Với mục đích giúp học sinh không cảm thấy khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải quyết vấn đề. Qua đó giúp các em học tốt hơn về phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói chung và phần đường thẳng nói riêng, tạo cho các em tự tin hơn khi làm các bài tập hình học và tạo tâm lý không “sợ khi giải bài tập hình tọa độ trong mặt phẳng.
Trang 11. M Đ UỞ Ầ
Lí do ch n đ tài.ọ ề
T đ thi đ i h c c a các năm g n đây cho th y r ng bài toán phừ ề ạ ọ ủ ầ ấ ằ ươ ng pháp t a đ trong m t ph ng là m t n i dung khó l y đi m đ i v i h c sinhọ ộ ặ ẳ ộ ộ ấ ể ố ớ ọ
đ ng th i cũng là n i dung khó đ giáo viên có th gi ng d y đem l i h ngồ ờ ộ ể ể ả ạ ạ ứ thú cho h c sinh. Đ c bi t t năm 2014 b giáo d c đã đ a n i dung này vàoọ ặ ệ ừ ộ ụ ư ộ
m c đi m 8 trong đ thi d i h c và đ n năm 2015 ph n này còn đứ ể ề ạ ọ ế ầ ược đánh giá m c đ l y đi m 8,5 đ n 9 trong đ thi THPT qu c gia thêm vào đóở ứ ộ ấ ể ế ề ố
ph n này l i đầ ạ ược h c t l p 10 sau 2 năm các em m i thi nên càng khó khănọ ừ ớ ớ
h n. Trong ph n này có 3 đ i tơ ầ ố ượng chính đó là đường th ng, đẳ ường tròn và elíp, trong 3 n i dung trên thì độ ường th ng đẳ ược coi là n i dung s 1 nó v a làộ ố ừ
n i dung khó v a là n i dung xu t hi n nhi u h n c trong đ thi. Trongộ ừ ộ ấ ệ ề ơ ả ề
ph n đầ ường th ng thì bài toán tìm t a đ đ nh, vi t phẳ ọ ộ ỉ ế ương trình các c nhạ trong tam giác khi bi t trế ước m t s y u t c a tam giác là d ng toán hay vàộ ố ế ố ủ ạ
tương đ i khó, đ gi i bài toán d ng này đòi h i h c sinh ph i n m v ngố ể ả ạ ỏ ọ ả ắ ữ
ki n th c hình h c ph ng, m i quan h gi a các y u t trong tam giác và cácế ứ ọ ẳ ố ệ ữ ế ố
đi m đ c bi t c a tam giác nh : Tr ng tâm, tr c tâm, tâm để ặ ệ ủ ư ọ ự ường tròn ngo iạ
ti p, n i ti p và các tính ch t khác c a hình h c ph ng c p THCS.ế ộ ế ấ ủ ọ ẳ ở ấ
Hi n t i đã có r t nhi u tài li u vi t v n i dung này, tuy nhiên các tàiệ ạ ấ ề ệ ế ề ộ
li u phù h p v i đ i tệ ợ ớ ố ượng h c sinh trọ ường THPT Lê Lai thì ch a nhi u b iư ề ở
ch t lấ ượng h c sinh c a nhà trọ ủ ường r t th p ch có 1 ho c 2 l p mũi nh n thìấ ấ ỉ ặ ớ ọ
m i có kh năng ti p thu đớ ả ế ược nh ng ph n ki n th c này đ ph c v choữ ầ ế ứ ể ụ ụ
vi c thi đ i h c. Do v y năm h c 2015 – 2016 tôi đệ ạ ọ ậ ọ ược giao nhi m v đ mệ ụ ả nhi m l p mũi nh n 10A1, tôi đã trăn tr tìm hi u tài li u và phân lo i bài t pệ ớ ọ ở ể ệ ạ ậ
ph n đầ ường th ng trong tam giác đ ng th i ch n làm n i dung làm sáng ki nẳ ồ ờ ọ ộ ế kinh nghi m trong năm h c này v i tên g i ệ ọ ớ ọ “H ướ ng d n h c sinh l p 10 ẫ ọ ớ nâng cao k năng gi i các bài toán liên quan đ n đ ỹ ả ế ườ ng th ng trong tam ẳ giác”.
