2)là 

1 2

1 1

2

1

y y

y y x x

x x

         ( Áp d ng khi ụ x1 x2và y1 y2)

­ N u ế x1 x2 thì MN: x = x1

­ N u ế y1 y2 thì MN: y = y1

5.8. Ph ng trình đt ươ  theo h  s  gócệ ố  

 *) Xét đường th ng ẳ  có phương trình t ng quát ax+by+c = 0.ổ

­ N u b ế 0 thì pt trên được đ a v  d ng y = kx + m, v i k = ư ề ạ ớ

      +) N u k ế 0, g i M là giao đi m c a ọ ể ủ  v i tr c Ox và tia Mt là tia n m phía trên tr c Ox. Khiớ ụ ằ ụ  

đó n u ế  là góc h p b i tia Mt v i tia Mx thì k = tanợ ở ớ

x t

       +) Khi k = 0 thì   là đường th ng song song ho c trùng v i tr c Ox.       ẳ ặ ớ ụ

­  N u b = 0, a ế 0  thì pt   ( đt   song song ho c trùng tr c tung).ặ ụ  

*) Đường th ng th ng đi qua đi m  M(ẳ ẳ ể và có h  s  góc k thì có phệ ố ương trình:

      y ­ y0 = k(x ­ x0)

II.6.  Kho ng cách t  m t đi m đ n m t đả ừ ộ ể ế ộ ường th ngẳ : 

Trong mp t a đ  Oxy, cho đọ ộ ường th ng ẳ  có phương trình Ax + By + C = 0, v i ớ A2 B2 0 và 

đi m Mể 0(x0; y0). 

 Kho ng cách t   đi m Mả ừ ể 0(x0; y0) đ n đế ường th ng ẳ  được kí hi u là d((Mệ 0;  ) và được tính b ngằ  công th c:  d(Mứ 0;  ) =  0 2 0 2

B A

C By Ax

*)  ng d ng: Ứ ụ

Vi t phế ương trình đường phân giác c a góc t o b i hai đủ ạ ở ường th ngẳ

Trong mp t a đ  Oxy, cho 2 đọ ộ ường th ng ẳ 1 và  2c t nhau:ắ

d(M;  1) = d(M;  2).  Suy ra phương trình đường phân giác c a góc h p b i hai đủ ợ ở ường th ng ẳ 1 

1

b

a

c y

b

x

a

2 2

2 2

2 2 2

b a

c y b x a

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a

1

2 1

1 1 1

b a

c y b x a

II.7. V  trí c a hai đi m đ i v i m t đị ủ ể ố ớ ộ ường th ngẳ

Trong mp t a đ  Oxy, cho đọ ộ ường th ng ẳ : ax + by + c = 0, v i ớ a2 b2 0 và 2 đi m ể M(x1 ; y1)và 

Xét tích T = ( ax1+by1+c) ( ax2+by2+c)

­ N u T < 0 thì M, N n m v  hai phía so v i ế ằ ề ớ

­ N u T > 0 thì M, N n m v  cùng m t phía so v i ế ằ ề ộ ớ

­ N u T = 0 thì M ho c N n m trên ế ặ ằ

II.8. Góc gi a hai đữ ường th ngẳ

1.Đ nh nghĩaị

Hai đường th ng a và b c t nhau t o thành b n góc. S  đo nh  nh t c a các góc đó đẳ ắ ạ ố ố ỏ ấ ủ ược g i là gócọ  

gi a hai đữ ường th ng a và b, hay đ n gi n là góc gi a a và b.ẳ ơ ả ữ

Khi a song song ho c trùng b, ta quy ặ ước góc gi a chúng b ng 0ữ ằ 0

­ Góc gi a hai đữ ường th ng a và b đẳ ược kí hi u là (a, b). Góc này không vệ ượt quá 90 0

*) Nh n xétậ

N u hai đế ường th ng a và b l n lẳ ầ ượt có các vect  pháp tuy n là ơ ế n1 và n2 thì

      (a,b) = (n1,n2),  n u (ế n1,n2)  90 0

      (a,b) = 180 0 ­ (n1,n2),  n u (ế n1,n2) > 90 0

2. Cách tính góc gi a hai đữ ường th ngẳ

Trong mp t a đ  Oxy, cho 2 đọ ộ ường th ng ẳ 1 và  2 c t nhau:  ắ

( 1): a1x + b1y + c1 = 0      (1)   (a12 b12 0)( 2): a2x + b2y + c2 = 0      (2)   ( 2 0

2 1

n n

n n

2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

a b b

a

b b a a

*) Chú ý: Có th  dùng công th c cos(ể ứ 1 ,  2  ) = cos(u1,u2) = 

2 1

2 1

u u

u

u

, v i ớ u1, u2  l n lầ ượt là các vect  ch  phơ ỉ ương c a hai đủ ường th ng ẳ 1 và  2

*) Nh n xét:    +) ậ 1  2  a1a2+ b1b2= 0

 +) Đi u ki n c n và đ  đ  hai đề ệ ầ ủ ể ường th ng y = kx + b và yẳ ' = k'x + b'vuông góc nhau là k.k'= ­ 1

II.9.V  trí tị ương đ i c a hai đố ủ ường th ngẳ

Trong mp t a đ  Oxy, cho 2 đọ ộ ường th ng: ẳ

S  giao đi m c a ố ể ủ 1 và  2 (n u có) là s  nghi m c a h  2 phế ố ệ ủ ệ ương trình (1) và (2)

Ta có k t qu  sau: ế ả

a) Hai đường th ng ẳ 1,  2  c t nhau  ắ  

2 2

1 1

b a

b a

   0 

b) Hai đường th ng ẳ 1,  2   song song nhau 

2 2

1 1

b a

b a

 = 0 và 

2 2

1 1

c b

c b

 0 

     ho c      ặ

2 2

1 1

b a

b a

 = 0 và 

2 2

1 1

a c

a c

 0 

c) Hai đường th ng ẳ 1,  2  trùng nhau  

2 2

1 1

b a

b a

 =  

2 2

1 1

c b

c b

 = 

2 2

1 1

a c

a c

  Đ c bi t:  ặ ệ 1 2 <=> a1a2 + b1b2 = 0

PH N 2.      M T S  D NG TOÁN Ầ Ộ Ố Ạ

I.1.  D ng 1: L p phạ ậ ương trình c a đủ ường th ngẳ

Vi t phế ương trình đường th ng đi qua đi m ẳ ể M x y  và t o v i  hai đ ng th ng 0( 0; 0) ạ ớ ườ ẳ 1,  2   cho 

trước m t tam giác cân có đ nh là giao đi m c a ộ ỉ ể ủ 1 và   2 .

