Mục tiêu của đề tài là cung cấp cho học sinh một số kinh nghiệm và kỹ năng cơ bản để học sinh có thể khai thác giả thiết của các bài toán khó về tọa độ trong mặt phẳng. Đồng thời hình thành cho các em thói quen tìm tòi tích lũy và rèn luyện tư duy sáng tạo.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ Ở Ụ Ạ
TRƯỜNG THPT QU NG XẢ ƯƠNG 3
o0o
SÁNG KI N KINH NGHI MẾ Ệ
Trang 25. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáoệ ả ủ ế ệ ố ớ ạ ộ
d c, v i b n thân, đ ng nghi p và nhà trụ ớ ả ồ ệ ường
Trang 3A. PH N M Đ UẦ Ở Ầ
1. Lý do ch n đ tàiọ ề
Trong chương trình toán h c ph thông, các bài toán v t a đ và ngọ ổ ề ọ ộ ứ
d ng c a nó gi m t v trí quan tr ng, nó xu t hi n h u h t trong các k thiụ ủ ữ ộ ị ọ ấ ệ ầ ế ỳ tuy n sinh các c p, k thi ch n h c sinh gi i toán c p t nh, c p Qu c Gia…ể ấ ỳ ọ ọ ỏ ấ ỉ ấ ố
và thường xu t hi n dấ ệ ướ ại d ng là m t trong các bài toán khó trong đ Đi uộ ề ề
t t nhiên khi g p nh ng bài toán này, h c sinh ph i m t r t nhi u th i gian,ấ ặ ữ ọ ả ấ ấ ề ờ công s c đ gi i quy t nó.ứ ể ả ế
Trong nh ng năm g n đây, nữ ầ ước ta th c hi n kì thi THPT Qu c gia.ự ệ ố
Nh ng h c sinh s d ng k t qu thi THPT Qu c gia môn Toán đ xét tuy nữ ọ ử ụ ế ả ố ể ể sinh Đ i h c Cao đ ng c n ph i làm đạ ọ ẳ ầ ả ược câu t a đ trong m t ph ng. Đâyọ ộ ặ ẳ
là m t câu h i tộ ỏ ương đ i khó. Đ gi i đố ể ả ược câu h i này đòi h i h c sinhỏ ỏ ọ ngoài vi c h c t t phệ ọ ố ương pháp t a đ trong m t ph ng còn ph i có kinhọ ộ ặ ẳ ả nghi m và phệ ương pháp tìm tòi sáng t o. B n thân tôi là m t giáo viên nhi uạ ả ộ ề năm d y các l p mũi nh n, đ i tạ ớ ọ ố ượng h c sinh ch y u là h c sinh khá, gi i.ọ ủ ế ọ ỏ Nhi m v tr ng tâm là giúp các em ệ ụ ọ hi u và v n d ng ể ậ ụ t t các ki n th c cố ế ứ ơ
b n vào gi i bài t p, có đ kh năng đ tham gia các k thi ch n h c sinhả ả ậ ủ ả ể ỳ ọ ọ
gi i môn Toán cũng nh đ t đi m cao trong kì thi THPT Qu c gia.ỏ ư ạ ể ố
T th c ti n gi ng d y và kinh nghi m b i dừ ự ễ ả ạ ệ ồ ưỡng h c sinh ôn thi đ iọ ạ
h c nhi u năm, cùng v i s tích lũy ki n th c trong quá trình gi ng d y. Tôiọ ề ớ ự ế ứ ả ạ
đã t ng h p, khai thác nhi u chuyên đ v t a đ trong m t ph ng. Trongổ ợ ề ề ề ọ ộ ặ ẳ SKKN này tôi xin chia s t i đ ng nghi p, cùng các b n yêu thích môn toánẻ ớ ồ ệ ạ