M c đích nghiên c u.ụ ứ
V i m c đích giúp h c sinh không c m th y khó khăn khi g p d ng toánớ ụ ọ ả ấ ặ ạ này tôi đ a ra phư ương pháp phân lo i bài t p t d đ n khó đ h c sinh ti pạ ậ ừ ễ ế ể ọ ế
c n m t cách đ n gi n, d nh và t ng bậ ộ ơ ả ễ ớ ừ ước giúp h c sinh hình thành l i tọ ố ư duy gi i quy t v n đ Qua đó giúp các em h c t t h n v ph n phả ế ấ ề ọ ố ơ ề ầ ương pháp
t a đ trong m t ph ng nói chung và ph n đọ ộ ặ ẳ ầ ường th ng nói riêng, t o cho cácẳ ạ
em t tin h n khi làm các bài t p hình h c và t o tâm lý không “s " khi gi iự ơ ậ ọ ạ ợ ả bài t p hình t a đ trong m t ph ngậ ọ ộ ặ ẳ
Đ i tố ượng nghiên c u.ứ
Trang 2Phân d ng bài t p và phạ ậ ương pháp gi i các d ng toán v phả ạ ề ương trình
đường th ng và tìm đi m trong tam giác. Đ tài này đẳ ể ề ược th c hi n trongự ệ
ph m vi các l p 10A1, 10A2 trạ ớ ở ường THPT Lê Lai
Phương pháp nghiên c u.ứ
Nghiên cứu tài liệu:
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:
Sách giáo khoa hình h c 10 chu n và nâng cao, sách bài t p.ọ ẩ ậ
Các tài liệu tham khảo khác v phề ương pháp t a đ trong m t ph ng.ọ ộ ặ ẳ
Điều tra:
Thực dạy và kết quả kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành ki m tra t i các l pể ạ ớ 10B8, 10B7 năm h c 20142015 và thọ ực dạy các lớp 10A1, 10A2 năm h cọ 2015 2016
Năm học 20152016: Lớp 10A1,10A2: thực nghiệm
Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khả
năng giải toán l p phậ ương trình đường th ng và các d ng toán liên quan đ nẳ ạ ế
đường th ng trong tam giác cùng cẳ ách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ
đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình
Đàm thoại:
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp với phân môn
+ Trao đổi với các em học sinh về các bài toán l p phậ ương trình đườ ng
th ng và các d ng toán liên quan đ n đẳ ạ ế ường th ng trong tam giác ẳ để biết được cách tìm ra hướng giải bài toán của các em, từ đó có cách dạy tốt hơn
Trang 32. N I DUNG SÁNG KI N.Ộ Ế
2.1. C s lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m.ơ ở ậ ủ ế ệ
Nh m giúp h c sinh có ki n th c, k năng làm bài t p ph n phằ ọ ế ứ ỹ ậ ầ ương trình
đường th ng trong các k thi đ c bi t là k thi THPT qu c gia. B n thân tôiẳ ỳ ặ ệ ỳ ố ả
đã nghiên c u chứ ương trình SGK, tài li u tham kh o và phân thành các d ngệ ả ạ toán và g n v i phắ ớ ương pháp gi i c th Trong bài toán vi t phả ụ ể ế ương đườ ng
th ng thì phẳ ương pháp chung nh t là đi xác đ nh véc t ch phấ ị ơ ỉ ương ho c vetặ ơ pháp tuy n c a đế ủ ường th ng và to đ m t đi m mà đẳ ạ ộ ộ ể ường th ng đi qua sauẳ
đó áp d ng các d ng phụ ạ ương trình đường th ng trên đ vi t phẳ ể ế ương trình, tùy theo k năng ra đ c a ngỹ ề ủ ười ra đ mà h s d u đi 1 trong 2 y u t trên hayề ọ ẽ ấ ế ố
c hai bu c h c sinh ph i v n d ng ki n th c dã h c đ tìm các y u t đó thìả ộ ọ ả ậ ụ ế ứ ọ ể ế ố
