SKKN: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Nội dung của đề tài bao gồm hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số, thường gặp trong các đề thi và được phân thành từng dạng. Trong quá trình giảng dạy, tùy vào tình hình thực tế, thời lượng ôn tập, năng lực tư duy của học sinh trong lớp để quý thầy, cô giáo có thể lựa chọn nội dung kiến thức, các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp.

Chuyên đề :  M T S  BÀI TOÁN TH Ộ Ố ƯỜ NG G P V  Đ  TH Ặ Ề Ồ Ị

A­ Đ T V N Đ : Ặ Ấ Ề

Trong quá trình gi ng d y thì v n đ  t  ch c, hả ạ ấ ề ổ ứ ướng d n cho h c sinh ôn t p, c ng c  cácẫ ọ ậ ủ ố  

ki n th c và rèn luy n k  năng gi i toán chu n b  cho các k  thi s p đ n là m t công vi c r tế ứ ệ ỹ ả ẩ ị ỳ ắ ế ộ ệ ấ  quan tr ng và c n thi t cho m i ngọ ầ ế ỗ ười th y, cô giáo. Nên m i m t th y, cô giáo c n ph i đ iầ ỗ ộ ầ ầ ả ổ  

m i phớ ương pháp d y h c, ch n l c n i dung và tìm ra phạ ọ ọ ọ ộ ương pháp gi i toán cho h c sinh dả ọ ễ 

hi u, d  ti p thu đ  kích thích h c sinh h ng thú say mê, sáng t o và tìm ra hể ễ ế ể ọ ứ ạ ướng gi i quy t bàiả ế  toán đó. Chúng ta c n ph i ch n l c n i dung tr ng tâm, dung lầ ả ọ ọ ộ ọ ượng ki n th c,  ng d ng cácế ứ ứ ụ  

ki n th c đã h c đ  giúp các em rèn luy n k  năng và t  duy đ  tìm ra phế ứ ọ ể ệ ỹ ư ể ương pháp gi i nh ngả ữ  

d ng toán thạ ường g p trong các k  thi mà sách giáo khoa ch a đ  c p đ n nhi u.ặ ỳ ư ề ậ ế ề

Đ  góp ph n nh  vào vi c ôn t p môn Toán 12 cho h c sinh, b n thân xin trình bày m tể ầ ỏ ệ ậ ọ ả ộ  

ph n n i dung ôn t p: ầ ộ ậ “M t s  bài toán th ộ ố ườ ng g p v  đ  th  hàm s ” ặ ề ồ ị ố

Ta thường g p m t s  ặ ộ ố “Bài toán liên quan đ n đ  th  hàm s ” ế ồ ị ố  trong Bài 1 c a các đ  thi T tủ ề ố  nghi p Trung h c ph  thông và Tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng. Đây là d ng toán có liên quan đ nệ ọ ổ ể ạ ọ ẳ ạ ế  

vi c “Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  hàm s ”, là m t trong nh ng n i dung toán h c có tínhệ ả ự ế ẽ ồ ị ố ộ ữ ộ ọ  

ch t phát tri n t  duy lô­gic, hình thành k  năng th c hành và phát huy kh  năng v n d ng sángấ ể ư ỹ ự ả ậ ụ  

t o vào th c ti n cu c s ng sau này cho h c sinh. Qua nh ng năm gi ng d y n i dung này, tôiạ ự ễ ộ ố ọ ữ ả ạ ộ  

nh n th y k t qu  h c t p c a đa s  h c sinh ch a cao, kho ng trên 65% ch a đ t theo chu n.ậ ấ ế ả ọ ậ ủ ố ọ ư ả ư ạ ẩ  

Vi c tìm hi u nguyên nhân và bi n pháp kh c ph c đ  nâng cao ch t lệ ể ệ ắ ụ ể ấ ượng h c t p c a h c sinhọ ậ ủ ọ  

là th c s  c n thi t đ i v i m i giáo viên đang tr c ti p gi ng d y. Th c t  cho th y:ự ự ầ ế ố ớ ỗ ự ế ả ạ ự ế ấ

  – Kh  năng phân tích bài toán còn lúng túng, k  năng tính toán còn ch m và thi u chính xác.ả ỹ ậ ế– Liên h  v i nh ng ki n th c   l p dệ ớ ữ ế ứ ở ớ ưới còn nhi u h n ch ề ạ ế

– Thi u ch  đ ng, t  tế ủ ộ ư ưởng ng i khó khi g p ph i bài toán ph c t p, nhi u d  ki n ràng bu c.ạ ặ ả ứ ạ ề ữ ệ ộ– Đa s  các em ch  làm ph n ố ỉ ầ Kh o sát hàm s ả ố mà ch a làm đư ượ Bài toán liên quan đ n đ  thc  ế ồ ị.

