Mục đích nghiên cứu của đề tài với mong muốn giúp học sinh: Khắc phục được những yếu điểm đã nêu ở trên, từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để giải toán, cũng như nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc nhận dạng và phương pháp giải các bài toán thích hợp. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
Trang 1PH N 1: M Đ UẦ Ở Ầ
1.1. Lý do ch n đ tàiọ ề
Trong chương trình Hình h c 12, bài toán vi t phọ ế ương trình đường th ngẳ trong không gian là bài toán hay và không quá khó. Đ làm t t bài toán này đòiể ố
h i h c sinh ph i n m v ng ki n th c hình h c không gian, m i quan hỏ ọ ả ắ ữ ế ứ ọ ố ệ
gi a đữ ường th ng, m t ph ng. Là d ng toán luôn có m t trong các đ thi t tẳ ặ ẳ ạ ặ ề ố nghi p THPT và thi vào Cao đ ng, Đ i h c nên yêu c u h c sinh ph i làm t tệ ẳ ạ ọ ầ ọ ả ố
được d ng toán này là h t s c c n thi t.ạ ế ứ ầ ế
Do đó trong quá trình d y h c đòi h i đ i ngũ các th y cô giáo ph i tíchạ ọ ỏ ộ ầ ả
c c h c t p, không ng ng nâng cao năng l c chuyên môn, đ i m i phự ọ ậ ừ ự ổ ớ ươ ngpháp d y h c theo hạ ọ ướng phát huy tích c c, t giác, ch đ ng và sáng t o c aự ự ủ ộ ạ ủ
h c sinh, b i dọ ồ ưỡng kh năng t h c, kh năng v n d ng ki n th c vào th cả ự ọ ả ậ ụ ế ứ ự
t , đem l i s say mê, h ng thú h c t p cho h c sinh.ế ạ ự ứ ọ ậ ọ
Trong quá trình gi ng d y tôi th y h c sinh còn g p nhi u lúng túngả ạ ấ ọ ặ ề trong vi c gi i quy t m t bài toán hình h c t a đ nói chung, có th có r tệ ả ế ộ ọ ọ ộ ể ấ nhi u nguyên nhân d n đ n tình tr ng nói trên, nh ng theo tôi, nguyên nhânề ẫ ế ạ ư
ch y u là khi h c hình h c to đ , h c sinh ch “gi i hình h c b ng đ i s ”ủ ế ọ ọ ạ ộ ọ ỉ ả ọ ằ ạ ố
mà không đ ý đ n các tính ch t hình h c.ể ế ấ ọ
Các phương pháp gi i còn mang tính ch t ch quan, r i r c, g p bài toánả ấ ủ ờ ạ ặ nào thì ch chú tr ng tìm cách gi i cho riêng bài toán đó mà không có m t cáchỉ ọ ả ộ nhìn t ng quát. Chính vì v y d n đ n tình tr ng các em b lúng túng trổ ậ ẫ ế ạ ị ước các câu h i m c dù các câu h i đó ch xoay quanh m t v n đ : ỏ ặ ỏ ỉ ộ ấ ề Vi t phế ương trình
đường th ng trong không gian.ẳ
V i vai trò là m t giáo viên d y Toán và qua nhi u năm gi ng d y, đớ ộ ạ ề ả ạ ể trao đ i cùng các th y cô đ ng nghi p v i mong mu n tìm ra hổ ầ ồ ệ ớ ố ướng gi iả quy t đ n gi n nh t cho m t bài toán, làm cho h c sinh nh đế ơ ả ấ ộ ọ ớ ược ki n th cế ứ
V i ý tớ ưởng trên, tôi đã phân ra các d ng bài t p vi t phạ ậ ế ương trình
đường th ng t d đ n khó đ h c sinh ti p c n m t cách đ n gi n, d nhẳ ừ ễ ế ể ọ ế ậ ộ ơ ả ễ ớ