m i gi i quy t đớ ả ế ược bài toán trên. Ví d nh đ toán năm 2015 c a b nhụ ư ề ủ ộ ư sau:
Câu 8 (1,0 đi m)ể : Trong m t ph ng h t a đ Oxy, cho tam giác ABC vuôngặ ẳ ệ ọ ộ
t i A. G i H là hình chi u c a A trên c nh BC; D là đi m đ i x ng c a B quaạ ọ ế ủ ạ ể ố ứ ủ H; K là hình chi u c a vuông góc C trên đế ủ ường th ng AD. Gi s H (5;5), Kẳ ả ử (9;3) và trung đi m c a c nh AC thu c để ủ ạ ộ ường th ng : x y + 10 = 0 . Tìmẳ
t a đ đi m Aọ ộ ể
Ho c trong đ kh i D năm 2014 c a b ặ ề ố ủ ộ
Câu 7. (1,0 đi m)ể Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho tam giác ABC v iặ ẳ ớ ệ ọ ộ ớ chân đường phân giác trong c a góc A là D(1; –1). Đủ ường th ng AB cóẳ
phương trình là 3x + 2y – 9 = 0; ti p tuy n t i A c a đế ế ạ ủ ường tròn ngo i ti pạ ế tam giác ABC có phương trình x + 2y – 7 = 0. Vi t phế ương trình đường th ngẳ BC
2.2. Th c tr ng v n đ trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.ụ ế ệ
Trong năm h c 2014 – 2015 tôi đã ti n hành ki m tra ki n th c ph n nàyọ ế ể ế ứ ầ
đ i v i 2 l p kh i 10 c a năm h c đó là l p 10B8 và 10B7 và nh n đố ớ ớ ố ủ ọ ớ ậ ược két
qu không m y kh quan c th ả ấ ả ụ ể
Bài 1:Tìm t a đ các đ nh A, B c a tam giác ABC bi t đ nh ọ ộ ỉ ủ ế ỉ C 1; 2(− − ) ; đườ ng trung tuy n k t A có phế ẻ ừ ương trình: 5x y 9 0+ − = và đường cao k t B cóẻ ừ
phương trình là: x 3y 5 0+ − =
Bài 2: L p ph ng trình các c nh c a ậ ươ ạ ủ ∆ABC n u cho ế C 4; 5(− − ) và 2 đườ ng cao xu t phát t A và B có phấ ừ ương trình l n lầ ượt là 2x y 1 0− + = và
3x 8y 13 0+ + =
Bài 3: L p ph ng trình các c nh c a tam giác ABC bi t ậ ươ ạ ủ ế C 4; 1( − ) ; đườ ng trung tuy n h t A có phế ạ ừ ương trình là: 2x 3y 0+ = ; đường cao h t đ nh Aạ ừ ỉ
có phương trình là: 2x 3y 12 0− + =
S li u c th trố ệ ụ ể ước khi th c hi n đ tài :ự ệ ề
Trang 4K t qu c a l p 10B7 ( sĩ s 45) ế ả ủ ớ ố
Làm đúng Làm sai Không có l i gi iờ ả
K t qu c a l p 1ế ả ủ ớ 0B8 ( sĩ s 38) ố
Làm đúng Làm sai S h/s không có l i L iố ờ ờ
gi iả
2.3. Các sáng ki n kinh nghi m ho c các gi i pháp đã s d ng đế ệ ặ ả ử ụ ể
gi i quy t v n đ ả ế ấ ề
N i dung đ tài độ ề ược th hi n qua 9 d ng toán trong tam giác và m t vàiể ệ ạ ộ
ví d minh h a t các đ thi c a b giáo d c và đào t o các năm g n đây,ụ ọ ừ ề ủ ộ ụ ạ ầ trong m i ph n tác gi trình bày theo trình t : D ng toán và các phỗ ầ ả ự ạ ương pháp
gi i, m t s ví d có l i gi i c th và bài t p tả ộ ố ụ ờ ả ụ ể ậ ương t ự
A.Ti n hành v d y lý thuy t:ế ề ạ ế
1.Giáo viên khi d y ki n th c ph n đạ ế ứ ầ ường th ng c n coi tr ng phẳ ầ ọ ương pháp
gi ng d y trả ạ ước đó có liên quan đ n ph n này. Đó là d y các ki n th c v :ế ầ ạ ế ứ ề
a. Véc t ch phơ ỉ ương c a đủ ường th ng dẳ
Vect ơ u 0r r và có giá song song ho c trùng v i d thì ặ ớ urlà vect ch phơ ỉ ươ ng
c a d.ủ