Đ  giúp các em l y để ấ ược tr n v n đi m s  c a Bài 1 trong các Đ  thi T t nghi p Trung h cọ ẹ ể ố ủ ề ố ệ ọ  

ph  thông, cũng nh  Đ  thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng dổ ư ề ể ạ ọ ẳ ưới đây xin đ a ra m t s  gi i phápư ộ ố ả  

nh  sau:ư

B­ GI I PHÁP TH C HI N: Ả Ự Ệ

Vi c trang b  c n th n cho h c sinh nh ng phệ ị ẩ ậ ọ ữ ương pháp c  b n, nh ng k  năng ban đ u làơ ả ữ ỹ ầ  

r t c n thi t, c ng c  đấ ầ ế ủ ố ược ni m tin và t o c  s  ti n đ  cho các em ti p t c phát huy kh  năngề ạ ơ ở ề ề ế ụ ả  sáng t o đ  có th  t  gi i đạ ể ể ự ả ược các d ng toán tạ ương t :ự  

­ Gi ng d y th t chu đáo các bài toán c  b n, ch ng h n:ả ạ ậ ơ ả ẳ ạ

  + Tìm các đi m c c tr  c a đ  th  hàm s ; ể ự ị ủ ồ ị ố

  + Tìm ph ươ ng trình các đ ườ ng ti m c n c a đ  th  hàm s ; ệ ậ ủ ồ ị ố

  + Tìm t a đ  giao đi m c a hai đ ọ ộ ể ủ ườ ng;

  + Vi t ph ế ươ ng trình ti p tuy n v i đ ế ế ớ ườ ng cong 

­ Hướng d n cho h c sinh cách phân tích đ nh hẫ ọ ị ướng gi i quy t bài toán, bi t quy l  v  quen.ả ế ế ạ ề

­ Đ c bi t c n hặ ệ ầ ướng d n cho các em bi t cách phân rã m t bài toán ph c t p thành nh ng bàiẫ ế ộ ứ ạ ữ  toán con đ n gi n đã bi t cách gi i.ơ ả ế ả

­ Dành th i gian h p lý đ  h c sinh t  gi i quy t đờ ợ ể ọ ự ả ế ược nh ng bài toán tữ ương đ i đ n gi n,ố ơ ả  gây đượ ự ực s  t  tin và h ng thú h c t p cho các em. ứ ọ ậ

­ Sau khi h c sinh t  gi i đọ ự ả ược bài toán c  b n   trên, đ  ti p t c nâng cao năng l c t  duyơ ả ở ể ế ụ ự ư  cho các em, giáo viên có th  m  r ng, tăng đ  ph c t p c a bài toán b ng cách:ể ở ộ ộ ứ ạ ủ ằ   Đ a vào tham sư ố 

và thêm nh ng ràng bu c gi a các d  ki n c a bài toán.ữ ộ ữ ữ ệ ủ

C­ QUÁ TRÌNH TH C HI N: Ự Ệ

Qua quá trình gi ng d y, b n thân nh n th y r ng: Đ  m t ti t ôn t p đ t ch t lả ạ ả ậ ấ ằ ể ộ ế ậ ạ ấ ượng và 

hi u qu  thi t th c thì h c sinh ph i bi t t  duy, sáng t o, tích c c ho t đ ng tham gia xây d ngệ ả ế ự ọ ả ế ư ạ ự ạ ộ ự  bài h c, ngọ ười th y ph i ch  đ ng v ch hầ ả ủ ộ ạ ướng gi i quy t b ng cách hả ế ằ ướng d n, đ t câu h i g iẫ ặ ỏ ợ  

