Mục đích nghiên cứu của đề tài là hướng dẫn học sinh cách chứng minh hai công thức gắn với hai bài toán tương ứng, đồng thời hướng dẫn học sinh cách phân tích và vận dụng hai công thức đó vào từng thí dụ cụ thể.
Trang 11. M Đ U.Ở Ầ
1.1 Lý do ch n đ tàiọ ề
Trong c u trúc đ thi đ i h c môn toán nh ng năm g n đây câu hình ph ng ấ ề ạ ọ ữ ầ ẳ
to đ ạ ộ Oxy đã tr thành m t câu khó v i đa s h c sinh. Đ vở ộ ớ ố ọ ể ượt qua được câu này h c sinh không ch n m v ng các ki n th c hình h c to đ l p 10,ọ ỉ ắ ữ ế ứ ọ ạ ộ ở ớ
ki n th c v gi i tích l p 12 mà c n ph i nh và v n d ng linh ho t các đ nhế ứ ề ả ớ ầ ả ớ ậ ụ ạ ị
lý, tính ch t hình h c c p THCS. T năm h c 2014 2015 B giáo d c và ấ ọ ở ấ ừ ọ ộ ụ Đào t o ch t ch c k thi THPT Qu c gia đ xét t t nghi p và xét tuy n vào ạ ỉ ổ ứ ỳ ố ể ố ệ ể
đ i h c thì đi u đó càng th hi n hi n rõ h n. M c dù là câu m c đ đi m ạ ọ ề ể ệ ệ ơ ặ ở ứ ộ ể
8, đi m 9 nh ng sách chuyên kh o v ph n này ch a nhi u. Qua quá trình tìmể ư ả ề ầ ư ề tòi nghiên c u tôi nh n th y r ng r t nhi u bài toán hình h c trong m t ứ ậ ấ ằ ấ ề ọ ặ
ph ng to đẳ ạ ộOxy n u nh ta nh và v n d ng m t công th c hay k t qu ế ư ớ ậ ụ ộ ứ ế ả
c a m t bài toán đã gi i quy t đủ ộ ả ế ược trước đó thì vi c gi i bài toán hi n t i ệ ả ệ ạ
s tr nên d dàng h n r t nhi u. Đ c bi t qua theo dõi, nghiên c u câu hình ẽ ở ễ ơ ấ ề ặ ệ ứ
ph ng trong đ thi m u c a B giáo d c năm 2015 và đ thi kh o sát ch t ẳ ề ẫ ủ ộ ụ ề ả ấ
lượng h c sinh l p 12 THPT trong 2 năm liên ti p 2015; 2016 c a S Giáo ọ ớ ế ủ ở
d c và Đào t o t nh Thanh Hóa tôi th y r ng ngoài cách gi i trong đáp án c a ụ ạ ỉ ấ ằ ả ủ
B và S giáo d c còn có th s d ng k t qu c a m t bài toán khác đ gi i ộ ở ụ ể ử ụ ế ả ủ ộ ể ả quy t các câu hình ph ng trên. V i mong mu n đ a ra m t k t qu t ng quát ế ẳ ớ ố ư ộ ế ả ổ
đ t đó các em h c sinh có th áp d ng nó vào nhi u bài toán khác nhau tôi ể ừ ọ ể ụ ề xin trình bày sáng ki n kinh nghi m ế ệ “ H ướ ng d n h c sinh s d ng k t qu ẫ ọ ử ụ ế ả hai bài toán đ gi i m t s bái toán hình h c ph ng trong to đ ể ả ộ ố ọ ẳ ạ ộ Oxy ”.
