Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trung học cơ sở trong dạy toán giải bài toán bằng cách lập phương trình luận văn ths lý luận và phương pháp dạy học bộ môn (toán học)

Việc giải bài toán bằng cáchlập hệ phương trình ở chương trình đại số 9 là một ứng dụng của hệ phương trình,song nó còn có ý nghĩa quan trọng trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu th

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

HÀ NỘI – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa: PGS TS Lê Anh Vinh

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn tốt nghiệp, bên cạnh

sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tìnhcủa giáo viên hướng dẫn, các thầy giáo cô giáo, đồng nghiệp và người thân

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lê Anh Vinh - người hướng

dẫn khoa học, người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiệnluậnvăn

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo Trường Đại học Giáo dục ĐHQGHN, Ban giám hiệu, Phòng Quản lý Đào tạo và Nghiên cứu khoa học,

-Bộ phận Tư liệu trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN, Thư viện Quốc giaViệt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu vàhoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán -Tin,trường THCS An Đổ đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè vàđồng nghiệp đã động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi và tận tình giúp đỡ để tôihoàn thành luận văn

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC BẢNG vi

DANH MỤC BIỂU ĐỒ vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 3

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 3

5 Vấn đề nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 4

8 Những đóng góp của Luận văn 4

9 Phương pháp nghiên cứu 4

10 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 5

1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán 5

1.1.1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán 5

1.1.2 Chức năng của bài tập toán 6

1.2 Kỹ năng 7

1.2.1 Khái niệm kỹ năng 7

1.2.2 Sự hình thành kỹ năng 7

1.2.3 Phân biệt giữa kỹ năng và năng lực 8

1.3 Giải toán và kỹ năng giải toán 9

1.3.1 Kỹ năng giải toán 9

iii

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán 10

1.3.3 Các mức độ của kỹ năng giải toán 11

1.3.4 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 11

1.4 Những khó khăn sai lầm của học sinh lớp 8, 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình 12

1.4.1 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy chương trình Đại số lớp 8, lớp 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình 14

Kết luận chương 1 16

Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ 8, 9 THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 17

2.1 Những kiến thức cơ bản về bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình 17

2.2 Quy trình ba bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình 18

2.3 Hệ thống bài tập theo phân loại giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình 18

2.3.1 Những kiến thức bổ trợ để xây dựng hệ thống bài tập 18

2.3.2 Những dụng ý sư phạm khi xây dựng hệ thống bài tập 20

2.3.3 Các bài toán về chuyển động 25

2.3.4 Các bài toán về năng suất lao động 33

2.3.5 Các bài toán về chung - riêng 38

2.3.6 Các bài toán về tỉ lệ, chia phần, tăng giảm 43

2.3.7 Các bài toán về tìm số 44

2.3.8 Các bài toán về nội dung hình học 47

2.3.9 Toán có nội dung Vật lý , Hóa học 50

2.3.10 Toán có chứa tham số 54

Kết luận chương 2 68

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 69

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 69

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 69

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 69

3.2 Phương pháp thực nghiệm 69

3.3 Tổ chức thực nghiệm 70

3.3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm 70

3.3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 70

3.3.4 Nội dung thực nghiệm sư phạm 70

3.3.5 Tiến trình thử nghiệm 71

3.4 Đánh giá kết quả thử nghiệm 83

3.4.1 Phân tích định tính 83

3.4.2 Phân tích định lượng 83

Kết luận chương 3 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 PHỤ LỤC

v

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1: Bảng thống kê điểm số bài kiểm tra 85Bảng 3.2: Bảng thống kê số % bài kiểm tra đạt điểm Xi của bài kiểm tra 86Bảng 3.3: Bảng tổng hợp các tham số của hai nhóm đối chứng và thực nghiệmcủa bài kiểm tra 87

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Đồ thị 3.1: Biểu đồ phân phối điểm của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm của bài kiểm tra 85

