Bài viết này đã nêu ra 6 tính chất của các điểm cực trị của đồ thị hàm số và một số ứng dụng của chúng. Hy vọng rằng bài viết này cung cấp cho các bạn một tài liệu để giảng dạy và ôn tập cho học sinh lớp 12 thi vào các trường Đại học và Cao đẳng có kết quả.
Trang 1TÍNH CH T CÁC ĐI M C C TR C A Đ TH HÀM S Ấ Ể Ự Ị Ủ Ồ Ị Ố
y ax = + bx + c VÀ NG D NG Ứ Ụ
Các đ thi tuy n sinh vào Đ i h c và Cao đ ng trong các năm g n đây, chúng taề ể ạ ọ ẳ ầ
thường g p câu kh o sát hàm s ặ ả ố y ax= 4+bx2+c a ( 0) và các v n đ liên quan đ n cácấ ề ế
đi m c c tr c a đ th hàm s này. Đ giúp h c sinh ôn thi có hi u qu , bài vi t này đ a raể ự ị ủ ồ ị ố ể ọ ệ ả ế ư các tính ch t thấ ường g p c a các đi m c c tr c a hàm s ặ ủ ể ự ị ủ ố y ax= 4+bx2+c và m t s ngộ ố ứ
d ng c a nó.ụ ủ
I. C S LÝ THUY T Ơ Ở Ế
Xét hàm s ố y ax= 4+bx2+c a ( 0) trên ﾡ
Ta có y =4ax3+2bx=2 2x ax( 2+b). Suy ra 0 20
2 0 (1)
x y
=
=
+ = đây chúng ta ch xét tr ng h p hay g p là đ th hàm s
Ở ỉ ườ ợ ặ ồ ị ố y ax= 4+bx2+c có ba
đi m c c tr phân bi t.ể ự ị ệ
Đ th hàm s ồ ị ố y ax= 4+bx2+c có ba đi m c c tr phân bi t khi và ch khi ể ự ị ệ ỉ y =0 có ba nghi m phân bi t hay phệ ệ ương trình (1) có hai nghi m phân bi t khác 0 ệ ệ � ab<0 (*)
V i đi u ki n (*) ta có ớ ề ệ
0 0
2
x
x
a
=
=
= − . Suy ra đ th hàm s có ba đi m c c tr làồ ị ố ể ự ị
(0; )
2
;
Khi đó ta có 4 82
16
AB AC
a
−
a
= − Sau đây là m t s tính ch t thộ ố ấ ường g p c a các đi m c c tr này.ặ ủ ể ự ị
1) Đi u ki n đ ề ệ ể ba đi m c c tr A, B, C t o thành ba đ nh c a m t tam giác vuông ể ự ị ạ ỉ ủ ộ
Vì AB AC= nên tam giác ABC là tam giác cân t i ạ A. Suy ra tam giác ABC là tam giác
vuông khi và ch khi ỉ BACﾡ =900 hay tam giác ABC vuông cân t i ạ A.
Khi đó BC AB= 2 � BC2 =2AB2
4 2
2 2. 8
16
−
− =
� �b3+8a=0 Tính ch t 1:ấ Đ th hàm s ồ ị ố y ax= 4+bx2+c có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t ể ự ị ạ ỉ ủ ộ
8 0
ab
<
+ = .
2) Đi u ki n đ ba đi m c c tr A, B, C t o thành ba đ nh c a m t tam giác đ u ề ệ ể ể ự ị ạ ỉ ủ ộ ề
Ta có tam giác ABC là tam giác đ u khi và ch khi ề ỉ AB AC BC= = � AB2 =BC2
Trang 22
16
− = −
� �b3+24a=0
Tính ch t 2:ấ Đ th hàm s ồ ị ố y ax= 4+bx2+c có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t ể ự ị ạ ỉ ủ ộ
24 0
ab
<
+ = .
