SKKN: Gỡ nút thắt cho các bài toán hình học tọa độ phẳng trong các đề thi THPT Quốc gia và thi HSG môn Toán cấp Tỉnh bậc THPT

Mục tiêu của đề tài là định hướng cho học sinh cách giải bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng từ việc nắm vững và vận dụng linh hoạt các tính chất của hình học phẳng giúp học sinh tư duy lôgic giải nhanh và hiệu quả các đề thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi môn Toán bậc THPT. Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các tính chất hình học phẳng để tìm tòi lời giải bài toán hình học toạ độ phẳng dựa trên việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán.

S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ  Ở Ụ Ạ

TRƯỜNG THPT QU NG XẢ ƯƠNG III

      SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ

       TÊN Đ  TÀI Ề

G  “NÚT TH T ” CHO BÀI TOÁN HÌNH H C  Ỡ Ắ Ọ

T A Đ   PH NG TRONG CÁC Đ  THI THPT QU C GIA Ọ Ộ Ẳ Ề Ố

 VÀ THI H C SINH GI I TOÁN C P T NH B C THPT Ọ Ỏ Ấ Ỉ Ậ

Người th c hi n:Tr n Văn L cự ệ ầ ự

Ch c v :  T  trứ ụ ổ ưởng chuyên mônSKKN thu c lĩnh m c (môn):  Toánộ ự

       THANH HOÁ, NĂM 2016

b n thân, đ ng nghi p và nhà trả ồ ệ ường

               19   

       PH N III.   K T LU N ­ KI N NGHẦ Ế Ậ Ế Ị

               20   TÀI LI U THAM KH OỆ Ả

               21   

PH N I.  Ầ M  Đ UỞ Ầ

1. Lý do ch n đ  tàiọ ề

Trong chương trình hình h c l p 10 có m t ph n r t quan tr ng c aọ ớ ộ ầ ấ ọ ủ  hình h c ph  thông đó là phọ ổ ương pháp to  đ  trong m t ph ng, đây là ph nạ ộ ặ ẳ ầ  

ti p n i c a hình h c ph ng   c p THCS nh ng đế ố ủ ọ ẳ ở ấ ư ược nhìn dưới quan đi mể  

đ i s  và gi i tích.Do đó trong các đ  thi THPT Qu c gia và thi h c sinh gi iạ ố ả ề ố ọ ỏ  

b c THPT đ u có m t bài toán phân lo i r t khó c a hình h c t a đ  trongậ ề ộ ạ ấ ủ ọ ọ ộ  

m t ph ng nh m khai thác m i liên h  ràng bu c gi a hình h c t a đ  trongặ ẳ ằ ố ệ ộ ữ ọ ọ ộ  

ph ng d a trên b n ch t hình h c ph ng c a bài toán .Đó là tôi nghiên c u đẳ ự ả ấ ọ ẳ ủ ứ ề tài:G  “nút th t” cho các bài toán hình h c t a đ  ph ng trong các đ  thiỡ ắ ọ ọ ộ ẳ ề  THPT Qu c gia và thi HSG môn Toán c p T nh b c THPT.ố ấ ỉ ậ

2 . M c đích nghiên c uụ ứ  

Đ nh hị ướng cho h c sinh cách gi i bài toán hình h c t a đ  trong m tọ ả ọ ọ ộ ặ  

ph ng t  vi c n m v ng và v n d ng linh ho t các tính ch t c a hình h cẳ ừ ệ ắ ữ ậ ụ ạ ấ ủ ọ  

ph ng giúp h c sinh t  duy lôgic gi i nhanh và hi u qu  các đ  thi THPTẳ ọ ư ả ệ ả ề  