Bài toán 5: Vi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ  th a mãn ki u ki n nào đó v  kho ng cách.ỏ ề ệ ề ả

Bài toán 6. Tìm pt đt d'đ i x ng c a đt d qua đi m I cho trố ứ ủ ể ước

D ng 2. M t s  bài toán tìm đi mạ ộ ố ể

Bài toán 1. Xác đ nh hình chi u H c a đi m M trên đ ng th ng(d).ị ế ủ ể ườ ằ

Bài toán 2. Xác đ nh đi m N đ i x ng v i đi m M qua đ ng th ng (d).ị ể ố ứ ớ ể ườ ẳ

Bài toán 3. Tìm đi m M thu c đ ng th ng (d) và th a mãn đi u ki n Kể ộ ườ ẳ ỏ ề ệ .

I.1.  D ng 1: L p phạ ậ ương trình c a đủ ường th ngẳ

*) Có th  gi  s   phể ả ử ương trình c a đủ ường th ng c n tìm có d ng x = ẳ ầ ạ  ho c y = ax + b.ặ

T  các gi  thi t c a bài toán, tìm đừ ả ế ủ ược   ho c a, b.ặ

*) Có th  gi  ể ả s   phử ương trình c a đủ ường th ng c n tìm có d ng ax + by + c = 0 (ẳ ầ ạ  Từ các các gi  thi t c a bài toán, tìm đả ế ủ ược a, b, c

Bài toán 1

Vi t ph ế ươ ng trình đ ườ ng th ng (d) song song v i đ ẳ ớ ườ ng th ng  ẳ  cho tr ướ c và th a mãn đi u ỏ ề  

ki n K nào đó ệ

Ph ươ ng pháp:

*) N u phế ương trình đường th ng ẳ  có d ng: Ax + By+ C = 0 thì ta làm nh  sau:ạ ư

­ Vì d song song v iớ : Ax + By+ C = 0 nên phương trình d có d ng: Ax + By + C’ = 0 (C’ạ C)

­  D a vào đi u ki n K, ta xác đ nh C’.ự ề ệ ị

­ KL phương trình đường th ng (d).ẳ

*) N u phế ương trình đường th ng ẳ  có d ng tham s  ( ho c chính t c) và  ạ ố ặ ắ  có vtcp u(a;b) thì 

đường th ng ẳ  có vtpt n(­b;a)  (d) có pt d ng : ­bx+ay+c = 0.ạ

D a vào điêu ki n K tìm c, suy ra phự ệ ương trình đường th ng (d).ẳ

VD1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua đi m M(3; 4) và song song v i ế ươ ườ ẳ ể ớ : 2x + 3y ­ 5= 0.LG: ­Vì d song song v iớ : 2x + 3y ­ 5= 0 nên phương trình d có d ng 2x + 3y + C’= 0ạ

      ­ Vì M(3; 4)  d nên 2.3+3.4+ C’ = 0   C’ = ­18

     V y phậ ương trình đường th ng d là 2x + 3y – 18 = 0ẳ

VD2. Vi t ph ng trình đ ng th ng song song v i đt ế ươ ườ ẳ ớ : 8x ­6y ­ 5= 0 và cách   m t kho ngộ ả  

b ng 5.ằ

LG: ­ G i ọ ’ là đt c n tìm.ầ

  ­Vì  ’  song song v iớ : 8x ­6y ­ 5= 0 nên phương trình  ’ có d ng 8x ­6y + C’= 0.ạ

3664

56

*) N u phế ương trình đường th ng ẳ  có d ng: Ax + By+ C = 0 thì ta làm nh  sau:ạ ư

­  Vì d vuông góc v i ớ : Ax + By +  C = 0 nên vtcp u(­B; A) c a ủ  là vtpt c a đủ ường th ng d ẳ

phương trình d có d ng: – Bx + Ay + C’ = 0ạ

 ­  D a vào đi u ki n K, ta xác đ nh C’.ự ề ệ ị

­ KL phương trình đường th ng (d).ẳ

*) N u phế ương trình đường th ng ẳ  có d ng tham s  ( ho c chính t c) và  ạ ố ặ ắ  có vtcp u(a;b) thì  vì 

đường th ng ẳ vuông góc v i d nên d có vtpt ớ n(a;b)  (d) có pt d ng : ax+by+c = 0.ạ

D a vào điêu ki n K tìm c, suy ra phự ệ ương trình đường th ng (d).ẳ

VD: Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m M(­3; 2) và vuông góc v i đ ng th ngế ươ ườ ẳ ể ớ ườ ẳ

: x ­2y + 10 = 0

LG:

­  Vì d vuông góc v i ớ : x ­2y + 10 = 0 nên phương trình d có d ng:  2x +y + C’ = 0ạ

­  Vì đi m M(­3; 2) thu c d nên 2.(­3)+2 + C’ = 0 ể ộ  C’= ­ 4

V y phậ ương trình đường th ng d là :  2x +y ­ 4 = 0.ẳ

Bài toán 3. Vi t ph ế ươ ng trình đ ườ ng th ng đi qua đi m  ẳ ể M x y  và t o v i đ0( 0; 0) ạ ớ ườ ng th ng d ẳ   cho tr ướ c m t góc  ộ  cho tr ướ c.

