Rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI THỊ HẰNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận và phương p

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

BÙI THỊ HẰNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 8 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Hữu Nam

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, côgiáo của trường Đại học Giáo dục- Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảngdạy, tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Hữu Nam - người

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu,thực hiện luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo, các thầy cô giáo và các em họcsinh trường THPT A Duy Tiên đã tạo điều kiện, cộng tác và giúp đỡ tác giả trongquá trình làm thực nghiệm sư phạm hoàn thiện luận văn của mình

Xin cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạyhọc môn Toán khóa QH-2017-S trường Đại học Giáo dục- Đại học Quốc gia HàNội đã quan tâm, chia sẻ, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.Vàtác giả xin cảm ơn gia đình, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoànthành luận văn này

Mặc dù tác giả đã rất nghiêm túc, cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận vănnày, nhưng vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả rất mongđược sự chỉ dẫn, đóng góp ý kiến của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận vănđược hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2019

Người viết

Bùi Thị Hằng

i

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ vi

MỤC LỤC ii

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 2

3 Mục đích nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Đối tượng và khách thể nghiên cứu 2

6 Vấn đề nghiên cứu 3

7 Giả thuyết khoa học 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

9 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Kỹ năng 5

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 5

1.1.2 Kỹ năng giải toán 6

1.1.3 Đặc điểm của kỹ năng 6

1.1.4 Các mức độ của kỹ năng giải toán 7

1.2 Nhiệm vụ rèn kỹ năng giải toán cho học sinh 8

1.2.1 Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh là một mục tiêu dạy học môn Toán 8

1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 8

1.2.3 Vai trò của bài tập trong dạy học 9

1.3 Thực hiện vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 11

1.3.1 Phân tích chương trình sách giáo khoa 11

1.3.2 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12 ở trường trung học phổ thông 12

Kết luận chương 1 16

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÍNH

TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 17

2.1 Biện pháp 1: Rèn kỹ năng tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân, sử dụng các nguyên hàm cơ bản 17

2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đổi vi phân để biến đổi tích phân đã cho về tích phân cơ bản hoặc áp dụng công thức tích phân từng phần 21

2.2.1 Kỹ năng biến đổi vi phân để quy tích phân đã cho về tích phân cơ bản 21

2.2.2 Kỹ năng biến đổi vi phân trong tính tích phân từng phần 25

2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số phù hợp với từng dạng khác nhau 29

2.3.1 Tính tích phân của hàm phân thức hữu tỷ bằng phương pháp hệ số bất định kết hợp với đổi biến số 30

2.3.2 Rèn luyện kỹ năng tính tích phân của hàm số chứa một căn thức 35

2.3.3 Rèn luyện kỹ năng tính tích phân của hàm số lượng giác 38

2 3.4 Tính tích phân của hàm số mũ và logarit 42

2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tính tích phân hàm ẩn 44

2.4.1 Biến đổi đưa về nguyên hàm tích phân cơ bản và sử dụng tính chất tích phân 44

2.4.2 Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số 46

2 4.3 Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tích phân từng phần 49

2.4.4 Tính tích phân hàm ẩn bằng cách tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân 51

2.5 Biện pháp 5: Khắc phục và sửa chữa một số sai lầm học sinh thường gặp khi tính tích phân 55

2.6 Biện pháp 6: Rèn luyện tính linh hoạt, nhuần nhuyễn trong việc tính tích phân cho học sinh thông qua hệ thống bài tập tổng hợp 61

2 6.1 Rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt trong tính tích phân thông qua những bài tính tích phân bằng nhiều cách 62

2.6.2 Rèn luyện tính nhạy bén cho học sinh trong việc nhận dạng và phương pháp tính tích phân thông qua hệ thống gồm nhiều dạng tích phân khác nhau 65

Kết luận chương 2 81

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 82

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 82

iii

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 82

3.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 82

3.4 Tổ chức thực nghiệm 82

3.4.1 Chọn lớp thực nghiệm 82

3.4.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm 83

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm 84

3.5.1 Phân tích định tính 84

3.5.2 Phân tích định lượng 84

3.5.3 Kết luận chung về thực nghiệm 87

Kết luận chương 3 87

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 88

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

v

DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1 Phân tích thống kê nội dung, chương trình Tích phân trong Chương 3