m t kinh nghi m nh đ gi i bài toán: ộ ệ ỏ ể ả ‘‘Kinh nghi m hệ ướng d n h c sinhẫ ọ khai thác y u t kho ng cách đ gi i bài toán t a đ trong m t ph ng”ế ố ả ể ả ọ ộ ặ ẳ
2. M c đích nghiên c u:ụ ứ
Qua n i dung đ tài này, tôi mong mu n cung c p cho h c sinh m t sộ ề ố ấ ọ ộ ố kinh nghi m và k năng c b n đ h c sinh có th khai thác gi thi t c a cácệ ỹ ơ ả ể ọ ể ả ế ủ bài toán khó v t a đ trong m t ph ng. Đ ng th i hình thành cho các em thóiề ọ ộ ặ ẳ ồ ờ quen tìm tòi tích lũy và rèn luy n t duy sáng t o.ệ ư ạ
3. Đ i tố ượng và ph m vi nghiên c u: ạ ứ
Trang 4Các v n đ đấ ề ược nêu trong SKKN này ch y u là hủ ế ướng đ n vi c khaiế ệ thác m t l p bài toán có gi thi t liên quan đ n y u t kho ng cách.ộ ớ ả ế ế ế ố ả
Các n i dung này đã độ ược b n thân th c nghi m nhi u năm qua các đ iả ự ệ ề ố
tượng h c sinh. Và đ t hi u qu cao trong gi ng d y. ọ ạ ệ ả ả ạ
4. Phương pháp nghiên c u.ứ
Trong ph m vi c a đ tài, tôi đã s d ng k t h p các phạ ủ ề ử ụ ế ợ ương pháp
nh : phư ương pháp phân tích – t ng h p đánh giá; phổ ợ ương pháp v n đáp g iấ ợ
m , nêu ví d ; phở ụ ương pháp di n gi i và n t s phễ ả ộ ố ương pháp khác
B. N I DUNGỘ
I. C S LÝ LU N C A V N ĐƠ Ở Ậ Ủ Ấ Ề
V n đ tôi đ a ra đấ ề ư ược d a trên c s hai bài toán v kho ng cáchự ơ ở ề ả trong hình h c t a đ trong m t ph ng mà h c sinh đã đọ ọ ộ ặ ẳ ọ ược h c l p 10:ọ ở ớ
Kho ng cách gi a hai di m và kho ng cách t đi m đ n đ ả ữ ể ả ừ ể ế ườ ng th ng ẳ
Bài toán kho ng cách có m t trong nhi u bài khác nhau nh : l pả ặ ề ư ậ
phương trình đường th ng; tìm t a đ đi m, l p phẳ ọ ộ ể ậ ương trình đường tròn, bài toán t p h p đi m trong h t a đ Đ các vuông góc Oxy. ậ ợ ể ệ ọ ộ ề
Vì v y, vi c v n d ng các k năng v kho ng cách là c n thi t đ i v iậ ệ ậ ụ ỹ ề ả ầ ế ố ớ
vi c gi i bài toán v t a đ trong m t ph ng.ệ ả ề ọ ộ ặ ẳ
II. TH C TR NG C A V N Đ NGHIÊN C UỰ Ạ Ủ Ấ Ề Ứ
Trong các k thi, luôn có bài toán t a đ trong m t ph ng, đây là v n đỳ ọ ộ ắ ẳ ấ ề
mà các đ ng nghi p cũng đã t n nhi u công s c đ tìm tòi hồ ệ ố ề ứ ể ướng gi i quy tả ế
và vân d ng. Th c t gi ng d y, khi d y ph n này các th y cô ch y u t pụ ự ế ả ạ ạ ầ ầ ủ ế ậ trung truy n th cho h c sinh n i dung phề ụ ọ ộ ương pháp t a đ là chính, nh ngọ ộ ư khi tham gia gi i các đ thi thì nhi u h c sinh v n không gi i đả ề ề ọ ẫ ả ược bài này.