ý, g i m  t ng bợ ở ừ ước đ  d n d t các em tìm hể ẫ ắ ướng gi i và l i gi i đúng, t  đó các em m i cóả ờ ả ừ ớ  

h ng thú, say mê vào vi c gi i quy t bài toán. Mu n v y thì chúng ta ph i chu n b  k  và ti nứ ệ ả ế ố ậ ả ẩ ị ỹ ế  hành các khâu sau:

I./ Nghiên c u n i dung c n ôn t p:ứ ộ ầ ậ

­ Nghiên c u k  n i dung c n ôn t p, c n c ng c  cho h c sinh.ứ ỹ ộ ầ ậ ầ ủ ố ọ

­ V ch ra phạ ương án ki m tra n i dung ki n th c chu n b  cho ti t ôn t p.ể ộ ế ứ ẩ ị ế ậ

Trước khi ôn t p ậ “M t s  bài toán th ộ ố ườ ng g p v  đ  th  hàm s ”  ặ ề ồ ị ố  thì th y, cô giáo c nầ ầ  

d n dò h c sinh ôn t p trặ ọ ậ ước các ki n th c đã h c và ki n th c c  b n có liên quan:ế ứ ọ ế ứ ơ ả

+ Đ nh nghĩa đi m c c tr  c a hàm s ; Đi u ki n đ  đ  hàm s  có c c tr ị ể ự ị ủ ố ề ệ ủ ể ố ự ị

+ Đường ti m c n c a đ  th  và cách tìm phệ ậ ủ ồ ị ương trình c a đủ ường ti m c n.ệ ậ

+ Giao đi m và cách tìm t a đ  giao đi m c a hai để ọ ộ ể ủ ường

+ Kho ng cách và các công th c tính kho ng cách.ả ứ ả

­ D a vào tình hình th c t  gi ng d y, th i lự ự ế ả ạ ờ ượng ôn t p, năng l c t  duy c a h c sinh trongậ ự ư ủ ọ  

l p d y đ  th y, cô giáo l a ch n n i dung ki n th c, phân b  các d ng bài t p c  th  cho phùớ ạ ể ầ ự ọ ộ ế ứ ổ ạ ậ ụ ể  

h p.ợ

IV./ Ch n các bài t p m u:ọ ậ ẫ

­ Ch n ra các bài t p m u, tr ng tâm thọ ậ ẫ ọ ường g p   đ  thi đ  ti n hành ôn t p trên l p.ặ ở ề ể ế ậ ớ

­ D a theo trình đ  c a h c sinh trong l p d y đ  ch n các bài t p tr ng tâm, ch n bài t pự ộ ủ ọ ớ ạ ể ọ ậ ọ ọ ậ  

t  d  đ n khó, đ y đ  các d ng:ừ ễ ế ầ ủ ạ

V./ Ch n các bài t p tọ ậ ương t :ự

­ Sau khi th y, cô giáo đã h ng d n ôn t p ki n th c thông qua các bài t p m u thì chúng taầ ướ ẫ ậ ế ứ ậ ẫ  

ti p t c cung c p cho h c sinh các bài t p tế ụ ấ ọ ậ ương t  đ  các em t  h c, t  rèn luy n. Đây là y u tự ể ự ọ ự ệ ế ố 

r t c n thi t giúp h c sinh t  c ng c  ki n th c, phát huy tính đ c l p, ch  đ ng, t  tin làm bài. ấ ầ ế ọ ự ủ ố ế ứ ộ ậ ủ ộ ự

­ Trên c  s  các bài t p m u h c sinhơ ở ậ ẫ ọ  t  l c, ch  đ ng rèn luy n phự ự ủ ộ ệ ương pháp, k  năngỹ  

gi i, c ng c  ki n th c đã thu nh n t  th y, cô giáo đ  t  đó các em t  gi i quy t đả ủ ố ế ứ ậ ừ ầ ể ừ ự ả ế ược các bài toán khác. 

