SKKN: Kỹ thuật quy về một biến trong các bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

Mục tiêu của đề tài là Chia sẻ với quý Thầy, Cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm để giải quyết bài toán tìm GTNN, GTLN trong đề thi tuyển sinh Đại học. Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.

III. Gi i pháp và t  ch c th c hi nả ổ ứ ự ệ

1. Quy v  m t bi n b ng phề ộ ế ằ ương pháp th Trang ế07

2. Quy v  m t bi n có s n trong bài toán Trang ề ộ ế ẳ09

3. Quy v  m t bi n b ng phề ộ ế ằ ương pháp đ t  n ph Trang ặ ẩ ụ12

IV. K t qu  và kinh nghi m rút ra Trang ế ả ệ21

C. K t lu n và đ  xu t ế ậ ề ấ Trang 

23

A. ĐẶT V N Đ Ấ Ề

I. LÝ DO CH N Đ  TÀI.Ọ Ề

Nh  chúng ta đã bi t, trong nh ng năm g n đây ngành giáo d c đã có ư ế ữ ầ ụ

r t nhi u ch  trấ ề ủ ương đ  nâng cao ch t lể ấ ượng d y h c b ng nhi u hình th c ạ ọ ằ ề ứ

và bi n pháp nh : đ i m i phệ ư ổ ớ ương pháp d y h c theo hạ ọ ướng tích c c, d y ự ạ

h c l y h c sinh làm trung tâm, đ i m i ki m tra đánh giá h c sinh ọ ấ ọ ổ ớ ể ọ

Trong công cu c đ i m i căn b n và toàn di n n n giáo d c nộ ổ ớ ả ệ ề ụ ước nhà, 

đ i m i phổ ớ ương pháp d y h c là m t trong nh ng nhi m v  quan tr ng hàng ạ ọ ộ ữ ệ ụ ọ

đ u.ầ

Trong quá trình công tác, tr i qua nhi u phả ề ương pháp d y h c tích c c tôi ạ ọ ự

nh n th y phậ ấ ương pháp d y h c “Phát hi n và gi i quy t v n đ ” có nhi u ạ ọ ệ ả ế ấ ề ề

u đi m cũng nh  phù h p v i công tác gi ng d y b  môn toán   tr ng ph

thông nói chung và d y h c gi i bài t p toán nói riêng. Tuy nhiên đ  có th  ạ ọ ả ậ ể ểthành công trong phương pháp d y h c “Phát hi n và gi i quy t v n đ ” ạ ọ ệ ả ế ấ ềngoài năng l c chuyên môn và năng l c s  ph m c a m i giáo viên còn đòi ự ự ư ạ ủ ỗ

h i   ngỏ ở ười giáo viên ph i đ u t  nhi u th i gian và th c s   tâm huy t .ả ầ ư ề ờ ự ự ế

Đ  có m t bài gi ng thu hút để ộ ả ược h c trò, giúp h c trò phát tri n t  duyọ ọ ể ư  

v  môn toán và d n d t h c trò t i ni m say mê tìm tòi sáng t o, tôi cũng nh  ề ẫ ắ ọ ớ ề ạ ưbao giáo viên yêu ngh  và yêu toán khác thề ường trăn tr  v i nh ng khó khăn ở ớ ữ

c a h c trò trong quá trình ti p c n t ng bài toán.ủ ọ ế ậ ừ

Bài toán tìm giá tr  l n nh t, giá tr  nh  nh t c a m t bi u th c luôn làị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ộ ể ứ  bài toán có m t   h u h t trong các k  thi h c sinh gi i và k  thi THPT qu cặ ở ầ ế ỳ ọ ỏ ỳ ố  gia. Không nh ng th  nó còn là bài toán hay và khó nh t trong các đ  thi.ữ ế ấ ề

Trong chương trình gi ng d y bài toán tìm giá tr  l n nh t, giá tr  nhả ạ ị ớ ấ ị ỏ 

nh t luôn là ch  đ  h p d n đ i v i ngấ ủ ề ấ ẫ ố ớ ườ ạ ẫi d y l n ngườ ọi h c. Vi c gi ngệ ả  

d y đ  làm sao h c sinh h c t t ch  đ  này luôn là m t v n đ  khó. Ch  đạ ể ọ ọ ố ủ ề ộ ấ ề ủ ề này thường dành cho h c sinh gi i nên các bài toán đ a ra thọ ỏ ư ường hay và khó