Ph ươ ng pháp chung

 S  d ng ki n th c v  đi m thu c đử ụ ế ứ ề ể ộ ường th ng và góc gi a hai đẳ ữ ường th ng.ẳ

VD: Vi t phế ương trình đường th ngẳ

a) Qua đi m M(­2; 0) và t o v i để ạ ớ ường th ng d: x + 3y – 3 = 0 m t góc ẳ ộ 45 0;

b) Qua đi m N(­1; 2) và t o v i để ạ ớ ường th ng d: ẳ

t y

t x

2

32

3

2

2 B A

B A

         5( 2 2 2

3 ) A B B

       2A2 3AB 2B2 0  A A B B

212

+) V i A=2B, ch n B=1, A=2, ta đớ ọ ược pt đt  1: 2x+y+4=0

+) V i A=­ớ

2

1

B, ch n B=­2, A=1, ta đọ ược pt đt  2: x­2y+2=0

V y có 2 đậ ường th ng th a mãn bài toán là ẳ ỏ 1: 2x+y+4=0 và  2: x­2y+2=0

b) G i ọ u(a; b) là véc t  ch  phơ ỉ ương c a đủ ường th ng ẳ  c n tìm (ầ a2 b2 0)

Đường th ng d có véc t  ch  phẳ ơ ỉ ương v (3; ­2)

 t o v i đạ ớ ường th ng d m t góc ẳ ộ 60 0 cos60 0= 

        21 =  2 2

.13

23

b a

b a

t x

50724

t x

50724

1

Bài toán 4

Vi t ph ế ươ ng trình đ ườ ng th ng đi qua đi m  ẳ ể M x y  và t o v i  hai đ0( 0; 0) ạ ớ ườ ng th ng  ẳ 1 ,  2  

cho tr ướ c m t tam giác cân có đ nh là giao đi m c a  ộ ỉ ể ủ 1  và   2 .

VD: Cho hai đường th ng ẳ 1: x+2y­1=0 ,  2 : 3x­y+5=0 và đi m M(1;­3). Vi t phể ế ương trình đườ  ng

th ng ẳ đi qua đi m M và t o v i  hai để ạ ớ ường th ng ẳ 1,  2  m t tam giác cân có đ nh là giao đi mộ ỉ ể  

c a ủ 1 và   2 .

Hướng d n ẫ

Cách 1:

Đường th ng ẳ 1  có VTPT n1 (1; 2), đường th ng ẳ 2   có VTPT n2(3;­1). 

Đường th ng ẳ t o v i  hai đạ ớ ường th ng ẳ 1,  2  m t tam giác cân có đ nh là giao đi m c a ộ ỉ ể ủ 1 và 

B A

T  pt (*) , tìm A theo B r i ch n c p s  (A; B) và vi t pt đt ừ ồ ọ ặ ố ế

Cách 2:

­ L p pt hai đậ ường phân giác d1, d2  c a góc t o b i ủ ạ ở 1 và   2.

­ Vi t pt hai đt ế 1,  2  đi qua đi mể  M và l n l t vuông góc v i  hai đ ng phân giác dầ ượ ớ ườ 1, d2  

­ Hai đt  1,  2  th a mãn yêu c u bài toán.ỏ ầ

Bài toán 5: Vi t ph ế ươ ng trình đ ườ ng th ng  ẳ  th a mãn ki u ki n nào đó v  kho ng cách ỏ ề ệ ề ả

VD1: Cho hai đi m M(1; 1) và N(3; 6). Vi t phể ế ương trình đường th ng ẳ  đi qua đi m M và cách Nể  

B A B A

=2          B(21B + 20A) = 0

       B = 0 ho c 21B + 20A = 0.ặ

­ V i B=0, ch n A=1, ta đớ ọ ược pt đt  1: x ­1=0

­ V i 21B + 20A = 0, ch n B =­20, A=21, ta đớ ọ ược pt đt  2 : 21x­ 20y­ 1=0

VD2: Cho ba đi m A(1; 1) và B(2; 0), C(3; 4). Vi t phể ế ương trình đường th ng ẳ  đi qua đi m A vàể  cách đ u hai đi m B, C.ề ể

)

­T  gi  thi t có: d(B; ừ ả ế ) = d(C;  ), ta tìm được  4  ho c ặ 3 2 0

­ Tìm được bài toán có 2 đt t/m là:  1: 4x –y­3=0 và  2 : 2x­ 3y+1=0

VD3: Cho đường th ng  ẳ   có phương trình 8x­6y­5=0. Vi t phế ương trình đường th ng  ẳ 1  song song v i ớ  và cách   m t kho ng b ng 5.ộ ả ằ

LG: 

Đường th ng ẳ 1 song song v i ớ  nên pt  8x­6y­5=0

3664

56

8x­6y­5=  50

V y có hai đậ ương th ng c n tìm là  ẳ ầ 1: 8x –6y + 45 =0 và  2 : 8x­ 6y ­ 55=0

Bài toán 6. Tìm pt đt d'đ i x ng c a đt d qua đi m I cho trố ứ ủ ể ước

Phương pháp chung:       

­ L y m t đi m c  th  A thu c d.ấ ộ ể ụ ể ộ

­ Tìm đi m B đ i x ng v i A qua I thì B thu c ể ố ứ ớ ộ d'

­ Vi t pt đt ế d'đi qua B và song song v i dớ

d d' I

B A

I.2. D ng 2. M t s  bài toán v  tìm đi mạ ộ ố ề ể

Bài toán 1. Xác đ nh hình chi u H c a đi m M trên đ ị ế ủ ể ườ ng th ng(d) ằ

Ph ươ ng pháp chung      

Ta l a ch n m t trong ba cách sau:ự ọ ộ

Cách 1: Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

       Bước 1: Vi t pt đt (Mx) th a mãn: ế ỏ

      (Mx): 

(d)(Mx)

M 

qua

d

(Mx)

H M

A) ;

M H M

H

      (I)