­ Các bài t p tậ ương t  này th y, cô giáo g i ý hự ầ ợ ướng d n phẫ ương pháp và có th  cho đáp sể ố bài toán đ  h c sinh gi i xong đ i chi u k t qu  tìm để ọ ả ố ế ế ả ượ ủc c a mình

D­ N I DUNG: Ộ

Bao g m h  th ng các d ng bài t p liên quan đ n đ  th  c a hàm s , thồ ệ ố ạ ậ ế ồ ị ủ ố ường g p trong cácặ  

đ  thi và đề ược phân thành t ng d ng.ừ ạ  Trong quá trình gi ng d y, tùy vào tình hình th c t , th iả ạ ự ế ờ  

lượng ôn t p, năng l c t  duy c a h c sinh trong l p đ  quý th y, cô giáo có th  l a ch n n iậ ự ư ủ ọ ớ ể ầ ể ự ọ ộ  dung ki n th c, các d ng bài t p c  th  cho phù h p.ế ứ ạ ậ ụ ể ợ

Ph n 1: M T S  BÀI TOÁN V  ĐI M C C Đ I VÀ C C TI U C A HÀM Sầ Ộ Ố Ề Ể Ự Ạ Ự Ể Ủ Ố

 N u ế f x'( ) 0,< ∀x ( ; )a x0  và  f x'( ) 0,> ∀x ( ; )x b0 thì hàm s  ố f(x) đ t c c ti u t i đi m ạ ự ể ạ ể x0

 N u ế f x'( ) 0,> ∀x ( ; )a x0  và  f x'( ) 0,< ∀x ( ; )x b0 thì hàm s  ố f(x) đ t c c đ i t i đi m ạ ự ạ ạ ể x0

(Chú ý: Không c n xét hàm s  ầ ố f(x) có hay không có đ o hàm t i đi m ạ ạ ể x x= 0)

b.) Gi  s  hàm s  ả ử ố f(x) có đ o hàm c p m t trên kho ng (a;b) ch a đi m ạ ấ ộ ả ứ ể x0,  f x'( ) 00 =  và f(x) 

có đ o hàm c p hai khác 0 t i đi m ạ ấ ạ ể x0. Khi đó:

 N u ế f x"( ) 00 <  thì hàm s  đ t c c đ i t i đi m ố ạ ự ạ ạ ể x0

 N u ế f x"( ) 00 >  thì hàm s  đ t c c ti u t i đi m ố ạ ự ể ạ ể x0

II BÀI T P.Ậ

Tr ướ c khi đi vào gi i nh ng bài toán nâng cao k  năng, đ  ki m tra tình hình n m ki n ả ữ ỹ ể ể ắ ế  

th c c a h c sinh, th y cô giáo có th  h i bài cũ v i ki n th c c  b n ho c t ứ ủ ọ ầ ể ỏ ớ ế ứ ơ ả ặ ươ ng t   nh ự ư   sau:

Bài 1.  Xác đ nh  ị m đ  m i hàm s  sau có c c đ i và c c ti u: ể ỗ ố ự ạ ự ể

+ Hàm s  có c c đ i và c c ti u khi và ch  khi phố ự ạ ự ể ỉ ương trình (*) có hai nghi m phân bi t khácệ ệ  1

L u ý ư :  Hàm s  ố y ax= 3+bx2+ +cx d a,( 0) đ t c c đ i (ho c c c ti u) t i đi m xạ ự ạ ặ ự ể ạ ể 0 khi và ch  khi ỉ  0

'( ) 0''( ) 0

y x

y x

=

> )

Sau đó th y, cô giáo cho h c sinh ghi nh : ầ ọ ớ

Hàm s  b c ba:  ố ậ y ax= 3+bx2+ +cx d, (a 0) có c c tr  khi và ch  khi ph ự ị ỉ ươ ng trình  y' 0=  có 

− .

Đ  tăng thêm nh ng v ể ữ ướ ng m c cho h c sinh, giáo viên có th  đ a vào tham s  hay nh ng ắ ọ ể ư ố ữ   ràng bu c d  ki n c a bài toán ộ ữ ệ ủ