Vì th nhi m v c a th y cô giúp h c sinh kh c ph c đi m y u này.ế ệ ụ ủ ầ ọ ắ ụ ể ế
T a đ trong m t ph ng là m t n i dung ki n th c quan tr ng c aọ ộ ặ ẳ ộ ộ ế ứ ọ ủ
chương trình Toán l p 10 tuy nhiên có nhi u h c sinh khi h c l p 10 r tớ ề ọ ọ ở ớ ấ
y u trong vi c t duy v n d ng các ki n th c m i trong m i liên h gi a cácế ệ ư ậ ụ ế ứ ớ ố ệ ữ
n i dung ki n th c c a toán THPT. Đ c bi t trong các k thi c p qu c giaộ ế ứ ủ ặ ệ ỳ ấ ố chúng ta thường th y càng g n đây có càng nhi u nh ng câu h i mà h c sinhấ ầ ề ữ ỏ ọ
thường ph i v n d ng t duy t ng h p Đây là các bài toán gây khó khăn vàả ậ ụ ư ổ ợ
b t c cho không ít h c sinh do đó đ tài này góp ph n giúp h c sinh gế ắ ọ ề ầ ọ ỡ
nh ng vữ ướng m c trong khi tìm tòi l i gi i bài toán hình t a đ ph ng trongắ ờ ả ọ ộ ẳ
k thi h c sinh gi i c p t nh và thi THPT qu c gia.ỳ ọ ỏ ấ ỉ ố
N i dung c a SKKN này đáp ng gi i quy t m t ph n nh trong c uộ ủ ứ ả ế ộ ầ ỏ ấ trúc đ thi.ề
III. CÁC GI I PHÁP ĐÃ S D NG Đ GI I QUY T V NẢ Ử Ụ Ể Ả Ế Ấ
Trang 5Khi d y ph n này cho h c sinh, tôi thạ ầ ọ ường đ nh hị ướng rèn luy n choệ
h c sinh k năng xem xét bài toán dọ ỹ ưới nhi u góc đ , khai thác các y u t đãề ộ ế ố
bi t c a bài toán, k t h p t duy hình h c ph ng.ế ủ ế ợ ư ọ ẳ
Vi c gi i các bài toán t m c đ d đ n m c đ khó s giúp h c sinhệ ả ừ ứ ộ ễ ế ứ ộ ẽ ọ hoàn thi n k năng tìm tòi l i gi i và hoàn thi n l i gi i c a bài toán.ệ ỹ ờ ả ệ ờ ả ủ
Tôi đã hình thành cho h c sinh các k năng gi i toán sau:ọ ỹ ả
1. K năng nh n d ng và phân lo i bài t p thông qua các d u hi u cóỹ ậ ạ ạ ậ ấ ệ
s n trong bài toán.ẵ
2. K năng d đoán đ đ nh hỹ ự ể ị ướng l i gi i c a h c sinh. ờ ả ủ ọ
3. K năng l a ch n l i gi i ng n g n trên c s đã đ nh hỹ ự ọ ờ ả ắ ọ ơ ở ị ướng dduocj cách gi i.ả
Thông qua bài ki m tra đ đánh giá m c đ ti p thu và kh năng n mể ể ứ ộ ế ả ắ
ki n th c c a h c sinh.ế ứ ủ ọ
IV. PH N N I DUNG:Ầ Ộ
Ki n th c chu n b :ế ứ ẩ ị
Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy ặ ẳ ớ ệ ọ ộ
Cho đi m ể A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ), khi đó kho ng cáchả
Bài toán 1. L p ph ng trình đ ng th ng ậ ươ ườ ẳ đi qua đi m ể A x y( A; A) cho
tr ướ c và cách đi m ể B x y( B; B) c đ nh m t kho ng d không đ i ố ị ộ ả ổ
a. Phương pháp gi i:ả
G i ọ n a br( ); (đi u ki n ề ệ a2 +b2 0) là véc t pháp tuy n (VTPT) c aơ ế ủ
đường th ngẳ ta có phươ trình c n l p: ng ầ ậ a x x( − A) (+b y y− A)= 0
phương trình đ ng c p b c hai hai n ẳ ấ ậ ẩ a và b.
Trang 6 Gi i phả ương trình này ta tìm đượ b theo a ho c ngc ặ ượ ạ ừc l i; t đó chỉ
ra được VTPT c a ủ và l p đậ ược phương trình
b. Các ví dụ:
Ví d 1:ụ Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy. L p ậ phươ trình đng ườ ng
th ng qua ẳ P(2; 5) sao cho kho ng cách t ả ừ Q(5; 1) đ n đế ường th ng đóẳ
b a b
Ví d 2:ụ Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho A(1; 1) và B(2; 3). L pậ
phương trình đường th ng ẳ ( ) cách A m t kho ng b ng ộ ả ằ 1 và cách B
Trang 79
2 2
Bài 1.1. Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho các đường th ng ẳ a:
3x+ 4y+ = 5 0 và b: 4x− 3y+ = 1 0. Tìm phương trình các đường phân giác
c a góc sinh b i ủ ở a, b.
