SKKN: Phương pháp kết hợp dồn biến và đạo hàm tìm GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến trong luyện thi THPTQG và bồi dưỡng HSG tại trường THPT Lê Lai

Mục tiêu của đề tài là Giúp học sinh (đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi) ôn thi THPTQG, luyện thi HSG môn Toán có một phương pháp hữu hiệu, một cách tiếp cận gần gũi, tự nhiên với các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến. Giúp cho các bạn đồng nghiệp có thêm nguồn tài liệu phục vụ công tác luyện thi THPTQG và bồi dưỡng học sinh giỏi. Giúp bản thân tự học nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ.

8 minP Giá tr  nh  nh t c a bi u th c Pị ỏ ấ ủ ể ứ

9 maxP Giá tr  l n nh t c a bi u th c Pị ớ ấ ủ ể ứ

1. M  đ uở ầ

­ Lí do ch n đ  tài.ọ ề

Trong chương trình toán THPT, bài toán tìm giá tr  l n nh t, giá tr  nhị ớ ấ ị ỏ 

nh t (GTLN, GTNN) c a hàm s  có m t vai trò h t s c quan tr ng. Nóấ ủ ố ộ ế ứ ọ  

thường xuyên được v n d ng đ  gi i quy t nhi u bài toán thu c nh ng lĩnhậ ụ ể ả ế ề ộ ữ  

v c khác nhau nh : Gi i tích, Đ i s , Hình h c,  Đ c bi t là phự ư ả ạ ố ọ ặ ệ ương pháp tìm GTLN, GTNN b ng công c  đ o hàm (Gi i tích 12) thì cách v n d ngằ ụ ạ ả ậ ụ  

th t là đ n gi n, hi u qu ậ ơ ả ệ ả

Nh ng năm g n đây, trong các k  thi HSG c p t nh, k  thi ĐH­CĐữ ầ ỳ ấ ỉ ỳ  (trước năm 2015) và nay là k  thi THPTQG. Bài toán tìm GTLN, GTNN c aỳ ủ  

bi u th c nhi u bi n xu t hi n ngày càng nhi u (v i hể ứ ề ế ấ ệ ề ớ ướng gi i ch  đ o làả ủ ạ  

d n bi n và s  d ng đ o hàm) nh  là m t th  thách l n nh t cu i cùng dànhồ ế ử ụ ạ ư ộ ử ớ ấ ố  cho nh ng thí sinh mu n chinh ph c đi m 10 môn Toán. Nh ng có v  thữ ố ụ ể ư ẻ ử thách này là m t “ng n núi” quá l n đ  vộ ọ ớ ể ượt qua ? Ch  có m t s  r t ít thíỉ ộ ố ấ  sinh làm được. Nguyên nhân ch  y u là do các em không có đ nh hủ ế ị ướng gi i,ả  

ho c không xác đ nh đặ ị ược cách d n bi n h p lí.ồ ế ợ

Vì tính thi t th c, nhi u giáo viên cũng  không có h ng thú ôn luy nế ự ề ứ ệ  

ph n này (tr  khi có trong tay nh ng h c trò th t s  xu t s c). Lâu d n thànhầ ừ ữ ọ ậ ự ấ ắ ầ  

m t s  m c đ nh c a nhi u h c sinh (và c  giáo viên): Câu l y đi m 10 ch  làộ ự ặ ị ủ ề ọ ả ấ ể ỉ  câu cho 

“đ p đ i hình”, ch  ch ng m y ai quan tâm đ n nó c ! Chính vì v y cácẹ ộ ứ ẳ ấ ế ả ậ  SKKN vi t v  ph n này cũng ch a nhi u.ế ề ầ ư ề