       Bước 2: G i h  (I) ta đỉả ệ ượ ọc t a đ  đi m H.ộ ể

 Cách 3: Gi  s  (d) cho dả ử ướ ại d ng tham s : ố

bt y y

at x x

0

0

, t  R

      Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

      Bước 1: G i H là hình chi u  c a đi m M trên đọ ế ủ ể ường th ng(d) thì H ằ (d), suy ra:      H(x0 at  ; y0 bt )   t a đ  ọ ộ MH

Cách 1: Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

       Bước 1: Xác đ nh hình chi u H c a đi m M trên đị ế ủ ể ường th ng(d) (theo bài toán 1)ằ  

       Bước 2: G i N là đi m đ i x ng v i đi m M qua đọ ể ố ứ ớ ể ường th ng (d), suy ra H là ẳ

      trung đi m c a MN, ta để ủ ược:  2

Cách 2: Gi  s  (d) cho dả ử ướ ại d ng t ng quát:  Ax + By + C = 0.ổ

      Ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

      Bước 1: G i H là trung đi m c a MN,ọ ể ủ

       Ta có 

(d)y) H(x;

A) ;

0)(

)(

C y

y B x

x A

y y A x

x B

M N M

N

M N M

N

VD1. Cho đường th ng (d): 3x+4y­12 = 0 và đi m M(7; 4). Tìm t a đ  chi u H c a đi m M trênẳ ể ọ ộ ế ủ ể  

đường th ng(d), t  đó suy ra t a đ  đi m Mằ ừ ọ ộ ể 1đ i x ng v i đi m M qua đố ứ ớ ể ường th ng (d).ẳ

Đ/S: H(4; 0),   M1(1;­ 4)

VD2. Cho đường th ng (d): ẳ

t y

t x

33

4, t  R  và đi m M(3; ­1). ể

Tìm t a đ  chi u H c a đi m M trên đọ ộ ế ủ ể ường th ng(d), t  đó suy ra t a đ  đi m Mằ ừ ọ ộ ể 1đ i x ng v iố ứ ớ  

đi m M qua để ường th ng (d). Đ/S: H(0; 3),   Mẳ 1(­3; 7)

Bài toán 3. Tìm đi m M thu c đ ể ộ ườ ng th ng (d) và th a mãn đi u ki n K ẳ ỏ ề ệ

Ph ươ ng pháp chung       

Ta l a ch n m t trong hai hự ọ ộ ướng sau:

Hướng 1: T n d ng pt đậ ụ ường th ng (d) cho trẳ ước

Cách 1: N u (d) cho dế ướ ại d ng tham s : ố

bt y y

at x x

0

0

, t  R

      Bước 1: L y đi m M thu c đấ ể ộ ường th ng(d), suy ra M(ằ x0 at  ; y0 bt )

      Bước 2: D a vào đi u ki n K xác đ nh t.ự ề ệ ị

Cách 2: N u (d) cho dế ướ ại d ng t ng quát:  Ax + By + C = 0 (ổ A2 B2 0)

       Bước 1: L y đi m M(ấ ể x M  ; y M ) thu c độ ường th ng(d), suy ra Axằ M  + ByM  + C = 0

      Bước 2: D a vào đi u ki n K thi t l p thêm m t pt cho xự ề ệ ế ậ ộ M , yM  T  đó tìm ra M.ừ

L u y: Cũng có th  chuy n pt c a (d) v  d ng tham s  đ  th c hi n theo cách 1.ư ể ể ủ ề ạ ố ể ự ệ

Hướng 2: S  d ng đi u ki n K đ  kh ng đ nh M thu c đử ụ ề ệ ể ẳ ị ộ ường (L), khi đó (d)  (L) =  M VD1. Cho đường th ng (d) có phẳ ương trình: (d): 

t y

t x

3

22, t  R

         Tìm đi m M thu c (d) và cách đi m A(0; 1) m t kho ng b ng 5.ể ộ ể ộ ả ằ

HD:   ­ Vì M thu c (d) nên M(2+2t; 3+t). Khi đó:ộ

) 2 2 ( 2

5

17

.+) V i ớ t1 1, có M1(4; 4)

V y có hai  ậ

VD2. Cho đường th ng (d) có phẳ ương trình: (d): x – 2y + 15= 0

         Tìm đi m M(ể x M  ; yM) thu c (d) sao cho ộ x2M yM2  nh  nh t.ỏ ấ

Cách 1: Vì M(x M  ; y M ) thu c (d) nên xộ M ­ 2yM  + 15 = 0   xM = 2yM  ­ 15 

V y (ậ xM2 yM2 )Min = 45 đ t đạ ược khi yM =6  M(­3; 6)

Cách 2: Chuy n phể ương trình: (d) v  d ng tham s , làm theo cách 1 trong lí thuy t.ề ạ ố ế

VD3. Cho hai đi m A(1;6), B(­3; ­4) và để ường th ng (d) có phẳ ương trình: (d): 2x – y ­1 = 0.Tìm trên đường th ng (d) đi m M sao cho  (MA+MB) nh  nh t.ẳ ể ỏ ấ

HD:Tacó A, B   cùng   phía đ i v i đở ố ớ ường th ng (d) (hình v ).ẳ ẽ

(d)

H

M A

B

C

G i C là đi m đ i x ng v i A qua (d), H là hình chi u c a A lên (d). ọ ể ố ứ ớ ế ủ

D u đ ng th c x y ra khi và ch  khi M là giao đi m c a (d) và BC.ấ ẳ ứ ả ỉ ể ủ

+) Xác đ nh đị ược hình chi u H(3; 5) c a A trên (d).ế ủ

+) Xác đ nh đị ược C(5; 4)

+) L p đc pt (BC): x­y­1 = 0.ậ

+) T a đ  đi m M c n tìm là nghi m h  pt ọ ộ ể ầ ệ ệ

012

01

y x

y x

       Đ/S: M(0; 1).