Đ  tìm giá tr  l n nh t, giá tr  nh  nh t có nhi u phể ị ớ ấ ị ỏ ấ ề ương pháp, và không có phương pháp nào là v n năng đ  gi i đạ ể ả ược m i bài toán mà ch  cóọ ỉ  

nh ng phữ ương pháp gi i đả ược m t nhóm các bài toán mà thôi.M t trongộ ộ  

nh ng phữ ương pháp khá hi u qu  là dùng đ o hàm cho hàm nhi u bi n, tệ ả ạ ề ế ư 

tưởng c  b n là quy v  m t bi n đ  kh o sát . Không có m t thu t gi i chiơ ả ề ộ ế ể ả ộ ậ ả  

ti t nào cho phế ương pháp này mà ch  thông qua ví d  đ  h c sinh rèn luy nỉ ụ ể ọ ệ  

đ  t  mình tìm ra cách gi i quy t nh  th  nào trong t ng bài toán c  th  và tể ự ả ế ư ế ừ ụ ể ừ 

đó tìm th y s  đ  gi i riêng cho mình.ấ ơ ồ ả

Vì nh ng lí do trên tôi vi t đ  tài “ ữ ế ề K  thu t quy v  m t bi n trong các ỷ ậ ề ộ ế   bài toán tìm GTLN , GTNN c a m t bi u th củ ộ ể ứ ’’ đ  giúp cho h c sinh có m tể ọ ộ  cách t  duy t t h n khi g p d ng bài toán này.ư ố ơ ặ ạ

II. M C ĐÍCH NGHIÊN CỤ ỨU

B n thân nghiên c u đ  tài này nh m m c đích:ả ứ ề ằ ụ

­ Chia s  v i quý Th y, Cô,  các b n đ ng nghi p và các em h c sinh kinhẻ ớ ầ ạ ồ ệ ọ  nghi m đ  gi i quy t bài toán tìm GTNN, GTLN trong đ  thi tuy n sinh Đ iệ ể ả ế ề ể ạ  

­ Ph m vi nghiên c u c a đ  tài này bao g m:ạ ứ ủ ề ồ

+ Nh c l i cách tìm GTNN, GTLN c a hàm s  thông qua m t vài ví d ắ ạ ủ ố ộ ụ

+ H  th ng m t s  d ng bài toán tìm GTNN, GTLN c a m t bi u th c ch aệ ố ộ ố ạ ủ ộ ể ứ ứ  hai bi n b ng cách th  m t bi n qua bi n còn l i. ế ằ ế ộ ế ế ạ

+ H  th ng m t s  d ng bài toán tìm GTNN, GTLN c a m t bi u th c ch aệ ố ộ ố ạ ủ ộ ể ứ ứ  hai bi n b ng cách đ t  n ph  theo tính đ i x ng ế ằ ặ ẩ ụ ố ứ t = x +y, t = x2 +y2 ho cặ  

t =xy. 

+ H  th ng m t s  d ng bài toán tìm GTNN, GTLN c a m t bi u th c ch aệ ố ộ ố ạ ủ ộ ể ứ ứ  

ba bi n b ng cách đ t  n ph  ho c th  hai bi n qua m t bi n còn l i.ế ằ ặ ẩ ụ ặ ế ế ộ ế ạ

+ H  th ng m t s  d ng bài toán tìm GTNN, GTLN c a m t bi u th c ch aệ ố ộ ố ạ ủ ộ ể ứ ứ  hai bi n b ng cách đ t  n ph  theo tính đ ng c p ế ằ ặ ẩ ụ ẳ ấ t x

y

=

B. GI I QUY T V N ĐẢ Ế Ấ Ề

I. THỰC TRẠNG V N Đ  NGHIÊN C U Ấ Ề Ứ

 Trường THPT Ho ng Hóa 4 đóng trên đ a bàn vùng nông thôn khó khăn ằ ị

v  kinh t , vi c h c t p và ph n đ u c a các em h c sinh ch a th c s  ề ế ệ ọ ậ ấ ấ ủ ọ ư ự ự

được quan tâm t  các b c h c dừ ậ ọ ưới THPT vì v y ki n th c c  s  v  ậ ế ứ ơ ở ềmôn Toán c a các em h u h t t p trung   m c đ  trung bình.ủ ầ ế ậ ở ứ ộ