M t v n đ  ph c t p là t  h p c a nhi u v n đ  đ n gi n, m t bài toán khó là s  k t n i ộ ấ ề ứ ạ ổ ợ ủ ề ấ ề ơ ả ộ ự ế ố  

c a nhi u bài toán đ n gi n. Ch  c n n m v ng ki n th c c  b n, r i b ng óc phân tích và t ng ủ ề ơ ả ỉ ầ ắ ữ ế ứ ơ ả ồ ằ ổ  

h p chúng ta có th  gi i quy t đ ợ ể ả ế ượ c nh ng bài toán khó. Đ ng tr ữ ứ ướ c m t bài toán ph c t p, có ộ ứ ạ   nhi u ràng bu c h c sinh th ề ộ ọ ườ ng lúng túng, không bi t b t đ u gi i quy t t  đâu. Giáo viên c n ế ắ ầ ả ế ừ ầ  

phân tích và h ướ ng d n cho các em bi t cách phân rã bài toán ban đ u thành nh ng bài toán con, ẫ ế ầ ữ  

rà soát l i nh ng m ch ki n th c đã h c có liên quan đ  gi i quy t ạ ữ ạ ế ứ ọ ể ả ế

Bài t p 1.ậ  Cho hàm s  ố 1

3

1x3 mx2 mx

y  Xác đ nh ị m đ  hàm s  đ t c c tr  t i ể ố ạ ự ị ạ x ,x 1 2 thoả mãn  x1−x2 4?

H ướ ng d n ẫ : Có th  xem đây là s  k t h p c a 2 bài toán con là: ể ự ế ợ ủ

1 + 172

đi m c c đ i và c c ti u, đ ng th i kho ng cách gi a chúng là nh  nh t?ể ự ạ ự ể ồ ờ ả ữ ỏ ấ

H ướ ng d n ẫ : Có th  xem đây là s  k t h p c a 2 bài toán con là: ể ự ế ợ ủ

1.) Xác đ nh m đ  đ  th  hàm s  có đi m c c đ i và c c ti u; ị ể ồ ị ố ể ự ạ ự ể

2.) Đi u ki n đ  kho ng cách gi a hai đi m c c tr  c a đ  th  nh  nh t ề ệ ể ả ữ ể ự ị ủ ồ ị ỏ ấ

G i ý gi i:ợ ả

* y' 3 = x2 − 6mx− 3;     ' 0y = � x2 − 2mx− = 1 0,   (*)

+ Hàm s  có c c đ i và c c ti u khi và ch  khi phố ự ạ ự ể ỉ ương trình (*) có 2 nghi m phân bi t   ệ ệ

   � ∆ =' m2+ > ∀1 0, m R�

   Suy ra, v i m i giá tr  c a ớ ọ ị ủ m, hàm s  luôn có hai đi m c c tr ố ể ự ị

* Tìm t a đ  các đi m c c tr  c a ọ ộ ể ự ị ủ ( )C m : G i A, B là 2 đi m c c tr  c a đ  th , khi đó hoànhọ ể ự ị ủ ồ ị  

đ  đi m A, B là các nghi m c a phộ ể ệ ủ ương trình (*). 

Cách 1: Vì  A B, ( )C m nên l n lầ ượt thay các nghi m c a (*) vào hàm s , ệ ủ ố ta có:

  ­ Suy ra, đường th ng đi qua 2 đi m c c tr  A, B c a đ  th  có phẳ ể ự ị ủ ồ ị ương trình:   

+ Đ i chi u v i đi u ki n, ta đố ế ớ ề ệ ược k t qu : ế ả m =0

Giáo viên cho h c sinh nh n xét ọ ậ : Vi c thay hoành đ  c a A, B vào hàm s  khá ph c t p, d ệ ộ ủ ố ứ ạ ễ  

d n đ n k t qu  sai. Ch  áp d ng cách này trong tr ẫ ế ế ả ỉ ụ ườ ng h p ph ợ ươ ng trình (*) có bi t th c là s ệ ứ ố   chính ph ươ ng.