L u ý: ư

       Tr ng h p A, B   khác phía đ i v i đ ng th ng (d), ta làm nh  sau:ườ ợ ở ố ớ ườ ẳ ư

G i P = (d) ọ  AB, khi đó MA+MB   AB, d u đ ng th c x y ra khi M ấ ẳ ứ ả P 

        (MA+MB) nh  nh t khi  M = (d) ỏ ấ  AB 

VD4. Cho hai đi m A(4;1), B(0; 4) và để ường th ng (d) có phẳ ương trình: (d): 3x – y ­1 = 0

Tìm đi m M trên để ường th ng (d) sao cho ẳ MA MB  l n nh t.ớ ấ

HD:Tacó A, B   khác phía đ i v i đở ố ớ ường th ng (d) và AB không cùng phẳ ương v i đớ ường th ng (d)ẳ  (hình v ).ẽ

G i C là đi m đ i x ng v i A qua (d), H là hình chi u c a A lên (d).  ọ ể ố ứ ớ ế ủ

V i m i đi m M trên (d), ta có:ớ ọ ể

MA

 =  

MB MC

   BC      

(d)

H A

C

B

M

D u đ ng th c x y ra khi và ch  khi M là giao đi m c a (d) và BC.ấ ẳ ứ ả ỉ ể ủ

+) Xác đ nh đị ược hình chi u H(1; 2) c a A trên (d).ế ủ

+) Xác đ nh đị ược C(­2; 3)

+) L p đc pt (BC): x­2y+8 = 0.+) T a đ  đi m M c n tìm là nghi m h  pt ậ ọ ộ ể ầ ệ ệ

013

082

y x

y x

 Đ/S: M(2; 5)

Bài1. Trong mp Oxy, cho đi m M(­1;2) và đ ng th ng d: x­2y+1=0. Vi t pt đt ể ườ ẳ ế  đi qua M th aỏ  mãn 1 trong các đi u ki n sau:ề ệ

a)  vuông góc v i d.       b) ớ   t o v i d m t góc ạ ớ ộ 60 0

c) Kho ng cách t  đi m A(2;1) đ n ả ừ ể ế  b ng 1.ằ

Bài 2. Trong mp Oxy, cho đi m M(ể

4

3

; 2

1

). Vi t pt đt ế  qua M và c t các tr c t a đ  Ox, Oy l nắ ụ ọ ộ ầ  

lư t t i các đi m A và B sao cho di n tích tam giác OAB b ng ợ ạ ể ệ ằ

Bài 5. Trong mp Oxy, cho 2 đi m A(­2; 2),  M(3;1). Vi t pt đt ể ế  qua M và c t các tr c t a đ  Ox,ắ ụ ọ ộ  

Oy l n lầ ư t t i các đi m B, C sao cho:ợ ạ ể

a) Tam giác ABC vuông t i A.       b) Tam giác ABC cân t i A.ạ ạ

Bài 6. Trong mp Oxy, vi t pt đt d đ i x ng v i đt q: x+ y – 1= 0 qua đt p: x­3y + 3= 0.ế ố ứ ớ

Bài 7. Cho đt d:  x y2 t3t, t  R và đi m B(2; 1)ể

a)Tìm giao đi m c a d v i hai tr c Ox, Oy.       b) Tìm trên d đi m M sao cho đo n BM ng n nh t.ể ủ ớ ụ ể ạ ắ ấ

Bài 8. Cho hai đt d: (m+1)x ­2y­m­1 = 0 và d': x+(m­1)y ­ m2=0

a) Tìm giao đi m I c a d và dể ủ '

b) Tìm đi u ki n c a m đ  I n m trên tr c Oy.ề ệ ủ ể ằ ụ

Bài   9  Trong   m t   ph ng   v i   h   to   đ   Oxy,   cho   2   đ ng   th ng  ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ườ ẳ :x − + = 7 17 0 y ;  

5 0

+ − =

cân t i giao đi m c a ạ ể ủ

Bài 10. Trong m t ph ng v i h  tr c to  đ  ặ ẳ ớ ệ ụ ạ ộ Oxy, cho cho hai đường th ng ẳ d1: 2 x y − + = 5 0. 

d2: 3x + 6y – 7 = 0. L p phậ ương trình đường th ng đi qua đi m ẳ ể P( 2; –1) sao cho đường th ng đóẳ  

c t hai đắ ường th ng ẳ d1 và d2 t o ra m t tam giác cân có đ nh là giao đi m c a hai đạ ộ ỉ ể ủ ường th ng ẳ d1, 

d2

Bài 11. Trong m t ph ng v i h  tr c to  đ  Oxy, cho hai đ ng th ng dặ ẳ ớ ệ ụ ạ ộ ườ ẳ 1: x + y + 1 = 0,  d2: 2x – y – 1 = 0 . L p phậ ương trình đường th ng d đi qua M(1;–1) c t dẳ ắ 1 và d2 tương  ng t i A và Bứ ạ  sao cho 2uuur uuur rMA MB+ = 0

Bài 12. Trong m t ph ng v i h  t a đ  Oxy, cho đi m A(2; –1) và đ ng th ng d có ph ng trìnhặ ẳ ớ ệ ọ ộ ể ườ ẳ ươ  2x – y + 3 = 0. L p phậ ương trình đường th ng ẳ  qua A và t o v i d m t góc   có cos  ạ ớ ộ α α 1

10

=

Bài 13. Trong m t ph ng v i h  to  đ  Oxy, cho đi m M(3;1). Vi t ph ng trình đ ng th ng d điặ ẳ ớ ệ ạ ộ ể ế ươ ườ ẳ  qua M c t các tia Ox, Oy t i A và B sao cho (OA+3OB) nh  nh t.ắ ạ ỏ ấ

Bài 14. Trong m t ph ng v i h  to  đ  Oxy, cho 4 đi m A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), d(3;5). Tìm toặ ẳ ớ ệ ạ ộ ể ạ 

