SKKN: Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức

Sáng kiến kinh nghiệm: “Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức ” với mong muốn cung cấp cho học sinh một phương pháp hữu hiệu để giải phương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân. Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo trong việc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi.

MỤC LỤC

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Đất nước ta đang trên đà phát triển và hội nhập Để đáp ứng nhu cầu công nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nước, cùng với sự phát triển của khoa học - công nghệ, giáo dục và đào tạo được xem là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài

Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán chiếm vị trí đặc biệt quan trọng trong các môn học, nó là cơ sở của nhiều môn học khác Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư duy biện chứng, tư duy trừu tượng, tư duy logic… Trong những năm gần đây, các bài toán về phương trình, hệ phương trình thường xuất hiện nhiều trong các cuộc thi Học sinh giỏi và Kì thi Trung học phổ thông quốc gia Phương trình, hệ phương trình được đánh giá là bài toán phân loại học sinh đòi hỏi nhiều kĩ thuật Trong quá trình công tác và giảng dạy tại trường THPT Nguyễn Viết Xuân, tôi đã được ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi và

ôn tập kiến thức cho học sinh Ôn luyện Kì thi THPT Quốc gia, nhận thấy rằng kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình của học sinh còn nhiều hạn chế, vì thế

tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương

trình, hệ phương trình chứa căn thức ” với mong muốn cung cấp cho học

sinh một phương pháp hữu hiệu để giải phương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên

và học sinh tham khảo trong việc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi

2 Tên sáng kiến

“ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa

căn thức ”

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Hoàng Tuyết Nhung

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0986458989

- E-mail: hoangtuyetnhung.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Hoàng Tuyết Nhung

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Phần phương trình và hệ phương trình lớp 10

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2017.

7 Mô tả bản chất của sáng kiến

7.1 Các bước thực hiện sáng kiến

Bước 1: Xây dựng nội dung sáng kiến

Bước 2: Áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học

Bước 3: Chỉnh sửa, bổ sung, rút kinh nghiệm

Bước 4: Nhân rộng sáng kiến

7.2 Nội dung sáng kiến

7.2.1 Các dạng liên hợp cơ bản

7.2.2 Nội dung của phương pháp nhân chia liên hợp

Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp cơ bản khi giải phương trình vô tỉ cho ta kết quả nhanh gọn Mục tiêu của phương pháp này như sau:

­ Giả sử nhẩm được nghiệm của phương trình là

­ Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử và đưa phương trình về dạng:

Thông thường ta chứng minh được hoặc (Với mọi x thuộc K là tập điều

kiện xác định của phương trình) Trong trường hợp khó chứng minh phương trình vô nghiệm, đòi hỏi khéo léo xử lý phương trình bằng công cụ bất đẳng thức, đạo hàm, …

Khi vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải thành thạo phương trình vô tỉ thì kĩ thuật này là công cụ hiệu quả để giải hệ phương trình chứa ẩn trong dấu căn cho ta kết quả nhanh gọn

7.2.3 KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN

Ví dụ 1: Giải phương trình:

(1)

Phân tích: Dễ dàng nhẩm được là nghiệm của phương trình (1), dự đoán có thể

giải phương trình bằng phương pháp nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung Tuy nhiên, quan sát các biểu thức chứa ẩn trong dấu căn, ta không thể nhân chia liên hợp trực tiếp Để phát hiện được biểu thức nhân chia liên hợp ta thực hiện như sau:

Xét: , cho ta được biểu thức liên hợp

Xét: , cho ta được biểu thức liên hợp

Xét: , cho ta được biểu thức liên hợp

Giải:

Mặt khác, ta có:

Nên phương trình (*) vô nghiệm

Vậy (1) có 2 nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình:

(2)

Phân tích:

Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử Ta có nhận xét rằng:

và

Giải:

(2)

Mặt khác, ta có:

> 0 với mọi x

Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

(3)

Phân tích:

Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình (3) nhận x = 1 làm một nghiệm

nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử Vì biểu thức dưới dấu căn là tam thức bậc hai nên để xuất hiện nhân tử , ta thực hiện phân tích như sau:

Xét: , cho ta được

biểu thức liên hợp

Xét: , cho ta được

biểu thức liên hợp

Giải:

(4)

(*)

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

Hướng 1: Bình phương hai vế…(không khả thi).