 Khi ch a áp d ng nh ng nghiên c u trong đ  tài đ  d y h c gi i bài t pư ụ ữ ứ ề ể ạ ọ ả ậ  tìm GTLN và GTNN, các em thường th  đ ng trong vi c ti p c n bài ụ ộ ệ ế ậtoán và ph  thu c nhi u vào nh ng ki n th c đụ ộ ề ữ ế ứ ược giáo viên cung c p ấ

ch  ch a ý th c tìm tòi, sáng t o cũng nh  t o đứ ư ứ ạ ư ạ ược ni m vui, s  h ng ề ự ư

ph n khi gi i toán.ấ ả

 K t qu  kh o sát   m t s  l p: 12A1và 12A4  trong ph n gi i bài t p ế ả ả ở ộ ố ớ ầ ả ậtoán v  tìm GTLN và GTNN c a hàm s  cũng nh  qua tìm hi u   các ề ủ ố ư ể ởgiáo viên d y b  môn Toán, ch  có kho ng 5%­ 10% h c sinh h ng thú ạ ộ ỉ ả ọ ứ

v n đ , ho t đ ng t  giác, tích c c, ch  đ ng, sáng t o đ  gi i quy t v n đấ ề ạ ộ ự ự ủ ộ ạ ể ả ế ấ ề 

và thông qua đó chi m lĩnh tri th c, rèn luy n kĩ năng và đ t đế ứ ệ ạ ược nh ng m cữ ụ  đích h c t p khác.ọ ậ

Đ  xu t và th c hi n hề ấ ự ệ ướng gi i ảquy tế

Hình thành gi i phápả

Gi i pháp đúngả

c.  u đi m Ư ể

­ Phương pháp này góp ph n tích c c vào rèn luy n t  duy phê phán, tầ ự ệ ư ư duy sáng t o cho h c sinh. Trên c  s  s  d ng v n ki n th c và kinh nghi mạ ọ ơ ở ử ụ ố ế ứ ệ  

đã có h c sinh s  xem xét, đánh giá, th y đọ ẽ ấ ược v n đ  c n gi i quy t.ấ ề ầ ả ế

­ Đây là phương pháp phát tri n để ược kh  năng tìm tòi, xem xét dả ưới nhi u góc đ  khác nhau.ề ộ

­ Thông qua vi c gi i quy t v n đ , h c sinh lĩnh h i tri th c, kĩ năng ệ ả ế ấ ề ọ ộ ứ

và phương pháp nh n th c.ậ ứ

d. H n ch ạ ế

­ Phương pháp này đòi h i ngỏ ười giáo viên ph i đ u t  nhi u th i gian ả ầ ư ề ờ

và công s c, ph i có năng l c s  ph m t t m i suy nghĩ đ  t o ra đứ ả ự ư ạ ố ớ ể ạ ược nhi uề  tình hu ng g i v n đ  và hố ợ ấ ề ướng d n h c sinh tìm tòi đ  phát hi n và gi i ẫ ọ ể ệ ảquy t v n đế ấ ề

­ Vi c t  ch c ti t h c ho c m t ph n c a ti t h c theo phệ ổ ứ ế ọ ặ ộ ầ ủ ế ọ ương pháp phát hi n và gi i quy t v n đ  đòi h i ph i có nhi u th i gian h n sov i các ệ ả ế ấ ề ỏ ả ề ờ ơ ớ

phương pháp thông thường

2. M t s  ki n th c c  b n s  d ng trong đ  tài.ộ ố ế ứ ơ ả ử ụ ề

(cosx)ﾢ = - sinx (cosu)ﾢ= -uﾢ sinu

2 tanx ﾢ = + 1 tan x x ﾢ p+k p (tanu)ﾢ =uﾢ(1+tan 2u)

(co xt )ﾢ = - (1 + cot 2x x) ﾢ k p) (co ut )ﾢ= - uﾢ(1 +co ut 2 )

2.2. Giá tr  nh  nh t, giá tr  l n nh t c a hàm s   ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ố

Trong m c này chúng tôi trình bày l i m t s  ki n th c v  bài toán tìm giá trụ ạ ộ ố ế ứ ề ị 

+) N u t n t i m t đi m ế ồ ạ ộ ể x0 ﾢ D  sao cho f x( ) ﾢ f x( )0  v i m i ớ ọ x ﾢ D thì số 