Qu c gia và thi h c sinh gi i môn Toán b c THPT. Vi c đ a n i dung nàyố ọ ỏ ậ ệ ư ộ  

nh m khai thác các tính ch t hình h c ph ng đ  tìm tòi l i gi i bài toán hìnhằ ấ ọ ẳ ể ờ ả  

h c to  đ  ph ng d a trên vi c ch  ra b n ch t hình h c ph ng s  b  tr  choọ ạ ộ ẳ ự ệ ỉ ả ấ ọ ẳ ẽ ổ ợ  

gi i toán . Qua đó giúp h c sinh nh n th c đả ọ ậ ứ ượ ằc r ng: “M i bài toán hình h cỗ ọ  

to  đ  trong m t ph ng luôn ch a đ ng m t bài toán hình ph ng tạ ộ ặ ẳ ứ ự ộ ẳ ươ  ngng”giúp h c sinh n m v ng m i liên h  m t thi t gi a hai v n đ  c a b

môn hình h c ph ng. T  đó giúp h c sinh nâng cao t  duy trong vi c phân tíchọ ẳ ừ ọ ư ệ  

b n ch t c a bài toán hình h c ph ng ch a đ ng trong các bài toán hình h cả ấ ủ ọ ẳ ứ ự ọ  

to  đ  trong m t ph ng tạ ộ ặ ẳ ương  ng thông qua 15 tính ch t và 12 bài t p minhứ ấ ậ  

h a .ọ

3. Đ i tố ượng nghiên c uứ

+ Phương pháp gi i bài t p hình h c t a đ  trong m t ph ng thông quaả ậ ọ ọ ộ ặ ẳ  

vi c v n d ng các tính ch t c a hình h c ph ng.ệ ậ ụ ấ ủ ọ ẳ

+Các bài t p hình h c t a đ  trong m t ph ng t  các đ  thi HSG Toánậ ọ ọ ộ ặ ẳ ừ ề  

c p t nh b c THPT và các đ  thi Toán THPT Qu c gia.ấ ỉ ậ ề ố

4. Phương pháp nghiên c uứ

T  vi c trang b  m t s  tính ch t c  b n trong hình h c ph ng gi ngừ ệ ị ộ ố ấ ơ ả ọ ẳ ả  

d y cho h c sinh gi i các bài toán hình h c to  đ  trong m t ph ng, ch  raạ ọ ả ọ ạ ộ ặ ẳ ỉ  

b n ch t và liên h  v i các tính ch t c a hình ph ng tả ấ ệ ớ ấ ủ ẳ ương  ng, t  đó phânứ ừ  tích ngượ ạc l i cho bài toán v a gi i.ừ ả

Trước h t c n chú ý chuy n bài toán to  đ  v  bài toán hình ph ng trênế ầ ể ạ ộ ề ẳ  

c  s  các d  ki n bài toán đã cho.ơ ở ữ ệ

Trang 1

Sau đó ta s  phân tích tính ch t hình h c trên hình ph ng đ  đ nh hẽ ấ ọ ẳ ể ị ướ  ngtìm l i gi i bài toán.ờ ả

  PH N II.   N I DUNG Ầ Ộ

1. C  s  lý lu n c a đ  tài:ơ ở ậ ủ ề

Trong phương pháp d y h c Toán  ạ ọ ch a đ ng nh ng ch c năng khácứ ự ữ ứ  nhau.Nh ng ch c năng đó là:ữ ứ

+Ch c năng d y h c: Bài t p toán nh m cũng c  v n d ng nh ng triứ ạ ọ ậ ằ ố ậ ụ ữ  

th c k  năng k  x o trong quá trình d y h c.ứ ỷ ỷ ả ạ ọ

+Ch c năng giáo d c: Bài t p toán nh m hình thành th  gi i quan duyứ ụ ậ ằ ế ớ  

v t bi n ch ng t o nên h ng thú sáng t o và ni m tin cho ngậ ệ ứ ạ ứ ạ ề ười lao đ ngộ  

m i.ớ

+Ch c năng phát tri n: Bài t p toán nh m phát tri n năng l c t  duyứ ể ậ ằ ể ự ư  

đ c bi t rèn luy n nh ng thao tác trí tu  ,nh ng ph m ch t c a t  duy khoaặ ệ ệ ữ ệ ữ ẩ ấ ủ ư  

h c.ọ

+Ch c năng ki m tra: Bài t p toán nh m đánh giá m c đ  k t qu ,kĩứ ể ậ ằ ứ ộ ế ả  năng đ c l p h c toán,kh  năng ti p thu và v n d ng ki n th c   h c sinh.ộ ậ ọ ả ế ậ ụ ế ứ ở ọ

