SKKN: Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông thông qua một số kỹ thuật giải toán hình học không gian lớp 11

Mục đích của đề tài: Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải bài tập toán theo hướng hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ năng hình học 11 của Bộ GD-ĐT và xuất phát từ thực tiễn giảng dạy hình học không gian 11, thông qua một số phương pháp nhằm rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh.

PH N I. M  Đ UẦ Ở Ầ

1.1. Lí do ch n đ  tài:ọ ề         

        Phát tri n năng l c t  duy sáng t o cho h c sinh là vi c làm r t quanể ự ư ạ ọ ệ ấ  

tr ng và c n thi t trong quá trình d y h c, giáo d c h c sinh. Phát tri n tọ ầ ế ạ ọ ụ ọ ể ư duy sáng t o s  giúp h c sinh t  tin vào b n thân đ  không ng ng khám phá,ạ ẽ ọ ự ả ể ừ  tìm tòi, phát hi n cái m i; sáng t o s  giúp h c sinh ch  đ ng ti p thu ki nệ ớ ạ ẽ ọ ủ ộ ế ế  

th c, có ngh  l c và ni m tin đ  chinh ph c nh ng khó khăn trong h c t p.ứ ị ự ề ể ụ ữ ọ ậ  Cao h n t  duy sáng t o s  giúp h c sinh tìm ra con đơ ư ạ ẽ ọ ường ng n nh t, nhanhắ ấ  

nh t đ  đ t thành công trong h c t p, trong cu c s ng. ấ ể ạ ọ ậ ộ ố

Xu t phát t  đ c thù c a b  môn toán v i s  khái quát và tr u tấ ừ ặ ủ ộ ớ ự ừ ượng cao, 

s  liên k t liên t c các ki n th c toán h c theo t ng năm h c, t ng c p h c.ự ế ụ ế ứ ọ ừ ọ ừ ấ ọ  

Đi u đó đòi h i h c sinh không ch  c n ph i tích c c, ch  đ ng ti p thu, lĩnhề ỏ ọ ỉ ầ ả ự ủ ộ ế  

h i ki n th c m i mà còn ph i bi t v n d ng linh ho t ki n th c đã h c,ộ ế ứ ớ ả ế ậ ụ ạ ế ứ ọ  

bi t k t n i nh ng ki n th c cũ đ  chi m lĩnh ki n th c m i… Vì l  đó vi cế ế ố ữ ế ứ ể ế ế ứ ớ ẽ ệ  

đ i m i phổ ớ ương pháp d y h c trong d y h c môn Toán càng tr  nên quanạ ọ ạ ọ ở  

tr ng, b c thi t và đó cũng chính là nhi m v  c a nh ng ngọ ứ ế ệ ụ ủ ữ ười giáo viên d yạ  Toán. 

N i dung hình h c không gian thộ ọ ường được xem là n i dung khó h cộ ọ  

nh t đ i v i h c sinh THPT,  khi d y h c ch  đ  này nhi u giáo viên c mấ ố ớ ọ ạ ọ ủ ề ề ả  

th y khó d y, không m y h ng thú nh  các ch  đ  khác c a môn Toán.ấ ạ ấ ứ ư ủ ề ủ  Nguyên nhân quan tr ng d n đ n th c tr ng nêu trên là do hình h c khôngọ ẫ ế ự ạ ọ  gian đòi h i m c đ  t  duy và tỏ ứ ộ ư ưởng tượng cao; h c sinh đang quen v i tọ ớ ư duy v  hình h c ph ng nên g p nhi u khó khăn khi làm quen và t  duy về ọ ẳ ặ ề ư ề hình h c không gian. Đ  h c t t hình h c không gian h c sinh c n phát huy tọ ể ọ ố ọ ọ ầ ư duy sáng t o, ngạ ược h c sinh h c t t môn toán nói chung ch  đ  hình h cọ ọ ố ủ ề ọ  không gian nói riêng thì s  góp ph n phát tri n t  duy sáng t o. ẽ ầ ể ư ạ

Nh ng lí do nêu trên là c  s  đ  tôi ch n đ  tài nghiên c u: ữ ơ ở ể ọ ề ứ “ Phát tri n ể   năng l c t  duy sáng t o cho h c sinh Trung h c ph  thông thông qua m t ự ư ạ ọ ọ ổ ộ  

s  k  thu t  gi i toán hình h c không gian l p 11” ố ỹ ậ ả ọ ớ

1.2. M c đích c a đ  tàiụ ủ ề

­ Nghiên c u phứ ương pháp gi ng d y gi i bài t p toán theo hả ạ ả ậ ướng hình thành và phát tri n t  duy sáng t oể ư ạ  cho học sinh