1.2 M c đích nghiên c u.ụ ứ
M c đích nghiên c u c a đ tài là hụ ứ ủ ề ướng d n h c sinh cách ch ng minh hai ẫ ọ ứ công th c g n v i hai bài toán tứ ắ ớ ương ng, đ ng th i hứ ồ ờ ướng d n h c sinh cáchẫ ọ phân tích và v n d ng hai công th c đó vào t ng thí d c th ậ ụ ứ ừ ụ ụ ể
1.3 Đ i tố ượng nghiên c u.ứ
Trong đ tài này chúng ta s t p trung gi i quy t các bài toán hình h c ph ng ề ẽ ậ ả ế ọ ẳ trong h to đệ ạ ộ Oxy liên quan t i ti p tuy n k t m t đi m t i đ ng tròn ớ ế ế ẻ ừ ộ ể ớ ườ
và đường th ng đi qua m t đi m đ ng th i t o v i m t đẳ ộ ể ồ ờ ạ ớ ộ ường th ng cho ẳ
trước m t góc ộ ϕ cho trước.
1.4 Phương pháp nghiên c u.ứ
Đ tài ch y u s d ng phề ủ ế ử ụ ương pháp nghiên c u xây d ng c s lý thuy t, ứ ự ơ ở ế
t đó áp d ng vào làm bài t p, ngoài ra còn s d ng phừ ụ ậ ử ụ ương pháp th ng kê; ố
x lý s li u.ử ố ệ
2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M.Ộ Ế Ệ
2.1. C s lý lu n c a sáng ki n kinh nghi m.ơ ở ậ ủ ế ệ
Các căn c lý thuy t đ đ a ra đ tài là: ứ ế ể ư ề
+ Phương trình t ng quát và phổ ương trình tham s c a đố ủ ường th ng trang 76, ẳ 81
Trang 2SGK Hình h c 10 chọ ương trình nâng cao c a nhà xu t b n Giáo D c Vi t ủ ấ ả ụ ệ Nam (Tác gi : Đoàn Qu nh (T ng ch biên) Văn Nh Cả ỳ ổ ủ ư ương (Ch biên) ủ
Ph m Vũ Khê Bùi Văn Nghi).ạ
“ Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy ph ươ ng trình đ ườ ng th ng ẳ ∆ đi qua đi m ể
0 0
( ; )
M x y và có véc t pháp tuy n ơ ế nr(a;b) có d ng ạ a x x( − 0)+b y y( − 0) 0= ”.
+ Công th c tính góc t o b i hai đứ ạ ở ường th ng trang 89 SGK Hình h c 10 ẳ ọ
chương trình nâng cao c a nhà xu t b n Giáo D c Vi t Nam (Tác gi : Đoàn ủ ấ ả ụ ệ ả
Qu nh (T ng ch biên) Văn Nh Cỳ ổ ủ ư ương (Ch biên) Ph m Vũ Khê Bùi ủ ạ Văn Nghi)
“ Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy cho hai đ ườ ng th ng ẳ ∆ ∆1; 2 l n l ầ ượ t có
ph ươ ng trình a x b y c1 + 1 + =1 0và a x b y c2 + 2 + =2 0. Khi đó ta có k t qu sau: ế ả
1 2 2 1 22 1 22 2
cos
+
∆ ∆ =
+ Phương trình đường tròn trang 91SGK Hình h c 10 chọ ương trình nâng cao
c a nhà xu t b n Giáo D c Vi t Nam (Tác gi : Đoàn Qu nh (T ng ch ủ ấ ả ụ ệ ả ỳ ổ ủ biên) Văn Nh Cư ương (Ch biên) Ph m Vũ Khê Bùi Văn Nghi).ủ ạ
“ Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy cho đi m ể I a b ,( ; ) R>0, khi đó đ ườ ng tròn( )C tâm I bán kính R có ph ươ ng trình
(x a− )2 +(y b− )2 =R ”.”