Đồ thị 3.2: Biểu đồ phân phối tần suất của hai nhóm đối chứng và thực

nghiệm của bài kiểm tra 86

vii

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Ngày nay, trong quá trình công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, chiến lượccon người có vai trò quan trọng hơn bao giờ hết Cùng với sự phát triển vượt bậccủa thông tin khoa học, những người chủ tương lai của đất nước phải thực sự có đủtri thức khoa học, kĩ thuật để có thể tiếp cận và tiếp ứng trong sự phát triển của đấtnước.Một trong những mục đích quan trọng của quá trình dạy học nói chung và củadạy môn toán nói riêng là hình thành hệ thống những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo chohọc sinh và sự vận dụng sáng tạo các tri thức đó vào đời sống thực tế Quan niệmrằng học sinh là chủ thể của quá trình nhận thức, chỉ có phát huy tới mức cao nhấtkhả năng độc lập, sáng tạo, chủ động, tích cực trong hoạt động nhận thức của họcsinh thì việc học tập mới đạt kết quả tốt Chất lượng của quá trình dạy học khôngchỉ do nội dung tư tưởng của tài liệu quyết định, mà còn do việc xác định phươngpháp: con đường truyền tải những nội dung đó vào trí não của học sinh Là giáoviên giảng dạy bộ môn toán học THCS, tôi thấy việc lựa chọn phương pháp dạy họcsao cho phù hợp với t ng đơn vị kiến thức, với t ng đối tượng học sinh là một việclàm hết sức cần thiết và quan trọng Trong bối cảnh hiện nay ngành giáo dục đã vàđang nỗ lực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủđộng, sáng tạo của học sinh trong hoạt động học tập Việc giải bài toán bằng cáchlập hệ phương trình ở chương trình đại số 9 là một ứng dụng của hệ phương trình,song nó còn có ý nghĩa quan trọng trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toánhọc, những mối liên quan của các đại lượng trong thực ti n.Trong chương trìnhgiảng dạy bộ môn toán học THCS dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phươngtrình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 là một trong những dạng toán cơ bản và tươngđối khó đối với học sinh Loại toán này các bài toán đều có nội dung gắn liền vớithực tế do đó khi giải học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly với thực tế dẫn đếnquên điều kiện của ẩn, hoặc không so sánh đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn,hoặc học sinh không khai thác hết các mối liên hệ dàng buộc, không biết dựa vàomối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình; lời giải thiếu chặt chẽ; giảiphương trình chưa đúng; quên đối chiếu điều kiện; thiếu đơn vị Hơn nữa, kĩ năngphân tích, tổng hợp của học sinh trong quá trình giải bài tập còn

yếu Ngoài ra, cũng có thể do trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ truyền thụcho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sách giáo khoa mà chưa chú ý phânloại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng bằng cách lậpphương trình, nắm chắc và biết cách giải dạng toán này Rèn luyện cho học sinh khảnăng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ Khuyến khích học sinh

vì vậy tôi đưa ra chuyên đề này với mong muốn cùng thảo luận với các đồng chítrong tổ chuyên môn tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với mọi đối tượng họcsinh Để giúp học sinh sau khi học hết chương trình toán THCS có cái nhìn tổngquát hơn về dạng toán giải bài toán tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy đượckhả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán Tạo cho học sinh lòng

tự tin, say mê, sáng tạo, không còn ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cáchlập phương trình thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực ti ntrong cuộc sống cơ bản và tương đối khó đối với học sinh Loại toán này các bàitoán đều có nội dung gắn liền với thực tế do đó khi giải học sinh thường mắc sailầm là thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiện của ẩn, hoặc không so sánh đốichiếu kết quả với điều kiện của ẩn, hoặc học sinh không khai thác hết các mối liên

hệ dàng buộc, không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lậpphương trình; lời giải thiếu chặt chẽ; giải phương trình chưa đúng; quên đối chiếuđiều kiện; thiếu đơn vị Hơn nữa, kĩ năng phân tích, tổng hợp của học sinh trongquá trình giải bài tập còn yếu Ngoài ra, cũng có thể do trong quá trình giảng dạygiáo viên mới chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức theo tinh thần của sáchgiáo khoa mà chưa chú ý phân loại các dạng toán, chưa khái quát được cách giải

cho mỗi dạng.Với những lí do trên tôi quyết định chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Trung học cơ sở trong dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình”.