­ D a theo chu n ki n th c k  năng hình h c 11 c a B  GD­ĐT vàự ẩ ế ứ ỹ ọ ủ ộ  

xu t phát t  th c ti n gi ng d yấ ừ ự ễ ả ạ  hình h c không gian 11, thông qua m t sọ ộ ố 

phương pháp nh m rèn luy n năng l c t  duyằ ệ ự ư  cho h c sinh.ọ  

1.3. Đ i tố ượng nghiên c uứ

Bài t p hình h c không gian  trong chậ ọ ương I+II SGK hình h c 11 theoọ  

chương trình c  b n và  nâng cao.ơ ả

1.4. Phương pháp nghiên c u:ứ

Đ t v n đ , gi i quy t v n đ ặ ấ ề ả ế ấ ề

1

PH N 2. N I DUNGẦ Ộ

2.1. C  s  lí lu n c a đ  tài.ơ ở ậ ủ ề

2.1.1. C  s  toán h c.  ơ ở ọ

+ Các đ nh nghĩa, đ nh lý, tính ch t v  hình h c ph ng   THCS, hình h cị ị ấ ề ọ ẳ ở ọ  không gian trong SGK Hình h c 11.ọ

+ Các tính ch t v  phép chi u song song, phép chi u vuông góc, c  th : ấ ề ế ế ụ ể

* Đ i v i phép chi u song song các tính ch t sau đây thố ớ ế ấ ường được sử 

d ng khi gi i bài t p toán hình h c:ụ ả ậ ọ

Tính ch t 1:ấ  Qua phép chi u song song các y u t  sau đây không  thayế ế ố  

+ Bi n trung đi m c a đo n th ng không thu c đế ể ủ ạ ẳ ộ ường th ng song songẳ  

v i phớ ương chi u thành trung đi m c a đo n th ng.ế ể ủ ạ ẳ

Tính ch t 3:ấ  

+   nh c a ba đi m phân bi t qua m t phép chi u song song  trùng nhauẢ ủ ể ệ ộ ế  thì ba đi m đó th ng hàng.ể ẳ

+  Phép chi u song song  theo hai phế ương không cùng phương bi n baế  

đi m A, B, C l n lể ầ ượt thành thành 3 đi m th ng hàng Aể ẳ 1, B1, C1 và A2, B2, C2 

trước m t khó khăn, khó khăn này  có th  gi i quy t độ ể ả ế ược n u h c sinh n mế ọ ắ  

v ng đữ ược nh ng ki n th c đã h c và bi t cách v n d ng chúng. Nh  v yữ ế ứ ọ ế ậ ụ ư ậ  

các phương pháp gi i toán hình h c không gian chính là nh ng công c  h uả ọ ữ ụ ữ  

hi u đ  h c sinh có ni m tin, có đ ng l c đ  gi i các bài toán hình h c.ệ ể ọ ề ộ ự ể ả ọ  

Nh ng ho t đ ng toán h c nói chung, h at đ ng hình h c nói riêng sữ ạ ộ ọ ọ ộ ọ ẽ 

t o ra nhi u tình hu ng g i v n đ  t  đó t o cho h c sinh nhu c u t  duyạ ề ố ợ ấ ề ừ ạ ọ ầ ư  hình h c, t  duy toán h c. Theo c  s  tâm lý h c đã đọ ư ọ ơ ở ọ ược các nhà tâm lý h cọ  

k t lu n và đã đế ậ ược ki m ch ng trong th c ti n giáo d c thì nh ng nhu c uể ứ ự ễ ụ ữ ầ  

t  duy nêu trên s  là c  s  đ  h c sinh ti p thu, lĩnh h i ki n th c hình h cư ẽ ơ ơ ể ọ ế ộ ế ứ ọ  

m i, ki n th c toán h c m i.ớ ế ứ ọ ớ

2.1.3. C  s  giáo d c h c ơ ở ụ ọ

Ho t đ ng nh n th c toán h c c a h c sinh đạ ộ ậ ứ ọ ủ ọ ược hi u “ là quá trình tể ư duy  n t i lĩnh h i các tri th c toán h c, n m đẫ ớ ộ ứ ọ ắ ược ý nghĩa c a các tri th củ ứ  