2.2. Th c tr ng v n đ đang nghiên c u.ự ạ ấ ề ứ
Được h c t p t i các trọ ậ ạ ường đ i h c uy tín hàng đ u trong nạ ọ ầ ước là ước m ơ cháy b ng c a h u h t các h c sinh l p 12 b c THPT. Đ i v i đ thi môn ỏ ủ ầ ế ọ ớ ậ ố ớ ề toán đ đ t để ạ ược đi m 9 tr lên các em b t bu c ph i làm để ở ắ ộ ả ược câu hình
ph ng trong m t ph ng to đ ẳ ặ ẳ ạ ộ Oxy , đây là m t thách th c không d vộ ứ ễ ượt qua
đ i v i các em. Hi n nay đ i v i h c sinh khá gi i, các th y cô giáo ch y u ố ớ ệ ố ớ ọ ỏ ầ ủ ế
d y các em 3 câu cu i c a đ thi g m: câu liên quan t i phạ ố ủ ề ồ ớ ương trình, b t ấ
phương trình, h phệ ương trình đ i s , câu tìm giá tr l n nh t c a m t bi u ạ ố ị ớ ấ ủ ộ ể
th c và câu liên quan t i hình ph ng trong h to đ ứ ớ ẳ ệ ạ ộ Oxy Thông qua vi c h cệ ọ
t p v i th y cô giáo trong trậ ớ ầ ường, h c b n bè, h c trên m ng, h c tr c tuy n ọ ạ ọ ạ ọ ự ế các em được ti p c n v i nhi u d ng bài t p liên quan t i hình ph ngế ậ ớ ề ạ ậ ớ ẳ Oxy
Tuy nhiên m i bài toán là m t cách l p lu n, lý gi i khác nhau. M i bài toán ỗ ộ ậ ậ ả ỗ
đ u có m t “nút th t” mà ngề ộ ắ ười làm toán ph i tìm m i cách đ g “nút th t” ả ọ ể ỡ ắ
đó. V i mong mu n t o cho các em m t ph n x m t cách làm khi g p bài ớ ố ạ ộ ả ạ ộ ặ toán liên quan t i ti p tuy n và góc tôi đ a ra đ tài này v i hy v ng các em ớ ế ế ư ề ớ ọ
s đ t k t qu cao trong k thi THPT Qu c gia s p t i.ẽ ạ ế ả ỳ ố ắ ớ
2.3. Các gi i pháp đã áp d ng.ả ụ
Đ u tiên chúng ta hãy cùng nghiên c u cách ch ng minh ầ ứ ứ Bài toán 1 và áp d ngụ
k t qu c a nó trong các bài toán khác.ế ả ủ
Bài toán 1.
Trang 3Cho đ ườ ng tròn( )C có ph ng trình ươ (x a− )2 +(y b− )2 =R2 và đi m ể
0 0
( ; )
M x y n m ngoài đ ng tròn. T đi m ằ ườ ừ ể M k các ti p tuy n ẻ ế ế MA ; MB t i ớ
( )C ( , A B là các ti p đi m). Khi đó đ ng th ng ế ể ườ ẳ AB có pt:
(*)
Ch ng minh. ứ
Đường tròn ( )C có tâm ( ; ) I a b , bán kính R G i ọ A x y B x y Do ,( ; ); ( ; )1 1 2 2 A B
thu c độ ường tròn ( )C nên 2 2 2
(x −a) +(y −b) =R ; 2 2 2
(x −a) +(y −b) =R
. Ti p tuy n t i đi m ế ế ạ ể A đi qua A và vuông góc v i ớ IA nên nh n ậ véc tơ
IA x − y −
uur
làm véc t pháp tuy n, do đó có phơ ế ương trình
(x a)(− x x− ) (y a)(+ − y y− ) 0=
(x a)(− x a a x− + − ) (y+ − + −b b y y y)( − ) 0=
�
(x a)(− x a− +) (y −b y b)( − =) (x −a) +(y −b)
�
(x a)(− x a− +) (y −b y b)( − =) (x −a) +(y −b)
�
2
(x a)(− x a− +) (y −b y b)( − =) R
Tương t phự ương trình ti p tuy n t i đi m ế ế ạ ể B là
2
(x −a)(x a− +) (y −b y b)( − =) R
Đ hai ti p tuy n tr thành hai ti p tuy n k t ể ế ế ở ế ế ẻ ừ
M thì 2 ti p tuy n ph i đi qua ế ế ả M
(x a)(− x − +a) (y −b y)( − =b) R
(x −a)(x − +a) (y −b y)( − =b) R
Suy ra phương trình đường th ng ẳ AB là:
2
(x −a)(x a− +) (y −a)(y b− −) R =0.