Hướng 2: Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ sau:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình

Phân tích:

Dùng máy tính cầm tay ta có thể dễ dàng tìm được một nghiệm của phương trình là Nên ta sẽ thêm (bớt) đại lượng phù hợp để có thể nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với:

Xét phương trình:

Ta đặt suy ra:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

Phân tích:

Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình Như vậy phương trình đã

cho có thể phân tích được về dạng

Giải: Phương trình đã cho tương đương với:

Do nên (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 6: Giải phương trình

Phân tích: Dễ nhẩm được x = 1 là một nghiệm của phương trình, bằng cách

phân tích đã nêu ở các ví dụ trên ta có thể thực hiện lời giải như sau:

Giải: ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.

Ví dụ 7: Giải phương trình

Phân tích:

Ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phương trình để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ là chiếc máy tính Casio fx570-ES thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn!

Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm

của phương trình là: sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B.

Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách tình A + B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau:

Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình:

Và từ đây, ta có thể dự đoán được chính là nhân tử của phương trình

Ta viết phương trình đã cho lại thành:

Đến đây, để xuất hiện nhân tử thì với là một hệ số Chọn = 4 thì ta được

một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2) Khi đó ta có lời giải như sau:

Giải: Đk:

(*)

Xét ta có:

Ta có bảng biến thiên:

kết hợp với

Do đó:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 8: Giải phương trình

Giải:

Cũng bằng cách làm tương tự như Ví dụ 7, ta phân tích được như sau:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: và

Ví dụ 9: Giải phương trình

Phân tích: Dễ dàng nhẩm được là nghiệm của phương trình nên ta thực hiện

nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung

Giải: ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và

Nhận xét: Với bài này, việc xuất hiện thêm các đa thức chứa trị tuyệt đối tưởng

chừng như sẽ gây cho ta thêm khó khăn trong việc giải quyết Nhưng nhờ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài toán đã được giải quyết nhanh chóng! Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các biểu thức về vị trí phù hợp và sử dụng phương pháp nhân chia liên hợp là đủ

Ví dụ 10: Giải phương trình:

Giải: Đk:

Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy phương trình đã có nghiệm

Bài tập tự luyện:

Giải các phương trình sau:

1. ĐS:

Hướng dẫn: , nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung x – 1.

2 ĐS:

Hướng dẫn: , nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung x – 3.

Hướng dẫn: , nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung là

4 ĐS:

Hướng dẫn:

5 ĐS:

Hướng dân: , nhân chia liên hợp xuất hiện nhân tử chung là

7.2.4 KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA

ẨN TRONG DẤU CĂN

Kĩ thuật nhân chia liên hợp đã khá hiệu quả đối với một số phương trình chứa ẩn trong dấu căn đã nêu ở chương 2, vận dụng kĩ thuật này ta cũng có những cách giải nhanh gọn đối với hệ phương trình chứa ẩn trong dấu căn Sau đây là một số ví dụ minh họa cho dạng toán này:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát phương trình (1) dễ nhận thấy:

Do đó, ta thực hiện nhân liên hợp trực tiếp phương trình (1) xuất hiện nhân tử chung

Giải: ĐK:

Dễ thấy phương trình (*) vô nghiệm

Với thay vào (2) ta được phương trình:

(3) ĐK:

Nhận xét: Dễ dàng nhẩm được là nghiệm của phương trình (3) Có thể sử dụng

kĩ thuật nhân chia liên hợp để xuất hiện nhân tử Khi nhân liên hợp nhiều hơn

một nghiệm biểu thức có dạng thì B phải có chứa biến.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát hai phương trình trong hệ, ta gặp khó khăn trong việc nhân

chia liên hợp để xuất hiện nhân tử chung Kĩ thuật sau sẽ giúp ta “mò” được nhân tử chung:

Xét phương trình:

Cho , (*) trở thành , dùng MTCT tìm được

Cho , (*) trở thành , dùng MTCT tìm được

Từ phân tích trên ta phát hiện quy luật:

Ta sẽ thêm bớt lượng tử hai vế của (1) để nhân chia liên hợp làm xuất hiện nhân tử

Giải: ĐK:

Để ý phương trình (1) nếu , kết hợp điều kiện thì do đó vế phải của (1) âm, suy

ra (1) vô nghiệm

Ta phải có Vì vậy phương trình (3) vô nghiệm

Với thay vào (2) ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 3: (TSĐH Khối B-2014) Giải hệ phương trình:

Giải: ĐK:

Phương trình (1) tương đương với:

TH1: Nếu thay vào phương trình (2) của hệ ta được:

TH2: Nếu , khi đó điều kiện trở thành , thay vào phương trình (2) của hệ ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: và

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:

Giải:

ĐK:

Từ phương trình (1) ta suy ra

Nhận thấy không thỏa mãn hệ phương trình nên ta chỉ xét

Viết lại phương trình (1) như sau:

Thay vào phương trình (2) ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 2: Ta có thể phân tích (1) về dạng tích như sau:

Xét từng trường hợp thay vào phương trình (2) ta cũng được kết quả tương tự như trên

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát phương trình (2) thấy rằng thỏa mãn phương trình nên có

thể phân tích (2) xuất hiện nhân tử chung

Giải: ĐK:

Từ (1) ta có:

Do đó: Thay vào (1) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:

Giải: ĐK:

Nhận thấy hoặc không là thỏa mãn hệ phương trình khi đó:

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Quan sát phương trình (1), nếu x = y thì phương trình (1) được thỏa

mãn Dự đoán nhân tử chung của (1) là

Giải: ĐK:

Từ phương trình (2) ta có nên

Với , phương trình (2) trở thành:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nhiều em học sinh sẽ dự đoán khai thác phương trình số (2), nhưng

ta rất khó khăn phân tích phương trình (2) về dạng phương trình tích Quan sát phương trình (1) lại thấy , nên ta có thể dùng kĩ thuật nhân chia liên hợp để phân tích (1) xuất hiện nhân tử chung là

Giải: ĐK:

Với , (2) trở thành

Với , thay vào (2) ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Nhận thấy rằng, rất khó để khai thác từng phương trình trong hệ,

nhưng nếu kết hợp cả hai phương trình trong hệ ta thấy:

Vế phải của hai phương trình đều là hằng số 5, nên trừ vế với vế của hai phương trình sẽ xuất hiện biểu thức liên hợp

Giải: ĐK:

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:

Thay vào phương trình (2) ta được:

(Nhẩm nghiệm )

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:

Phân tích: Phương trình (1) có chính là biểu thức không nằm trong dấu căn

Điều này định hướng dùng kĩ thuật nhân chia liên hợp phân tích (1) xuất hiện nhân tử chung là

Giải: ĐK:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Hệ phương trình trên tương đương với:

Đặt:

Hệ phương trình trên trở thành:

Khi đó:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài tập tự luyện:

Giải các hệ phương trình sau:

1. ĐS:

Hướng dẫn:, nhân chia liên hợp vế trái làm xuất hiện nhân tử chung

2 ĐS:

Hướng dẫn:, nhân chia liên hợp làm xuất hiện nhân tử chung 2x – y - 1.