và t ng bừ ước giúp h c sinh hình thành t duy t h c, t gi i quy t v n đ ọ ư ự ọ ự ả ế ấ ề Ngoài ra, giúp cho các em làm t t các bài thi t t nghi p cũng nh thi vào cácố ố ệ ư
trường Cao đ ng và Đ i h c.ẳ ạ ọ
Trang 21. 2. M c đích nghiên c uụ ứ
M c đích nghiên c u c a đ tài v i mong mu n giúp h c sinh:ụ ứ ủ ề ớ ố ọ
+ Kh c ph c đắ ụ ược nh ng y u đi m đã nêu trên, t đó đ t đữ ế ể ở ừ ạ ược k tế
qu cao khi gi i bài toán nói riêng và đ t k t qu cao trong quá trình h c t pả ả ạ ế ả ọ ậ nói chung
+ Tìm được m t phộ ương pháp t i u nh t đ gi i toán, cũng nh nângố ư ấ ể ả ư cao thêm v m t ki n th c, k năng, k x o trong vi c nh n d ng và phề ặ ế ứ ỹ ỹ ả ệ ậ ạ ươ ngpháp gi i các bài toán thích h p. T đó phát huy, kh i d y, s d ng hi u quả ợ ừ ơ ậ ử ụ ệ ả
ki n th c v n có c a h c sinh, gây h ng thú h c t p cho các em.ế ứ ố ủ ọ ứ ọ ậ
1. 3. Đ i tố ượng nghiên c u.ứ
Các d ng toán vi t phạ ế ương trình c a đủ ường th ng và phẳ ương pháp
gi ng d y toán ả ạ
H c sinh l p 12A1, 12A2 Trọ ớ ường THPT Tô Hi n Thành TP Thanhế Hóa năm h c: 2015 2016.ọ
1. 4. Phương pháp nghiên c u:ứ
Phương pháp nghiên c u lý lu n: Nghiên c u sách giáo khoa, sách bàiứ ậ ứ
t p, sách tài li u tham kh o và các đ thi ậ ệ ả ề
Phương pháp đi u tra th c ti n : D gi , quan sát vi c d y và h c ph nề ự ễ ự ờ ệ ạ ọ ầ bài t p nàyậ
Phương pháp th c nghi m s ph m ự ệ ư ạ
Phương pháp th ng kêố
Trang 3PH N 2: N I DUNGẦ Ộ
2.1. C s lý lu nơ ở ậ
Ki n th c c b nế ứ ơ ả : Trong chương trỡnh Sỏch giỏo khoa Hỡnh H c L p 12ọ ớ Chu n thỡ ẩ phương trình c aủ đường th ng trong khụng gian cú hai d ng đúẳ ạ
là: Ph ươ ng trỡnh tham s ố và ph ươ ng trỡnh chớnh t c ắ
Để viết phương trình c a ủ đường th ng trong khụng gian ẳ cần phải xác định hai yếu tố:
+ Một điểm mà đường th ng ẳ đi qua.
+ Một véc tơ ch phỉ ương c a đủ ường th ng.ẳ
Khi đú, n u đế ường th ng ẳ đi qua điểm M x0 ;y0 ;z0 và nhận véc tơ
bt y y
at x x
0 0
y y a
2. N u ế ( )cú phương trỡnh: Ax By Cz D 0thỡ vộc t phỏp tuy n c a ơ ế ủ ( )
là n A;B;C
3. N uế ( )đi qua đi m ể M x0;y0;z0 và nh n ậ n A;B;C là vộc t phỏp tuy n ơ ế thỡ phương trỡnh c aủ ( ) là : A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0
4. N uế ( )ch a hay song song v i giỏ c a hai vect khụng cựng phứ ớ ủ ơ ươ ng
;b a b a b a b a b a b a b a
; 2 (x A x B y A y B z A z B
I
Chỳ ý: Trên cơ sở kiến thức hình học không gian lớp 11, có các cách xác
định đường thẳng như sau:
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phõn biệt cho trước
- Có một và chỉ một đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
Trang 4Ngoài ra còn rất nhiều cách xác định đường th ngẳ khác nữa.