N u ế ur là vect ch phơ ỉ ương c a d thì k.ủ urcũng là vect ch phơ ỉ ương c a d (ủ
k 0 )
b. Véc t pháp tuy n c a đơ ế ủ ường th ng dẳ
Vect ơ n 0r r và có giá vuông góc v i d thì ớ nr là vect pháp tuy n c a dơ ế ủ
N u ế nr là vect pháp tuy n c a d thì kơ ế ủ nrcũng là vect pháp tuy n c a d (ơ ế ủ k 0 )
c. Phương trình c a đủ ường th ng ẳ
N u đế ường th ng d đi qua đi m ẳ ể M x ; y và có véc t ( 0 0) ơ ch phỉ ương là
( )
u a;br v i ớ a2+b2 0 thì:
+ Phương trình tham s c a đố ủ ường th ng d làẳ : 0
0
x x at
y y bt
= + ( t R là tham
s )ố
+ Phương trình chính t c c a đắ ủ ường th ng d là : ẳ x x0 y y0
− = − (a.b 0 )
Trang 5+Phương trình t ng quát c a đổ ủ ường th ng d có d ngẳ ạ : Ax By C 0+ + =
+ Phương trình đường th ng d qua ẳ M x ; y , có vect pháp tuy n ( 0 0) ơ ế n A;Br( )
v i ớ A2 +B2 0 là: A x x( − 0) +B y y( − 0) =0
+Phương trình đường th ng d qua ẳ M x ; y có h s góc k:( 0 0) ệ ố
y k x x= − +y
+ Phương trình đo n th ng ch n trên các tr c t a đ : ạ ẳ ắ ụ ọ ộ x y 1
a b+ = (đi qua 2 đi m ể A a;0( )�Ox; B 0;b( )� )Oy
+ Phương trình đường th ng d song song v i đẳ ớ ường th ngẳ : Ax By C 0
∆ + + = có d ng ạ Ax By m 0 m C+ + = ( )
+ Phương trình đường th ng d vuông góc v i đẳ ớ ường th ngẳ : Ax By C 0
∆ + + = có d ng ạ Bx Ay m 0− + =
+ Công th c góc gi a hai đứ ữ ường th ng.ẳ
d, Các ki n th c khácế ứ
Cho A x ;y ; ( A A) B x ; y ; ( B B) C x ;y( C C)
Véc t ơ AB xuuur( B −x ;yA B −yA)
To đ trung đi m I c a AB là ạ ộ ể ủ I xA x yB; A yB
Đ dài vect ộ ơ ABuuurlà ( ) (2 )2
AB ABuuur= = x −x + y −y
N u đi m ế ể M x ;y chia đo n th ng AB theo t s ( M M) ạ ẳ ỉ ố k 1 thì
A B M
A B M
x kx x
1 k
MA kMB
y ky y
1 k
−
=
−
=
−
=
−
� uuuur uuur
AB kAC
=
uuur uuur
N u A, B, C là 3 đ nh 1 tam giác, g i G là tr ng tâm tam giác ABC thì ta có: ế ỉ ọ ọ
Quy ướ Véc t pháp tuy n c a đc: ơ ế ủ ường th ng ký hi u là ẳ ệ nr
V éc t ch phơ ỉ ương c a đủ ường th ng ký hi u là ẳ ệ ur 2.Ph n hầ ướng d n bài t p v nhà ph i dành m t th i gian nh t đ nh,hẫ ậ ề ả ộ ờ ấ ị ướ ng
d n chu đáo,c th và có yêu c u cao v i h c sinh. ẫ ụ ể ầ ớ ọ
B.Các d ng bài t p thạ ậ ường g p:ặ
Trang 6Tôi đã phân lo i bài t p cho h c sinh và phạ ậ ọ ương pháp gi i t ng d ng. ả ừ ạ Sau đây tôi xin đ c p t i m t s d ng bài t p hay g p trong đ thi đ i h c ề ậ ớ ộ ố ạ ậ ặ ề ạ ọ
và cao đ ng.ẳ
D ng 1: Tam giác ABC bi t đ nh A và 2 đạ ế ỉ ường cao BH, CK. Tìm t a đọ ộ các đ nh B; C, l p phỉ ậ ương trình các c nh c a tam giác ABC.ạ ủ
Phương pháp:
B1: L p phậ ương trình c nh AB đi qua A và vuông góc v i CKạ ớ
L p phậ ương trình c nh AC đi qua A và vuông góc v i BHạ ớ
B2: Tìm to đ đi m B, C.ạ ộ ể
B3: L p phậ ương trình c nh BCạ
Ví d 1. ụ L p phậ ương trình các c nh c a ạ ủ ∆ABC bi t ế A 2; 1( − ) và 2 đườ ng
cao xu t phát t B và C có phấ ừ ương trình l n lầ ượt là: 2x y 1 0− + = và
3x y 2 0+ + = .