đ  đi m M thu c độ ể ộ ường th ng ẳ ( ):3 ∆ x y − − = 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có di n tíchệ  

b ng nhau.ằ

Bài 15( CĐ­ 2014). Trong m t ph ng v i h  to  đ  Oxy, cho 4 đi m A(­2; 5) và đ ng th ng d: 3x­ặ ẳ ớ ệ ạ ộ ể ườ ẳ4y+1 = 0. Vi t ph.trình đế ường th ng qua A và vuông góc v i d. Tìm t a đ  đi m M thu c d sao choẳ ớ ọ ộ ể ộ  

AM = 5

II.1.1. Các đường trong tam giác

1. Đường trung tuy n, đế ường trung bình:

Xét tam giác ABC, g i M, N, P l n lọ ầ ượt là trung đi m các c nh BC, CA, AB, ta có:ể ạ

­ Các đường trung tuy n trong tam giác ABC là AM, BN, CP.ế

­ Các đường trung tuy n trong tam giác ABC đ ng quy t i đi m G, G là tr ng tâm c a tam giácế ồ ạ ể ọ ủ  ABC

­ T a đ  tr ng tâm G: ọ ộ ọ

3

3

c B A G

C B A G

y y y y

x x x x

G

M B

A

C

D

N P

­ Đ  dài trung tuy n: AG = ộ ế

3

2

AM

­ Di n tích tam giác: ệ SABC 3 SGBC 3 SGCA 3 SGAB

­ N u D là đi m đ i x ng c a G qua M, ta có BGCD là hình bình hành.ế ể ố ứ ủ

I O A

B

C

K M

N

P

thì BHCK là hình bình hành. Khi đó HK c t BC t i trung đi m I c a m i đắ ạ ể ủ ỗ ường và OI 12AH

+) N u G là tr ng tâm tam giác ABC, ta có ba đi m H, G, O th ng hàng và ế ọ ể ẳ OH 3 OG.      +) G i  M, N, P l n lọ ầ ượt là giao đi m c a AH, BH, CH và để ủ ường tròn (O), ta có  M, N, P l n lầ ượ  t

­ Tâm đường tròn n i ti p tam giác là giao đi m c a 3 độ ế ể ủ ường phân giác trong c a tam giác.ủ

­  Khi tìm t a đ  tâm đọ ộ ường tròn n i ti p tam giác, ta ch  c n tìm giao đi m c a 2 độ ế ỉ ầ ể ủ ường phân giác trong c a tam giác.ủ

 *) Đ ng phân giác ngoài c a tam giác là đ ng th ng đi qua đ nh c a tam giác và chia góc bù v iườ ủ ườ ẳ ỉ ủ ớ  góc   đ nh c a tam giác thành hai góc b ng nhau.ở ỉ ủ ằ

­ Tâm đường tròn bàng ti p góc A c a tam giác ABC là giao đi m c a đế ủ ể ủ ường phân giác trong c aủ  góc A và hai đường phân giác ngoài xu t phát t  hai đ nh còn l i trong tam giác.ấ ừ ỉ ạ

Nh n xét: Đậ ường phân giác trong và đường phân giác ngoài t i m t đ nh c a tam giác luôn vuôngạ ộ ỉ ủ  góc v i nhau.ớ

+) Tam giác ABC ngo i ti p đạ ế ường tròn tâm J, bán kính r, ta có:

­) r = d(J; BC) = d(J; AC) = d(J; AB)

­) Công th c liên h  gi a bán kính đứ ệ ữ ường tròn n i ti p và di n tích tam giác:ộ ế ệ

       r = 

c b a

S P

4. Đường trung tr cự

­ Đường trung tr c đo n th ng AB là đự ạ ẳ ường th ng vuông góc v i AB t i trung đi m c a đo n AB.ẳ ớ ạ ể ủ ạ

­ Giao đi m c a hai để ủ ường trung tr c c a 2 c nh c a m t tam giác là tâm đự ủ ạ ủ ộ ường tròn ngo i ti pạ ế  tam giác đó

Bước 2(Ch  làm trong t  duy, không c n vi t vào l i gi  c a bài toán): ỉ ư ầ ế ờ ả ủ

         ­ Phân tích m i quan h  gi a các y u t  đã bi t và các y u t  c n tìm thông qua gi  thi t c aố ệ ữ ế ố ế ế ố ầ ả ế ủ  bài toán và các ki n th c đã h cế ứ ọ

        ­  S p x p các đi m (các đắ ế ể ường)  theo th  t  t  nhi u gi  thi t đ n ít gi  thi t.ứ ự ừ ề ả ế ế ả ế

Bước 3: Ti n hành làm c  th  bế ụ ể ước 2:

      ­Tìm t a đ  các đi m, phọ ộ ể ương trình các đường (n u c n) theo th  t  t  nhi u gi  thi t đ n ítế ầ ứ ự ừ ề ả ế ế  

gi  thi t ả ế

      ­ Tr  l i câu h i.ả ờ ỏ

*)  G i ý m t s  hợ ộ ố ướng t  duy đ  th c hi n phư ể ự ệ ương pháp gi i trong m i bài toán tam giác:ả ỗ

­N u bài toán liên quan đế ường cao hay tr c tâm trong tam giác thì nghĩ đ n tính vuông góc, t  giác ự ế ứ

­N u bài toán liên quan đế ường phân giác trong trong tam giác thì nghĩ đ n tính đ i x ng t  đi m đã ế ố ứ ừ ể

bi t qua đế ường phân giác c a góc đó. ủ

­N u bài toán liên quan tâm đế ường tròn bàng ti p góc c a tam giác thì c n s  d ng đ n đ nh nghĩa ế ủ ầ ử ụ ế ị

và tính ch t tâm đấ ường tròn bàng ti p c a góc trong tam giác ( liên quan đ n kho ng cách).ế ủ ế ả

­ N u bài toán cho đi m thu c đế ể ộ ường th ng đã có pt thì có th  tham s  hoá to  đ  đi m đó theo pt ẳ ể ố ạ ộ ểđt,