2.2. Th c tr ng c a v n đ trự ạ ủ ấ ề ước khi ỏp d ng sỏng ki n kinh nghi mụ ế ệ
Nh v y đ vi t phư ậ ể ế ương trỡnh c a đủ ường th ng trong khụng gian (cẳ ụ
th là phể ương trỡnh tham s ho c phố ặ ương trỡnh chớnh t c) ta c n ph i xỏcắ ầ ả
đ nh hai đ i lị ạ ượng:
+) Đi m mà để ường th ng đi qua.ẳ
+) Vộct ch phơ ỉ ương c a đủ ường th ng.ẳ
Nh ng khụng ph i trong m i trư ả ọ ường h p, ta đ u cú th tỡm đợ ề ể ược m tộ cỏch d dàng hai đ i lễ ạ ượng núi trờn, và cũng nh nhi u v n đ khỏc c a toỏnư ề ấ ề ủ
ư Cỏc đ i lạ ượng đ gi i quy t bài toỏn thỡ đ bài cho s n, d ng toỏn nàyể ả ế ề ẵ ạ
ch y u đ h c sinh c ng c cụng th c.ủ ế ể ọ ủ ố ứ
ư D ng ạ tường minh theo tụi đú là: Vi t phế ương trỡnh tham s (ho cố ặ chớnh t c) c a đắ ủ ường th ng bi t:ẳ ế
1) Đường th ng đi qua hai đi m.ẳ ể
2) Đường th ng đi qua m t đi m và cú vộct ch phẳ ộ ể ơ ỉ ương
D ng khụng ạ
t ườ ng minh :
ư Cỏc đ i lạ ượng đ gi i quy t bài toỏn thỡ đ bài khụng cho s n mà để ả ế ề ẵ ượ c
n d i m t s đi u ki n nh t đ nh nào đú
Bài toỏn 1: Vi t phế ương trỡnh đường th ng trong khụng gian bi t m tẳ ế ộ
đi m mà để ường th ng đi qua. ẳ
+ bài toỏn này: đ bài ch cho bi t m t đi m đi qua, khụng cho tr cỞ ề ỉ ế ộ ể ự
ti p phế ương c a đủ ường th ng.ẳ
+ Yờu c u ph i xỏc đ nh phầ ả ị ương c a đủ ường th ng d a vào cỏc đi u ki nẳ ự ề ệ
c a bài toỏn.ủ
Trang 5Bài toán 2: Vi t phế ương trình đường th ng th a mãn m t s đi u ki n ẳ ỏ ộ ố ề ệ
- Cã mét vµ chØ mét đường thẳng ®i qua hai ®iÓm phân biệt cho trước
- Cã mét vµ chØ mét đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
T đó, tôi hừ ướng cho h c sinh gi i quy t bài toán vi t phọ ả ế ế ương trình
đường th ng trong không gian theo hai cách sau:ẳ
Cách 1: Tìm hai đi m mà để ường th ng đi qua.ẳ
Cách 2: Xác đ nh hai m t ph ng cùng ch a đị ặ ẳ ứ ường th ng c n tìmẳ ầ
M t v n đ đ t ra đây là: Phộ ấ ề ặ ở ương trình d ng t ng quát c a đạ ổ ủ ườ ng
th ng không đẳ ược trình bày trong sách giáo khoa, v y n u h c sinh v n đậ ế ọ ẫ ể
dướ ại d ng t ng quát thì có đổ ược ch p nh n hay không? n u không đấ ậ ế ược ch pấ
phương là tích có hướng c a hai véc t pháp tuy n c a hai m t ph ng đó: ủ ơ ế ủ ặ ẳ
Trang 6( )
u∆ = ��n nα β��= −
uur uur uur
V y ậ ∆ có phương trình d ng tham s :ạ ố 1 32 3 ( )
2. 3. Các gi i pháp đã th c hi n đ gi i quy t v n đ ả ự ệ ể ả ế ấ ề
Trên c s các ki n th c c b n v hình h c gi i tích đã đơ ở ế ứ ơ ả ề ọ ả ược trình bày trong sách giáo khoa Hình h c 12. Ki n th c c b n v đọ ế ứ ơ ả ề ường th ng trongẳ không gian l p 11. Tôi xin đớ ược trình bày n i dung đ tài dộ ề ưới hai d ng bạ ài toán c b nơ ả mà phương pháp gi i đả ược rút ra t ừ hai phương pháp c b n ơ ả nêu trên
a. Bài toán 1: Vi t phế ương trình đường th ng trong không gian bi t m tẳ ế ộ
đi m mà để ường th ng đi quaẳ
+) Đi m đi qua đã cho trong đ bài.ể ề
+) Phương c a đủ ường th ng xác đ nh thông qua các đ i lẳ ị ạ ượng, các m iố quan h trong bài toán.ệ
Ví d 1ụ : Trong không gian t a đ Oxyz. Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua ọ ộ ế ươ ườ ẳ
đi mể A(− 2;1;3) c t c hai đắ ả ường th ng ẳ 1
+) Đi m đi qua c a để ủ ường th ng c n tìm : ẳ ầ A(− 2;1;3)
+) Đường th ng ẳ ∆ 1 đi qua đi m ể M(1;2; 1 − ) và có véct ch phơ ỉ ương uur1(1; 1;1 − ). +) Đường th ng ẳ ∆ 2 đi qua đi m ể N(− 2;3; 1 − ) và có véct ch phơ ỉ ươ ng
Trang 72) C n xác đ nh véct ch phầ ị ơ ỉ ương c a đủ ường th ng ẳ ∆.