3) Đi u ki n đ ba đi m c c tr A, B, C t o thành ba đ nh c a m t tam giác cân có m t ề ệ ể ể ự ị ạ ỉ ủ ộ ộ
Có ba trường h p x y ra.ợ ả
Trường h p 1:ợ α >900
Khi đó tam giác ABC là tam giác tù. Vì tam giác ABC cân t i ạ A nên tam giác ABC có
m t góc ộ α >900 khi và ch khi ỉ ﾡBAC =α
Áp d ng đ nh lý côsin vào tam giác ụ ị ABC ta có BC2 = AB2+AC2 −2AB AC .cosﾡBAC
2 2 2 1 cos
2 2. 8 1 cos
16
� � −16a=(b3−8a) (1 cos− α)
( )
3 8 3 8 cos 0
Trường h p 2:ợ α =900 ( ta đã xét tính ch t 1)ở ấ
Trường h p 3:ợ α <900
+ N u ế ﾡB C= =ﾡ α thì ﾡA=1800−2α, suy ra cosA=cos 180( 0−2α) = −cos 2α.
Áp d ng đ nh lý côsin vào tam giác ụ ị ABC ta có BC2 = AB2+AC2 −2AB AC .cosﾡBAC
2 2 2 1 cos 2
2 2. 8 1 cos 2
16
� � −16a=(b3−8a) (1 cos 2+ α) ( )
3 8 3 8 cos 2 0
+ N u ế ﾡA=α thì tương t trự ường h p 1, ta có ợ b3+8a−(b3−8 cosa) α =0.
Tính ch t 3ấ Đ th hàm s ồ ị ố y ax= 4+bx2+c có ba đi m c c tr A, B, C t o thành ba đ nh ể ự ị ạ ỉ
ho c ặ b3+8a−(b3−8 cosa) α =0 n u ế α >900
ho c ặ b3+8a=0 n u ế α =900
ho c ặ b3+8a+(b3−8 cos 2a) α =0 n u ế ﾡB C= = <ﾡ α 900
ho c ặ b3+8a−(b3−8 cosa) α =0 n u ế ﾡA= <α 900
4) Đi u ki n đ ba đi m c c tr A, B, C th a mãn ề ệ ể ể ự ị ỏ BC OA= (v i O là g c t a đ ớ ố ọ ộ)
Ta có BC OA= � BC2 =OA2 2b c2
a
− =
� �ac2+2b=0
Trang 3Tính ch t 4ấ . Đ th hàm s ồ ị ố y ax= 4+bx2+c có ba đi m c c tr A, B, C ể ự ị th a mãn đi u ỏ ề
2 0
ab
<
+ = .
5) Đi u ki n đ ề ệ ể ba đi m c c tr A, B, C t o thành ba đ nh c a m t tam giác và tính di n ể ự ị ạ ỉ ủ ộ ệ tích tam giác đó.
G i ọ H là giao đi m c a ể ủ BC v i tr c ớ ụ Oy thì AH là đường cao c a tam giác ủ ABC. Khi đó
2
0;
4
b
a
� �. Suy ra
2 2
4 4
AH
= − = .
V y di n tích tam giác ậ ệ ABC là 1
2
ABC
b b
3
32
b a
= − Tính ch t 5ấ Đ th hàm s ồ ị ố y ax= 4+bx2+c có ba đi m c c tr A, B, C t o thành ba đ nh ể ự ị ạ ỉ
3
0 32
ab
b S
a
<
= − .
6) Đi u ki n đ ề ệ ể ba đi m c c tr A, B, C t o thành ba đ nh c a m t tam giác và tính bán ể ự ị ạ ỉ ủ ộ
G i ọ R là bán kính đường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế ABC và H là giao đi m c a ể ủ BC v iớ
tr c ụ Oy. Khi đó H có t a đ là ọ ộ
2
0;
4
b
a
� � và
2 2
4 4
AH
= − = .