Bài gi i:ả
Vì BH AC⊥ nên c nh AC có phạ ương trình x 2y m 0+ + = , AC qua A nên
2 2 m 0− + = �m 0= Phương trình c nh AC là: ạ x 2y 0+ =
Vì CK AB⊥ nên c nh AB có phạ ương trình x 3y n 0− + = , AB qua A nên
2 3 n 0+ + = �n= −5. Phương trình c nh AB là: ạ x 3y 5 0− − =
T a đ đi m C là nghi m c a h ọ ộ ể ệ ủ ệ
4 x
5
= −
−
T a đ đi m B là nghi m c a h ọ ộ ể ệ ủ ệ
8
;
5
= −
− −
x
x y
B
Khi đó BC 4 13; 1(4;13)
uuur
nên vect pháp tuy n c a BC là ơ ế ủ nuuurBC =(13; 4− ).
Phương trình c nh BC có d ng: ạ ạ 13 x 8 4 y 11 0 13x 4y 12 0
Ví d 2.ụ Tam giác ABC có A 1;2 và ph ng trình hai đ ng cao l n l t là( ) ươ ườ ầ ượ BH: x y 1 0+ + = và CK: 2x y 2 0+ − = . Tìm t a đ các đ nh B, C c a tam giácọ ộ ỉ ủ ABC
Bài gi i: ả
C nh AB đi qua ạ A 1;2 và vuông góc v i CK: ( ) ớ 2x y 2 0+ − = nên AB có
phương trình: 1 x 1( − −) (2 y 2− =) 0�x 2y 3 0− + =
Trang 7Tương t c nh AC đi qua ự ạ A 1;2 và vuôn`g góc v i BH: ( ) ớ x y 1 0+ + = nên AC
có phương trình: 1 x 1 1 y 2( − −) ( − =) 0�x y 1 0− + =
To đ đi m B là nghi m c a h : ạ ộ ể ệ ủ ệ
5
;
3
= −
−
x
x y
B
x y
y
To ạ đ đi m C là nghi m c a h : ộ ể ệ ủ ệ
1 x
C ;
3
=
Bài t p tậ ương tự:
1, L p phậ ương trình các c nh c a ạ ủ ∆ABC n u cho ế A 1;3 và 2 đ ng cao( ) ườ
xu t phát t B và C có phấ ừ ương trình l n lầ ượt là 5x 3y 2 0+ − = và
3x 2y 1 0− − =
2, Cho ABC∆ có phương trình c nh AB: ạ 5x 3y 2 0− + = và 2 đường cao xu tấ phát t A và B có phừ ương trình l n lầ ượt là 4x y 1 0+ − = và 7x 3y 12 0− − =
D ng 2: Tam giác ABC bi t đ nh A, bi t hai trung tuy n xu t phát t 2ạ ế ỉ ế ế ấ ừ
đ nh còn l i BM, CN. Tìm to đ B; C, vi t phỉ ạ ạ ộ ế ương trình các c nh c aạ ủ tam giác
Phương pháp:Cách 1:
B1: Tìm to đ tr ng tâm ạ ộ ọ G x ;y c a ABC( G G) ủ
B2: Tham s hoá to đ c a ố ạ ộ ủ B x ;y ; C x ; y theo ph ng trình BM,( B B) ( C C) ươ CN
B3: Tìm to đ c a B, C: áp d ng công th c: ạ ộ ủ ụ ứ
A B C
G
x
3
G
y
3
=
B4: Vi t phế ương trình các c nh.ạ
Cách 2:
B1: Tìm to đ tr ng tâm ạ ộ ọ G x ;y c a ABC( G G) ủ
B2: Xác đ nh đi m H đ i x ng v i A qua G theo công th c trung đi m. ị ể ố ứ ớ ứ ể
Khi đó t giác BGCH là hình bình hành.ứ
B3: L p phậ ương trình đường th ng HC qua H và song song v i trung tuy nẳ ớ ế
BM.