đó, xác đ nh đị ược các m i liên h  nhân qu  và các m i liên h  khác c a cácố ệ ả ố ệ ủ  

đ i tố ượng toán h c đọ ược nghiên c u ( khái ni m; quan h ; quy lu t toán h c;ứ ệ ệ ậ ọ

…); t  đó h c sinh v n d ng đừ ọ ậ ụ ược tri th c toán h c gi i quy t các v n đứ ọ ả ế ấ ề 

th c ti n” .ự ễ

M c tiêu ch  y u c a vi c phát tri n ho t đ ng nh n th c trong d yụ ủ ế ủ ệ ể ạ ộ ậ ứ ạ  

h c toán là phát tri n trí tu  và nhân cách c a h c sinh.   đây s  phát tri n tríọ ể ệ ủ ọ Ở ự ể  

tu  đệ ược hi u là s  thay đ i v  ch t trong ho t đ ng nh n th c. S  bi n đ iể ự ổ ề ấ ạ ộ ậ ứ ự ế ổ  

đó được đ c tr ng b i s  thay đ i c u trúc cái đặ ư ở ự ổ ấ ược ph n  nh và phả ả ươ  ng

th c ph n ánh chúng. Nói nh  v y đ ng nghĩa v i phát tri n trí tu  là sứ ả ư ậ ồ ớ ể ệ ự 

th ng nh t gi a vi c vũ trang tri th c và vi c phát tri n m t cách t i đaố ấ ữ ệ ứ ệ ể ộ ố  

phương th c ph n ánh chúng. Trong s  th ng nh t đó d n đ n làm thay đ iứ ả ự ố ấ ẫ ế ổ  

c u trúc b n thân h  th ng tri th c (m  r ng c i ti n, b  sung, c u trúc l i)ấ ả ệ ố ứ ở ộ ả ế ổ ấ ạ  làm cho h  th ng tri th c ngày càng thêm sâu s c và ph n ánh đúng b n ch t,ệ ố ứ ắ ả ả ấ  

ti p c n d n v i chân lí và đi u ch nh, m  r ng các phế ậ ầ ớ ề ỉ ở ộ ương th c ph n ánh,ứ ả  đôi khi đi đ n xóa b  nh ng phế ỏ ữ ương th c ph n ánh cũ đ  hình thành nh ngứ ả ể ữ  

phương th c ph n ánh m i h p lí h n, sáng t o h n, phù h p v i quy lu t tứ ả ớ ợ ơ ạ ơ ợ ớ ậ ự nhiên và xã h i. Phát tri n trí tu  độ ể ệ ược hi u c  th  qua phát tri n các năngể ụ ể ể  

l c trí tu  bao g m năng l c thu nh n thông tin toán h c; năng l c ch  bi nự ệ ồ ự ậ ọ ự ế ế  thông tin toán h c; năng l c t  duy logic, tu duy bi n ch ng, t  duy phê phán,ọ ự ư ệ ứ ư  

t  duy đ nh lư ị ượng; năng l c khái quát nhanh chóng và r ng rãi các đ i tự ộ ố ượng, các quan h , các m i liên h  trong toán h c; có tính m m d o trong quá trìnhệ ố ệ ọ ề ẻ  

t  duy; năng l c thay đ i nhanh chóng chuy n hư ự ổ ể ướng suy nghĩ t  d ng nàyừ ạ  sang d ng khác.ạ

Nh  v y thông qua ho t đ ng nh n th c toán h c nói chung, ho t đ ngư ậ ạ ộ ậ ứ ọ ạ ộ  

nh n th c v  hình h c không gian nói riêng s  nh m th c hi n m c tiêu giáoậ ứ ề ọ ẽ ằ ự ệ ụ  

d c nhân cách cho h c sinh; giáo d c t  duy phê phán; cách gi i quy t v n đụ ọ ụ ư ả ế ấ ề sáng t o; cách x  lí thông tin… trong cu c s ng th c ti n.ạ ử ộ ố ự ễ

2.2. Th c tr ng c a đ  tài.ự ạ ủ ề

Qua th c ti n quá trình d y h c đ ng th i thông qua vi c tìm hi u, đi uự ễ ạ ọ ồ ờ ệ ể ề  tra t  giáo viên và h c sinh   các trừ ọ ở ường THPT trên đ a bàn huy n Qu ngị ệ ả  