………

 *) Đ  th c hi n phể ự ệ ương pháp gi i bài toán tam giác, h c sinh ph i n m ch c hai kĩ thu tả ọ ả ắ ắ ậ  sau:

+) Kĩ thu t tìm t a đ  các đi m trong bài toán tam giác, th c hi n theo th  t  sau:ậ ọ ộ ể ự ệ ứ ự

­ Th  1: Tìm t a đ  các đi m có t  2 gi  thi t tr  lên.ứ ọ ộ ể ừ ả ế ở

­ Th  2: Tìm t a đ  các đi m có 1 gi  thi t:ứ ọ ộ ể ả ế

      +) Cách 1: N u đi m này thu c d đã bi t pt thì làm nh  sau:ế ể ộ ế ư

Chuy n d v  d ng tham s  ể ề ạ ố bi u di n t a đ  đi m c n tìm theo t, l p pt  n t, gi i pt theo t,  suyể ễ ọ ộ ể ầ ậ ẩ ả  

ra t a đ  đi m c n tìm.ọ ộ ể ầ

        +) Cách 2: G i đi m c n tìm có t a đ  (ọ ể ầ ọ ộ x ;o yo), d a vào quan h  c a đi m này v i gi  thi t,ự ệ ủ ể ớ ả ế  tính ch t các đấ ường đã bi t thi t l p h  pt  n (ế ế ậ ệ ẩ x ;o yo). Gi  h  tìm (ả ệ x ;o yo)

+) Kĩ  thu t vi t phậ ế ương trình đ

Cách 1: ­ Tìm t a đ  hai đi m thu c đọ ộ ể ộ ường th ng c n vi t.ẳ ầ ế

       ­ Vi t phế ương trình đường th ng.ẳ

Cách 2: ­ Tìm t a đ  m t đi m thu c đọ ộ ộ ể ộ ường th ng c n vi t.ẳ ầ ế

       ­ Tìm vtpt ho c vtcp c a đặ ủ ường th ng c n vi t ( d a vào quan h  gi a đẳ ầ ế ự ệ ữ ư ng th ng c nờ ẳ ầ  tìm và đường th ng đã bi t phẳ ế ương trình, công th c tính kho ng cách, công th c tính cos c a gócứ ẳ ứ ủ  góc t o b i đạ ở ường th ng c n vi t v i m t đẳ ầ ế ớ ộ ường th ng đã bi t phẳ ế ương trình, )

       ­  Vi t phế ương trình đường th ng c n tìm.ẳ ấ

Chú ý: Có nh ng bài toán, vi c v  chính xác hình theo gi  thi t và b ng m t quan sát ta nh n bi tữ ệ ẽ ả ế ằ ắ ậ ế  

được các tính ch t hình h c đ c bi t c a bài toán nh  vuông góc, song song, là then ch t c a bàiấ ọ ặ ệ ủ ư ố ủ  toán. Đ  gi i quy t ki u bài toán này, trong quá trình gi i toán ta c n th c hi n 3 bể ả ế ể ả ầ ự ệ ước:

         +) V  chu n hình phát hi n tính ch t hình h c ( n u có).ẽ ẩ ệ ấ ọ ế

         +) Ch ng minh tính ch t hình h c đã d  đoán.ứ ấ ọ ự

         +) S  d ng công c  gi i tích đ  k t thúc bài toán.ử ụ ụ ả ể ế

Bài 1( ĐH­D2009). Trong m t ph ng v i h  t a đ  Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trungặ ẳ ớ ệ ọ ộ  

đi m c a c nh AB. Để ủ ạ ường trung tuy n và đế ường cao qua đ nh A l n lỉ ầ ượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Vi t phế ương trình đường th ng AC.ẳ

Bước 2: Phân tích (không c n làm vào bài gi i)ầ ả

­ T  gi  thi t c a bài toán, ta tìm đừ ả ế ủ ược ngay t a đ  đi m A( A là di m chung c a đọ ộ ể ể ủ ườ  ngtrung tuy n AD và đế ường cao AH c a tam giác ABC).ủ

­ Bi t t a đ  đi m A, bi t M (2; 0) là trung đi m c a c nh ABế ọ ộ ể ế ể ủ ạ tìm đượ ọc t a đ  đi m B.ộ ể

­ Bi t t a đ  đi m B, bi t pt đt AH ( AHế ọ ộ ể ế BC)  vi t pt c nh BCế ạ

       tìm được  D = AD BC  tìm được C đ i x ng v i B qua D ố ứ ớ

       vi t đế ược phương trình đường th ng AC.ẳ

Bước 3 (làm vào bài gi i)ả

­ G i đọ ường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuy n AD : 7x – 2y – 3 = 0ế

­ A = AH   AD   A (1;2)

­ AC qua A (1; 2) có VTCP AC ( 4; 3) uuur = − −  nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0   3x – 4y + 5 = 0

Bài 2. Trong m t ph ng v i h  t a đ  Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A thu c đ ng th ng d:ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ỉ ộ ườ ẳ x­4y­2=0, c nh BC song song v i d, phạ ớ ương trình đường cao BH: x+y+3=0, đi m M(1;1) là trungể  

đi m c a đo n AC. Tìm t a đ  các đ nh A, B, C?ể ủ ạ ọ ộ ỉ

Đinh hướng cách gi i: ­ V  hìnhả ẽ

­ Bi t đế ường cao BH, đi m M Thu c c nh AC ể ộ ạ  l p ngay đậ ược pt AC   tìm được A = AC d

­ Bi t A và M là trung đi m c a AC ế ể ủ  tìm được C (d a vào tính ch t trung đi m).ự ấ ể

­ Bi t t a đ  C và BC // d: x­4y­2=0 ế ọ ộ  l p đậ ược pt đt BC   tìm được B = AC d

L i gi i:ờ ả

­ Vì AC vuông góc v i đớ ường cao BH: x+y+3=0 nên AC có vtpt n(1;­1)