C là giao đi m c a HC v i CN.ể ủ ớ
B4: L p phậ ương trình đường th ng HB qua H và song song v i trung tuy nẳ ớ ế
CN.
B là giao đi m c a HB v i BM.ể ủ ớ
B5: Vi t phế ương trình các c nh.ạ
Trang 8Ví d :ụ Cho tam giác ABC có A 2;3(− ) và hai đường trung tuy n BM:ế
x 2y 1 0− + = và CN: x y 4 0+ − = . Tìm t a đ các đ nh B, C c a tam giácọ ộ ỉ ủ ABC
L i gi iờ ả
To đ tr ng tâm G c a tam giác ABC là nghi m c a h phạ ộ ọ ủ ệ ủ ệ ương trình:
( )
2x y 1 0 x 1
G 1;3
x y 4 0 y 3
Vì B thu c độ ường th ng BM nên gi s ẳ ả ử B x ;y thì: ( B B)
� �. Tương t ự C x ;4 x( C − C)
M t khác vì ặ G 1;3 là tr ng tâm c a tam giác ABC nên ta có:( ) ọ ủ
1
2
3
− + +
+ =
B C
B
B C B
C
C
x x
x
x x
x
V y ậ B 2 5; ; C 13 1;
Bài t p tậ ương tự: Cho tam giác ABC có A 3;1(− ) và hai đường trung tuy nế BM: 2x y 1 0+ − = và CN: 3 x y 1 0+ − = . L p phậ ương trình các c nh c a tamạ ủ giác ABC
D ng 3: Tam giác ABC bi t hai c nh AB, AC và bi t tr ng tâm G. Xácạ ế ạ ế ọ
đ nh t a đ các đ nh, l p phị ọ ộ ỉ ậ ương trình c nh còn l i.ạ ạ
Phương pháp:
B1 (Chung cho 2 cách): Tìm to đ đi m A là giao đi m c a AB và ACạ ộ ể ể ủ
Suy ra to đ đi m M là trung đi m c a BC nh : ạ ộ ể ể ủ ờ AG 2GMuuur= uuuur ho cặ
3
2
=
uuuur uuur
Cách 1:
B2: Tham s hoá to đ c a ố ạ ộ ủ B x ;y ; C x ; y theo ph ng trình AB, AC( B B) ( C C) ươ B3: Tìm to đ c a B; C nh : ạ ộ ủ ờ
M
M
x
2
y
2
+
= +
= B4: L p phậ ương trình c a BC.ủ
Cách 2:
B2: Vi t phế ương trình đường th ng MN qua M và song song v i AC v i N làẳ ớ ớ trung đi m c a AB. Tìm t a đ đi m N.ể ủ ọ ộ ể
Trang 9B3: T ừ AB 2ANuuur= uuur suy ra t a đ đi m B. Phọ ộ ể ương trình c nh BC qua B vàạ
nh n ậ BMuuur làm vect ch phơ ỉ ương. T đó tìm t a đ C.ừ ọ ộ
Ví d 1 ụ Tam giác ABC bi t phế ương trình AB: 4x y 15 0+ + = ; AC:
2x 5y 3 0+ + = và tr ng tâm ọ G 2; 1(− − ) Tìm t a đ các đ nh c a tam giácọ ộ ỉ ủ ABC, vi t phế ương trình BC
Bài gi iả
To đ đi m A là nghi m c a h :ạ ộ ể ệ ủ ệ
4x y 15 0 x 4
A 4;1 2x 5y 3 0 y 1
� + + = �=
G i ọ M x;y là trung đi m c a BC, vì G là tr ng tâm tam giác ABC nên: ( ) ể ủ ọ
3
2
=
M M
3
2