Chúng ta hãy xem xét vi c áp d ng phệ ụ ương trình (*) qua các thí d sau:ụ
Thí d 1 ụ ( Câu 7 trong đ thi KSCL l p 12 THPT c a S GD&ĐT t nh Thanh ề ớ ủ ở ỉ Hoá năm h c 2014 2015) ọ
Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy cho đ ườ ng tròn( )C có ph ng trình ươ
x + y + x− y − = và đ ườ ng th ng ẳ ( ) :d x y+ − =1 0, đi m ể E(3;4). G i ọ
M là đi m thu c ể ộ d n m ngoài ằ ( )C T M k các ti p tuy n MA; MB t i (C) ừ ẻ ế ế ớ (A, B là các ti p đi m). G i (E) là tâm đ ế ể ọ ườ ng tròn tâm E ti p xúc v i đ ế ớ ườ ng
th ng AB. Tìm to đ đi m M sao cho đ ẳ ạ ộ ể ườ ng tròn (E) có chu vi l n nh t ? ớ ấ
Phân tích:
.I B
M
A
2
(x − a)(x a− + ) (y − a)(y b− − ) R = 0
Trang 4Chu vi l n nh t khi bán kính đớ ấ ường tròn l n nh t, tớ ấ ương đương v i kho ng ớ ả cách t đi mừ ể E t i đớ ường th ng AB l n nh t. Do đó ta c n th c hi n các ẳ ớ ấ ầ ự ệ
bước sau:
Vi t phế ương trình đường th ng ẳ ∆dướ ại d ng tham s (tham s ố ố t ) và g i to ọ ạ
đ đi m ộ ể M �∆ theo t
Vi t phế ương trình đường th ngẳ AB theo phương trình (*)
Tính kho ng cách t đi m ả ừ ể E đ n đế ường th ng ẳ AB theo t
Tìm t đ kho ng cách đó l n nh t t đó suy ra to đ đi mể ả ớ ấ ừ ạ ộ ể M và k t lu n.ế ậ
L i gi i: ờ ả
Đường tròn (C) có tâm I( 2;1)− , bán kính R=3. G i ọ M t( ;1−t) thu c ộ ( )d áp
d ng công th c (*) suy ra phụ ứ ương trình đường th ng AB làẳ
(t+2)x ty− + − =3t 5 0.
Kho ng cách t đi m E d n đả ừ ể ế ường th ng ABẳ
2 2
2 2
+ + + +
Bài toán quy v tìm ề t đ ể ( ) 422 4 1,
+ +
= + +
đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấ
Đ o hàm ạ ' 2
( )
f t
=
+ + ,
f t = �t = − ho c ặ 1
2
t = −
L p b ng bi n thiên suy ra ậ ả ế ( ) 5
2
Maxf t = khi t= −3. Suy ra ( 3;4)M −
Đs: ( 3;4)M − .
L i bìnhờ : Sau khi l p đậ ược ptđt AB ta có th tìm đi m ể ể M b ng cách:ằ
Tìm đi m c đ nh mà để ố ị ường th ng ẳ AB luôn đi qua.
D th y đễ ấ ường th ng ẳ AB luôn đi qua đi m ể K( ; )5 11
2 2 c đ nh.ố ị
G i ọ H là hình chi u c a ế ủ E xu ng đố ường th ng ẳ AB suy ra
10 ( , )
2
d E AB =EH EK = D u b ng x y ra khi ấ ằ ả H K
Khi đó AB EK⊥ �urAB.uuurAB=0. L i cóạ
EK = − u t t+ �− t+ t+ = �t= − �M −
Thí d 2 ụ Trong m t ph ng to đ Oxy cho đ ặ ẳ ạ ộ ườ ng tròn (C) có ph ươ ng trình
M
A
B . .I
. E
E
A
B
Trang 52 2 6 2 15 0
x + y − x+ y− = , đ ườ ng th ng ẳ ( )d 3 x−22y − =6 0, đi m ể E(0;1).