V i h c sinh thì các em có quy n l a ch n ôn thi ch  c n đ t đ n baoớ ọ ề ự ọ ỉ ầ ạ ế  nhiêu đi m. Nh ng v i kinh nghi m c a m t giáo viên nhi u năm luy n thiể ư ớ ệ ủ ộ ề ệ  ĐH­ CĐ, b i dồ ưỡng HSG c a nhà trủ ường (liên t c t  năm h c 2009­2010 đ nụ ừ ọ ế  nay). Trên quan đi m “bi t mể ế ườ ại d y m t”, “m i th y cô giáo là m t t mộ ỗ ầ ộ ấ  

gương v  tinh th n t  h c và sáng t o”, tôi t  nh  dù khó đ n m y cũng ph iề ầ ự ọ ạ ự ủ ế ấ ả  quy t tâm tìm cho đế ược m t hộ ướng ti p c n kh  thi nh t. Có th  có nh ngế ậ ả ấ ể ữ  

“ng n núi” mình không vọ ượt qua được nh ng đi u quan tr ng h n là mìnhư ề ọ ơ  

ph i vả ượt qua được chính b n thân mình. ả

V i nh ng lí do đó, tôi vi t SKKN v i đ  tài: ớ ữ ế ớ ề “Ph ươ ng pháp k t h p ế ợ  

mu n có th  truy n thêm ng n l a ham mê khám phá khoa h c, đ ng th iố ể ề ọ ử ọ ồ ờ  giúp các em h c sinh luy n thi THPTQG, luy n thi HSG c p t nh   trọ ệ ệ ấ ỉ ở ườ  ngTHPT Lê Lai có được m t cách nhìn m i, m t cách ti p c n m i đ i v i bàiộ ớ ộ ế ậ ớ ố ớ  toán này

­ M c đích nghiên c u.ụ ứ

+ Giúp h c sinh (đ c bi t là các em h c sinh khá, gi i) ôn thi THPTQG,ọ ặ ệ ọ ỏ  luy n thi HSG môn Toán có m t phệ ộ ương pháp h u hi u, m t cách ti p c nữ ệ ộ ế ậ  

g n gũi, t  nhiên v i các bài toán tìm GTLN, GTNN c a bi u th c nhi uầ ự ớ ủ ể ứ ề  

bi n,ế

+ Giúp cho các b n đ ng nghi p có thêm ngu n tài li u ph c v  côngạ ồ ệ ồ ệ ụ ụ  tác luy n thi THPTQG và b i dệ ồ ưỡng h c sinh gi i,ọ ỏ

+ Giúp b n thân t  h c nâng cao trình đ  chuyên môn, nghi p v ả ự ọ ộ ệ ụ

­ Đ i tố ượng nghiên c u.ứ

SKKN t p trung nghiên c u m t s  phậ ứ ộ ố ương pháp d n bi n c  b n đồ ế ơ ả ể 

đ a m t bi u th c nhi u bi n (ch  y u là 2 đ n 3 bi n) v  hàm m t bi n.ư ộ ể ứ ề ế ủ ế ế ế ề ộ ế  Sau đó s  d ng công c  đ o hàm đ  kh o sát hàm m t bi n này tìm GTLN,ử ụ ụ ạ ể ả ộ ế  GTNN. Các bài toán trong sáng ki n này cũng ch  t p trung   m c đ  các bàiế ỉ ậ ở ứ ộ  trong đ  thi ĐH­CĐ (trề ước đây), đ  thi THPTQG hi n nay và đ  thi HSG c pề ệ ề ấ  

t nh.ỉ

­ Phương pháp nghiên c u.ứ

M t s  phộ ố ương pháp chính đượ ử ục s  d ng trong SKKN này là:

+ Phương pháp đi u tra kh o sát th c t , ề ả ự ế

+ Phương pháp thu th p thông tin, ậ

+ Phương pháp th ng kê, x  lý s  li u,ố ử ố ệ

+ Phương pháp th c nghi m, đ i ch ng.ự ệ ố ứ

2. N i dungộ

2.1. C  s  lí lu nơ ở ậ

Phương pháp k t h p d n bi n và đ o hàm tìm GTLN, GTNN c a bi uế ợ ồ ế ạ ủ ể  

th c nhi u bi n (3 bi n) có th  mô t  b i bài toán sau:ứ ề ế ế ể ả ở

2.1.1 Bài toán: Cho ba s  th c ố ự x y z, ,  thõa mãn đi u ki n: ề ệ F x y z( , , ) 0 =  (ho cặ  

­ Tìm đi u ki n chính xác c a t ề ệ ủ

( , , )