Nh n xét.ậ  Nh  v y, mu n ch ng t  r ng s  ư ậ ố ứ ỏ ằ ố M  (ho c ặ m ) là giá tr  l nị ớ  

nh t (ho c giá tr  nh  nh t) c a hàm s  ấ ặ ị ỏ ấ ủ ố f  trên t p h p ậ ợ D c n ch  rõầ ỉ  :

+)f x( ) ﾢ M  (ho c ặ f x( ) ﾢ m ) v i m i ớ ọ x ﾢ D ;

+)  T n   t i   ít   nh t   m t   đi m  ồ ạ ấ ộ ể x0 ﾢ D  sao   cho  f x( )0 = M   (ho cặ  

( )0

f x =m )

Nh n xét.ậ   Người ta đã ch ng minh đứ ược r nghàm s  liên t c trên m tằ ố ụ ộ  

đo n thì đ t đạ ạ ược giá tr  nh  nh t và giá tr  l n nh t trên đo n đó.ị ỏ ấ ị ớ ấ ạ

Trong nhi u trề ường h p, có th  tìm giá tr  l n nh t và giá tr  nh  nh t c aợ ể ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ  hàm s  trên m t đo n mà không c n l p b ng bi n thiên c a nó.ố ộ ạ ầ ậ ả ế ủ

Quy t c tìm giá tr  nh  nh t, giá tr  l n nh t c a hàm ắ ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ f  trên đo n ạ � �� �a b;  như sau :

1. Tìm các đi m ể x x1, , ,2 x n thu c kho ng ộ ả (a b; ) mà t i đó ạ f  có đ o hàmạ  

b ng 0 ho c không có đ o hàm.ằ ặ ạ

2. Tính f x( ) ( )1 ,f x2 , ,f x( ) ( )n ,f a  và f b( )

3. So sánh các giá tr  tìm đị ược.S  l n nh t trong các giá tr  đó là giá trố ớ ấ ị ị 

l n nh t c a ớ ấ ủ f  trên đo n ạ � �� �a b; , s  nh  nh t trong các giá tr  đó là giá tr  nhố ỏ ấ ị ị ỏ 

nh t c a ấ ủ f  trên đo n ạ � �� �a b;

2.3. M t s  thí d  tìm GTNN, GTLN c a hàm s  ộ ố ụ ủ ố

Trong m c này chúng tôi trình bày m t s  ví d  tìm giá tr  nh  nh t, giá tr  l nụ ộ ố ụ ị ỏ ấ ị ớ  

nh t c a hàm s ấ ủ ố

Thí d  1 ( Đ  thi tuy n sinh Đ i h c kh i B – 2003) ụ ề ể ạ ọ ố

 Tìm giá tr  nh  nh t và giá tr  l n nh t c a hàm s  ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ố f x( ) = x + 4 - x2

III. GI I PHÁP VÀ T  CH C TH C HI NẢ Ổ Ứ Ự Ệ

Nh  v y chúng ta th y r ng vi c tìm GTNN, GTLN c a hàm s  khá đ nư ậ ấ ằ ệ ủ ố ơ  

gi n. Vi c chuy n bài toán tìm GTNN, GTLN c a m t bi u th c không ít h nả ệ ể ủ ộ ể ứ ơ  

hai bi n sang bài toán tìm GTNN, GTLN c a hàm s  ch a m t bi n s  giúpế ủ ố ứ ộ ế ẽ  chúng ta gi  đả ược bài toán tìm GTNN, GTLN c a m t bi u th c.ủ ộ ể ứ

1. Quy v  m t bi n b ng phề ộ ế ằ ương pháp thế

       Trong ph n này tôi trình bày m t s  d ng bài toán tìm GTNN, GTLNầ ộ ố ạ  

c a bi u th c ch a hai bi n b ng cách th  m t bi n qua bi n còn l i. T  đóủ ể ứ ứ ế ằ ế ộ ế ế ạ ừ  xét hàm s  và tìm giá tr  nh  nh t, giá tr  l n nh t c a hàm s ố ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ố

Thí d  1.ụ  Cho x y >, 0 th a mãn ỏ x +y = 1. Tìm giá tr  nh  nh t c a bi uị ỏ ấ ủ ể  

= = ﾢ ﾢﾢﾢ��ﾢ =   đ t   đạ ược   khi 

1

2

x =y =

Thí d  2. ụ Cho x y ﾢ ?,  th a mãn ỏ y ﾢ 0,x2 +x =y + 12. 