Tìm to d đi m M trên ạ ộ ể ( )d sao cho t M k các ti p tuy n MA; MB t i (C) ừ ẻ ế ế ớ (A, B là các ti p đi m) mà đ ế ể ườ ng th ng AB đi qua E ẳ
Phân tích:
G i đi mọ ể M x y ta thi t l p h g m hai ph ng trình v i 2 n là ( ; )0 0 ế ậ ệ ồ ươ ớ ẩ x và 0 y 0
Phương trình th nh t là phứ ấ ương trình bi u di n đi m ể ễ ể M thu c độ ường th ngẳ
d Phương trình th hai là phứ ương trình bi u di n đi mể ễ ể E thu c độ ường th ngẳ
AB Gi i h suy ra ả ệ x ,0 y t đó suy ra to đ đi m0 ừ ạ ộ ể M
L i gi i. ờ ả
Đường tròn (C) được vi t l i là: ế ạ (x−3)2 +(y+1)2 =25. G i ọ M x y , do ( ; )0 0
M d nên 3x0 −22y0 − =6 0 .
Phương trình đường th ng ẳ AB là: (x0 −3)(x 3) (− + y0 +1)(y 1) 25 0+ − =
Do đường th ng ẳ AB đi qua E nên ta có:
(x −3)(0 3) (− + y +1)(1 1) 25 0+ − = �−3x +2y −14 0=
To đ đi m ạ ộ ể M là nghi m c a h phệ ủ ệ ương trình
0
16
( ; 1) 3
M
V y ậ ( 16; 1)
3
Thí d 3 ụ
Trong m t ph ng to đ Oxy cho đ ặ ẳ ạ ộ ườ ng tròn (C) có ph ươ ng trình
(x −1) +(y+2) =9,đ ườ ng th ng d: x + y + m = 0. Tìm tham s m đ trên d ẳ ố ể
có duy nh t m t đi m M mà t đó k đ ấ ộ ể ừ ẻ ượ c 2 ti p tuy n MA; MB t i (C) (A, B ế ế ớ
là các ti p đi m) sao cho tam giác MAB vuông ế ể
Phân tích:
G i to đ đi m ọ ạ ộ ể M theo tham s ố t c a đ ng th ng ủ ườ ẳ (d). Do tam giác MAB
vuông nên t giác ứ MAIB là hình vuông, g i ọ K AB MI= suy ra
( ; )
IK = IA�d I AB = R T đ ng th c này cho ta m t phừ ẳ ứ ộ ương trình b c ậ hai v i n ớ ẩ t tham s là ố m Bài toán quy v tìm tham s ề ố m đ phể ương trình
b c hai n ậ ẩ t có m t nghi m.ộ ệ
L i gi i. ờ ả
Đường tròn (C) có tâm I = −(1; 2), bán kính R=3.
G i đi m ọ ể M = − −(t; m t) thu c ộ d. Áp d ng công th c (*) suy ra phụ ứ ương trình
đường th ng AB làẳ
( 1)(t− x− + − − + 1) ( m t 2)(y+ − = 2) 9 0 � ( 1)t− x+ − − (2 m 1)y− 2m− − = 3 4 0t
Trang 6Do tam giác MAB vuông nên t giác ứ MAIB là hình vuông, g i ọ K AB MI=
IK = IA�d I AB = R� R= d I AB MàR=3.
d I AB
=
Ta có phương trình
3 2
=
�
.
Đ trên ể d có đúng 1 đi m ể M thì phương trình trên
có đúng m t nghi m, tộ ệ ương đương v i ớ
2
∆ = �− + + = � = − = .