2 . Th c tr ng v n đ  trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.ụ ế ệ

Trong nh ng năm g n đây bài toán hình h c to  đ  trong m t ph ng tữ ầ ọ ạ ộ ặ ẳ ừ các đ  thi HSG Toán c p t nh b c THPT và các đ  thi Toán THPT Qu c gia làề ấ ỉ ậ ề ố  

m t bài toán mang tính phân lo i cao nên vi c gi i bài toán này r t khó khăn,ộ ạ ệ ả ấ  

h c sinh thọ ường lúng túng và đ t ra câu h i: “ Ph i đ nh hặ ỏ ả ị ướng tìm l i gi iờ ả  bài toán t  đâu ?”. Đa s  h c sinh b  t c khi tìm l i gi i bài toán này vì khôngừ ố ọ ế ắ ờ ả  

n m đắ ược b n ch t trong m i liên h  gi a các tính ch t c a hình h c ph ngả ấ ố ệ ữ ấ ủ ọ ẳ  

và phương pháp t a đ  trong m t ph ng . Trọ ộ ặ ẳ ước th c tr ng đó c a h c sinh,ự ạ ủ ọ  tôi th y c n thi t ph i hình thành cho h c sinh thói quen xem xét bài toán hìnhấ ầ ế ả ọ  

h c to  đ  trong m t ph ng theo các tính ch t c a hình h c ph ng và b nọ ạ ộ ặ ẳ ấ ủ ọ ẳ ả  

ch t hình h c ph ng c a bài toán. ấ ọ ẳ ủ

3. Các sáng ki n kinh nghi m ho c các gi i pháp đã s  d ng đ  gi i ế ệ ặ ả ử ụ ể ả

quy t v n đế ấ ề

Đ  giúp h c sinh đ nh hể ọ ị ướng t t h n trong quá trình gi i toán hình h cố ơ ả ọ  

to  đ  trong m t ph ng, giáo viên c n t o cho h c sinh thói quen xem xét bàiạ ộ ặ ẳ ầ ạ ọ  toán dưới nhi u góc đ , khai thác các y u t  đ c tr ng liên h  các tính ch tề ộ ế ố ặ ư ệ ấ  

c a hình h c ph ng . Trong đó vi c hình thành cho h c sinh kh  năng t  duyủ ọ ẳ ệ ọ ả ư  theo các ki n th c hình h c ph ng là m t đi u c n thi t. Vi c tr i nghi mế ứ ọ ẳ ộ ề ầ ế ệ ả ệ  qua quá trình gi i toán s  giúp h c sinh hoàn thi n k  năng đ nh hả ẽ ọ ệ ỹ ị ướng và 

gi i toán.  ả

Th c hi n theo các bự ệ ước sau:

1. T  ch c cho h c sinh hình thành k  năng gi i toán thông qua m tổ ứ ọ ỹ ả ộ  (hay nhi u) bu i h c có s  hề ổ ọ ự ướng d n c a giáo viênẫ ủ

Trang 2

2. T  ch c rèn luy n kh  năng đ nh hổ ứ ệ ả ị ướng gi i toán c a h c sinh.ả ủ ọ  Trong đó yêu c u kh  năng l a ch n l i gi i ng n g n trên c  s  phân tíchầ ả ự ọ ờ ả ắ ọ ơ ở  bài toán hình h c ph ng tọ ẳ ương  ng.ứ