P x y z → ( ) f t , v i đi u ki n t ớ ề ệ

2.1.2 Phương pháp tìm GTLN, GTNN c a hàm m t bi n s ủ ộ ế ố

2.1.2.1 Quy t c tìm GTLN, GTNN c a hàm s   ắ ủ ố y= f x( ) liên t c trên  ụ [ ; ]a b

* B ướ c 1:  Tìm các đi m  ể x x1, , ,2 x n trên kho ng  ả ( ; )a b , t i đó  ạ f x ='( ) 0 ho c ặ  '( )

* B ướ c 2:  Tính  f a( ),  f x( )1 , f x( )2 , , f x( )n , f b( ).

* B ướ c 3:  Tìm s  l n nh t M và s  nh  nh t m trong các s  trên. Ta có: ố ớ ấ ố ỏ ấ ố

M= m[ ; ]a bax ( )f x ,  m=min ( )[ ; ]a b f x 2.1.2.2 Quy t c tìm GTLN, GTNN c a hàm s   ắ ủ ố y= f x( ) liên t c trên  ụ ( ; )a b

* B ướ c 1:  Tìm các đi m  ể x x1, , ,2 x n trên kho ng  ả ( ; )a b , t i đó  ạ f x ='( ) 0 ho c ặ  '( )

Gi  s  ta c n ch ng minh ả ử ầ ứ f x y z( , , ) 0 (ho cặ f x y z( , , ) 0), v i ớ f x y z( , , ) 

là bi u th c đ i x ng c a ể ứ ố ứ ủ x, y, z và x, y, z là 3 bi n s  th c th a mãn các tínhế ố ự ỏ  

ch t nào đ y. Phấ ấ ương pháp d n bi n cho  ồ ế f x y z( , , )  được khái quát b i haiở  

bước sau:

B ướ c 1  (K  thu t d n v  2 bi n b ng nhau)  ỹ ậ ồ ề ế ằ

Đánh giá  f x y z( , , ) f x t t( , , ) v i t là m t bi n m i sao cho b  s  (x,t,t) ớ ộ ế ớ ộ ố  

th a mãn tính ch t c a b  s  (x,y,z) ỏ ấ ủ ộ ố

Vi c khó nh t c a chúng ta là đánh giá ệ ấ ủ f x y z( , , ) f x t t( , , ). Đi u đó ph iề ả  

s  d ng nhi u k  thu t (đ c bi t là vi c v n d ng các b t đ ng th c trungử ụ ề ỹ ậ ặ ệ ệ ậ ụ ấ ẳ ứ  gian),   bở ước th  2 h u h t là đ n gi n vì chúng ta đã h n ch  còn l i ch  2ứ ầ ế ơ ả ạ ế ạ ỉ  

xu hướng ra đ  c a B  GD&ĐT, nh m tăng cề ủ ộ ằ ường  ng d ng c a đ o hàm,ứ ụ ủ ạ  hàm s  vào gi i toán. Tuy nhiên đ i đa s  thí sinh trố ả ạ ố ường THPT Lê Lai ch aư  làm được bài toán này. Có m t s  nguyên nhân sau:ộ ố

Th  nh t, v  phía giáo viên:  Ch a chú tâm gi ng d y, ôn luy n d ngứ ấ ề ư ả ạ ệ ạ  bài này (lí do là vì có r t ít h c sinh có đ  trình đ , năng l c đ  ti p thu). Tuyấ ọ ủ ộ ự ể ế  nhiên đi u quan tr ng h n là giáo viên cũng ch a th c s  đ u t  nghiên c uề ọ ơ ư ự ự ầ ư ứ  