Đáp s : ố m= −5; m=7
Thí d 4 ụ
Trong m t ph ng to đ Oxy cho đ ặ ẳ ạ ộ ườ ng tròn (C) có ph ươ ng trình
x + y − x+ y − = , và đ ườ ng th ng ẳ ∆:2x y+ +10 0= . T m t đi m ừ ộ ể M
b t k trên ấ ỳ ∆k các ti p tuy n ẻ ế ế MA MB t i đ ng tròn ; ớ ườ ( )C ( ; A B là các ti p ế
đi m). Xác đ nh to đ đi m ể ị ạ ộ ể M sao cho kho ng cách t g c to đ ả ừ ố ạ ộ O đ n ế
đ ườ ng th ng ẳ AB đ t giá tr l n nh t ? ạ ị ớ ấ
Phân tích:
G i to đ đi m ọ ạ ộ ể M theo tham s ố t c a đủ ường th ng ẳ ∆.
Vi t phế ương trình đường th ng ẳ AB.
Tính kho ng cách t g c to đ ả ừ ố ạ ộ O t i đớ ường th ng ẳ AB theo t
Tìm t đ hàm s theo bi n ể ố ế t đ t giá tr l n nh t. T đó suy ra to đ đi mạ ị ớ ấ ừ ạ ộ ể
M
L i gi i: ờ ả
Phương trình tham s c a đố ủ ường th ng ẳ ∆ là
2 10
x t
=
= − − .
Đi m ể M � �∆ M t( ; 2 10)− −t
Phương trình đường tròn ( )C được
vi t l i là ế ạ (x−1)2 +(y +1)2 =4.
Suy ra phương trình đường th ng ẳ
AB : (t 1)− x −(2t +9)y − −3 12 0t = .
Kho ng cách t g c to đ ả ừ ố ạ ộ O t i ớ
đường th ng ẳ AB
B K
A .
O
M
A
B
.
Trang 72 2
2
( 1) (2 9)
Xét hàm s ố ( ) 22 8 16 ( )
+ +
=
Đ o hàm ạ
2
14
t
=
L p b ng bi n thiên suy ra giá tr l n nh t c a hàm s ậ ả ế ị ớ ấ ủ ố ( )f t đ t đ c t iạ ượ ạ 14
3
t= Khi đó to đ đi m ạ ộ ể ( ;14 58)
Thí d 5 ụ
Trong m t ph ng to đ Oxy cho đ ặ ẳ ạ ộ ườ ng tròn (C) có ph ươ ng trình
(x −3) + y =4. Tìm đi m ể M Oy sao cho t ừ M k đẻ ược hai ti p tuy nế ế
;
MA MB t i đ ng tròn ớ ườ ( )C ( ; A B là các ti p đi m) mà góc t o b i hai ti p ế ể ạ ở ế tuy n b ng ế ằ 60 0
Phân tích:
2
H MI= ��AB IAH IMA= = �IH IA= = R�d I AB =
G i to đ đi m ọ ạ ộ ể M(0; )t thu c tr c tung ộ ụ Oy
Vi t phế ương trình đường th ng ẳ AB
Tính kho ng cách t đi m tâm ả ừ ể I c a đủ ường tròn( )C theo tham s ố t và cho
kho ng cách này b ng ả ằ 1.T đó ta tìm đừ ượ t suy ra to đ đi mc ạ ộ ể M
L i gi i: ờ ả
Đường tròn ( )C có tâm (3;0) I , bán kính R=2
G i ọ M(0; )t thu c tr c tung ộ ụ Oy Khi đó ph ng ươ
trình đường th ngẳ
AB:(0 3)(− x− + − =3) ty 4 0�3x ty− − =5 0.
( ; )
t
d I AB
Ta có MI là phân giác c a góc ủ ﾷAMB�IMAﾷ =300
2
H MI= ��AB IAH IMA= = �IH IA= = R�d I AB =
9 t = � +t = � t = �t = �
V y ậ M(0; 7); (0;M − 7)
Thí d 6 ụ
I .