3. T  ch c ki m tra đ  thu th p thông tin v  kh  năng n m v ng ki nổ ứ ể ể ậ ề ả ắ ữ ế  

th c c a h c sinh.ứ ủ ọ

4. Trong m i bài toán hình h c to  đ  trong m t ph ng đ u yêu c uỗ ọ ạ ộ ặ ẳ ề ầ  

h c sinh th c hi n phân tích b n ch t hình h c ph ng cũng nh  đ a ra cácọ ự ệ ả ấ ọ ẳ ư ư  

hướng khai thác m  r ng cho bài toán. ở ộ

5. Cung c p h  th ng các bài t p m  r ng đ  h c sinh t  rèn luy n.ấ ệ ố ậ ở ộ ể ọ ự ệ

4.  N i dung đ  tàiộ ề

a) Các tính ch t quen thu c c a hình h c ph ng: ấ ộ ủ ọ ẳ

Tính ch t 1ấ : Cho  ABC∆  có 3 đường cao AA’, BB’, CC’ đ ng quy t i H.ồ ạ  

G i M, N, P là trung đi m c a 3 c nh BC, CA, AB và E, F, D là trung đi mọ ể ủ ạ ể  

B B'

C C'

P PNên đường tròn (ABC)thành đường tròn 

đi qua A’, B’, C’, M, N, P, E, F, D .Hay 9 

đi m A’, B’, C’, M, N, P, E, F, D cùngể  thu c độ ường tròn

Tính ch t 2:ấ  Cho  ABC∆  vuông t i A, đạ ường cao AH. G i P, Q l n lọ ầ ượt là trung đi m c a các đo n th ng BH, AH ể ủ ạ ẳ �AP CQ⊥

E H

B' C'

A'

N P

M B

A

C

Q

P H B

+ Ta có PQ là đường trung bình c a ủ ∆AHB

H là tâm đường tròn n i ti p ộ ế ∆DEF

Tính ch t 4: ấ Cho  ABC∆  cân t i A n i ti p đạ ộ ế ường tròn tâm I, G là tr ng tâmọ  ABC

∆  G i D là trung đi m AB, E là tr ng tâm  ọ ể ọ ∆ADC I là tr c tâmự  DEG

F

A

Tính đ  dài ME, DE, DM theo c nh a c a hìnhộ ạ ủ  

vuông ta ch ng minh đứ ược các ý còn l i.ạ

Tính ch t 6: ấ Cho hình ch  nh t ABCD có AB = 2AD, M là m t đi m trênữ ậ ộ ể  

AB sao cho AB = 4.AM �DM AC⊥ N u  N ,K ,P là trung đi m AB, HCế ể  ,DH�KN DK⊥

Tính ch t 7: ấ Trong 1 hình thang cân có 2 đường chéo AD và BD vuông góc thì đ  dài độ ường cao b ng đ  dài đằ ộ ường trung bình EF  và IA = AB

H ướ ng d n ch ng minh: ẫ ứ

+ NM = NI + IM

+ Do ABCD là hình thang cân, AC ⊥BD

t i I ạ �∆AIB, BIC∆  vuông cân  IN, IM là các 

đường cao tương  ng đ ng th i là trung tuy n.ứ ồ ờ ế

Tính ch t 8:ấ  Cho  ABC∆  n i ti p độ ế ường tròn (O), BH và CK là 2 đường cao 

c a ủ ∆ABC c t nhau t i I, G i M và N là trung đi m  AI và BCắ ạ ọ ể

AO KH, MN KH⊥ ⊥

�

Ch ng minh: ứ

+ K  ti p tuy n Axẻ ế ế

  xAC ABCﾵ ﾵ sdACﾵ

2

�

+ Mà ABC AHKﾵ =ﾵ (do t  giác KHCBứ  

n i ti p)  ộ ế �xAC AHKﾵ =ﾵ , mà 2 góc 

này   v  trí so le trong ở ị Ax HKP .