3

Xương; t ng h p các thông tin có đổ ợ ược khi tìm hi u trên các phể ương ti nệ  thông tin đ i chúng tôi nh n th y trong vi c d y và h c ch  đ  hình h cạ ậ ấ ệ ạ ọ ủ ề ọ  không gian t n t i nh ng th c tr ng sau:ồ ạ ữ ự ạ

+ Đ i v i giáo viên:ố ớ

­  Nhi u giáo viên c m th y ít h ng thú khi d y ch  đ  hình h c khôngề ả ấ ứ ạ ủ ề ọ  gian d n đ n ch a th c s  tìm tòi, đ i m i phẫ ế ư ự ự ổ ớ ương pháp d y h c phù h pạ ọ ợ  

v i đ i tớ ố ượng h c sinh.ọ

­ Ch a phát huy hi u qu  tính ch  đ ng, sáng t o c a h c sinh.  Ítư ệ ả ủ ộ ạ ủ ọ  khuy n khích h c sinh tìm tòi, khám phá nh ng cách gi i m i.ế ọ ữ ả ớ

­ Ch a xây d ng đư ự ược h  th ng bài t p đa d ng, phù h p v i t ng đ iệ ố ậ ạ ợ ớ ừ ố  

tượng h c sinh ( ch  y u các bài t p đọ ủ ế ậ ượ ấc l y trong SGK)

 + Đ i v i h c sinh:ố ớ ọ

­ Đa s  c m th y khó d n đ n ng i, không h ng thú khi h c hình khôngố ả ấ ẫ ế ạ ứ ọ  gian. Cá bi t có nhi u đ i tệ ề ố ượng h c sinh b  h n không h c ph n hình h cọ ỏ ẵ ọ ầ ọ  không gian mà ch  t p chung vào các ch  đ  khác.ỉ ậ ủ ề

­ T  tư ưởng xem nh  ch  đ  hình h c không gian c a nhi u h c sinh xu tẹ ủ ề ọ ủ ề ọ ấ  phát t  vi c nh n th c ch  đ  này ch  chi m m t ph n nh  trong các kì thiừ ệ ậ ứ ủ ề ỉ ế ộ ầ ỏ  

đ i h c, nhi u h c sinh cho r ng có th  h c t t các ch  đ  khác đ  khi thi sạ ọ ề ọ ằ ể ọ ố ủ ề ể ẽ 

bù cho ch  đ  hình h c không gian.ủ ề ọ

­ Đa s  h c sinh ch a ý th c sâu s c vi c h c t t hình h c không gian số ọ ư ứ ắ ệ ọ ố ọ ẽ góp ph n phát tri n t  duy sáng t o t  đó góp ph n h c t t các ch  đ  khác,ầ ể ư ạ ừ ầ ọ ố ủ ề  các môn h c khác.ọ

­ Đa s  h c sinh ít ch  đ ng t  duy khi gi i toán hình h c không gian,ố ọ ủ ộ ư ả ọ  

m t s  n m độ ố ắ ược các phương pháp gi i toán hình h c không gian nh ng sả ọ ư ử 

d ng ch a linh ho t, thi u sáng t o.ụ ư ạ ế ạ

2.3. Các bi n pháp gi i quy t v n đ ệ ả ế ấ ề

Nh m nâng cao k t qu  h c t p và góp ph n phát tri n t  duy sáng t oằ ế ả ọ ậ ầ ể ư ạ  cho h c sinh thông qua d y h c ch  đ  hình h c không gian l p 11 tôi đã th cọ ạ ọ ủ ề ọ ớ ự  

hi n các n i dung chính nh  sau:ệ ộ ư

+ Công tác chu n b : ẩ ị

­ Đánh giá đ i tố ượng h c sinh; so n bài; xây d ng h  th ng bài t p đaọ ạ ự ệ ố ậ  

d ng nh ng phù h p v i n i dung chạ ư ợ ớ ộ ương trình và đ i tố ượng h c sinh.ọ

­ Ngoài các ti t d y chính theo phân ph i chế ạ ố ương trình tùy theo m c đứ ộ 

nh n th c c a h c sinh đ  xây d ng k  ho ch d y t  ch n, b i dậ ứ ủ ọ ể ự ế ạ ạ ự ọ ồ ưỡng hay 

ph  đ o cho h c sinh v  ch  đ  hình h c không gian.ụ ạ ọ ề ủ ề ọ

­ Chu n b  các đ  dùng h c t p c n thi t ( các tài li u, mô hình hình h c,ẩ ị ồ ọ ậ ầ ế ệ ọ  các ph n m m h  tr  d y h c hình h c không gian….).ầ ề ỗ ợ ạ ọ ọ