2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình học sinh thườngmắc phải những lỗi đặt thiếu điều kiện của ẩn, biểu thị các đại lượng chưa biết thôngqua ẩn còn nhầm lẫn, lập hệ phương trình chưa chính xác, quên không kiểm tra đốichiếu với điều kiện ban đầu thậm chí còn giải hệ phương trình sai Với chuyên đề nàytôi nghiên cứu một phương án dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ

2

phương trình thông qua việc phân loại các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh phântích bài toán dưới dạng bảng số liệu để rèn kỹ năng giải toán loại này cho học sinh.Mục đích của luận văn là nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp và góp phần rènluyện kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu các tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về kĩ năng giải toán

- Nghiên cứu thực trạng kĩ năng giải toán của học sinh trong khi học bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

- Tìm hiểu thực trạng học sinh khối lớp 8, lớp 9

- Đưa ra những yêu cầu của một lời giải, chỉ ra được sai lầm học sinh thường mắc phải

- Phân loại được các dạng toán và đưa ra một vài gợi ý để giải t ng dạng qua các ví dụ đồng thời rèn cho học sinh định hướng tìm tòi lời giải

4 Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh

6 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện cho học sinh lớp 8 và lớp 9 Trung học cơ sở theo những biệnpháp đề xuất trong luận văn sẽ rèn luyện cho học sinh có kĩ năng giải toán, đồngthời sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực trong việctiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục, đạt mục tiêu dạyhọc môn Toán

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành trên phạm vi các trường Trung học

cơ sở hiện nay, đơn cử là trường Trung học cơ sở An Đổ, Bình Lục, Hà Nam

Số liệu sử dụng để nghiên cứu đề tài này để thu thập trong khoảng thời gian

t năm 2015 đến năm 2016

8 Những đóng góp của Luận văn

- Cung cấp cơ sở lý luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán

- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình đại số lớp 8 và lớp 9

- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi dạy nội dung “giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình” đại số lớp 8 và lớp 9

- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và giáo viên sư phạm Toán ở trường Trung học cơ sở

9 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu và phân tích tài liệu về lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu liên quan đến môn học

- Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải toáncho học sinh khi dạy học nội dung dung “giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệphương trình” đại số lớp 8 và lớp 9 chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm

- Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyênmôn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học;phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ nănggiải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại trường THCS AN ĐỔ cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

- Phương pháp thống kê toán học

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 chương :

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực ti n của vấn đề nghiên cứu.

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập đại số 8, 9 theo hướng rèn luyện kĩ

năng giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán

Theo G.Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!” [13, tr 82].

Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trongtrường THPT

1.1.1 Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập

toán a Vai trò

Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng quan

trọng, theo Nguy n Bá Kim: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học toán Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo,ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán’’ [6, tr 201] Cũng theo Nguy n

Bá Kim: “Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”[6, tr 388] Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí,

vai trò quan trọng trong hoạt động dạy, học toán ở trường THPT Vì thế, cần lựa

chọn các bài tập sao cho phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thếmới phát huy được năng lực giải toán của học sinh.

b Ý nghĩa

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh cóthể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.Việc giải toán cónhiều ý nghĩa Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức

và rèn luyện kỹ năng Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức tốt để dẫndắt học sinh tự mình tìm kiến thức mới Đó là một hình thức vận dụng những kiếnthức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực ti n, vào vấn đề mới Đó là hình thứctốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh kiểm tra về năng lực, về mức độtiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thúhọc tập của học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh vềnhiều mặt

1.1.2 Chức năng của bài tập toán

Mỗi bài tập toán ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứađựng những chức năng khác nhau Các chức năng đó đều hướng tới việc thực mụcđích hiện mục đích dạy học

Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo

những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu nhữngvấn đề lý thuyết Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên

hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết Đặc biệt hệthống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúphọc sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí ngắn gọn, tiết kiệm thời gian vàphương pháp tư duy Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên

và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành toán học

Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện

chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho họcsinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, t ng bước nâng cao hứngthú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo

Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc lập

suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy di n, quy nạp,

6

tương tự Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giảiquyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo.

Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm tra,

đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học Kiểm tra, đánh giánhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy và học: Vềkiến thức, kỹ năng, năng lực giải toán và hiệu quả dạy học

1.2 Kỹ năng

1.2.1 Khái niệm kỹ năng

Một người giáo viên khi chưa có kinh nghiệm giảng dạy, để hướng dẫn họcsinh thực hành thường làm như sau:

+ Sưu tầm các bài toán về nội dung toán học cần dạy giao cho học sinh.+ Trình bày cách giải