+   L i   có   Axạ ⊥AO   (do   Ax   là   ti pế  

tuy n) ế AO⊥HK

Tính ch t 9: ấ Cho  ABC∆  n i ti p độ ế ường tròn (O), H là tr c tâm, AH c t (O)ự ắ  

t i H’. G i I là tâm đạ ọ ường tròn ngo i ti p  ạ ế ∆HBC O và I ,H và H’ đ iố  

x ng nhau qua BC.ứ

Hai đường tròn (0) và (I) có cùng bán kính

Trang 6

H K

D D

I N

Ch ng minh:   ứ    Tam giác HCH’ cân t i C doạ  

BC v a là phân giác v a là đừ ừ ường cao nên H 

và H’ đ i x ng nhau qua BCố ứ

T  giác ACH’B n i ti p đứ ộ ế ường tròn (O)  O 

đ ng   th i   là   tâm   đồ ờ ường   tròn   ngo i   ti pạ ế  BH'C

  Mà   H   và   H’   đ i   x ng   nhau   qua   BCố ứ  HBC

Tính ch t 10: ấ (Đ ườ ng  th ng   – le)  ẳ Ơ Cho   ABC∆  n i ti p độ ế ường tròn (O),

  g i H, G, O l n lọ ầ ượt là tr c tâm, tr ng tâm,   tâm đự ọ ường tròn ngo i ti pạ ế  ABC

∆ , OA c t (O) t i A’ thì BHCA’ là hình bình hành, G cũng là tr ng tâmắ ạ ọ  tam giác AHA’ và:

1.  AH 2.OMuuur= uuuur , OH OA OB OCuuur uuur uuur uuur= + +   

2.  OH 3.OGuuur= uuur,3 đi m O, G, H th ng hàng ể ẳ

Ch ng minh: ứ

1. T  giác ứ BHCA có các c p c nh đ i đôiặ ạ ố  

m t vuông góc  ộ nên  BHCA’ là hình bình 

hành  suy ra OM là đường trung bình c aủ  

tam giác AA’H v y ậ AH 2.OMuuur= uuuur

uuur uuuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur

Trang 7

A'

G H

M

H O

C A

V y 3 đi m O, G, H th ng hàng.ậ ể ẳ ( Cùng thu c đ ộ ườ ng  th ng   – le)  ẳ Ơ

Tính ch t 11:ấ  Cho  ABC∆  g i O và I l n lọ ầ ượt là tâm đường tròn ngo i ti p,ạ ế  tâm đường tròn n i ti p ộ ế ∆ABC, AI c t đắ ường tròn (O) t i D thì OD vuôngạ  góc v i BC và tam giác BDI cânớ DB = DI = DC

G i E  là giao c a AI v i BC và F đ i x ng v i I qua D thì F là tâm đọ ủ ớ ố ứ ớ ườ  ngtròn bàng ti p góc A và BD là ti p tuy n c a đế ế ế ủ ường tròn ngo i ti p tam giácạ ế  ABE

  Ch ng minh: ứ      Do D là đi m chính gi a cungể ữ  

Tính ch t 12: ấ  Cho  ABC∆  n i ti p độ ế ường tròn (O). G i D, E là giao đi mọ ể  

c a đủ ường tròn (O) v i các đớ ường cao qua A và C  OB là trung tr c c aự ủ  ED

và OE =OD (Bán kính đường tròn tâm O) 

A

11

B

Tính ch t 13.ấ  Cho tam giác ABC cân t i A có M là trung đi m BC. G i H là ạ ể ọhình chi u c a M lên AC và K là trung đi m MH. Ch ng minh r ngế ủ ể ứ ằ  

Do đó:  EOI� =�FOI. V y tam giác OEFậ  

có OI v a là phân giác v a là đừ ừ ường cao nên nó là tam giác cân. Suy ra IE = IF

Trang 9

K

T F E

N P

Tính ch t 15. ấ  Cho tam giác ABC nh n, đọ ường cao BD, CE c t nhau   H (Dắ ở  thu c AC; E thu c AB). L y I là trung đi m BC. Qua H k  độ ộ ấ ể ẻ ường th ng ẳvuông góc v i HI c t AB, AC   M, N. Ch ng minh HM = HN.ớ ắ ở ứ

H

I

b) Các nhóm gi i pháp th c hi n ả ự ệ  :