+ T  ch c th c hi n:ổ ứ ự ệ

­ D y h c theo chạ ọ ương trình, k  ho ch đã đ  ra.ế ạ ề

­ Trang b  cho h c sinh các phị ọ ương pháp gi i toán hình h c không gianả ọ  thông qua các bài t p, ví d  đi n hình.ậ ụ ể

­ Đ a ra nh ng bài t p ôn t p, các bài t p phát tri n t  duy hình h c phùư ữ ậ ậ ậ ể ư ọ  

h p v i đ i tợ ớ ố ượng h c sinh. ọ

­ Tích c c đ i m i phự ổ ớ ương pháp d y h c nh : Tăng cạ ọ ư ường ho t đ ngạ ộ  

theo nhóm, s  d ng các mô hình tr c quan… Khuy n khích h c sinh gi i toánử ụ ự ế ọ ả  

hình h c không gian b ng nhi u cách. Đ t ra các câu h i, các v n đ  đòi h iọ ằ ề ặ ỏ ấ ề ỏ  

h c sinh ph i tích c c t  duy đ  tr  l i.ọ ả ự ư ể ả ờ

­ Giao bài t p v  nhà phù h p v i đ i tậ ề ợ ớ ố ượng h c sinh, chú tr ng các bàiọ ọ  

t p đòi h i h c sinh ph i ch  đ ng và sáng t o. ậ ỏ ọ ả ủ ộ ạ

­ Ki m tra, đánh giá, phân lo i h c sinh b ng nhi u hình th c ( c  đ nhể ạ ọ ằ ề ứ ả ị  

tính và đ nh lị ượng)

 C  th  trong quá trình d y h c ch  đ  hình h c không gian l p 11 tôi đãụ ể ạ ọ ủ ề ọ ớ  

xác đ nh và th c hi n hi u qu  m t s  bi n pháp sau đây:ị ự ệ ệ ả ộ ố ệ

2.3.1. Bi n pháp 1: V n d ng ph ệ ậ ụ ươ ng pháp tách các b  ph n ph ng ộ ậ ẳ  

ra kh i không gian ỏ

Khi gi i quy t các bài toán hình h c không gian h c sinh g p ph i nhi uả ế ọ ọ ặ ả ề  

khó khăn h n so v i các bài toán hình h c ph ng nh : Vi c tơ ớ ọ ẳ ư ệ ưởng tượng, hình 

dung đ  tìm các m i liên h  gi a các y u t  hình h c ( nh  quan h  gi a cácể ố ệ ữ ế ố ọ ư ệ ữ  

đường th ng, m t ph ng…); vi c v  hình đ  bi u di n hình không gian trongẳ ặ ẳ ệ ẽ ể ể ễ  

m t ph ng… Khó khăn này s   nh hặ ẳ ẽ ả ưởng đ n vi c v n d ng lí thuy t đế ệ ậ ụ ế ể 

gi i quy t các bài toán hình h c không gian. Đ  kh c ph c khó khăn này vi cả ế ọ ể ắ ụ ệ  

tách các b  ph n ph ng ra kh i không gian s  giúp h c sinh quy m t bài toánộ ậ ẳ ỏ ẽ ọ ộ  

ph c t p v  gi i quy t bài toán đ n gi n h n, d  hi u và d  th c hi n h n. ứ ạ ề ả ế ơ ả ơ ễ ể ễ ự ệ ơ

a) Các ví d  minh h a ụ ọ

Ví d  1:ụ  Cho t  di n ABCD có tr ng tâm G, AG c t (BCD) t i A’. Ch ngứ ệ ọ ắ ạ ứ  

minh r ng A’ là tr ng tâm c a tam giác BCD ( Đằ ọ ủ ường th ng đi qua m t đ nhẳ ộ ỉ  

và tr ng tâm c a t  di n đi qua tr ng tâm c a m t đ i di n v i đ nh  y).ọ ủ ứ ệ ọ ủ ặ ố ệ ớ ỉ ấ