Tìm giá tr  nh  nh t, giá tr  l n nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ể ứ P = xy +x + 2y + 17

Phân tích và tìm tòi l i gi i ờ ả

Bi u th c P có ch a 2 bi n x và y ,mu n quy v  m t bi n ta ph i quyể ứ ứ ế ố ề ộ ế ả  

v  bi n x b ng cách th  y theo bi u th c ch a x t   gi  thi t vào P đề ế ằ ế ể ứ ứ ừ ả ế ể 

 Ta có b ng bi n thiênả ế

T  b ng bi n thiên ta có ừ ả ế xmin�� � � -4;3�f x( ) = f ( )1 = - 12, xmax�� � � -4;3�f x( ) = f(- 3) = f ( )3 = 20

xy a b

=

+ Bài 6.     Cho  x y ﾢ ?,   th a mãn  ỏ x3 ﾢ y  Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th cị ỏ ấ ủ ể ứ  

2. Quy v  m t bi n có s n trong bài toánề ộ ế ẳ

Thí d  3.ụ Cho x, y, z là các s  th c dố ự ương th a mãn: 2x + 4y + 7z  = 2xyz.   ỏTìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c P = x + y + z.ị ỏ ấ ủ ể ứ

Phân tích và tìm tòi l i gi i ờ ả

Bi u th c P có ch a 3 bi n đ  làm gi m s  bi n thì t  gi  thi t ta rútể ứ ứ ế ể ả ố ế ừ ả ế  

bi n z theo x và y sau đó thay vào P r i sau đó s  d ng đánh giá đ  chế ồ ử ụ ể ỉ còn bi n x.ế

Thí d  4.ụ (Đ  thi HSG H i Dề ả ương 2015).Cho x y z, ,  là các s  th c dố ự ương 

th a mãnỏ y z x y+ = ( 2 +z2) Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ

Bi u th c P có ch a 3 bi n  và vai trò c a hai  bi n y và z  là nh  nhau .ể ứ ứ ế ủ ế ư  

Do đó ta quy bi u th c P v  bi n x b ng cách s  d ng s  d ng b tể ứ ề ế ằ ử ụ ử ụ ấ  

Bi u th c P có ch a 3 bi n  và vai trò c a hai  bi n x và y  là nh  nhau .ể ứ ứ ế ủ ế ư  

Do đó ta quy bi u th c P v  bi n z b ng cách s  d ng s  d ng b tể ứ ề ế ằ ử ụ ử ụ ấ  

3. Quy v  m t bi nb ng phề ộ ế ằ ương pháp đ t  n phặ ẩ ụ

D ng 1 ạ : Tìm GTLN,GTNN c a bi u th c ch a 2 bi n có tính ch t đ iủ ể ứ ứ ế ấ ố  

x ngứ

Trong ph n này chúng tôi trình bày m t s  d ng bài toán tìm GTNN, GTLNầ ộ ố ạ  

c a bi u th c ch a hai bi n mà gi  thi t ho c bi u th c đó th  hi n tính đ iủ ể ứ ứ ế ả ế ặ ể ứ ể ệ ố  

x ng. T  đó b ng phép đ t  n ph  ta chuy n v  bài toán tìm G c a hàm s ứ ừ ằ ặ ẩ ụ ể ề ủ ốThí d  6. ụ Cho x y ﾢ ?,  th a mãn ỏ x +y ﾢ - 1 và x2 +y2 +xy = x +y + 1. Tìm giá tr  nh  nh t, giá tr  l n nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ể ứ

1

xy P

= + +

Phân tích và tìm tòi l i gi i ờ ả

Bi u th c P có ch a 2 bi n  và vai trò c a hai  bi n x và y  là nh  nhau .ể ứ ứ ế ủ ế ư  

Do đó ta quy bi u th c P v  m t bi n  b ng cách đ t  n ph  ể ứ ề ộ ế ằ ặ ẩ ụ t = x +y

ho c ặ t xy=  , tuy nhiên do gi  thi t bài toán n u đ t ả ế ế ặ t xy= thì khi thế vào bi u th c P ph c t p h n r t nhi u .ể ứ ứ ạ ơ ấ ề