T tam giác vuông ừ AHC, ta có sinﾡACH AH AH
Áp d ng đ nh lý sin vào tam giác ụ ị ABC ta được 2 ﾡ 2 4 82 4 2
16 sin
a
R
ACH
−
Suy ra
3 8 8
R
a b
−
Tính ch t 6.ấ Đ th hàm s ồ ị ố y ax= 4+bx2+c có ba đi m c c tr A, B, C t o thành ba đ nh ể ự ị ạ ỉ
0 8 8
ab
R
a b
<
−
II. NG D NG Ứ Ụ
Ví d 1ụ (Câu 1 đ thi TSĐH năm 2012 kh i A và kh i A1 ề ố ố )
Cho hàm s ố y x= 4−2(m+1)x2+m2 (1), v i ớ m là tham s th c.ố ự
Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác vuông.ể ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ
L i gi i ờ ả
Trang 4Áp d ng tính ch t 1, đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giácụ ấ ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ vuông khi và ch khi ỉ 3 0
8 0
ab
<
+ =
m m
− + <
�
− + + = ( )3
1
1 1
m m
> − + =
1 0
m m
> −
= �m=0
Ví d 2ụ (Câu 1 đ thi TSĐH năm 2011 kh i B ề ố )
Cho hàm s ố y x= 4−2(m+1)x2+m (1), m là tham s ố
Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr ể ồ ị ố ể ự ị A, B, C sao cho OA BC= ; trong đó O
là g c t a đ , ố ọ ộ A là đi m c c tr thu c tr c tung, ể ự ị ộ ụ B và C là hai đi m c c tr còn l i.ể ự ị ạ
L i gi i ờ ả
Áp d ng tính ch t 4, đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr ụ ấ ồ ị ố ể ự ị A, B, C sao cho OA BC= khi
và ch khi ỉ 2 0
2 0
ab
<
+ =
2
m
− + <
�
1
4 4 0
m
> −
− − = � m=2 2 2� .
Ví d 3.ụ Cho hàm s ố y x= 4−2mx2−3 (1)
Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr và bán kính để ồ ị ố ể ự ị ường tròn ngo i ti p tamạ ế giác t o b i các đi m c c tr đó đ t giá tr nh nh t.ạ ở ể ự ị ạ ị ỏ ấ
L i gi i ờ ả
Áp d ng tính ch t 6, đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr và bán kính đụ ấ ồ ị ố ể ự ị ường tròn ngo i ti p tam giác t o b i các đi m c c tr là ạ ế ạ ở ể ự ị R khi và ch khi ỉ 3
0 8 8
ab
R
a b
<
−
3
2 0
8 2
m
m R
m
− <
=
−
3
0
1 2
m
m
R
m
>
+
= . Suy ra
2
2
m
= � + �
� �.
S d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s dử ụ ấ ẳ ứ ố ương, ta có
2 3 2 3
3
1 1 1 1.3. . 1 . 1 3 1. 3 2
V y ậ min 3 23 2 1
m
3
Ví d 4ụ Cho hàm s ố y x= 4−2mx2+1 (1)
Tìm các giá tr c a tham s ị ủ ố m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr và để ồ ị ố ể ự ị ường tròn
đi qua ba đi m này có bán kính b ng 1.ể ằ
L i gi i ờ ả
Trang 5Áp d ng tính ch t 6, đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr và đụ ấ ồ ị ố ể ự ị ường tròn đi qua ba
đi m này có bán kính ể R khi và ch khi ỉ 3
0 8 8
ab
R
a b
<
−
3
2 0
8 2
m m R
m
− <
=
−
3
0 1 2
m m R
m
>
+
=
Theo đ bài ta có ề R=1, suy ra 1 3 1
2
m m
+
= � m3−2m+ =1 0 �(m−1) (m2+ − =m 1) 0 1
1 5
2
m
m
=
−
= . Đ i chi u v i đi u ki n ố ế ớ ề ệ m>0 ta được m=1,
1 5 2
Ví d 5ụ Cho hàm s ố y x= 4+2(m−2)x2+m2−5m+5 ( )C m
V i nh ng giá tr nào c a ớ ữ ị ủ m thì đ th ồ ị ( )C có đi m c c đ i và đi m c c ti u, đ ng m ể ự ạ ể ự ể ồ
th i các đi m c c đ i và đi m c c ti u l p thành m t tam giác đ u.ờ ể ự ạ ể ự ể ậ ộ ề
L i gi i ờ ả
Áp d ng tính ch t 2, đ th ụ ấ ồ ị ( )C có đi m c c đ i và đi m c c ti u, đ ng th i các m ể ự ạ ể ự ể ồ ờ
đi m ể
c c đ i và đi m c c ti u l p thành m t tam giác đ u khi và ch khi ự ạ ể ự ể ậ ộ ề ỉ 3 0
24 0
ab
<
+ =
8 2 24 0
m
m
− <
�
− + = ( )3
2
m m
<
2
2 3
m m
<
= − �m= −2 33.