1­Nhóm các bài toán v  tam giác và đ ề ườ ng tròn  :

Bài 1: Trong m t ph ng to  đ  Oxy, cho tam giác ABC nh n; có các đ ngặ ẳ ạ ộ ọ ườ  cao AD, BE, CF đ ng quy   H(3;­1). Bi t đồ ở ế ường th ng (d): 7x+y+15=0 điẳ  qua trung đi m M c a BC, phể ủ ương trình đường tròn đi qua ba đi m D, E, Fể  

là x2 +y2 −3x y 10 0+ − =  Tìm to  đ  các đi m M và D.(ạ ộ ể Đ  thi th  THPT ề ử  

Qu c gia c a Tr ố ủ ườ ng Lam s n  2016) ơ

H ướ ng d n gi i: ẫ ả   Theo tính ch t 1:ấ

M

� � đường tròn (DFE)

M DFE d+ ���  To  đ  M tho  mãn:ạ ộ ả

x y 3x y 10 0

y 17x y 15 0

= −+ − + − =

      V y M(­2;­1) ậ

+ HM =5, trung đi m c a HM là K(1/2;­1)ể ủ  nên phương trình đường tròn (K) có đườ  ngkính   HM   là   (K):

+ N u Dế M �∆ABC cân t i A ạ  tâm c a đủ ường tròn (DEF) là I 3; 1

2 2

� − �

� � 

và M(­2;­1); H(3;­1) ph i th ng hàng, đi u này không xãy ra. ả ẳ ề V y D(­1;­3).ậ

Bài 2: Cho  ABC∆  n i ti p độ ế ường tròn tâm O(0;0). G i M(­1;0), N(1;1) l nọ ầ  

lượt là các chân đường vuông góc k  t  B, C c a ẻ ừ ủ ∆ABC. Tìm t a đ  cácọ ộ  

đ nh A, B, C c a ỉ ủ ∆ABC, bi t đi m A n m trên đế ể ằ ường th ng ẳ ∆ có phươ  ngtrình: 3x + y – 1 = 0

Trang 11

1 1

H ướ ng d n gi i :  ẫ ả Theo tính ch t 8ấ

Ta có  A� �∆ A(a;1 3a)− , 

Bài t p 4ậ : Trong m t ph ng v i h  to  đ  ặ ẳ ớ ệ ạ ộ Oxy cho tam giác ABC cóA( )1;4 , 

ti p tuy n t i  ế ế ạ A  c a đủ ường tròn ngo i ti p tam giác  ạ ế ABC  c t  ắ BC  t i  ạ D  , 

Trang 12

3x + y ­1 =0

x

M(­1;0) N(1;1)

C

O(0;0) B

A

H

M

D C

I B

A

đường phân giác trong c a  ủ ﾵADBcó phương trình  x y− + = 2 0  , đi m  ể M(− 4;1) thu c c nh ộ ạ AC. Vi t phế ương trình đường th ng ẳ AB.

Hướng d nẫ : 

G i AI là phan giác trong ọ

c a ủ ﾵBAC

Ta có : ﾵAID ABC BAI= ﾵ + ﾵ

      IAD CAD CAIﾵ = ﾵ + ﾵ

Mà BAI CAIﾵ = ﾵ ,ﾵABC CAD= ﾵ

 nên ﾵAID IAD= ﾵ

 ∆DAI cân t i D ạ DE⊥AI   PT đường th ng AI làẳ  : x y+ − = 5 0

Go     M’   là   đi m   đ i   x ng   c a   M   qua   AI  ị ể ố ứ ủ   PT   đường   th ng   MM’   :ẳ  

V y PT đậ ường th ng AB là: ẳ 5(x− − 1 3) (y− = 4) 0 � 5x− 3y+ = 7 0

Bài 5:  ABC∆  cân t i A, g i D là trung đi m c a AB, D có tung đ  dạ ọ ể ủ ộ ương, 