Nh n xét: ậ
Ở ậ b c h c THCS h c sinh đã đ ọ ọ ượ c h c khái ni m đ ọ ệ ườ ng phân giác
c a góc ủ
Vân d ng ki n th c v kho ng cách t đi m đ n đ ụ ế ứ ề ả ừ ể ế ườ ng th ng, ta có ẳ
l i gi i nh sau: ờ ả ư
Tìm tòi h ướ ng gi i: ả
Ta có C thu c ộ đã bi t phế ương trình
do đó ta bi u di n ể ễ C qua tham s ố t.
Đường th ng ẳ AB l p đậ ược phươ ng
trình
Trang 8 S d ng công th c tính kho ng cách t đi m đ n đử ụ ứ ả ừ ể ế ường th ng ta nh nẳ ậ
Chú ý: Bài 1.1 có th phát bi u cách khác: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(4; ể ể
3) và C thu c đ ộ ườ ng th ng ẳ x – 2y – 1 = 0 sao cho ABC có di n tích b ng ệ ằ
15. Tìm t a đ đi m C ọ ộ ể
Bài 1.3. (Đ kh o sát THPT QG t nh Thanh Hóa năm 2016) ề ả ỉ Trong m tặ
ph ng v i h t a đ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tâm I(2 3 2 ; 5
), BC = 2AB, góc ﾷBAD= 600. Đi m đ i x ng v i ể ố ứ ớ A qua B là E( 2;9) −
L p phậ ương trình c nh ạ AB bi t r ng ế ằ A có hoành đ âm.ộ
Tìm tòi h ướ ng gi i: ả
Bài toán đã cho đi m ể I và E nên ta có đ dàiộ
IE.
Đường th ng ẳ AB qua đi m ể E đã bi t, t đóế ừ
ta nghĩ đ n vi c xác đ nh kho ng cách t ế ệ ị ả ừ I
đ n ế AB.
Ph i chăng ả B là hình chi u vuông góc c a Iế ủ
lên AB?
Ta s d ng gi thi t “ử ụ ả ế BC = 2AB, góc ﾷBAD
= 60 0” đ ch ng minh đi u nh n đ nh trên.ể ứ ề ậ ị
Nh vây ta s d ng ư ử ụ Bài toán 1 đ gi i ti p.ể ả ế
I
D C
Trang 9+) V i ớ b = 0, ch n ọ a = 1, khi đó AB có phương trình x 2 0, suy ra IB có
phương trình y 5 0. Do B AB IBnên B( 2 ; 5 ), mà B là trung đi m c a ể ủ AE
nên A( 2 ; 1 )(th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ x A 0)
Do I là trung đi m c a ể ủ AC và BD nên ta suy ra C(4 3 2;9), (4 3 2;5) − D −
+) V i ớ b 4 3a, ch n a = 1 ọ b 4 3, phương trình AB: x 4 3y 2 36 3 0,suy ra phương trình IB: 4 3 (x 2 3 2 ) (y 5 ) 0 4 3x y 8 3 19 0
Do B AB IBnên ;597
7
14 3 16
B , mà B là trung đi m c a ể ủ AE nên
A (không th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ x A 0)
V y ậ phương trình AB là: x 2 0
Bài toán 2: L p ậ ph ươ trình đ ng ườ ng th ng ẳ vuông góc v i đ ớ ườ ng th ng ẳ
d: ax by c+ + = 0 cho tr ướ c và cách đi m ể A x y( 0 ; o) cho tr ướ c m t ộ kho ng không đ i ả ổ
a. Phương pháp gi i:ả
T gi thi t “ừ ả ế đ ườ ng th ng ẳ vuông góc v i đ ớ ườ ng th ng d cho tr ẳ ướ ” c
ta có phương trình t ng quát c a ổ ủ : bx ay m− + = 0
S d ng công th c kho ng cách t đi m đ n đử ụ ứ ả ừ ể ế ường th ng ta thi t l pẳ ế ậ
được phương trình tìm h s t do ệ ố ự m.
b. Ví dụ:
Ví d 1:ụ Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy. L p phậ ương trình đường th ng ẳvuông góc v i đớ ường th ng ẳ d: 4x− 3y= 0 và cách đi m ể A(1; 1) m tộ kho ng b ng ả ằ 5.