Bài t p 3.  ậ Cho hàm s  ố y x= 3+mx2+12x+3. Xác đ nh ị m đ  hàm s  có để ố ường th ng đi qua haiẳ  

đi m c c đ i và c c ti u vuông góc v i để ự ạ ự ể ớ ường th ng y = x ­7?ẳ

H ướ ng d n ẫ : Có th  xem đây là s  k t h p c a nh ng bài toán con là: ể ự ế ợ ủ ữ

1.) Xác đ nh m đ  đ  th  hàm s  có hai đi m c c tr ; ị ể ồ ị ố ể ự ị

2.) Vi t ph ế ươ ng trình đ ườ ng th ng đi qua hai đi m c c tr  c a đ  th  hàm s ; ẳ ể ự ị ủ ồ ị ố

3.) Đi u ki n đ  hai đ ề ệ ể ườ ng th ng vuông góc v i nhau ẳ ớ

  Suy ra đường th ng đi qua đi m c c đ i và c c ti u có phẳ ể ự ạ ự ể ương trình  (8 2 2) 4 3

Tìm m đê đô thi ham sô (1) co hai điêm c c tri đôi x ng nhau qua đ̉ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ự ̣ ́ ứ ương thăng (d): y = x + 2.̀ ̉

H ướ ng d n ẫ : Có th  xem đây là s  k t h p c a nh ng bài toán con là: ể ự ế ợ ủ ữ

1.) Xác đ nh m đ  đ  th  hàm s  có hai đi m c c tr ; ị ể ồ ị ố ể ự ị

2.) Vi t ph ế ươ ng trình đ ườ ng th ng đi qua hai đi m c c tr  c a đ  th  hàm s ; ẳ ể ự ị ủ ồ ị ố

3.) Đi u ki n đ  hai đi m c c tr  đ i x ng v i nhau qua đ ề ệ ể ể ự ị ố ứ ớ ườ ng th ng ẳ

G i ý gi i:ợ ả

* y' 6= x2−6(2m+1)x+6m m( +1)

         y' 0= �6x2−6(2m+1)x+6m m( + =1) 0

      � x2−(2m+1)x m m+ ( + =1) 0  (*)

+ Vì ∆ = > ∀1 0, m nên phương trình (*) luôn có 2 nghi m phân bi t ệ ệ x m x m= , = +1

* G i A, B là 2 đi m c c tr  c a đ  th  ta có: ọ ể ự ị ủ ồ ị A m m( ;2 3+3m2+1), B m( +1;2m3+3 )m2

   Vi t phế ương trình đường th ng đi qua 2 đi m c c tr  A, B c a đ  th , ta có phẳ ể ự ị ủ ồ ị ương trình: 

  ­ Suy ra, đ ườ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr  A, B c a đ  th  có pt:  ẳ ể ự ị ủ ồ ị y= − +x 2m3+3m2+ +m 1

Giáo viên l u ý thêm cho h c sinh ư ọ : Trong tr ườ ng h p này vi c chia đa th c cũng d  d n  ợ ệ ứ ễ ẫ

đ n k t qu  sai ế ế ả

* G i I là trung đi m c a AB, ta có: ọ ể ủ ( 1;2 3 3 2 1)

I m+ m + m ++ A và B đ i x ng v i nhau qua đố ứ ớ ường th ng (d) khi và ch  khi: ẳ ỉ ( )

m m

= −

−

=

Giáo viên cho h c sinh ghi nh : ọ ớ

 1.) A và B cách đ u đ ề ườ ng th ng (d)   ẳ �d A d( , )=d B d( , ).

      2.) A và B cách đ u g c t a đ  O  ề ố ọ ộ  OA = OB.

(V i I là trung đi m AB)ớ ể

      3.) A và B đ i x ng v i nhau qua g c t a đ  O   ố ứ ớ ố ọ ộ O AB OA OB=

       4.) A và B đ i x ng v i nhau qua đ ố ứ ớ ườ ng th ng (d)   ẳ I AB( ),⊥d( )d

Bài t p 5. ậ Cho hàm s  ố y x4 2m2x2 1. Xác đ nh ị m đ  hàm s  có 3 đi m c c tr  là 3 đ nh c aể ố ể ự ị ỉ ủ  tam giác vuông cân

x m

=

=

− =+ Hàm s  có ba đi m c c tr  ố ể ự ị Phương trình (*) có  hai nghi m phân bi t khác 0.ệ ệ

      ۹ m 0

+ G i ọ A(0;1), ( ;B m m− 4+1), (C m m− −; 4+1) là các đi m c c tr  c a đ  th ể ự ị ủ ồ ị