Đ nh hị ướng phương pháp và l i gi i:ờ ả

      B ng vi c bóc tách các y u t  ph ng ra kh i không gian, bài toán trênằ ệ ế ố ẳ ỏ  

được chuy n thành bài toán hình h c ph ng sau đây:ể ọ ẳ

Cho tam giác ABN, M là trung đi m c a AB, G là trung đi m c a MN, ể ủ ể ủ  

AG c t c nh BN t i A’. Ch ng minh r ng BA’ = 2 A’N  ắ ạ ạ ứ ằ

5 A'

A

Không gian M t ph ng ặ ẳ

A

Bài toán này h c sinh THCS có th  d  dàng ch ng minh đọ ể ễ ứ ược sau khi 

đã h c tính ch t đọ ấ ường trung bình. C  th  ch ng minh nh  sau:ụ ể ứ ư

K  đẻ ường th ng qua M song song v i AA’ c t BN t i D. MD; GA’ l n lẳ ớ ắ ạ ầ ươ  t

là đường trung bình c a ủ ABA’ và  NMD nên BD = DA’ = A’N. 

V y BA’ = 2A’N.ậ

Ví d  2:ụ   (SGK hình h c 11 ­ C  b n)ọ ơ ả   Cho hình h p ABCDA’B’C’D’.ộ  

Ch ng minh đứ ường th ng AC’ đi qua tr ng tâm G c a ẳ ọ ủ BA’D

Đ nh hị ướng phương pháp và l i gi i:ờ ả

Bài toán s  tr  nên đ n gi n h n, d  hình dung, d  gi i quy t h n nhi u n uẽ ở ơ ả ơ ễ ễ ả ế ơ ề ế  

h c sinh bi t cách bóc tách các b  ph n ph ng ra kh i không gian đ  đ a vọ ế ộ ậ ẳ ỏ ể ư ề bài toán hình h c ph ng sau:  ọ ẳ

 Cho hình bình hành AA’C’C, O là trung đi m c nh AC, A’O c t c nh AC’ t i ể ạ ắ ạ ạ  

D

C B

G O

A'

C' C

A

Ví d  3:ụ  T  di n SABC, có các c nh bên t o v i m t đáy góc ứ ệ ạ ạ ớ ặ  Đáy  ABC vuông t i C, c nh AB = a. Tính theo a bán kính c a m t c u ngo i ti p hìnhạ ạ ủ ặ ầ ạ ế  chóp.

Đ nh hị ướng phương pháp và l i gi i:ờ ả  G i H là chân đọ ường cao h  t  S thì:ạ ừ  

HA = HB = HC, vì  ABC vuông t i C nên ạ  H là trung đi m AB.ể

H

C

B S

a R

gi i   quy t   bài   toán   m t   cáchả ế ộ  

đ n gi n h n n u nh n th yơ ả ơ ế ậ ấ  

r ng   tâm   c a   m t   c u   cũngằ ủ ặ ầ  chính   là   tâm   c a   đủ ường   tròn ngo i ti p  ạ ế SAB, t   đó táchừ  

y u   t   ph ng   ra   kh i   khôngế ố ẳ ỏ  gian  đ  đ a v  gi i bài toánể ư ề ả  

ph ng đ n gi n h n nh  sau: ẳ ơ ả ơ ư

Không gian

M t ph ng ặ ẳ

S

c. Ch ng minh r ng ứ ằ 1 2 12 12 1 2

OC OB

OA

Bài 2: Tính bán kính c a m t m t c u ngo i ti p m t hình chóp tam giácủ ộ ặ ầ ạ ế ộ  

đ u có c nh đáy b ng a và c nh bên b ng b.ề ạ ằ ạ ằ

Bài 3: Cho t  di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc v i nhau vàứ ệ ộ ớ  

OA = a, OB = b, OC = c. G i H là hình chi u c a O trên m t ph ng (ABC).ọ ế ủ ặ ẳ  Tính di n tích các tam giác HAB, HBC và HCA.ệ

c) M t s  nh n xét ộ ố ậ

+ Y u t  c t lõi đ  gi i đế ố ố ể ả ược các bài toán hình h c không gian thọ ường bị che khu t, khó phát hi n b i hình không gian thấ ệ ở ường có nhi u đề ường ph  gâyụ  khó khăn cho h c sinh trong vi c hình dung, tọ ệ ưởng tượng. Vì v y khéo léo bócậ  tách các y u t  ph ng ra kh i không gian s  giúp h c sinh đ n gi n hóa bàiế ố ẳ ỏ ẽ ọ ơ ả  toán, d  dàng tìm ra y u t  then ch t c a bài toán t  đó gi i toán d  dàng h n.ễ ế ố ố ủ ừ ả ễ ơ+ Ho t đ ng tách b  ph n ph ng ra kh i không gian có nh ng ý nghĩa cạ ộ ộ ậ ẳ ỏ ữ ụ 