Gi i:ả
Trang 10vuông góc v i đớ ường th ng ẳ d: 4x− 3y= 0 nên có phương trình: 3x+ 4y m+ = 0
m
= + =
= − +) V i ớ m = 18 ta có phương trình: 3x+ 4y+ = 18 0
+) V i ớ m = 32 ta có phương trình: 3x+ 4y− 32 0 =
V y có hai phậ ương trình: 3x+ 4y+ = 18 0 ho c ặ 3x+ 4y− 32 0 =
D uấ “=” khi AB = AC=4. Khi đó d là ti p tuy n c a (C).ế ế ủ
Gi s ả ử n a br( ); là VTPT c a đủ ường th ng ẳ d, khi đó phương trình c a ủ d:
C B
A(1; 3)
Trang 11Chú ý: Đ i v i bài toán này tr c khi b t tay vào gi i, ta ph i ki m tra xem A ố ớ ướ ắ ả ả ể
trong hay ngoài đ ng tròn đ áp d ng công th c ph ng tích c a
đi m đ i v i đ ể ố ớ ườ ng tròn.
Bài 2.2. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy Cho hình thang vuông ABCD
vuông ở A và D, đáy l n ớ AB, ﾷABC= 45 0, c nh ạ AD và AC l n lầ ượt có
phương trình là: 3x y− = 0 và x− 2y= 0. Vi t phế ương trình c nh ạ BC bi tế hình thang có di n tích b ng ệ ằ 15 và đi m ể C có tung đ dộ ương
=
G i ọ E là hình chi u vuông góc c a ế ủ C lên AB, góc ﾷABC= 45 0 nên EC = EB.
AD và AC có VTPT l n lầ ượt là: nur1(3; 1 − ) nuur2(1; 2 − ).
BC vuông góc v i ớ AC: x− 2y= 0 nên có phương trình: 2x y m+ + = 0
A cách BC m t kho ng ộ ả 10 2 2 5= , nên ta có: 2.0 02 2 2 5 10
Trang 12+) V i ớ m = 10 ta có t a đ ọ ộ C là nghi m c a h : ệ ủ ệ 2 0 4
Bài toán 3. Tìm t a đ đi m M thu c đ ng th ng d đã bi t ph ng trình ọ ộ ể ộ ườ ẳ ế ươ
và cách đi m A cho tr ể ướ c m t kho ng không đ i r ộ ả ổ
a. Phương pháp gi i:ả
Ta có th gi i quy t bài toán này theo hai h ể ả ế ướ ng sau:
Ví d 1:ụ Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy cho đường th ng ẳ : x− 2y− = 1 0 và
đi m ể A(1; 5). Tìm đi m ể M trên đường th ng ẳ sao cho AM = 5.
Trang 13M cách A m t kho ng b ng 5 nên ộ ả ằ M thu c độ ường tròn tâm A bán kính R = 5.
Phương trình đường tròn tâm A bán kính R = 5:
x y y y
M trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính g p đôi bán kính đấ ườ ng
tròn (C), ti p xúc ngoài v i đế ớ ường tròn (C).
Tìm tòi h ướ ng gi i: ả
xy+3=0
A
M(?;?) I(1;1)
Trang 14= −
V i ớ m = 1 ta đ ượ M(1; 4).c
V i ớ m = 2 ta đ ượ M(2; 1).c
c. M t s bài t p m r ng.ộ ố ậ ở ộ
Bài 3.1. (TSĐH Kh i A năm 2011) ố Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy, cho
đường th ng ẳ : x y+ + = 2 0 và đường tròn (C): x2 +y2 − 4x− 2y= 0. G i ọ I
là tâm c a đủ ường tròn (C), M là đi m thu c ể ộ . Qua M k các ti p tuy nẻ ế ế
MA, MB đ n đế ường tròn (C) (A, B là các ti p đi m). Tìm t a đ ế ể ọ ộ M bi tế
t giác ứ MAIB có di n tích b ng ệ ằ 10.
Tìm tòi h ướ ng gi i: ả
T gi thi t ta có:ừ ả ế
Đi m M thu c để ộ ường th ng ẳ :
= −
V i ớ m = 2 ta có M(2; 4).
V i ớ m = 3 ta có M(3; 1).