M
A
B H
30 0
Trang 8Trong m t ph ng to đ Oxy cho đ ặ ẳ ạ ộ ườ ng tròn (C) có ph ươ ng trình
x + y − x− y+ = , đ ườ ng th ng d: ẳ x y− − =1 0. T đi m M thu c d k ừ ể ộ ẻ
2 ti p tuy n t i (C) (A, B là các ti p đi m). Ch ng minh r ng đ ế ế ớ ế ể ứ ằ ườ ng th ng ẳ
AB luôn đi qua 1 đi m c đ nh ể ố ị
Phân tích:
G i to đ đi m M theo tham s ọ ạ ộ ể ố t c a đủ ường th ng ẳ d. L p phậ ương trình
đường th ng ẳ AB có ch a tham s ứ ố t Bài toán quy v tìm đi m c đ nh mà ề ể ố ị
đường th ng ẳ d luôn đi qua v i m i ớ ọ t
L i gi i. ờ ả
Phương trình đường tròn (C) có d ng ạ (x−1)2 +(y −2)2 =1. G i ọ M t t( ; −1)
phương trình đường th ng ẳ AB là (t 1)(x 1) (t 3)(y 2) 1 0− − + − − − =
(t 1) x (t 3) y 3− + − − + =t 6 0.
G i ọ N x y là đi m c đ nh mà đ ng th ng ( ; )0 0 ể ố ị ườ ẳ AB luôn đi qua suy ra
(t 1) x− + −(t 3) y 3− + = ∀t 6 0 t�(x + y −3)t + −6 x −3y = ∀0 t
0
0 0
0
15
4
x
= + − =
V y đi m c đ nh mà đậ ể ố ị ường th ng AB luôn đi qua là ẳ ( ;15 3)
Thí d 7 ụ
Trong m t ph ng to đ Oxy cho 2 đ ặ ẳ ạ ộ ườ ng tròn (C 1 ): x2 + y2 =4;
(C 2 ): x2 + y2 =16; T đi m ừ ể M ( )C k 2 ti p tuy n t i (C) (A, B là các ti p 2 ẻ ế ế ớ ế
đi m) ể Ch ng minh đ ứ ườ ng th ng AB luôn ti p xúc v i m t đ ẳ ế ớ ộ ườ ng tròn c ố
đ nh ị
Phân tích:
Đ ch ng minh để ứ ường th ng ẳ AB luôn ti p xúc v i m t đế ớ ộ ường tròn c đ nh ta ố ị
c n ch ng minh đầ ứ ường th ng ẳ AB luôn cách m t đi mộ ể O c đ nh m t kho ng ố ị ộ ả không đ i ổ R
L i gi i: ờ ả
G i đi m ọ ể M x y thu c đ ng tròn ( ; )0 0 ộ ườ (C 2 ).
Suy ra 2 2
x + y =
Phương trình đường th ng ẳ AB: x x y y0 + 0 − =4 0
Xét đường tròn( )C tâm là g c to đ ' ố ạ ộ (0;0)O ,
bán kính R= 1.
M
A
I B .
Trang 9Ta có 0 2 0 2
4
d O AB
V y đậ ường tròn đường th ng ẳ AB luôn
ti p xúc v i đế ớ ường tròn (C’) tâm O(0;0)
bán kínhR=1c đ nh.ố ị
Bài toán 2.
Trong m t ph ng to đ Oxy cho 2 đ ặ ẳ ạ ộ ườ ng th ng ẳ d d1 ; 2không vuông góc v i ớ nhau có ph ươ ng trình l n l ầ ượ t là:
( ) :d a x b y c+ + =0;( ) :d a x b y c+ + =0, G i ọ ϕ là góc t o b i 2 đ ạ ở ườ ng
th ng ẳ d và 1 d Khi đó ta có 2 1 2 2 1
1 2 1 2
tan a b a b
a a b b
+ .