đ  có th  tìm ra m t hể ể ộ ướng ti p c n, m t phế ậ ộ ương pháp gi i gi i hi u quả ả ệ ả 

nh t.ấ

Th  hai, v  phía h c sinh: Ch a đứ ề ọ ư ược các th y cô ôn luy n c n th nầ ệ ẩ ậ  (h u h t các em ho c là không đ nh hầ ế ặ ị ướng được cách gi i ho c là có đ nhả ặ ị  

hướng nh ng không n m đư ắ ược các phương pháp d n bi n, thi u kĩ năng v nồ ế ế ậ  

d ng các BĐT trung gian, t  duy phân tích t ng h p ch a t t, ), c ng thêmụ ư ổ ợ ư ố ộ  tâm lí thi u t  tin, ng i khám phá (b ng lòng v i m c tiêu ế ự ạ ằ ớ ụ 9 đi m).ể

Trên th c t ,   trự ế ở ường Lê Lai h ng năm v n có nh ng h c sinh xu tằ ẫ ữ ọ ấ  

s c (năm nào cũng có h c sinh thi đ  vào các trắ ọ ỗ ường ĐH v i đi m s  cao tớ ể ố ừ 

25­28 đi m). N u các em t  tin và để ế ự ược ôn luy n tích c c thì v n có th  l yệ ự ẫ ể ấ  

đi m bài toán này để ược. B i vì bài toán tìm GTLN, GTNN c a bi u th cở ủ ể ứ  nhi u bi n có hề ế ướng gi i ch  đ o là d n bi n (ch  y u là quy v  hàm m tả ủ ạ ồ ế ủ ế ề ộ  

bi n) và dùng đ o hàm kh o sát hàm s  tìm GTLN, GTNN. Rõ ràng công vi cế ạ ả ố ệ  

m u ch t là làm sao d n đấ ố ồ ược bi n. Đó là m t phế ộ ương pháp tuy đã c  đi nổ ể  

nh ng không h  đ n gi n. Mu n làm ch  đư ề ơ ả ố ủ ược nó, quan tr ng là c n ph i cóọ ầ ả  

nh ng hi u bi t và kĩ năng khá sâu s c v  ph n b t đ ng th c, c c tr  Chínhữ ể ế ắ ề ầ ấ ẳ ứ ự ị  

vì l  đó n u có quy t tâm cao, có th i gian ôn luy n, rút kinh nghi m ch cẽ ế ế ờ ệ ệ ắ  

ch n s  làm đắ ẽ ược

Trong SKKN này tôi s  t p trung vào vi c phân tích, đ nh hẽ ậ ệ ị ướng cách 

v n d ng các phậ ụ ương pháp d n bi n. Còn công vi c s  d ng đ o hàm đồ ế ệ ử ụ ạ ể 

kh o sát hàm m t bi n s  tìm GTLN, GTNN chúng ta s  không bàn nhi u.ả ộ ế ố ẽ ề

2.3. Gi i pháp th c hi nả ự ệ

Trong sáng ki n này, phế ương pháp d n bi n đồ ế ược tôi v n d ng trên cậ ụ ơ 

s  căn c  ch  y u vào d ng ban đ u c a bi u th c c n tìm GTLN, GTNN.ở ứ ủ ế ạ ầ ủ ể ứ ầ  Bao g m hai d ng chính sau:ồ ạ

2.3.1. Phương pháp d n bi n các bi u th c đ i x ngồ ế ể ứ ố ứ

chúng ta đ nh h ị ướ ng vi c ch n bi n đ  d n nh  sau: ệ ọ ế ể ồ ư

1. N u x, y đ i x ng thì thông th ế ố ứ ườ ng ta d n v  bi n  ồ ề ế t =x +y ,  t =xy  

2

y x

xy  Suy ra đi u ki n ề ệ 0 t 1

t t

B ng bi n thiên:ả ế

+

3 2 1

0

1 0

P / P x

      S = (4x2 + 3 )(4y y2 + 3 ) 25x + xy

­ T  gi  thi t  ừ ả ế x y+ = 1 và S là m t bi u th c đ i x ng c a x, y nên ta có ộ ể ứ ố ứ ủ  

th  nghĩ đ n vi c bi n đ i đ a S v  bi n  ể ế ệ ế ổ ư ề ế t xy=

­ Khai tri n bi u th c S c  g ng làm xu t hi n  ể ể ứ ố ắ ấ ệ xy  và  x y+  đ  s  d ng ể ử ụ  