Cách gi i:ả
Cách 1: Xác đ nh hai đi m mà đị ể ường th ng đi qua.ẳ
+) Đường th ng ẳ ∆ c t đắ ường th ng ẳ ∆ 1 t i P.ạ
+) Đường th ng ẳ ∆ c t đắ ường th ng ẳ ∆ 2 t i Q.ạ
V y đậ ường th ng ẳ ∆ chính là đường th ng PQ. ẳ
Gi iả : G i P là giao đi m c a ọ ể ủ ∆ và ∆ 1, ta có P� � ∆ 1 P(1 ;2 ; 1 +t − − +t t)
G i Q là giao đi m c a ọ ể ủ ∆ và ∆ 2, ta có Q� � ∆ 2 Q(− − 2 t';3 2 '; 1 + t − +t')
Ta có: QA tuuur( '; 2 2 ';4 − − t −t') , PAuuur(− − − + 3 ; 1 ;4t t −t)
M t khác ba đi m P, A, Q cùng thu c đặ ể ộ ường th ng ẳ ∆ nên th ng hàng do đó ẳ
2 ' 15
Cách 2: Xác đ nh hai m t ph ng cùng ch a đị ặ ẳ ứ ường th ng c n tìmẳ ầ
+) Đường th ng ẳ ∆ c t đắ ường th ng ẳ ∆ 1 nên xác đ nh m t m t ph ng ị ộ ặ ẳ ( )α .
+) Đường th ng ẳ ∆ c t đắ ường th ng ẳ ∆ 2 nên xác đ nh m t m t ph ng ị ộ ặ ẳ ( )β .
V y đậ ường th ng ẳ ∆ là giao c a hai m t ph ng ủ ặ ẳ ( )α và ( )β .
Gi iả : G i ọ ( )α là m t ph ng xác đ nh b i hai đặ ẳ ị ở ường th ng c t nhau ẳ ắ ∆ và ∆ 1.Khi đó ( )α có hai véc t ch phơ ỉ ương là: uuuurAM(3;1; 4 − ) và uur1(1; 1;1 − )
suy ra véc t pháp tuy n c a ơ ế ủ ( )α : nuurα =��uuuur urAM u; 1��= − − −( 3; 7; 4)
G i ọ ( )β là m t ph ng xác đ nh b i hai đặ ẳ ị ở ường th ng c t nhau ẳ ắ ∆ và ∆ 2. Khi đó
( )β có hai véc t ch phơ ỉ ương là uuurAN(0;2; 4 − ) và uuur2(− 1;2;1)
AP
Trang 8véc t pháp tuy n c a ơ ế ủ ( ): nuurβ = ��uuur uurAN u; 2 ��=(10;4;2)
véc t ch phơ ỉ ương c a ủ ∆ là: ur= ��n nuur uurα; β��=(2; 34;58 − )
phương trình
2 : 1 17
+) Đi m đi qua c a để ủ ường th ng c n tìm : ẳ ầ A(1;2;3)
+) Đường th ng ẳ d1 đi qua đi mể M(6;1;4) và có véct ch phơ ỉ ương uur1(− 2;4; 1 − )
+) Đường th ng ẳ d2 đi qua đi mể N(1; 2;3 − ) và có véct ch phơ ỉ ương uuur2(2;1; 1 − )
+) Quan h : Đệ ường th ng ẳ ∆ c tắ d2, đường th ng ẳ ∆ vuông góc v i ớ d1(có thể
c t ho c không c t).ắ ặ ắ
2) C n xác đ nh véct ch phầ ị ơ ỉ ương c a đủ ường th ng ẳ ∆
T m i quan h ta có th có hai hừ ố ệ ể ướng gi i quy t sau (kả ế hông th d a vàoể ự
đi u ki n ề ệ ∆ c t ắ d1vì m i quan h này không ch c ch n x y ra).ố ệ ắ ắ ả
Cách gi i:ả
Cách 1: Xác đ nh hai đi m mà đị ể ường th ng đi qua.ẳ
+) Đường th ng ẳ ∆ c t đắ ường th ng ẳ d2 t i ạ P
+) Đường th ng ẳ ∆ vuông góc v i ớ d1 nên uuurAP u⊥ur1 �uuur urAP u 1 = 0
Suy ra đường th ng ẳ ∆ chính là đường th ng ẳ PA
Gi iả : G i giao c a đ ng th ng ọ ủ ườ ẳ ∆ v i ớ d2 là P ta có P d2
Trang 9Cách 2: Xác đ nh hai m t ph ng cùng ch a đị ặ ẳ ứ ường th ng c n tìmẳ ầ
+) Đường th ng ẳ ∆ c t đắ ường th ng ẳ d2 nên xác đ nh m t m t ph ng ị ộ ặ ẳ ( )α .