− −
= −
G i N là trung đi m c a AB. Phọ ể ủ ương trình đường th ng MN // AC có d ng:ẳ ạ 2x 5y m 0+ + = . Đi m ể M MN� �− − + =2 10 m 0�m 12=
Phương trình MN là: 2x 5y 12 0+ + =
T a đ đi m N là nghi m c a h ọ ộ ể ệ ủ ệ
7
2
B
= −
uuur uuur
Đường th ng BC qua B và nh n ẳ ậ BMuuur=( )2;1 làm vect ch phơ ỉ ương có d ng:ạ
T a đ đi m C là nghi m c a h : ọ ộ ể ệ ủ ệ x 2y 3 0 x 1 C 1; 1( )
2x 5y 3 0 y 1
−
� + + = �= −
Ví d 2.ụ Tam giác ABC bi t phế ương trình AB: x y 1 0+ − = ; AC: x y 3 0− + =
và tr ng tâm ọ G 1;2 Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC( ) ọ ộ ỉ ủ
Bài gi iả
To đ đi m A là nghi m c a h :ạ ộ ể ệ ủ ệ
x y 1 0 x 2
A 2;1
x y 3 0 y 1
−
G i ọ M x;y là trung đi m c a BC, vì G là tr ng tâm nên: ( ) ể ủ ọ
Trang 10AG 2GMuuur= uuuur ( )
5 x
2
=
Vì B thu c AB nên to đ ộ ạ ộ B x ; y v i ( B B) ớ xB +yB − =1 0� yB = −1 xB
nên B x ;1 x( B − B) Tương t ự C x ;x( C C +3)
Mà M 5 5;
2 2
� � là trung đi m c a BC nên ta có:ể ủ
M
C
M
y
nên B 1;0 ; C 4;7( ) ( )
Bài t p tậ ương tự: Tam giác ABC bi t phế ương trình AB: 2x 3y 7 0− − = ; AC:
x 9y 28 0+ + = và tr ng tâm ọ G 4; 2( − ). Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABCọ ộ ỉ ủ
D ng 4: Tam giác ABC bi t 1 đ nh A, phạ ế ỉ ương trình đường cao BH và trung tuy n xu t CK. Xác đ nh t a đ đ nh B, C; l p phế ấ ị ọ ộ ỉ ậ ương trình các
c nh.ạ
Phương pháp:
B1: L p phậ ương trình c nh AC đi qua A và vuông góc v i BH. ạ ớ
T đó tìm đừ ượ ọc t a đ đi m C là giao đi m c a AC và trung tuy n CK.ộ ể ể ủ ế
B2: Tham s hoá to đ ố ạ ộ B x ;y ; K x ;y (v i K là trung đi m c a AB)( B B) ( K K) ớ ể ủ theo phương trình BH, CK. Tìm to đ B nh : ạ ộ ờ
K
K
x x x
2
y y y
2
+
= +
=
B3: L p phậ ương trình c nh AB; BCạ
Ví d 1:ụ Xác đ nh t a đ c a các đ nh A; C c a ị ọ ộ ủ ỉ ủ ∆ABC bi t ế B(0; 2)− và
đường cao (AH) : x 2y 1 0− + = ; trung tuy n ế (CM) : 2x y 2 0.− + =
Bài gi i:ả
Theo bài ra BC đi qua B(0; 2)− và vuông góc v i ớ (AH) : x 2y 1 0− + = nên
phương trình c nh BC là: ạ 2x y 2 0+ + =
Suy ra to đ C là nghi m c a h :ạ ộ ệ ủ ệ
2 2 0 1
x y y v y ậ C 1;0(− )