th  đó là:ể

­  Xác l p liên h  gi a hình h c không gian và hình h c ph ng.ậ ệ ữ ọ ọ ẳ

­  K t n i d y h c toán THCS và THPT.ế ố ạ ọ

­  Xác l p liên h  liên môn, liên h  bên trong c a môn toán.ậ ệ ệ ủ

­  Nâng cao hi u qu  ho t đ ng gi i toán hình h c không gian t  đó gópệ ả ạ ộ ả ọ ừ  

ph n phát tri n t  duy sáng t o cho h c sinh.ầ ể ư ạ ọ

2.3.2. Bi n pháp 2: V n d ng ph ệ ậ ụ ươ ng pháp tr i hình ả

Nhi u bài toán hình h c không gian đề ọ ược gi i quy t d  dàng b ng cáchả ế ễ ằ  

đ a v  gi i bài toán hình h c ph ng thông qua ho t đ ng tr i hình (hay khaiư ề ả ọ ẳ ạ ộ ả  tri n hình). Đây là ho t đ ng khai tri n các y u t  không gian lên trên cùngể ạ ộ ể ế ố  

m t m t ph ng, chuy n bài toán không gian v  bài toán hình h c ph ng, g nộ ặ ẳ ể ề ọ ẳ ắ  

k t bài toán ph ng và bài toán không gian.ế ẳ

a) Các ví d  minh h a: ụ ọ

Ví d  4:ụ   Ch ng minh trong m t t  di n có các c p c nh đ i đôi m tứ ộ ứ ệ ặ ạ ố ộ  

b ng nhau ( t  di n g n đ u) thì các góc tam di n t i m i đ nh có t ng cácằ ứ ệ ầ ề ệ ạ ỗ ỉ ổ  góc ph ng b ng 180ẳ ằ 0

Đ nh hị ướng phương pháp và l i gi i:ờ ả

Ta tr i các tam giác ABC, ABD, DCD lên m t ph ng (BCD) sao choả ặ ẳ  

đi m A c a ể ủ ABC n m   v  trí c a đi m A  và không thu c n a m t ph ngằ ở ị ủ ể ộ ử ặ ẳ  

ch a D có b  BC; tứ ờ ương  ng đi m A c a ứ ể ủ ABD n m   v  trí đi m Aằ ở ị ể 2; đi mể  

A c a ủ ACD n m   v  trí đi m Aằ ở ị ể 3.      

Khi đó BA1 = BA2 = CD; BC = DA2 = DA3 và BD = CA1 = CA3 nên các t  giác BCDAứ 2; DBCA3 là các hình bình hành   BC//DA2; BC//DA3   

A2; D;   A3 th ng hàng. ẳ Tương t  Aự 1; B; A2 và A1; C; A3 th ng hàng ẳ  

     A1 + A2 + A3= 180    đpcm

a/ Ch ng minh IJ c t và vuông góc v i MN t i trung đi m c a MN.ứ ắ ớ ạ ể ủ

b/ D ng thi t di n c a l p phự ế ệ ủ ậ ương t o b i m t ph ng ch a MN; IJ. Tìm vạ ở ặ ẳ ứ ị trí c a M, N sao cho thi t di n có chu vi bé nh t.ủ ế ệ ấ

Đ nh hị ướng phương pháp và l i gi i: ờ ả

a/ Kéo dài IN c t AAắ 1 t i K, ta có AK = BN ạ  AK = AM   

MK // AD1. Vì IJ//AD1   IJ // KM, v y IJ là đậ ường trung bình c a ủ  NKM 

 IJ c t MN t i trung đi m c a MN.ắ ạ ể ủ

  M t khác tam giác MIN cân t i I ( IM = IN) nên IJ vuông góc v i MN.ặ ạ ớ

 đpcm

b/ D  th y thi t di n c n tìm là l c giác IMFJEN trong đó E; F l n lễ ấ ế ệ ầ ụ ầ ượt thu cộ  

DD1; B1C1 sao cho MF//AD1; NE//BC1. Khi đó MF//IJ//NE và FD1= EC1 = BN 

= AM = x (0 x a < < )