Đ c bi t khi ặ ệ b b1 2 0 t c là 2 đ ứ ườ ng th ng có h s góc ẳ ệ ố 1 1 2 2
;
= − = −
1 2
tan
1
k k
ϕ = −
Ch ng minh: ứ
Ta đã có công th c ứ 2 1 22 1 22 2
a a b b cos
+ + . L i có ạ
2 2
ϕ = + , suy
ra
1
a b a b a a b b a b a b
co s a a b b a a b b
ϕ
ϕ
1 2 2 1
tan
a b a b
a b a b a b a b
�
2
tan
a a −b b ϕ a a −b b
Khi b b1 2 0t c là 2 đứ ường th ng có h s góc ẳ ệ ố 1 1 2 2
;
= − = − thì từ
1 2 2 1
1 2 1 2
tan a b a b
a a b b
+ ta chia c t và m u cho ả ử ẫ b b suy ra 1 2
tan
1 1
b b
ϕ
−
−
+
O .
1
d
2
d
ϕ
Trang 10suy ra đi u ph i ch ng minh.ề ả ứ
Thí d 1 ụ ( Câu 8 trong đ thi KSCL l p 12 THPT c a S GD&ĐT t nh Thanh ề ớ ủ ở ỉ Hoá năm h c 2015 2016) ọ
Trong m t ph ng to đ Oxy cho hình bình hành ABCD có tâm ặ ẳ ạ ộ
I − BC= AB BAD= . Đi m đ i x ng v i A qua B là đi m ể ố ứ ớ ể
( 2;9)
E − .Tìm to đ các đ nh c a hình bình hành bi t A có hoành đ âm. ạ ộ ỉ ủ ế ộ
Phân tích:
Ch ng minh đứ ượcAE BD⊥ L p phậ ương trình đường th ngẳ EI
L p ptđt BD đi qua ậ I và t o v i đạ ớ ường th ng ẳ EIm t góc cho trộ ước. L p đậ ượ c ptđt EB t đó suy ra to đ đi m ừ ạ ộ ể B, suy ra to đ đi m ạ ộ ể D.
Do B là trung đi m c a ể ủ AE t đó suy ra to đ đi m ừ ạ ộ ể A, suy ra to đ đi m ạ ộ ể C.
L i gi i:ờ ả
Ta s ch ng minh ẽ ứ AB BD⊥ . Th t v y: ậ ậ
G i ọ M là trung đi m c a ể ủ AD suy ra tam giác ABM đ u (tam giác cân có m t ề ộ góc b ng 60ằ 0) suy ra BM =AM MD=
suy ra tam giác ABD vuông t i ạ B t c là ứ AB BD⊥ .
Đường th ng ẳ EI đi qua 2 đi m ể E , I nên có phương trình
5 9
2 3 2 2
−
Đường th ng ẳ EI có véc t pháp tuy nơ ế
1 (2; 3)
nur Đường th ng ẳ BD t o v i đạ ớ ường
th ng ẳ EI m t gócộ ϕ = ﾷBIE tho mãn ả tan 1 2 23 23
2
. G iọ
2 (a;b) (a 0)
nuur +b là véc t pháp tuy n c a đơ ế ủ ường th ngẳ BD suy ra
0
tan
a
TH1: V i ớ a= 0 ch n ọ b= 1 suy ra phương trình đường th ng BD làẳ
y− = � y=
L p phậ ương trình đường th ng ẳ BE.
Đường th ng BE đi qua đi m E và vuông góc v i BD có phẳ ể ớ ương trình:
2 0
x+ =
Vì B BD BE= nên to đ đi m B là nghi m c a h pt:ạ ộ ể ệ ủ ệ
( 2;5)
B
−
� − = � =
Do I là trung đi m c a BD nên to đ đi m D làể ủ ạ ộ ể
(4 3 2;5)
D
−
Do B là trung đi m c a AE nên to đ đi m A làể ủ ạ ộ ể
E