­  Vì AC đi qua M(1;1) nên pt c a AC là: 1(x­1) ­1(y­1)=0 ủ x­y=0

­ Có A là giao đi m c a AC và đt d nên t a đ  c a A là nghi m c a h  pt ể ủ ọ ộ ủ ệ ủ ệ

0

024

y x

y x

C

M A C

y y y

x x x

8 (

3

8

; 3

­  Có B là giao đi m c a BC và BH nên t a đ  c a B là nghi m c a h  pt ể ủ ọ ộ ủ ệ ủ ệ

03

084

y x

y x

B(­4;1)

­G i M là trung đi m c a đo n AC, AD là đọ ể ủ ạ ường phân giác trong c a góc A c a tam giác ABC.ủ ủ

­G i M’ là đi m đ i x ng v i M qua đọ ể ố ứ ớ ường th ng AD ẳ M’ thu c độ ường th ng AB.ẳ

x+2y­3=0

H(3; 0)

I(6; 1) B

A

C

D

E K

Đ nh hị ướng:

­ G  thi t cho chân đỉả ế ường cao  nghĩ đ n tính vuông góc, nghĩ đ n t  giác n i ti p.ế ế ứ ộ ế

­ G  thi t cho pt đỉả ế ường th ng DE ẳ  tham s  hóa t a đ  c a đi m D ho c E.ố ọ ộ ủ ể ặ

 LG tóm t tắ

 G i K là trung đi m c a AH. T  giác AEHD n i ti p đọ ể ủ ứ ộ ế ường tròn tâm Kvà t  giác BCDE n i ti pứ ộ ế  

T a đ  K là nghi m c a h  pt ọ ộ ệ ủ ệ

1

032

y

y x

 K(1; 1)   A(­1; 2)

D(2; a)   DE, ta có KA = KD   5 = 1 + (a­1)2 

)(1

3

l a

­ Tìm được A = d   AC.

­ Tìm được pt c nh AB ( qua A, H), tìm đạ ược B = AB   d

 LG

G i K là đi m đ i x ng v i H qua đọ ể ố ứ ớ ường phân giác trong góc A. Khi đó K thu c độ ườ  ng

th ng AC. Đẳ ường th ng HK có phẳ ương trình 

Bài 6 (ĐH­B­2009). Trong m t ph ng v i h  t a đ  Oxy, cho tam giác ABC cân t i đ nh A(­1;4) vàặ ẳ ớ ệ ọ ộ ạ ỉ  các đ nh B, C thu c đỉ ộ ường th ng  d có phẳ ương trình là x – y – 4 = 0. 

Tìm t a đ  các đ nh B và C bi t ọ ộ ỉ ế S ABC=18

d: x ­ y ­ 4 = 0 A

04

y x

y x

Bài 6 (ĐH­B­2010). Trong m t ph ng v i h  t a đ  Oxy, cho tam giác ABC vuông t i đ nh A, cóặ ẳ ớ ệ ọ ộ ạ ỉ  

đ nh C(­4;1), đỉ ường phân giác trong c a góc A có phủ ương trình x+y­5=0. Vi t phế ương trình c nhạ  

BC biêt S ABC=24 và đ nh A có hoành đ  dỉ ộ ương

C(­4;1) C'

Đ nh hị ướng:

­ Gi  thi t cho đả ế ường phân giác trong c a góc A có phủ ương trình x+y­5=0  nghĩ đ n tínhế  

đ i x ng c a C qua d và bi u di n t a đ  đi m A theo tham s  t.ố ứ ủ ể ễ ọ ộ ể ố

­ Gi  thi t cho tam giác ABC vuông t i đ nh A và ả ế ạ ỉ S ABC=24   nghĩ đ n tính vuông góc vàế  công th c tính di n tích tam giác vuông.ứ ệ

L i g i hờ ỉả ướng d n:ẫ

+) G i đọ ường phân giác trong c a góc A là AD, theo gi  thi t AD có pt: x+y­5=0.ủ ả ế

+) G i C’ là đi m đ i x ng v i C qua (AD), I là giao đi m c a (CC’) và (AD).ọ ể ố ứ ớ ể ủ

   ­ Tính được I(5; 0)   tính được C’(4; 9)

+) Có A thu c (AD): x+y­5=0 ộ A(t, 5­t)

x

14+) Do B thu c độ ường th ng AC’ ẳ  B(4; 1+t)

+) Có 

6

66

248.2

1

2

1

t

t t

t AC AB

S ABC

+) V i t= 6 ớ B(4; 7) (th a mãn vì B và C n m khác phia đ i v i đỏ ằ ố ớ ường th ng AD).ẳ

+) V i t= ­6 ớ B(4; ­5) ( không th a mãn vì B và C n m cùng phia đ i v i đỏ ằ ố ớ ường th ng AD).ẳ

+) Có B(4; 7), C(­4;1)   L p đậ ược pt đường th ng BC là 3x­4y+16=0.ẳ

Bài 7. Trong m t ph ng v i h  to  đ  ặ ẳ ớ ệ ạ ộ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân t i A, bi t các đ nh A, B,ạ ế ỉ  

C l n lầ ượ ằt n m trên các đường th ng ẳ d:  x y 5 0+ − = , d1: x 1 0+ = , d2: y 2 0+ =  Tìm to  đ  cácạ ộ  

 M t s  bài toán ph c t p.ộ ố ứ ạ

Đ  gi i quy t các bài toán ph c t p này, ngoài 1 s  các ki n th c, kĩ năng nêu trên hs c n:ể ả ế ứ ạ ố ế ứ ầ

+) N m ch c các ki n th c c a chắ ắ ế ứ ủ ương trình HH l p 9, ch ng h n:  góc n i ti p, góc   tâm, gócớ ẳ ạ ộ ế ở  

t o  b i ti p tuy n và dây cung, ạ ở ế ế

+) V  chu n hình, phát hi n các tính ch t hình h c là then ch t c a bài toán. Ch ng minh các tínhẽ ẩ ệ ấ ọ ố ủ ứ