B x+y+2=0 A
M(?;?) I(2;1)
Trang 15Bài 3.2. Trong h t a đ ệ ọ ộ Oxy,cho hình thoi ABCD c nhạ ACcó ph ng trìnhươ là: x 7 y 31 0 , hai đ nh ỉ B D, l n l t thu c các đ ng th ngầ ượ ộ ườ ẳ
d x y+ − = d x2: − 2y+ = 3 0. Tìm t a đ các đ nh c a hình thoi bi tọ ộ ỉ ủ ế
r ng di n tích hình thoi b ng 75 và đ nh ằ ệ ằ ỉ A có hoành đ âm.ộ
Tìm tòi h ướ ng gi i: ả
Di n tích hình thoi b ng n a tích hai đệ ằ ử ường chéo, do đó đ khai thác bàiể toán thì ta ph i tìm b ng đả ằ ược các đường chéo c a hình thoi.ủ
Đường chéo AC đã bi t phế ương trình nên ta đ a ra hư ướng gi i quy t là điả ế
tìm D và B v i các gi thi t: ớ ả ế “hai đ nh ỉ B D, l n l t thu c các đ ng th ng ầ ượ ộ ườ ẳ
Trang 16Bài 3.3. Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Đi m Mể (0; )1
3 thu c độ ường th ng ẳ AB, đi m ể N(0; 7)
thu c độ ường th ng ẳ CD. Tìm t a đ đ nh ọ ộ ỉ B bi t ế B có hoành đ dộ ương
Tìm tòi h ướ ng gi i: ả
T yêu c u bài toánừ ầ : tìm t a đ đi m ọ ộ ể B, ta nghĩ đ n vi c xác đ nh kho ngế ệ ị ả cách IB
T gi thi t ừ ả ế AC = 2BD AI = 2IB. vì th ta c n tính đế ầ ược kho ng cách tả ừ
I đ n ế AB d n đ n vi c: ph i l p đẫ ế ệ ả ậ ược phương trình AB.
Phương trình đường th ng AB: 4x + 3y – 1 = 0ẳ
Kho ng cách t I đ n đả ừ ế ường th ng AB: ẳ
I
B N' M
Trang 17Trong ph n này, chúng ta s đi xét m t s bài toán xu t hi n trong các ầ ẽ ộ ố ấ ệ
đ thi mà đ gi i đ ề ể ả ượ c, chúng ta ph i s d ng ki n th c t ng h p đ liên h ả ử ụ ế ứ ổ ợ ể ệ
gi a y u t kho ng cách v i các y u t khác; t đó tìm ra đ ữ ế ố ả ớ ế ố ừ ượ ờ c l i gi i ả
Bài 4.1. (Đ thi HSG l p 10 ề ớ THPT Qu ng X ả ươ ng 3 – Năm 2016) Trong
m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ Oxy cho hình ch nh t ABCD có E(2; 1), F l n lữ ậ ầ ượ tthu c các c nh CD, AD sao cho: AD = 3DF; DC = 4CE và tam giác BEFộ ạ vuông E. Tìm t a đ đi m B, bi t đở ọ ộ ể ế ường th ng BF có phẳ ương trình:
3 9 0
x− y− = và đi m B có hoành đ dể ộ ương
Tìm tòi h ướ ng gi i: ả
Gi thi t c a bài toán: đã choả ế ủ
đi m ể E và đường th ng ẳ BF suy
ra ta tính được kho ng cách Tả ừ
V y ta xét các y u t liên quan trong tam giác ậ ế ố BEF v i gi thi t ớ ả ế “E, F
l n l ầ ượ t thu c các c nh CD, AD sao cho: AD = 3DF; DC = 4CE và tam ộ ạ giác BEF vuông E” ở đ tìm ra m i liên h ể ố ệ
T đó ta nhìn th y ừ ấ Bài toán 3.
DEF CEB
DEF CBE CBE CEB
suy ra: DFE = CEB.
Suy ra BFE vuông cân đ nh ỉ E.
G i ọ H là hình chi u vuông góc c a ế ủ E lên BF, ta có: EB EH= 2
L i có: ạ
( )2 2
2 3.1 9 10
10 10
= −
= − , so v i đi u ki n: ớ ề ệ t = 1, suy ra B(6; 1).