Phương pháp này rất đơn giản, tự nhiên và hiệu quả phụ thuộc nhiều vàotrình độ của người thầy Khi có kinh nghiệm hơn, người giáo viên sưu tầm các bàitoán có chung một cách giải và sau khi giải chúng, người thầy tổng kết thànhphương pháp giải Những phương pháp giải là một dạng kĩ năng giải toán Côngviệc này hoàn toàn phụ thuộc vào kinh nghiệm của cá nhân người thầy Nhưngngười ta phát hiện ra rằng: Khi ra một bài toán mới khác hẳn với bài toán đã làm màhọc sinh vẫn giải được nhờ những kĩ năng có được một cách tự phát trong quá trìnhhọc tập Đây là một quá trình tư duy thực sự hiệu quả nhưng tốn nhiều thời gian vàcông sức Phân tích quá trình tích lũy kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên vàhọc tập của học sinh, chúng ta phát hiện ra một phương pháp hiệu quả bổ sung chohoạt động giảng dạy là tìm kiếm, hệ thống các kĩ năng giải toán cung cấp cho họcsinh những chuyên đề đặc biệt.Với cách này, chúng ta nhanh chóng tiếp cận vớinhiều dạng bài toán khó trên thế giới để rèn luyện tư duy nhận thức ở mức độ cao,tiết kiệm rất nhiều thời gian cho quá trình đào tạo

1.2.2 Sự hình thành kỹ năng

Theo t điển Giáo dục học: Để hình thành kỹ năng trước hết cần có kiến thứclàm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập t ng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiệnđược hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức là cơ sở của kỹ năng

cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rènluyện kỹ năng tương ứng.

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các nhiệm

vụ đặt ra Con đường hình thành kỹ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào cácyếu tố như: Kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn kỹ năng, mức độ chủ động tíchcực của học sinh Có hai con đường hình thành kỹ năng cho học sinh đó là:

- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho họcsinh những bài toán vận dụng tri thức đó T đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải,bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra cácmốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi

- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà t đó có thể xác định đượcđường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào t ng bàitoán cụ thể

- Thực chất sự hình thành kỹ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắmvững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tinchứa đựng trong bài toán

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toáncùng dạng

- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tổng quát và kiến thức tương ứng

- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được tr u tượng hóahay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng, vì vậy nêntạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kỹ năng

1.2.3 Phân biệt giữa kỹ năng và năng lực

Khái niệm năng lực được sử dụng nhiều trong đời sống nói chung và trong

môn toán nói riêng Vậy năng lực là gì? Theo T điển tiếng Việt [23]: “Năng lực như khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động

8

nào đó hay là phẩm chất tâm sinh lí và trình độ chuyên môn tạo cho con người khả năng hình thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao”.

Năng lực là khả năng sử dụng và lựa chọn kiến thức, kỹ năng, thái độ, trongviệc thực hiện một nhiệm vụ học tập chính yếu tới một chuẩn được yêu cầu nào đó.Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện – cách định nghĩa nàycũng gắn với sản phẩm đầu ra nhưng theo hướng hành vi và cụ thể hóa Điểm thốngnhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả kiến thức, kĩ năng, thái độ

và một số yếu tố cá nhân khác Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể đượcphân biệt với việc thực hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể hiện vàđánh giá qua những thực hành có thể nhìn thấy được năng lực còn có thể được địnhnghĩa rộng hơn Năng lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phầnkiến thức, kĩ năng, thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó đểthực hiện đạt chuẩn những nhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học Trongkhuôn khổ của luận văn, luận văn đưa ra các biện pháp rèn kỹ năng toán học chohọc sinh

1.3 Giải toán và kỹ năng giải toán

1.3.1 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải cácbài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …) Kỹ năng giải toándựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kỹ năng, phương pháp Họcsinh sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiếnthức thì kỹ năng được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố,

cụ thể hóa tri thức Toán học

Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện cáchoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán Kỹ năng có thể đượcrút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động Sự tr u tượng hóa trong Toánhọc di n ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng trên nhữngbình diện khác nhau

Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Là sự thể hiện mức độthông hiểu tri thức Toán học Một người hiểu những tri thức Toán học sẽ vận dụngđược để làm toán

Kỹ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác: Kỹ năng trênbình diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác,điều này thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường đòi hỏi ngườigiáo viên dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy bộ học bộ môn Kỹnăng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng của môn Toán,

nó cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học

1.3.2 Sự hình thành kỹ năng giải toán

Theo Descartes – Leibnitz: “Giải toán là một nghệ thuật được thực hành giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn vậy Có thể học được nghệ thuật đó, chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành” Theo

các tác giả V.A.Krutetski, N.D Levitop, AV Petropxki, Nguy n Ngọc Quang thìviệc hình thành một kỹ năng nào đó gồm ba bước:

- Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động

- Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu

- Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó nhằm đạtđược mục đích đề ra Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành kỹ năng cho học sinh, khó cóthể phân chia được rạch ròi theo các giai đoạn nói trên Chẳng hạn, khi khai triển hành độnggiải toán, học sinh chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà chính trong quá trìnhthực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri thức cần thiết Chứng tỏ giữa tri thức

và kỹ năng là hai mặt không thể tách rời của hành động học Lí luận dạy học cũng xác địnhcách dạy của giáo viên sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của học sinh Cũng như các kỹnăng khác, kỹ năng giải toán cũng được hình thành qua bắt chước và tập luyện Để kỹ nănggiải toán được rèn luyện và vận dụng trong quá trình nhận thức, trước hết học sinh phải thấy

rõ tác dụng của những kỹ năng thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyếtmột bài

toán cũng như quy trình thực hiện Khi dạy các kỹ năng, điều quan trọng là không dạyquá nhiều kỹ năng cùng một lúc Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp sẽ được chiathành một chuỗi các bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau Rồi mỗibước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết,sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp Để học được một

kỹ năng, học sinh cần biết chúng ta trông chờ ở các em phải có khả năng

10

làm gì và làm như thế nào cho tốt, làm thế nào sẽ tốt nhất, các em phải biết tại saocách làm này chưa hiệu quả, cách làm kia sẽ tốt nhất Các em phải có cơ hội thựchành (sử dụng), được kiểm tra và hiệu chỉnh việc thực hành đó Thực tế, bộ nhớ cóthể xảy ra hiện tượng quên, do đó người học cần có phương tiện để ghi nhớ và cơhội ôn lại nội dung đã học, sử dụng lại khi cần Tất nhiên việc học của các em cầnđược đánh giá và các em cần được nêu câu hỏi, nêu những thắc mắc.

1.3.3 Các mức độ của kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ:

Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài toán cơ bản hình thànhcác thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xáccông thức, kí hiệu, giải được các bài tập dạng mẫu

Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theocách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp

Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, chuyển hóavấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo

1.3.4 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.3.4.1 Mục tiêu dạy môn Toán

Theo [24]: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam

xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân;chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.

T mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học môn toán:

- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực

- Phát triển trí tuệ cho học sinh

- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực ti

n cho học sinh

- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh.

- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh cónăng khiếu toán học

1.3.4.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THCS

Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trongchương trình

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển: + Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

+ Khả năng suy đoán, tư duy tr u tượng, trí tưởng tượng trong không gian.+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

1.4 Những khó khăn sai lầm của học sinh lớp 8, 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết toán họchình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,…

vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếpcận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụngthiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy họctoán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạtđộng tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học,nhằm nâng cao năng lực phát hiện giải quyết vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ năngvận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực ti n

Trong chương trình Đại Số 8, Đại Số 9 dạng toán “giải bài toán bằng cáchlập phương trình, hệ phương trình” đối với học sinh THCS là một việc làm mới mẻ,

đề bài cho không phải là những phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mốiquan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đạilượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học Hơn nữa, nội dung củacác bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hộihoặc tự nhiên,… Chính vì vậy, người thầy không chỉ truyền thụ cho học sinh

12

những kiến thức như trong sách giáo khoa mà còn dạy cho học sinh cách giải bàitập Người thầy khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựatrên các quy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằngcách lập phương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa cácđại lượng dẫn đến lập được phương trình hoặc hệ phương trình d dàng, đây là bướcđặc biệt quan trọng và khó khăn với học sinh.

Dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” ởchương trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trường THCS là một dạng toán tương đối khóđối với học sinh Do đặc trưng cuả loại toán này thường là loại toán có đề bài bằnglời văn và thường được kết hợp giữa toán học, lý học và hoá học Hầu hết các bàitoán có dữ liệu giằng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìmđược mối liên quan giữa các đại lượng để lập được phương trình hoặc hệ phươngtrình Trong phân phối chương trình toán ở trường THCS thì ở lớp 8 học sinh mớiđược học khái niệm về phương trình, nhưng việc giải phương trình đã có trongchương trình toán t các lớp dưới với mức độ và yêu cầu đơn giản hơn Đặc thù riêngcủa loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế Vìvậy mà việc chọn ẩn thường là những đại lượng có liên quan đến thực tế Do đó khigiải bài toán học sinh thường mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điềukiện của ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giằng buộc trong thực tế tnhững lý do dẫn đến hầu hết học sinh rất ngại giải dạng toán này Mặt khác trongquá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan giáo viên chỉ dạy cho họcsinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa biết phân loại dạng toán, chưa khaithác được phương pháp giải cho mỗi dạng toán, do kỹ năng phân tích, tổng hợp củahọc sinh còn yếu vì thế trong quá trình đặt ẩn , mỗi liên hệ giữa các số liệu trong bàitoán dẫn đến lúng túng trong việc giải dạng toán này Vì thế muốn giải được bàitoán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình điều quan trọng là phải biết di nđạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệ toán học Do vậy nhiệm

vụ của những người thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫn giải bài tập Vì vậy khihướng dẫn cho học sinh học về giải dạng toán bằng cách lập phương trình, hệphương trình phải dựa trên các nguyên tắc sau:

+ Yêu cầu về giải bài toán

+ Quy tắc giải bài toán về cách lập phương trình

+ Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng giảm, thêm bớt )

+ Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình, hệ phương trình d dàng

Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy các

em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách lậpphương trình, hệ phương trình Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểuhọc, các bài toán số học ở lớp 6, 7 Song việc giải các dạng phương trình ở lớp 8,giải hệ phương trình ở lớp 9, phương trình bậc hai ở lớp 9 gặp nhiều khó khăn.Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình thì các emlại thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung (các bước giải) Có nhiều

em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài tập vìcác em không biết xuất phát t đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quangiữa các đại lượng để lập phương trình, hệ phương trình Mà dạng toán này là mộtdạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyểnsinh vào lớp 10 trung học phổ thông, nhưng số học sinh bị mất điểm ở bài nàychiếm đáng kể, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa

vì thiếu nhiều ý, thiếu điều kiện, thiếu di n biến lo gic

Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học vềgiải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là ít tiết nên học sinhcũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham khảo ở cáctrường về dạng bài tập này cũng còn thiếu

1.4.1 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy chương trình Đại số lớp 8, lớp 9 khi giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì tới lớp 8 họcsinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi phương trình.Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán cấp 1 với mức độ vàyêu cầu tùy theo t ng đối tượng học sinh.Một đặc thù riêng của loại toán này là cácbài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế Chính vì vậy mà việc chọn ẩnthường là những số liệu liên quan đến thực tế Do đó khi giải toán học sinh thường

14

mắc sai lầm thoát ly thực tế, dẫn đến quên điều kiện hoặc điều kiện sai, thiếu; họcsinh không khai thác hết được những mối liên hệ ràng buộc của thực tế T những lý

do đó mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này Mặt khác cũng có thể trong quátrình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức

độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa khi chưa biết phân loại toán, chưa kháiquát được cách giải cho mỗi dạng Kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh cònyếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán dẫn đếnlúng túng trong giải toán loại này

Chính vì vậy muốn giải toán bằng cách lập phương trình thì điều quan trọng

là phải biết cách di n đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những mối quan hệtoán học

Kết luận chương 1

Trong các nội dung dạy học thì rèn luyện kỹ năng có vai trò hết sức quantrọng trong việc giải quyết một số bài tập, nhất là bài tập hình học

Chương này trình bày các khái niệm về kỹ năng, kỹ năng giải toán, rèn luyện

kỹ năng trong dạy học toán nhằm góp phần phát triển và bồi dưỡng kỹ năng giảitoán cho người học Nêu các bước giải toán, dạy học chứng minh và chứng minhtoán học Nhiệm vụ của mỗi giáo viên dạy Toán ở trường phổ thông là phải luôn có

ý thức suy nghĩ, tìm tòi các biện pháp thích hợp để rèn luyện cho học sinh kỹ nănggiải các bài tập toán, cụ thể là các bài toán hình học T đó tạo niềm say mê, hứng thútrong học tập cho học sinh

16

Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ 8, 9 THEO HƯỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Những kiến thức cơ bản về bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

Trong chương trình Đại Số 8, Đại Số 9 dạng toán “giải bài toán bằng cáchlập phương trình, hệ phương trình” đối với học sinh THCS là một việc làm mới mẻ,