+ Tính: uuurAB=( ;m m− 4)�AB= m2+m8

      ACuuur= − −( m m; 4)�AC= m2+m8

+ Vì ∆ABC cân t i A nên 3 đi m c c tr  c a đ  th  t o thành m t tam giác vuông cân khi vàạ ể ự ị ủ ồ ị ạ ộ  

ch  khi ỉ ABuuur⊥uuurAC�uuur uuurAB AC. =0

       �−m2+m8=0  � m m2( 6− =1) 0

          0

1

m m

=

=+ Đ i chi u v i đi u ki n, ta có k t qu : ố ế ớ ề ệ ế ả m= 1

Bài t p 6.ậ  Cho hàm s  ố y x= 4+2mx2+m2+m   (1) , v i ớ m là tham s  th c.ố ự

a) Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  hàm s  (1) khi ả ự ế ẽ ồ ị ố m= −2

b) Xác đ nh ị m đ  hàm s  (1) có ba đi m c c tr , đ ng th i các đi m c c tr  c a đ  th  t oể ố ể ự ị ồ ờ ể ự ị ủ ồ ị ạ  thành m t tam giác có góc b ng ộ ằ 120 o

2

AB AC = �cos AB AC = −uuur uuur uuur uuur

(V i I là trung đi m AB ớ ể )

y x= + mx − −m    (1) , v i ớ m là tham s  th c.ố ựa) Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  hàm s  (1) khi ả ự ế ẽ ồ ị ố m= −1.

b) Xác đ nh ị m đ  hàm s  (1) có ba đi m c c tr , đ ng th i các đi m c c tr  c a đ  th  t oể ố ể ự ị ồ ờ ể ự ị ủ ồ ị ạ  thành m t tam giác có di n tích b ng ộ ệ ằ 4 2

Bài t p 8.ậ  Cho hàm s  ố y x= 4−2mx2+ −m 1   (1) , v i ớ m là tham s  th c.ố ự

a) Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th  hàm s  (1) khi ả ự ế ẽ ồ ị ố m=1

b) Xác đ nh ị m đ  hàm s  (1) có ba đi m c c tr , đ ng th i các đi m c c tr  c a đ  th  t oể ố ể ự ị ồ ờ ể ự ị ủ ồ ị ạ  thành m t tam giác có bán kính độ ường tròn ngo i ti p b ng ạ ế ằ 1

1 5 2

m m

a) Kh o sát s  bi n thiên và v  đ  th   (C ) hàm s  v i ả ự ế ẽ ồ ị ố ớ m = 1

b) Tìm các giá tr  c a ị ủ m đ  đ  th  hàm s  có các đi m c c đ i, c c ti u t o thành m t tamể ồ ị ố ể ự ạ ự ể ạ ộ  giác vuông cân.  

Bài 6. Cho hàm s  ố y x4 2mx2 2m m4

a) Kh o sát và v  đ  th  hàm s  khi ả ẽ ồ ị ố m = 1

b) Tìm m đ  đ  th  hàm s  có các đi m c c đ i, c c ti u l p thành m t tam giác đ u.ể ồ ị ố ể ự ạ ự ể ậ ộ ề

Hướng d nẫ :

b)  + Đi u ki n đ  hàm s  có c c đ i, c c ti u: ề ệ ể ố ự ạ ự ể m >0.

+ G i ọ A(0;2m m+ 4), B m m( ; 4−m2+2 )m , C(− m m; 4−m2+2 )m  là các đi m c c tr  ể ự ị

+ ABC là tam giác đ u khi và ch  khi AB = AC = BC.ề ỉ

+ Đ i chi u đi u ki n đ  k t lu n: ố ế ề ệ ể ế ậ m= 33

Ph n 2: M T S  BÀI TOÁN V  S  Tầ Ộ Ố Ề Ự ƯƠNG GIAO GI A HAI Đ  THỮ Ồ Ị

+ Đường th ng (d) c t đ  th  ẳ ắ ồ ị ( )C m  t i 3 đi m phân bi t khi và ch  khi phạ ể ệ ỉ ương trình (*) có 2 nghi m phân bi t khác 0ệ ệ

H ướ ng d n ẫ : Có th  xem đây là s  k t h p c a nh ng bài toán con là: ể ự ế ợ ủ ữ

1.) Xác đ nh m đ  đ  th  hàm s  c t tr c Ox t i 3 đi m phân bi t; ị ể ồ ị ố ắ ụ ạ ể ệ