2 2

2 1

Thí d  7. (Đ  thi tuy n sinh Đ i h c kh i B – 2009)ụ ề ể ạ ọ ố

Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ A = 3(x4 +y4 +x y2 2) - 2(x2 +y2) + 1 v iớ  ,

t = x +y ho c ặ t xy=  , tuy nhiên do gi  thi t bài toán n u đ t ả ế ế ặ t xy=  

ho c ặ t = x +ythì khi th  vào bi u th c P xu t hi n b c 4 ph c t pế ể ứ ấ ệ ậ ứ ạ  

V y n u c p ậ ế ặ (x y; )  th a mãn yêu c u đ  bài thì ỏ ầ ề x +y ﾢ 1 (2)

Ta bi n đ i ế ổ A nh  sau:ư

Thí d  8.  (Đ  thi tuy n sinh Đ i h c B – 2011)ụ ề ể ạ ọ

Cho a và b là các s  th c dố ự ương th a mãn ỏ 2(a2 +b2) +ab =(a +b ab) ( + 2).Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c ị ỏ ấ ủ ể ứ P 4 a33 b33 9 a22 b22

Nh n th y c  gi  thi t và yêu c u bài toán đ u ch a bi u th c đ iậ ấ ả ả ế ầ ề ứ ể ứ ố  

x ng a và b nên cách t  duy cũng hứ ư ướng v  phề ương pháp chung đó.Tuy nhiên  n u đ t ế ặ t xy=  ho c ặ t = x +ythì khi th  vào bi u th c P xu tế ể ứ ấ  

hi n b c 6 tính toán ph c t p .Do đó ta ch n cách đ t  ệ ậ ứ ạ ọ ặ t a b

= + bài toán l i tr  nên d  dàng h n r t nhi uạ ở ễ ơ ấ ề

� �ﾢﾢ

1 1 2

Thí d  9. (Đ  thi tuy n sinh Đ i h c kh i B­2010)ụ ề ể ạ ọ ố

Cho các s  th c không âm  ố ự a b c, ,   tho n mãn  ả a + +b c = 1. Tìm giá tr  nhị ỏ 

Nh n th y c  gi  thi t và yêu c u bài toán đ u ch a bi u th c đ iậ ấ ả ả ế ầ ề ứ ể ứ ố  

x ng a ,b và c v y cách gi i bài này có tứ ậ ả ương t  nh  đ i v i d ng 2ự ư ố ớ ạ  

bi n đ i x ng hay không . Đ  tr  l i cho cách t  duy này ta ph i điế ố ứ ể ả ờ ư ả  

bi n đ i bi u th c M b ng cách s  d ng b t đ ng th c đúng hi nế ổ ể ứ ằ ử ụ ấ ẳ ứ ể  nhiên và gi  thi t.ả ế

ﾢ

= � ﾢ + + =

ﾢﾢ + + =ﾢﾢﾢ

Bài toán này gi  thi t và yêu c u bài toán đ u ch a bi u th c đ i x ngả ế ầ ề ứ ể ứ ố ứ  

đ i v i x, y và z v y cách gi i bài này tố ớ ậ ả ương t  nh  đ i v i d ng 2. ự ư ố ớ ạ Ta quy v  m t bi n b ng cách đ tề ộ ế ằ ặ  t = x +y +z

L i gi i ờ ả

   .  

Đ t ặ t =x +y +z  

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có ụ ấ ẳ ứ (x +y +z)2 ﾢ 3(x2 +y2 +z2) suy ra - 3 ﾢ t ﾢ 3. Khi đó 

f t = t + t - , f tﾢ( ) = 2t + 2, f tﾢ( ) = 0 � t = - 1. 

Ta có b ng bi n thiênả ế

T  b ng bi n thiên ta có ừ ả ế

( ) ( )3; 3

(1 +a) (1 +b) (1 + = + + + +c) 1 (a b c) (ab bc ca+ + ) +abc 1 3 + 3 abc+ 3 ( 3 abc) 2 +abc= + (1 3abc) 3