VD1, VD2 có đi u ki n ban đ u khá đ n gi n  ề ệ ầ ơ ả x y+ = 1,  x y+ = 2. Vì thế 

ta có th  nghĩ t i m t cách d n bi n khác là  ể ớ ộ ồ ế y= − 1 x ,  y= − 2 x  Sau đó đ a S, P ư  

v  hàm s  bi n x. V i đi u ki n  ề ố ế ớ ề ệ x 0,y 0 ta d  dàng suy ra đi u ki n c a x ễ ề ệ ủ  

đi u ki n ban đ u (ràng bu c gi a các bi n) không ph i là b c nh t ề ệ ầ ộ ữ ế ả ậ ấ

Ta ti p t c xét các ví d  sau:ế ụ ụ

Ví d  3: ụ ( CĐ Kh i A, B – 2008 )ố    Cho x y,    là s  th c th a mãn ố ự ỏ x2 +y2 = 2.        Tìm giá tr  l n nh t, giá tr  nh  nh t c a bi u th c  ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ P= 2(x3 +y3 ) 3 − xy

­ T  gi  thi t  ừ ả ế x2 +y2 = 2 và P là m t bi u th c đ i x ng c a x, y nên ta  ộ ể ứ ố ứ ủ

có th  nghĩ đ n vi c bi n đ i đ a P v  bi n  ể ế ệ ế ổ ư ề ế t =x +y   ho c  ặ t =xy  

­Vì   P= 8xyz+ 1 + 1 + 1

xy yz zx   là bi u th c đ i x ng c a x, y, z. Nên ta nghĩ đ n ể ứ ố ứ ủ ế  

vi c  ệ d n v  bi n  ồ ề ế t =x + +y z ,  t =xyz ,  t x= 2 +y2 +z2 ho c  ặ t xy yz zx= + + ,

Ví d  7: ụ Cho các s  th c dố ự ương x y z, ,  th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ 4

3

x y z xyz

+ + =

 ­ Bây gi  ta c n tìm đi u ki n c a bi n t ờ ầ ề ệ ủ ế

T  các đi u ki n đ i v i x, y, z ta đ ừ ề ệ ố ớ ượ c  y z 4 x yz; 2

­ V i gi  thi t  ớ ả ế a,b,c thu c đo n [1 ộ ạ ; 3]. Ta nghĩ đ n cách khai thác  ế

đ n các bi u  th c ch a  ế ể ứ ứ ab+bc+ca và abc. Đ n đây căn c  c  th  vào chi u ế ứ ụ ể ề   BĐT c a (1) và (2) ta có th  đánh giá đ ủ ể ượ c mi n giá tr  c a  ề ị ủ ab+bc+ca. T  đó ừ   quy t đ nh vi c d n bi n theo t=  ế ị ệ ồ ế ab+bc+ca.

.  M t khác tặ ừ (1)   ­abc t 5  

2

5 2

1abc t , do đó:

P

2

5 72

P = 160

11  khi a = 1, b = 2, c = 3. V y maxP = ậ 160

11

 Nh n xét: ậ  

bi n nào không quá khó. Tuy nhiên vi c tìm đi u ki n cho bi n m i l i không ế ệ ề ệ ế ớ ạ  

h  d  dàng. Đ  làm t t đi u này đòi h i ph i có kĩ năng v n d ng các BĐT ề ễ ể ố ề ỏ ả ậ ụ  

c  b n và s  lí đi u ki n ban đ u h t s c tinh t ơ ả ử ề ệ ầ ế ứ ế

bi n là m t bi u th c b c nh t đ n gi n. Khi đó ta có th  d n tr c ti p v ế ộ ể ứ ậ ấ ơ ả ể ồ ự ế ề  