Ví d 6ụ Cho hàm s ố y= − +x4 2mx2+1
Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác có m tể ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ ộ góc b ng ằ 120 0
L i gi i ờ ả
Theo tính ch t 3, đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác ấ ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ
có m t góc ộ α =1200 khi và ch khi ỉ 3 ( 3 )
0
ab
<
( )
2 0
8 8 8 8 cos120 0
m
− <
0
1
2
m
>
� �
− − + � �− =
� �
3
0
12 4 0
m m
>
− =
3
0
1
3
m
m
>
0 1 3
m m
>
1 3
Ví d 7ụ Cho hàm s ố y x= 4−2mx2+ +m 2
Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác cóể ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ
di n tích b ng 32. ệ ằ
Trang 6L i gi i ờ ả
Theo tính ch t 5, đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giácấ ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ
có di n tíchệ S =32 khi và ch khi ỉ 5
3
0 32
ab
b S
a
<
3
2 0
2 32
32.1
m
m
− <
−
0 32
m
m
>
=
2 5
0
32
m
m
>
0 32
m m
>
= �m=4.
Ví d 8ụ Cho hàm s ố y x= 4+2mx2+ −m 1
Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác có m tể ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ ộ góc b ng ằ 30 0
L i gi i ờ ả
Theo tính ch t 3, đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giácấ ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ cân có m t góc ộ α =300 khi và ch khi ta có hai trỉ ường h p sauợ
+ N u góc đ nh ế ở ỉ α =300 thì 3 ( 3 )
0
ab
<
+ − − = (1) + N u góc đáy ế ở α =300 thì 3 ( 3 )
0
8 8 cos 2 0
ab
<
+ + − = (2)
Ta có (1) 3 ( 3 ) 0
2 0
8 8 8 8 cos30 0
m
<
0
3
2
m
<
( ) 3
0
m
m
<
3
0
2 3
m m
<
3 2 3
�
Và (2) 3 ( 3 ) 0
2 0
8 8 8 8 cos60 0
m
<
0
1
2
m
<
0
3 1 0
m m
<
+ = 3
0 1 3
m
m
<
0 1 3
m m
<
1 3
V y khi ậ 31
3
m= − ho c ặ ( )2
3 2 3
m= − + thì đ th hàm s có ba đi m c c tr t oồ ị ố ể ự ị ạ thành ba đ nh c a m t tam giác có m t góc b ng ỉ ủ ộ ộ ằ 30 0
III. BÀI T P Ậ
Bài t p 1ậ Cho hàm s ố y x= 4−2mx2+ +m 1
Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác đ u.ể ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ ề ĐS: m= 33
Trang 7Bài t p 2ậ Cho hàm s ố y= − +x4 2mx2+m2+m
Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác có m t gócể ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ ộ
b ng ằ 30 ĐS: 0 ( )2
3 2 3
3
1
3
Bài t p 3ậ Cho hàm s ố y=2x4−2mx2− +m 1 (1)
Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr và bán kính để ồ ị ố ể ự ị ường tròn ngo i ti p tam giácạ ế
t o b i các đi m c c tr đó đ t giá tr nh nh tạ ở ể ự ị ạ ị ỏ ấ