D ng 3 ạ : Tìm GTLN,GTNN c a bi u th c ch a các bi n có tính ch tủ ể ứ ứ ế ấ  

Thí d  12. (Đ  thi tuy n sinh Đ i h c A – 2011)ụ ề ể ạ ọ

Cho x y z, ,  là ba s  th c thu c đo n ố ự ộ ạ � �� �1;4  và x ﾢ y x, ﾢ z. Tìm giá tr  nh  nh tị ỏ ấ  

a b dương và ab ﾢ 1. D u b ng x y ra, khi và ch  khi : ấ ằ ả ỉ a =b ho c ặ ab =1

Áp d ng (*), v i ụ ớ x và y  thu c đo n ộ ạ � �� �1;4  và x ﾢ y, ta có: 

2 1

t P

t t

+

1. K t qu : ế ả

 Sau khi áp d ng nh ng k t qu  nghiên c u trong đ  tài, qua kh o sát ụ ữ ế ả ứ ề ảcho th y: Có trên 60% các em h c sinh có h ng thú v i bài h c và 30% ấ ọ ứ ớ ọtrong s  đó bi t cách tìm tòi và xây d ng nh ng bài toán m i t  nh ng ố ế ự ữ ớ ừ ữbài toán g c đố ược giáo viên g i ý ho c đợ ặ ược các em t  tìm tòi.ự

 Trong các k  thi th  THPT qu c gia trên toàn t nh có kho ng 30­40% ỳ ử ố ỉ ả

h c sinh   các l p trên có th  gi i quy t bài toán tìm GTLN,GTNN ọ ở ớ ể ả ế

d ng không quá khó trong các đ  thi đó

2. Kinh nghi m rút ra.ệ

 Khi ti p c n bài toán tìm GTLN,GTNN c a bi u th c, ta c n nghiên ế ậ ủ ể ứ ầ

c u k  nh ng m i quan h  gi a các gi  thi t đã cho và bi u th c c n ứ ỹ ữ ố ệ ữ ả ế ể ứ ầtìm . N u d   li u bài toán xoay quanh hai ho c ba bi n nào đó, câu h i ế ữ ệ ặ ế ỏ

đ u tiên  c a chúng ta là: “Gi a chúng có chăng m t m i quan h  ràng ầ ủ ữ ộ ố ệ

bu c nào đó ?” và đ t ra nh ng gi   thuy t nh  gi a chúng có tính ch t ộ ặ ữ ả ế ư ữ ấ

đ i x ng, chúng có tính ch t đ ng c p,   T  đó ki m ch ng gi   ố ứ ấ ẳ ấ ừ ể ứ ả

thuy t đ t ra b ng đ c bi t hóa bài toán, ph ng đoán d u b ng xãy ra ế ặ ằ ặ ệ ỏ ấ ằ

và d  đoán k t qu  GTLN ho c GTNN. ự ế ả ặ

 Đ  quy bi u th c c n tìm GTLN,GTNN v  m t bi n ta c n xem xét và ể ể ứ ầ ề ộ ế ầ

đánh giá gi  thi t ả ế+ N u gi  thi t ch a hai bi n b c nh t có th  th  m t bi n qua bi n còn l i. ế ả ế ứ ế ậ ấ ể ế ộ ế ế ạ+ N u gi  thi t và bi u th c có ch a 2 bi n đ i x ng thì  đ t  n ph  theoế ả ế ể ứ ứ ế ố ứ ặ ẩ ụ  tính đ i x ng ố ứ t = x +y, t =x2 +y2 ho c ặ t = xy

+ N u gi  thi t và bi u th c ch a hai bi n đ i x ng và m t bi n đ c l p thìế ả ế ể ứ ứ ế ố ứ ộ ế ộ ậ  quy v  bi n đ c l p đóề ế ộ ậ

+N u bi u th c có tính đ ng c p thì  đ t  n ph  theo tính đ ng c p ế ể ứ ẳ ấ ặ ẩ ụ ẳ ấ t x

y

=  

3. Ý nghĩa c a SKKNủ

V i sáng ki n kinh nghi m này hy v ng góp thêm m t tài li u cho quý Th y,ớ ế ệ ọ ộ ệ ầ  

Cô  và các  b n  đ ng nghi pạ ồ ệ  ;  giúp các  em  h c  sinh có  thêm  nh ng kinhọ ữ  nghi m cho lo i toán này, t  đó t  tin h n khi thi Đ i h c.ệ ạ ừ ự ơ ạ ọ

4. Kh  năng  ng d ng và tri n khaiả ứ ụ ể

Sáng ki n kinh nghi m này có th  tri n khai nh  m t chuyên đ  đ  b iế ệ ể ể ư ộ ề ể ồ