Tuy nhiên v n c n ph i chú ý đ n tính đ i x ng c a các bi n.  ẫ ầ ả ế ố ứ ủ ế

Do v y ậ max 2

Do vai trò bình đ ng c a a, b, c nên ta có th  gi  s  : ẳ ủ ể ả ử 0 a b c<

Vì chu vi b ng 3 nên ằ a + b + c=3 �a b+ = − 3 c mà  1 3

2.3.2. Phương pháp d n bi n các bi u th c b t đ i x ngồ ế ể ứ ấ ố ứ

Đ i v i các bi u th c b t đ i x ng, đ  d n bi n thì ph i chú ý thêm ố ớ ể ứ ấ ố ứ ể ồ ế ảnhi u y u t  (đi u ki n ban đ u, tính đ ng c p, ) t  đó m i có th  phân tích, ề ế ố ề ệ ầ ẳ ấ ừ ớ ểsuy lu n cách làm c  th  Có m t s  cách làm c  b n sau:ậ ụ ể ộ ố ơ ả

1) Đ i bi n đ  đ a bi u th c ban đ u v  d ng đ i x ng ho c có d ng  ổ ế ể ư ể ứ ầ ề ạ ố ứ ặ ạ

đ n gi n h n. Sau đó v n d ng cách d n bi n nh    ph n 1(m c 2.3.1.) ơ ả ơ ậ ụ ồ ế ư ở ầ ụ

2) Dùng các b t đ ng th c trung gian đ  đánh giá, đ n gi n hóa bi u  ấ ẳ ứ ể ơ ả ể

th c ban đ u, làm gi m s  bi n ứ ầ ả ố ế

3) N u bi u th c  ế ể ứ P x y z( , , ) ch  đ i x ng v i hai bi n, ch ng h n x, y. Thì  ỉ ố ứ ớ ế ẳ ạ

ta có th  d n v  bi n còn l i là z ể ồ ề ế ạ

Sau đây là các ví d  c  th :ụ ụ ể

Ví d  12: ụ (ĐH kh i Dố ­ 2013) Cho x, y là các s  th c d ng th a mãn đi uố ự ươ ỏ ề  

ki n ệ xy y− 1. Tìm giá tr  l n nh t c a bi u th c ị ớ ấ ủ ể ứ 2 2 ( )

2 6 3

 ­ Vì P là m t bi u th c đ ng c p (xem thêm ph n ph  l c). L i do đi u ki n ộ ể ứ ẳ ấ ầ ụ ụ ạ ề ệ   ban đ u x, y>0. Vì th  ta có: ầ ế

6 )

3 (

2

7 3

t t

Chú ý: V i các bi u th c đ ng c p có 3 bi n. B ng phép bi n đ i t ng t ớ ể ứ ẳ ấ ế ằ ế ổ ươ ự  

nh  VD12 ta s  d n đ ư ẽ ồ ượ ừ c t  3 bi n v  2 bi n ế ề ế

Xét ví d  sau:ụ

Ví d  13:ụ  (ĐH kh i B­2014) ố Cho các s  th c  a, b, c  không âm và th a mãnố ự ỏ  

đi u ki n (a+b)c >0. Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th cề ệ ị ỏ ấ ủ ể ứ

Ví d  14ụ : (HSG Vĩnh Phúc, 2015­2016) Cho x, y, z là ba s  th c thu c đo n ố ự ộ ạ [ ]1;9  

và x y x z  Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c , ị ỏ ấ ủ ể ứ 1

t t

b

c a c

b a

c b c b a

c b

Ví d  17ụ : Cho các s  th c d ng a, b, c th a mãn ố ự ươ ỏ ab 1; c a b c( + + ) 3.

Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c  ị ỏ ấ ủ ể ứ 2 2 6ln( 2 )

­ Do bi u th c ln(a+b+2c) là b t bi n. Vì th  ta nghĩ đ n vi c d n v ể ứ ấ ế ế ế ệ ồ ề 

còn l i c a P theo t. Mu n làm đ ạ ủ ố ượ c đi u này c n có s  quan sát tinh ề ầ ự  

t  bi u th c P, đi u ki n ban đ u và v n d ng khéo léo các BĐT trung ế ể ứ ề ệ ầ ậ ụ   gian.