+) Đường th ng ẳ ∆ vuông góc v i ớ d1 nên xác đ nh m t m t ph ng ị ộ ặ ẳ ( )β qua A
và vuông góc v i ớ d1. V y đậ ường th ng ẳ ∆ là giao c a hai m t ph ng ủ ặ ẳ ( )α và
Vì ∆ là giao c a ủ ( )α và ( )β nên có véc t ch phơ ỉ ương: ur=��n nuur uurα, β��=(8;3; 4 − )
Phương trình c a đủ ường th ng ẳ : 1 82 3 ( )
+) Đi m đi qua c a để ủ ường th ng c n tìm : ẳ ầ A(3; 2; 1 − − )
+) Đường th ng ẳ d đi qua đi mể M(3;4; 1 − ) và có véct ch phơ ỉ ươ ng
; 5 4
; 3
Trang 10Suy ra đường th ng ẳ ∆ chính là đường th ng ẳ PA.
Cách 2: Xác đ nh hai m t ph ng cùng ch a đị ặ ẳ ứ ường th ng c n tìmẳ ầ
+) Đường th ng ẳ ∆ c t đắ ường th ng ẳ dnên xác đ nh m t m t ph ng ị ộ ặ ẳ ( )α .
+) Đường th ng ẳ ∆ vuông góc v i ớ dnên xác đ nh m t m t ph ng ị ộ ặ ẳ ( )β qua
A và vuông góc v i ớ d V y đậ ường th ng ẳ ∆ là giao c a hai m t ph ng ủ ặ ẳ ( )α và
( )β .
Gi iả : Ta có: uuuurAM(0;6;0) , g i ọ ( )α là m t ph ng qua A và ch a d ặ ẳ ứ
( )α có véc t pháp tuy n làơ ế : nuurα = ��uuuur rAM u, ��=(12;0; 6 − )
G i ọ ( )β là m t ph ng qua A và vuông góc v i d ặ ẳ ớ
( )β có véc t pháp tuy n làơ ế : nuur rβ =u(1; 5;2 − )
V y đậ ường th ng c n tìm có ch phẳ ầ ỉ ương: uur1 = ��n nuur uurα; β��= −( 30; 30; 60 − − )
Phương trình c a đủ ường th ng ẳ : 3 2 1
x− y+ z+
Nh n xétậ : Qua các ví d trên cho th y, m i bài toán không ph i ch cóụ ấ ỗ ả ỉ
m t cách gi i mà trong t ng trộ ả ừ ường h p c th , h c sinh có th đ nhợ ụ ể ọ ể ị
hướng cho mình nhi u cách gi i khác nhau, phù h p v i đ c đi m c aề ả ợ ớ ặ ể ủ bài toán đó.
b Bài toán 2: Vi t phế ương trình đường th ng th a mãn m t s đi uẳ ỏ ộ ố ề
ki n cho trệ ước
+ Đi m mà để ường th ng đi qua ẳ
+ Phương c a đủ ường th ng ẳ
Đ u đề ược xác đ nh thông qua các đ i lị ạ ượng cho trước và các m i quan hố ệ hình h c.ọ
Ví d 1ụ : Trong không gian t a đ Oxyz. Vi t ph ng trình c a đ ng th ng ọ ộ ế ươ ủ ườ ẳ ∆
bi t nó vuông góc v i m t ph ng (P) : ế ớ ặ ẳ x y z+ − − =4 0 và c t c hai đắ ả ườ ng
th ng chéo nhau ẳ 1
2 : 3
Trang 11Phân tích bài toán: Đ bài đã cho các đ i l ng nào, c n xác đ nh đ i l ngề ạ ượ ầ ị ạ ượ nào?