Giải tích 12 12

Bảng 1.2 Đánh giá mức độ khó của bài toán tính tích phân 14

Bảng 1.3 Đánh giá mức độ linh hoạt của HS 14

Bảng 1.4 Đánh giá thời lượng dành cho việc rèn luyện kỹ năng tính tích phân cho học sinh 14 Bảng 1.5 Đánh giá mức độ khó của bài toán tính tích phân: 15

Bảng 1.6 Đánh giá mức độ kỹ năng đạt được của học sinh 15

Bảng 1.7 Đánh giá về thời lượng dành cho việc rèn luyện kỹ năng tính Tích phân trên lớp15 Bảng 2.1 Một số dạng u và dv thường gặp trong tích phân từng phần 26

Bảng 3.1 Thống kê kết quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 85

Bảng 3.2 Thống kê kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm 85

Bảng 3.3 Các mức điểm kiểm tra tính theo tỉ lệ phần trăm 85

Biểu đồ 3.1 Các mức điểm kiểm tra ở lớp đối chứng 86

Biểu đồ 3.2 Các mức điểm kiểm tra ở lớp thực nghiệm 86

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hiện nay với sự phát triển nhanh của khoa học, kỹ thuật và công nghệ thôngtin, nhờ đó mà thế giới thay đổi hằng ngày, sự thay đổi này chủ yếu dựa vào tiến bộcủa khoa học kĩ thuật, cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 và nền tảng của nó Cùngvới đó đất nước cần có những con người năng động, có khả năng thích nghi cao với

sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học, kĩ thuật và đời sống Để tạo ra nhân lựcđáp ứng được yêu cầu trên thì nhiệm vụ của giáo dục là đào tạo được con người laođộng tự chủ, sáng tạo, giải quyết được các vấn đề thực tiễn

Cùng với với phát triển và nhu cầu cần thiết về nguồn nhân lực của xã hội

mà ngành giáo dục cũng phải đổi mới Nó đang được diễn ra rộng khắp trên tất

cả các mặt của giáo dục và trên tất cả các bộ môn học Toán học là môn học có vịtrí vô cùng quan trọng vì nó là môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiềungành khoa học khác, góp phần lớn vào việc đào tạo những con người lao độngmới thông minh sáng tạo Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn thì dạy học Toán khôngchỉ là dạy kiến thức mà còn dạy cả kỹ năng, tư duy và tính cách Trong đó dạy kỹnăng đóng vai trò đặc biệt quan trọng và cần thiết vì kỹ năng là cơ sở để pháttriển tư duy để giải quyết vấn đề Nó là một trong những yêu cầu quan trọng đểđảm bảo mối quan hệ giữa lý thuyết và thực hành Quá trình dạy học sẽ khôngđạt kết quả cao nếu học sinh chỉ nắm và thuộc được lý thuyết mà không thể vậndụng lý thuyết vào giải bài tập

Trong dạy học môn Toán, việc rèn kỹ năng tính toán, vận dụng toán học vàothực tiễn có vai trò quan trọng đặc biệt Ở chương trình môn Toán Trung học phổthông nguyên hàm, tích phân là một mảng kiến thức rất quan trọng thuộc giải tích

12. Các bài toán tính tích phân luôn xuất hiện trong tất cả các đề khảo sát chấtlượng cuối năm lớp 12, Đại học cao đẳng trước đây và THPT quốc gia hiện nay.Tuy nhiên trong nhiều năm dạy học tích phân tôi mặc dù học sinh thuộc định nghĩa,tính chất và hai phương pháp tính tích phân cơ bản nhưng vẫn lúng túng trong khitính tích phân, đặc biệt là việc áp dụng phương pháp đổi biến số Vì vậy

để HS tính tích phân một cách nhuần nhuyễn, thành thạo đòi hỏi GV phải có những biện pháp rèn kỹ năng giải toán tính tích phân một cách phù hợp

1

Chính vì những lý do trên nên tác giả chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải

toán tính tích phân cho học sinh lớp 12”

2. Lịch sử nghiên cứu

Ở nước ta đã có một số công trình nghiên cứu về lý luận và thực tiễn củaviệc rèn kỹ năng cho học sinh trong việc giải Toán như các tác giả: Nguyễn CảnhToàn, Nguyễn Bá Kim, Hoàng Chúng… cũng có một số tác giả nghiên

cứu về Tích phân Nhưng chưa có đề tài nào nghiên cứu nội dung chuyên sâu vềnội dung rèn kỹ năng giải Toán tính tích phân một cách cụ thể chi tiết