Ta ch ng minh đứ ược các BĐT quen thu c sau:ộ

­ Theo chi u đánh giá tìm GTLN, ta nghĩ đ n vi c v n d ng BĐT Côsi đ  phá ề ế ệ ậ ụ ể  

đ t đ ạ ượ c khi nào (do a, b, c ch a đ ư ượ c chu n hóa) đ  ch n “đi m r i” khi ẩ ể ọ ể ơ  

thu g n đ ọ ượ ề ạ c v  d ng k(a+b+c). T  đó ta có l i gi i sau: ừ ờ ả

L i gi i.ờ ả

3 2

khăn trong vi c đ nh h ệ ị ướ ng bi n c n d n v  c a các bi u th c b t đ i x ng ế ầ ồ ề ủ ể ứ ấ ố ứ  

m nh thì th t là to l n.  Chúng nh  nh ng cây c u nh  nh ng có th  n i li n ạ ậ ớ ư ữ ầ ỏ ư ể ố ề  

Bài 2. Cho x, y, z là các s  th c th a mãn đi u ki nố ự ỏ ề ệ x2 +y2 +z2 = 2. Tìm GTLN, GTNN c a bi u th củ ể ứ  : P x= + + − 3 y3 z3 3xyz.

Đáp số : maxP= 2 2 đ t đ c khi ạ ượ   x= 2;y z= = 0

     minP= − 2 2 đ t đ c khi ạ ượ    x= − 2;y z= = 0.

Bài 3. Cho a b c, ,  là ba s  th c th a mãn đi u ki n ố ự ỏ ề ệ abc a c b+ + =  Tìm giá tr  ị

c= a= b=  Bài 4. Cho ba s  d ng  ố ươ x, y, z thay đ i và th a đi u ki n ổ ỏ ề ệ x y z+ + =3. Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ P x= 4 + y4+8 z4

Đáp s : ố  min P=125648 khi x=y=

5

6; z=

5 3

Bài 5. Cho các s  th c d ng ố ự ươ a, b, c. Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ

2.4 Hi u qu  c a SKKNệ ả ủ

V i n i dung c a SKKN này, quaớ ộ ủ  th c t  gi ng d y (kho ng 16 ti t)ự ế ả ạ ả ế  cho đ i tuy n HSG c p t nh và nhóm h c sinh khá gi i luy n thi đ i h c,ộ ể ấ ỉ ọ ỏ ệ ạ ọ  THPTQG c a trủ ường THPT Lê Lai nh ng năm g n đây, tôi nh n th y các emữ ầ ậ ấ  

đã bước đ u hình thành cho mình nh ng kĩ năng c  b n, c n thi t và m tầ ữ ơ ả ầ ế ộ  cách ti p c n có đ nh hế ậ ị ướng đ  gi i quy t bài toán tìm GTLN, GTNN c aể ả ế ủ  

bi u th c nhi u bi n. Nh ng do đ c thù đây là m t bài toán r t khó (nh mể ứ ề ế ư ặ ộ ấ ằ  phân lo i nh ng h c sinh xu t s c), chính vì th  mà vi c v n d ng cácạ ữ ọ ấ ắ ế ệ ậ ụ  

phương pháp d n bi n là h t s c đa d ng, phong phú. Đòi h i s  linh ho t vàồ ế ế ứ ạ ỏ ự ạ  

t  duy đ c l p cao trong vi c v n d ng ki n th c. Do đó đ i v i bi u th c 2ư ộ ậ ệ ậ ụ ế ứ ố ớ ể ứ  

bi n thì h u h t các em làm đế ầ ế ược. Nh ng v i bi u th c 3 bi n tr  lên thìư ớ ể ứ ế ở  cũng đang còn h n ch  C n ph i có thêm th i gian và s  đ u t  đúng m c.ạ ế ầ ả ờ ự ầ ư ứ

 M t đi u khá quan tr ng mà SKKN này làm độ ề ọ ược, là đã làm thay đ iổ  quan ni m, cách nhìn nh n c a nhi u h c sinh (và c  giáo viên Toán) trệ ậ ủ ề ọ ả ườ  ngTHPT Lê Lai v  câu “ch t” trong đ  thi THPTQG. T  ch  th   , không quanề ố ề ừ ỗ ờ ơ  tâm thì nay b t đ u có cái nhìn thân thi n và có ni m tin vào kh  năng có thắ ầ ệ ề ả ể chi m lĩnh đế ược nó