3 ĐS:

Hướng dẫn:

Nhân chia liên hợp phương trình trên xuất hiện nhân tử chung là

4 ĐS:

Hướng dẫn:

5. ĐS:

Hướng dẫn:

Thế vào phương trình (2) ta tìm được

7.3 Khả năng áp dụng của sáng kiến

- Sáng kiến đã được áp dụng thành công cho đối tượng học sinh ban nâng cao lớp 10, Trường THPT Nguyễn Viết Xuân, năm học 2017 – 2018 năm học

2018 – 2019

8 Những thông tin cần được bảo mật: Không có

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Học sinh ban nâng cao

- HS chuẩn bị: Bút, máy tính cầm tay, nháp

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:

10.1 Đánh giá lợi ích dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo

ý kiến của tác giả

Đề tài đã trình bày một kĩ năng vận dụng hiệu quả đối với phương trình,

hệ phương trình vô tỉ chương trình đại số 10, ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT Quốc gia

Thông qua những ví dụ được chọn lọc trong đề tài, ta thấy nhiều bài toán giải bằng phương pháp này cho lời giải gọn gàng, dễ hiểu và nhanh chóng, một

số bài toán còn thể hiện được tính độc đáo của kĩ thuật nhân chia liên hợp Đặc biệt, ôn thi học sinh giỏi cho học sinh khối 10, 11 thì nhiều em còn tỏ ra thích thú khi được tiếp nhận một kĩ thuật khá mới đối với các em

Tuy nhiên, kĩ thuật nhân chia liên hợp không phải là “chiếc chìa khóa vàng” để mở cửa mọi phương trình, hệ phương trình mà nó chỉ thực sự có hiệu quả đối với một số dạng bài toán nhất định cho nên học sinh cần phải phối hợp nhuần nhuyễn nhiều phương pháp khác nhau Tôi tin tưởng rằng nếu người học vận dụng tốt phương pháp này thì việc giải toán phương trình – hệ phương trình

sẽ thuận lợi hơn rất nhiều Với những kết quả đã làm được trong đề tài này, tôi

hy vọng rằng đây sẽ là một tài liệu tốt cho giáo viên và học sinh trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi môn toán kì thi THPT Quốc gia

Đề tài này còn góp phần nâng cao rất đáng kể trong công tác giảng dạy,

ôn thi THPT Quốc Gia Đề tài đã giúp các em tích cực và tự tin hơn trong hoạt động tìm kiếm hướng lời giải cho loại bài tập liên quan phương trình, hệ phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức Từ chỗ rất lúng túng, sai lầm thì nay phần lớn các em đã biết vận dụng những kỹ năng được bồi dưỡng để giải nhanh và thành thạo nhiều bài toán phức tạp Điều đáng mừng là có nhiều em đã biết sáng tạo trong giải Toán, có nhiều cách giải nhanh và thông minh

Đối với bản thân tôi khi thực hiện đề tài này vào trong giảng dạy thì tôi nhận thấy các em học sinh trường đã có sự thay đổi lớn về mặt nhận thức đó là

‘‘môn toán là môn học rất là khó’’ và, đặc biệt các em đã rút ra cho mình kinh nghiệm làm bài thi Mặt khác khi áp dụng đề tài này tôi nhận thấy mình cần phải thay đổi về phương pháp giảng dạy và phương pháp giải các dạng bài tập nhất

là phải tìm ra những phương pháp chung nhất, tổng quát nhất giúp các em học sinh có được phương pháp giải nhanh nhất nhất, ngắn gọn nhất, dễ hiểu nhất và

dễ nhớ nhất để ghóp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tại trường THPT Nguyễn Viết Xuân

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân

- Việc áp dụng sáng kiến này giúp học sinh có thêm một phương pháp giải phương trình và hệ phương trình chứa căn

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

Số

TT

Tên tổ chức/cá

nhân

áp dụng sáng kiến

(2017-2018)

Trường THPT Nguyễn Viết

Xuân

Môn Toán

(2017-2018)

Trường THPT Nguyễn Viết

Xuân

Môn Toán

(2017-2018)

Trường THPT Nguyễn Viết

Xuân

Môn Toán

(2017-2018)

Trường THPT Nguyễn Viết

Xuân

Môn Toán

5 GV Hoàng Tuyết Trường THPT Nguyễn Viết Môn Toán