Khi đó chu vi c a thi t di n = 2(IM + MF + FJ). Tìm v  trí c a M, N đ  chuủ ế ệ ị ủ ể  

vi thi t di n bé nh t ta có th  tính chu vi theo x và đ a bài toán hình h c vế ệ ấ ể ư ọ ề bài toán gi i tích. Tuy nhiên cách làm này tả ương đ i ph c t p, bài toán có thố ứ ạ ể 

được gi i theo cách đ n gi n h n thông qua h at đ ng tr i hình c  th  nhả ơ ả ơ ọ ộ ả ụ ể ư sau:

Ta tr i các m t ABCD và DCCả ặ 1D1 lên m t ph ng (ADDặ ẳ 1A1) sao cho các 

đi m B, C, I c a m t ABCD l n lể ủ ặ ầ ượt n m   v  trí các đi m B’, C’, I’ vàằ ở ị ể  không cùng thu c n a m t ph ng ch a Dộ ử ặ ẳ ứ 1, A1 có b  AD. Tờ ương t  các đi mự ể  

A1

C

D A

F'

C1' J'

I'

C' B'

F

E N

B

C

D A

Khi đó vi c gi i bài toán không gian đệ ả ược quy v  gi i bài toán hình h cề ả ọ  

ph ng nh  sau:ẳ ư

G i chu vi c a thi t di n là P, ta có: P = 2(I’M + MF + FJ’). Vì v y đọ ủ ế ệ ậ ể 

P bé nh t ta tìm v  trí c a M, F sao cho I’M + MF + FJ’ bé nh t, d  th y  khiấ ị ủ ấ ễ ấ  

đó  M trùng v i M’ và F trùng v i F’ ( M’; F’ l n lớ ớ ầ ượt là giao đi m c a I’J’ể ủ  

v i AD và DDớ 1)   P bé nh t ấ M; N l n lầ ượt là trung đi m c a AD; BBể ủ 1

b) M t s  bài t p áp d ng: ộ ố ậ ụ

      Bài 1: Ch ng minh t ng các góc ph ng c a m t hình chóp l n h n 180ứ ổ ẳ ủ ộ ớ ơ  thì m i c nh bên c a nó nh  h n n a chu vi đáy.ỗ ạ ủ ỏ ơ ử

Bài 2:   Cho t  di n g n đ u ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; ADứ ệ ầ ề  

= BC = c. Xác đ nh v  trí c a đi m M trên c nh AB sao cho chu vi tam giácị ị ủ ể ạ  MCD nh  nh t. Xác đ nh giá tr  nh  nh t c a chu vi đó.ỏ ấ ị ị ỏ ấ ủ

Bài 3:   Cho t  di n đ u ABCD c nh b ng a. M t m t ph ng c t 4ứ ệ ề ạ ằ ộ ặ ẳ ắ  

c nh c a t  di n l n lạ ủ ứ ệ ầ ượ ạt t i M, N, P, Q. Ch ng minh r ng chu vi p c a thi tứ ằ ủ ế  

di n MNPQ không nh  h n 2a và không l n h n 3a.ệ ỏ ơ ớ ơ

Bài 4:  T  di n ABCD có:  AC = AD = BC = BD = 1; AB = a; CD = b;ứ ệ  

M, N l n  lầ ượt  là  trung  đi m  c a  AB  và CD.  Tìm  trên  c nh  AD m tể ủ ạ ộ  

đi m P sao cho PM + PN đ t giá tr  nh  nh t. Tính giá tr  nh  nh t đó.ể ạ ị ỏ ấ ị ỏ ấ

c) Nh n xét: ậ

 + Phương pháp tr i hình đả ược v n d ng nhi u trong các bài toán xácậ ụ ề  

đ nh v  trí c a m t đi m; các bài toán c c tr  hình h c.ị ị ủ ộ ể ự ị ọ

+ Có th  gi i các bài toán trên b ng cách khác tuy nhiên đ n gi n vàể ả ằ ơ ả  

hi u qu  nh t v n là v n d ng phệ ả ấ ẫ ậ ụ ương pháp tr i hình.ả

+ Vi c bi t cách v n d ng phệ ế ậ ụ ương pháp tr i hình s  giúp h c sinh gi iả ẽ ọ ả  

được nhi u bài toán hình không gian hay và khó t  đó giúp h c sinh rèn luy nề ừ ọ ệ  

và phát tri n t  duy sáng t o. ể ư ạ