Trang 13

I

E G

H

K D

∆ , đi m D(7;­2) là đi m n m trên đo n MC sao cho GA = GD. Tìmể ể ằ ạ  

t a đ  đi m A, bi t hoành đ  c a A nh  h n 4 và AG có phọ ộ ể ế ộ ủ ỏ ơ ương trình 3x – 

y – 13 = 0

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

 Ta có kho ng cách:      d(D;AG)=ả10

g i   N   là   trung   đi m   AB,   doọ ể  ABC

∆   vuông   cân   t i   A   nênạ  BMA

Bài 7: Trong m t ph ng v i h  tr c to  đ  Oxy, cho hình vuông ABCD v iặ ẳ ớ ệ ụ ạ ộ ớ  

M, N l n lầ ượt là trung đi m cua đoan  AB và BC. G i H là chân để ̉ ̣ ọ ường cao 

Theo tính ch t 2 ta có DH vuông góc v i HNấ ớ

G i D(m;m­4) S  d ng đi u ki nọ ử ụ ề ệ  :

Hướng d n gi iẫ ả : 

G i K là trung đi m c a HD. ọ ể ủTheo tính chât 3, ta có AK KM⊥  

mà BPKM là hình bình hành nên KM song song BP �AK KM⊥

Phương trình đường th ng KM: đi qua ẳ M 9;3

2

� �

� �

� � và vuông góc v i AK:ớ  4x y 4 0+ − = nên MK có phương trình:x 4y 15 0

Bài 9: Trong m t ph ng v i h  to  đ  Oxy cho hình vuông ABCD và đi m Eặ ẳ ớ ệ ạ ộ ể  thu c c nh BC. Độ ạ ường th ng đi qua A, vuông góc v i AE, c t CD t i F.ẳ ớ ắ ạ  

Trang 15

B

K

M H

C D

A

H M

Đường th ng ch a trung tuy n AM c a ẳ ứ ế ủ AEF c t CD t i K. Tìm t a đ  đi mắ ạ ọ ộ ể  

) 2 ( )

12

; 5

6 ( 5

Bài 10:  Trong m t ph ng v i h  t a đ  ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho hình thang ABCD vuông t iạ  

A và D(2; 2), c nh ạ CD = 2AB. G i  ọ H là hình chi u c a ế ủ D lên c nh ạ AC và M là 

trung đi m ể HC. Bi t r ng phế ằ ương trình đường th ng ẳ DH: 2x + y – 6 = 0 và 

đường th ng ẳ BM: 4x + 7y – 61 = 0. Tìm t a đ  các đ nh ọ ộ ỉ A, B, C c a hình thangủ  

ABCD

Hướng d nẫ : 

Trang 16

G i K là trung đi m DH ọ ể  KM là đường trung bình trong  CHD 

 Ta có H = AC   DH   t a đ  H(; ). Do M là trung đi m HC ọ ộ ể  C(8; 8)

AD qua D(2; 2) nh n  = (6; 6) làm vect  pháp tuy n có d ngậ ơ ế ạ

 6(x ­ 2) + 6(y ­ 2) = 0  (AD): x + y ­ 4 = 0. Tương t A = AD ự  AC   A(0; 4)

L i có,  =  ạ     B(3; 7)  

Trang 17

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

G i AN c t BD t i Họ ắ ạ

T  đó suy ra tam giác AHM vuôngừ  cân t i H .Do Aạ AN A(a;2a­3) .  

AH=d(M;AN)= 3 5

2 .

V y  A(1;­1) ho c  A(4;5).ậ ặ

Bài 12: (KA­2013) Cho hình ch  nh t ABCD có M đ i x ng v i B qua C. ữ ậ ố ứ ớ

Đi m N(5;­4) là hình chi u vuông góc c a B trên DM. Đi m C n m trênể ế ủ ể ằ  

đường th ng 2x+y+5=0, A(­4;8). Tìm t a đ  c a B và C.ẳ ọ ộ ủ

c a N qua AC  ủ   BN:   x­3y­17=0 suy ra : B(­4;­7)

N(5;­4)

M C

A(­4;8)

D

B