đề bài cho không phải là những phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mốiquan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đạilượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học Hơn nữa, nội dung củacác bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hộihoặc tự nhiên,… Chính vì vậy, người thầy không chỉ truyền thụ cho học sinh nhữngkiến thức như trong sách giáo khoa mà còn dạy cho học sinh cách giải bài tập.Người thầy khi hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này phải dựa trên cácquy tắc chung là: yêu cầu về giải một bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lậpphương trình, phân loại các dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượngdẫn đến lập được phương trình hoặc hệ phương trình d dàng, đây là bước đặc biệtquan trọng và khó khăn với học sinh

T tình hình thực tế trong nhà trường, đặc biệt trực tiếp giảng dạy bộ môntoán, bản thân tôi tự nhận thấy giáo viên đều được đào tạo cơ bản, đạt chuẩn về trình độchuyên môn Do đó trình độ chuyên môn khá đồng đều, giáo viên có lòng say mê nghềbám trường, bám lớp, có lòng yêu nghề mến trẻ, có lòng nhiệt huyết cao trong giảng dạy.Người giáo viên cố gắng tìm tòi sáng tạo trong việc hướng dẫn học sinh giải các bài toánbằng nhiều phương pháp

Trong quá trình giảng dạy giáo viên chú trọng đến việc khai thác bằng nhiềuphương pháp nhằm giúp học sinh phát triển khả năng tư duy lôgíc khả năng di n đạtchính xác ý tưởng của mình, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lậpsáng tạo, nâng cao năng lực, phát hiện giải quyết vấn đề một cách cụ thể, rèn luyện

kỹ năng vào vận dụng thực ti n, tác động đến tâm tư tình cảm đem lại niềm vui,hứng thú học tập cho học sinh

2.2 Quy trình ba bước giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

T những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quankhác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao trongcông tác Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách lậpphương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho

phù hợp với khả năng nhận thức của t ng đối tượng Các bài tập ở dạng t thấp đếncao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình,đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi

Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh,lắng nghe ý kiến của các em Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải thamgia trao đổi nhóm khi cần thiết Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủđộng, có trách nhiệm với bản thân và tập thể

Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưađồng bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vàomột quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Cụ thểnhư sau :

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau

- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;

- Biểu di n các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

- Tùy t ng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn

và phù hợp

Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (nghiệm

của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồikết luận)

2.3 Hệ thống bài tập theo phân loại giải bài toán bằng cách lập phương trình

và hệ phương trình

2.3.1 Những kiến thức bổ trợ để xây dựng hệ thống bài tập

- Biết kĩ năng giải phương trình và hệ phương trình

- Dạng bài toán chuyển động

18

Công thức chuyển động đều : S = v.t

Trong đó: S - Quãng đường (km, m, cm )

-Toán về năng suất lao động

Mối liên hệ giữa các đại lượng: K, N, T

K = N.T ; N = KT và T = KN

Trong đó: K : Khối lượng công việc

N : Năng suất lao động

T : Thời gian lao động-Toán về tỉ lệ, chia phần ,tăng giảm

+ Sự phân tích trong quá trình lao động

+ Kỹ năng biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng

+ Biểu di n các tỷ lệ dưới dạng: Phần trăm, thập phân, tỷ lệ thức

+ Các tính chất của tỷ lệ thức

+ Sự tăng giảm, thêm bớt qua các biểu thức

-Toán có nội dung số học

Kiến thức cần nhớ

+ Cấu tạo thập phân của một số

+ Việc thay đổi thứ tự các chữ số, thêm bớt chữ số

+ Cấu tạo của một phân số, điều kiện phân số tồn tại

-Toán có nội dung hình học

+ Công thức tính diện tích, chu vi hình quen thuộc (tam giác, tam giác vuông, hình

chữ nhật, hình vuông, hình thang )

+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

- Toán có nội dung Vật lý , Hóa học Kiến thức cần nhớ

Ngoài kiến thức chung của quy tắc giải, học sinh cần nắm vững kiến thức sau:+ Công thức tính nhiệt lượng: Qtoả = C.m(t1-t2)

Qthu = C.m(t2-t1)+ Nồng độ dung dịch: C% =m

2.3.2 Những dụng ý sư phạm khi xây dựng hệ thống bài tập

Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.

Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn họcsinh tìm hiểu đề toán Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ

đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, t ng câu, t ng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đãcho những gì, yêu cầu tìm những gì T đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quátrình giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm Việc hiểu kỹ nội dung đề bài

là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập toán Nó giúp học sinh rất nhiều trong việcchọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán

Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiềuvới điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán

Bài toán: Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được

một số lớn hơn số đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99.Tìm số đã cho

Phân tích:

Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:

+ Số có hai chữ số ab thì được biểu di n là 10ab

Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vịcủa số cần tìm Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫnđược một số có hai chữ số Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0

20

Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx  10 y  x

Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :

đầu của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa

Yêu cầu 2: Lời giải phải có căn cứ chính xác.

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinhlập luận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học Vì mỗi câu lập luận trong bàigiải đều liên quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán Do đó giáo viêncần phải giúp học sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bàitoán, để t đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho

và ẩn số để lập luận và lập nên phương trình Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinhgiải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyệntập các phương pháp biểu di n sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thứcchứa ẩn, trong đó ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết Học sinh cóthể sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngoài giấy nháp) để biểu di n các đại lượngchưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng

Bài toán: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì

xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi nếu làm mộtmình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Khi đó nếu gọi:

+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc

+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc Ta có bảng sau :

+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A

+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B Ta có bảng sau:

Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp hơn so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc” Do đó khi giải cần chú ý đến việc

chọn ẩn.

Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.

Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đếntính toàn diện của bài giải Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác,không th a cũng không thiếu Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đềbài, không bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cảcác dữ kiện của bài toán, lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùngcác em phải chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả

để trả lời, kết luận bài toán cho chính xác Có như vậy mới thể hiện được tính đầy

đủ và toàn diện nhất

Bài toán: Một ô tô đi t A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với

vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường AB vàthời điểm xuất phát của ôtô tại A

Giải:

Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)

Thời gian dự định đi t A đến B là y (giờ)

23

Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt

Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mangtính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu

Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương

trình dễ giải hơn

Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :

Gọi số chân gà là x ( xZ , 0 x 100 ) và số chân chó là y ( yZ , 0 y 100 )

Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học.

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cầnlập luận dựa vào các dữ kiện của đề bài Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giảicần phải có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau Giữacác bước lập luận biểu di n sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽvới nhau, bước sau là sự kế th a của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý chobước sau tiếp nối Không nên di n giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữacác bước

24

Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lậpphương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh Ngoài việcnhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình,phương trình, nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đốitượng để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy họcvẫn là do người giáo viên Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được

lý thuyết để giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một

hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợpvới t ng đối tượng học sinh Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáokhoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho học sinh quacác giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập khác Mặt khácgiáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có một nhóm trưởng

tổ chức thảo luận các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểu được bàimột cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm cho các

em không chán nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài toán bằng cách lậpphương trình T đó giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn Dovậy giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm vàcũng cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh t ng dạng toán giải bài toán bằng cáchlập phương trình để t đó học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

2.3.3 Các bài toán về chuyển động

Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian

S = v.t quãng đường = vận tốc ´ thời gian

t = Sv thời gian = quãng đường : vận tốc

v = St vận tốc = quãng đường: thời gian

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;

Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;

Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;

Đến muộn hơn (đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn

Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa

+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều”:

Bài toán: Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp t làng lên tỉnh trên quãng đường dài

30 km, khởi hành cùng một lúc Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô

Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ Tính vận tốc xe của

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời

gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình: 30 30 1

Giải phương trình:

x(x  3)  60x  60x 180 hay x 2  3x  180  0

x1 = 15, x2 = -12

Vì x > 0 nên x2 = -12 không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy: Vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h

Vận tốc của cô Liên là 12 km/h

+ Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xuôi (ngược) dòng”:

Vận tốc thực: Là vận tốc của vật đi được khi dòng chảy đứng yên.

vxuôi = vthực + vdòng vngược = vthực - vdòng

vdòng = (vxuôi - vngược ) : 2 vthực = (vxuôi + vngược ) : 2

26

Bài toán: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km Một canô đi t

bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A Kể t lúc khởi hành đến

khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng,

biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h

Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h), x > 3

Gọi vận tốc khi đi xuôi dòng là: x + 3 (km/h)

Gọi vận tốc khi ngược dòng là: x - 3 (km/h)

4Trả lời: Vận tốc của canô trong nước yên lặng là 12 km/h.

27