2.) Đi u ki n đ  ph ề ệ ể ươ ng trình hoành đ  giao đi m có hai nghi m d ộ ể ệ ươ ng phân bi t ệ

x  (H). G i (d) là đọ ường th ng đi qua đi m A(­2;2) và có h  s  gócẳ ể ệ ố  

m. Xác đ nh ị m đ  (d) c t (H):ể ắ

a.) t i 2 đi m phân bi t;ạ ể ệ

b.) t i 2 đi m thu c 2 nhánh c a (H).ạ ể ộ ủ

1, 2

x x  th a mãn ỏ x1< <1 x2

+ Đ t  ặ t x= −1 phương trình (*) tr  thành: ở mt2+3mt− =3 0  (**)

+ Phương trình (*) có 2 nghi m ệ x x  th a mãn 1, 2 ỏ x1< <1 x2

    Phương trình (**) có 2 nghi m ệ t t  th a mãn 1 2, ỏ t1< <0 t2

m

− < � >

+ V y, giá tr  c n tìm là: ậ ị ầ m> 0

Bài t p 4. ậ Cho hàm s  ố y x= −3 2(m+1)x2+(m−2)x m+ +3 (1), m là tham s  th c. Xác đ nh ố ự ị m đ  để ồ 

th   c a   hàm   s   (1)   c t   tr c   hoành   t i   3   đi m   phân   bi t   có   hoành   đ  ị ủ ố ắ ụ ạ ể ệ ộ x x x   sao   cho 1, ,2 3

2 2 2

1 2 3

P x x x  nh  nh t.ỏ ấ

H ướ ng d n ẫ : Có th  xem đây là s  k t h p c a hai bài toán con là: ể ự ế ợ ủ

1.) Xác đ nh m đ  đ  th  hàm s  c t tr c Ox t i 3 đi m phân bi t; ị ể ồ ị ố ắ ụ ạ ể ệ

V i ớ m −1, phương trình (2) có hai nghi m phân bi tệ ệ x x  khác 1; T c là, ph ng trình y1, 2 ứ ươ  

4  khi và ch  khi ỉ 3

4

m= − Bài t p 5.ậ  Cho hàm s : ố 3 2

m

2 ( 3) 4,   (C )

= + + + +

y x mx m x

a) Kh o sát và v  đ  th  hàm s  khi ả ẽ ồ ị ố m = ­3.

b) Tìm m đ  để ường th ng ẳ ( ):∆ y x= +4 c t đ  th  ắ ồ ị ( )C m  t i 3 đi m phân bi t A, B,C sao choạ ể ệ  tam giác MBC có di n tích b ng 4, v i M(1;3), đi m B và C có hoành đ  khác 0.ệ ằ ớ ể ộ

G i ý gi i:ợ ả

a) (H c sinh t  gi i ọ ự ả )

b)  + Phương trình hoành đ  giao đi m: ộ ể

        x3+2mx2+(m+3)x+ = +4 x 4� x3+2mx2+(m+2)x=0 2 0

=+ + + =

< − � >

∆ = − − >

−+

+ V i đi u ki n trên, phớ ề ệ ương trình (*) luôn có 2 nghi m ệ x x1, 2. G i ọ B x x( ;1 1+4), ( ;C x x2 2+4)

Bài t p 6.ậ   Cho hàm s  ố 2 2

1

x y x

−

=+  (C). Xác đ nh ị m đ  để ường th ng (d): y = 2x +ẳ m c t đ  th  (C)ắ ồ ị  

t i hai đi m phân bi t A, B sao cho ạ ể ệ AB= 5

m

x x m

x x

+ = −+

x  (H). Xác đ nh ị m đ  để ường th ng (d): y = x + ẳ m c t đ  th  hàm sắ ồ ị ố (H) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho ạ ể ệ OA2 +OB2 = 32.

+ Đ i chi u đi u ki n, ta đố ế ề ệ ược k t qu : ế ả m= 4

Bài t p 8ậ  Cho hàm s  ố y x= 4−2x2+2. Xác đ nh ị m đ  để ường th ngẳ y m=  c t (C) t i 4 đi m A, B,ắ ạ ể