1) Đ cho: ề
+) M t ph ng (P) có véct pháp tuy n ặ ẳ ơ ế nuurP(1;1; 1 − )
+) Đường th ng ẳ ∆ 1 đi qua M1(− 1;1; 2 − ) có ch phỉ ương uur1(2;3;1)
+) Đường th ng ẳ ∆ 2 đi qua M2(2;1;0) có ch phỉ ương uur1(3; 1;1 − )
+) Quan h : Đệ ường th ng ẳ ∆ ⊥( )P Đường th ng ẳ ∆ c t c ắ ả ∆ 1 và ∆ 2
2) C n xác đ nh đi m đi qua và véct ch phầ ị ể ơ ỉ ương c a đủ ường th ng ẳ ∆.Cách gi i:ả
Cách 1: Xác đ nh hai đi m mà đị ể ường th ng đi qua.ẳ
Gi iả : G i M, N l n lọ ầ ượt là giao đi m c a để ủ ường th ng ẳ v i hai đớ ườ ng
Cách 2: Xác đ nh hai m t ph ng cùng ch a đị ặ ẳ ứ ường th ng c n tìmẳ ầ
Gi iả : G i ọ ( )α là m t ph ng ch a ặ ẳ ứ ∆ 1 và vuông góc v i (P)ớ
Theo bài ra ta có véc t pháp tuy n c a ơ ế ủ ( )α là: nuurα =��n uuur urP, 1��=(4; 3;1 − )
( )α có phương trình 4x− 3y z+ + = 9 0
G i ọ ( )β là m t ph ng ch a ặ ẳ ứ ∆ 2 và vuông góc v i (P)ớ
Theo bài ra ta có véc t pháp tuy n c a ơ ế ủ ( )β là:
nuur= �n uuur uur, � =(0; 4; 4 − − )
Trang 12d − = − = − Vi t phế ương trình tham s c a đố ủ ườ ng
th ng ẳ ∆ n m trong (ằ P), c t và vuông góc v i d.ắ ớ
Phân tích bài toán: Đ bài đã cho các đ i l ng nào, c n xác đ nh đ i l ngề ạ ượ ầ ị ạ ượ nào?
1) Đ cho: ề
+) M t ph ng (P) có véct pháp tuy n ặ ẳ ơ ế nuurP(1;3; 5 − )
+) Đường th ng ẳ d đi qua M(2;1;7) và có ch phỉ ương uuurd(1;2;1)
+) Quan h : Đệ ường th ng ẳ ∆ ( )P Đường th ng ẳ ∆ c t c ắ ả d và d ⊥ ∆. 2) C n xác đ nh đi m đi qua và véct ch phầ ị ể ơ ỉ ương c a đủ ường th ng ẳ ∆.Cách gi i:ả
Cách 1: Xác đ nh hai đi m mà đị ể ường th ng đi qua.ẳ
Gi iả : G i ọ M(x;y;z) là đi m thu c để ộ ường th ng ẳ ∆. Vì đường th ng ẳ ∆ c t ắ d
và n m trong m t ph ng (P) nên đi qua giao đi m c a ằ ặ ẳ ể ủ d và (P). T a đ giaoọ ộ
đi m là nghi m c a h :ể ệ ủ ệ
Trang 13Đ t ặ z t= phương trình tham s c a đố ủ ường th ng:ẳ
Cách 2: Xác đ nh hai m t ph ng cùng ch a đị ặ ẳ ứ ường th ng c n tìmẳ ầ
G i ýợ : Trong cách 2 đ ng th ng ườ ẳ ∆ chính là giao tuy n c a m t ph ng (ế ủ ặ ẳ α)
v i m t ph ng (P) trong đó (ớ ặ ẳ α) ch a d và vuông góc v i (P). ứ ớ
Ví d 3ụ : Trong không gian t a đ Oxyz cho đ ng th ng ọ ộ ườ ẳ = += +
= − +
x 2 4t d: y 3 2t
+) Đường th ng ẳ d đi qua M( 2 ; 3 ; 3 ) và có véc t ch phơ ỉ ương ur(4;2;1)
+) Quan h : Đệ ường th ng ẳ ∆ ( )P Đường th ng ẳ ∆/ /d
2) C n xác đ nh đi m đi qua và véct ch phầ ị ể ơ ỉ ương c a đủ ường th ng ẳ ∆
Cách gi i:ả
Cách 1: Xác đ nh đi m mà đị ể ường th ng đi qua.ẳ
Gi iả : Đường th ng ẳ ∆ có cùng ch phỉ ương ur(4;2;1) v i ớ d . G i ọ A x y z( 0 ; ; 0 0) là hình chi u c a ế ủ M trên đường th ng ẳ ∆ suy ra:
AM AM