ĐS: min 3 1
4
Bài t p 4ậ Cho hàm s ố y=2x4−2(m+3) x2+ +m 1 (1), m là tham s ố
Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr ể ồ ị ố ể ự ị A, B, C sao cho OA BC= ; trong đó O là g cố
t a đ , ọ ộ A là đi m c c tr thu c tr c tung, ể ự ị ộ ụ B và C là hai đi m c c tr còn l i.ể ự ị ạ
ĐS: m= 5 Bài t p 5ậ Cho hàm s ố y= − −x4 2(m−1)x2+ +m 1
Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác có di n tíchể ồ ị ố ể ự ị ạ ỉ ủ ộ ệ
b ng 32. ằ
ĐS: m= −3
IV. K T LU N Ế Ậ
Bài vi t này đã nêu ra 6 tính ch t c a các đi m c c tr c a đ th hàm sế ấ ủ ể ự ị ủ ồ ị ố
4 2
(a 0) và m t s ng d ng c a chúng. Hy v ng r ng bài vi t này cung c p cho các b n ộ ố ứ ụ ủ ọ ằ ế ấ ạ
m t tài li u đ gi ng d y và ôn t p cho h c sinh l p 12 thi vào các trộ ệ ể ả ạ ậ ọ ớ ường Đ i h c và Cao ạ ọ
đ ng có k t qu Cu i cùng tác gi mong đón nh n đẳ ế ả ố ả ậ ượ ực s góp ý chân thành c a các b n ủ ạ
và xin chúc các b n s c kh e, h nh phúc và thành đ t.ạ ứ ỏ ạ ạ
Trân tr ng cám n.ọ ơ
Nguy n Văn Thi tễ ế
Trang 8M C L C Ụ Ụ
M đ u ……… trangở ầ
1
I. C s lý thuy t ……… ơ ở ế
1 1) Đi u ki n đ ba đi m c c tr ề ệ ể ể ự ị A, B, C t o thành ba đ nh c a m t ạ ỉ ủ ộ
tam giác vuông. ………. 1
Tính ch t 1ấ 2) Đi u ki n đ ba đi m c c tr ề ệ ể ể ự ị A, B, C t o thành ba đ nh c a m t ạ ỉ ủ ộ tam giác đ u. ………. 1ề Tính ch t 2ấ
3) Đi u ki n đ ba đi m c c tr ề ệ ể ể ự ị A, B, C t o thành ba đ nh c a m t ạ ỉ ủ ộ
Trang 9tam giác cân có m t góc ộ α cho
trước……….2 Tính ch t 3ấ
4) Đi u ki n đ ba đi m c c tr ề ệ ể ể ự ị A, B, C th a mãn ỏ BC OA= (v i ớ O là g c t a đ ) ……….ố ọ ộ
2 Tính ch t 4ấ
5) Đi u ki n đ ba đi m c c tr ề ệ ể ể ự ị A, B, C t o thành ba đ nh c a m t ạ ỉ ủ ộ tam giác và tính di n tích tam giác đó……… ệ
2 Tính ch t 5 ấ
6) Đi u ki n đ ba đi m c c trề ệ ể ể ự ị A, B, C t o thành ba đ nh c a m t ạ ỉ ủ ộ tam giác và tính bán kính đường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế ABC……… 3
Tính ch t 6ấ
II. ng d ng Ứ ụ
Ví d 1……….ụ
3
Ví d 2 ………ụ
3
Ví d 3 ………ụ
4
Ví d 4 ………ụ
4
Ví d 5 ………ụ
4
Ví d 6 ………ụ
5
Ví d 7 ……… ụ
5
Ví d 8 ………ụ
5 III. Bài t pậ
Bài t p 1 ………. 6ậ Bài t p 2 ………. 6ậ Bài t p 3 ………. 6ậ Bài t p 4 ………. 6ậ Bài t p 5 ………. 6ậ
IV. K t lu n ……… ế ậ
7
M c l c ……….ụ ụ
8
Nh n xét c a BGH……….ậ ủ
9
Trang 10PH N ĐÁNH GIÁ C A H I Đ NG KHOA H C TRẦ Ủ Ộ Ồ Ọ ƯỜNG
………
………
X p lo i: ế ạ Ngày tháng năm
PH N ĐÁNH GIÁ C A H I Đ NG KHOA H C S GD&ĐT TH A THIÊN HUẦ Ủ Ộ Ồ Ọ Ở Ừ Ế
………
Ngày tháng năm
Trang 11