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu khai thác các tri thức phương pháp rèn kỹ năng để đề xuất một

số biện pháp nhằm góp rèn luyện kỹ năng các bài tập tích phân trong chủ đề nguyênhàm tích phân và ứng dụng trong chương trình giải tích lớp 12 cho học sinh

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hệ thống lý luận về kỹ năng và kỹ năng giải Toán

- Nghiên cứu và đề xuất các phương pháp rèn kỹ năng giải các bài toán tích phân

- Hệ thống hóa các dạng bài tập dưới dạng cơ bản và nâng cao nhằmphục vụ cho việc giảng dạy chủ đề các phương pháp tính tích phân lớp 12 theophân phối chương trình

- Làm rõ tính khả thi và hiệu quả của đề tài thông qua quá trình thực nghiệm sư phạm

5. Đối tượng và khách thể nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

Qua trình rèn kỹ năng giải toán tính tích phân ở chương trình lớp 12

Thời gian: Từ tháng 11 năm 2018 đến tháng 10 năm 2019

6 Vấn đề nghiên cứu

Dạy các bài toán tích phân cho học sinh lớp 12 như thế nào để rèn luyệnđược kĩ năng giải toán cho học sinh?

7 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông theo nhữngphương pháp đề xuất trong luận văn sẽ tạo được kỹ năng giải toán nhanh vàchính xác cho học sinh

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu sách giáo khoa Giải tích lớp 12 hiện hành, và sách toán tham khảo liên quan đến tích phân

- Nghiên cứu một số tài liệu về giáo dục học, lí luận dạy học, tâm lí học dạyhọc

- Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích một số tài liệu và công trình khoa học

có liên quan đến đề tài

8.2 Phương pháp điều tra xã hội học

- Quan sát theo dõi hoạt động học của học sinh trong những giờ dạy thực nghiệm và không thực nghiệm

- Phỏng vấn, điều tra bằng phiếu hỏi đối với giáo viên tổ Toán và học sinhkhối 12 về thực trạng dạy học Tích phân của chủ đề Nguyên hàm, tích phân vàứng dụng

- Mẫu khảo sát: Các lớp 12A1,12A2 trường Trung học phổ thông A Duy Tiên, giáo viên tổ toán trường Trung học phổ thông A Duy Tiên

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luậnvăn được chia làm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Trong thực tiễn cuộc sống, con người luôn phải giải quyết các tình huốngcông việc thuộc các lĩnh vực thực hành hay nhận thức Để xử lý được con ngườicần vận dụng kiến thức, vốn hiểu biết và kinh nghiệm Trong quá trình đó conngười sẽ dần hình thành cho bản thân các kỹ năng giải quyết vấn đề đặt ra

“Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [15,tr426].

“ Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã

có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác

nó là khả năng làm việc có phương pháp

Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức để giải quyết nhiệm vụ đặt ra.Trong đó tri thức bao gồm những tri thức sự vật như khái niệm, định lí, tính chất,

… và những tri thức phương pháp: thuật giải, phương pháp tính toán,… Tri thức

là cơ sở của kỹ năng

Để giải quyết được một bài toán cụ thể, nếu chỉ dựa vào kiến thức màkhông có kỹ năng thì cũng không xử lý được hoặc không triệt để Vì vậy mà sosánh với kiến thức thuần túy hay thông tin trơn thì kỹ năng chiếm vai trò quantrọng hơn nhiều

Trong quá trình giảng dạy cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khigiải quyết các bài tập cụ thể Nguyên nhân do học sinh không nắm vững kiếnthức, khái niệm, định lý,… không vận dụng được lý thuyết vào thực tiễn Muốn

5

hình thành được kỹ năng đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học sinh, giáo viêncần tổ chức các hoạt động dạy học nhằm phát triển năng lực, tính tự giác, sángtạo của học sinh Từ đó học sinh có thể nắm vững kiến thức, kỹ năng và vận dụngvào thực tiễn.

1.1.2 Kỹ năng giải toán

Một trong những yêu cầu đặt ra nhằm mục đích dạy môn toán là: Về trithức và kỹ năng, cần chú trọng những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức

có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng Ví dụ như tri thức và kỹnăng giải bài toán hình học không gian, tri thức và kỹ năng tính tích phân, kỹnăng hoạt động và tư duy hàm…

Kỹ năng trong Toán học là khả năng vận dụng kiến thức Toán học để giảicác bài tập toán, thực hiện chứng minh toán học cũng như phân tích có phê pháncác lời giải và chứng minh nhận được

Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển trong quá trình dạy học

nó có thể được bổ sung thêm hoặc rút gọn hơn, thay đổi theo quá trình Kỹ nănggiải bài tập toán của học sinh là khả năng sử dụng có mục đích, sáng tạo và chínhxác những kiến thức toán học đã được học để giải bài tập toán học

Muốn có kỹ năng về hành động nào đó, chủ thể cần phải có kiến thức đểhiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kếtquả, để thực hiện hành động và biết tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó

để đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra

1.1.3 Đặc điểm của kỹ năng

Bất cứ kỹ năng nào cũng được hình thành dựa trên cơ sở lý thuyết, đó làkiến thức Bởi vậy, cấu trúc của kỹ năng là: Hiểu mục đích - biết cách thức đi đếnkết quả - hiểu được những điều kiện để triển khai các cách thức đó

Kiến thức là cơ sở căn cứ của kỹ năng khi nó phản ánh đầy đủ các thuộctính cơ bản của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tế và tồn tại trong ý thứcvới cách thức của hành động

Để hình thành kỹ năng hành động nào đó cần:

+ Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, các bước làm để điđến kết quả.

+ Tiến hành hành động với yêu cầu đề ra

+ Có thể qua bắt chước, luyện tập để hình thành kỹ năng nhưng cần phảiđược trải qua thời gian đủ dài

Kỹ năng giải toán phải được dựa trên các tri thức toán học: kiến thức, kỹnăng, phương pháp Vì kỹ năng được hình thành qua bắt chước và luyện tập nêntrong quá trình giảng dạy, giáo viên không nên dạy quá nhiều kỹ năng cùng mộtlúc Việc dạy từng kỹ năng kết hợp thực hành chậm rãi, chính xác sẽ giúp họcsinh tiếp thu bài tốt hơn

1.1.4 Các mức độ của kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải bài tập toán có thể chia thành ba cấp độ khác nhau như sau:

- Biết làm: Áp dụng lý thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành các thaotác cơ bản

- Thành thạo: Giải nhanh, chính xác, ngắn gọn bài toán theo cách giải đã biết vàmột số bài tập hỏi theo cách khác trong hoàn cảnh mới, điều kiện mới, tương tựnhư bài toán đã biết, giải được các bài toán tổng hợp, phức tạp, đa dạng

- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: tìm ra các cách giải ngắn gọn, mở rộng vấn đề, chuyển hóa vấn đề linh hoạt khéo léo, cách giải quyết vấn đề độc đáo, sáng tạo

Ví dụ: Nếu một học sinh tính được tích phân I1 =∫2(5 − 4x )dx được xem là biết

Cách 1: Ta có (5 − 4 x )3 = 125 − 300 x + 240 x 2 − 64x3 sau đó áp dụng bảngnguyên hàm, định nghĩa và tính chất của tích phân.

Cách 2: Đổi biến số với t = 5 − 4 x.

Cách 3: Áp dụng công thức biến đổi vi phân d (5−4 x)= −4dx.

1.2 Nhiệm vụ rèn kỹ năng giải toán cho học sinh

1.2.1 Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh là một mục tiêu dạy học môn Toán

Mục tiêu của dạy học môn Toán là trang bị học sinh các tri thức, kỹ năng,phương pháp toán học cơ bản, cần thiết; nhằm góp phần xây dựng hình thànhphát triển năng lực trí tuệ; nhằm bồi dưỡng phẩm chất đạo đức, phong cách laođộng khoa học, hình thành ý chí và thói quen tự học thường xuyên cho học sinh.Các mục tiêu của dạy học môn toán thể hiện sự thống nhất toàn diện và quan hệmật thiết, hỗ trợ, bổ sung cho nhau

Tri thức được coi là cơ sở để thực hiện các mục tiêu khác Mục tiêu hìnhthành phát triển năng lực trí tuệ là quan trọng nhất; thông qua các hoạt động màrèn luyện kỹ năng cho học sinh đồng thời góp phần củng cố tri thức

Mục tiêu rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12 được cụthể hóa như sau:

+ Học sinh biết, hiểu, thuộc được bảng nguyên hàm cơ bản đồng thời vận dụng nó một cách linh hoạt vào giải các bài toán tính tích phân

+ Học sinh hiểu và vận dụng được thành thạo các tính chất, các phươngpháp tính tích phân và có thể giải bài toán tính tích phân bằng cách nhanh nhất

1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Việc rèn kỹ năng giải toán cho học sinh nhằm đáp ứng được các yêu cầu sau:

- Thứ nhất là giúp học sinh hiểu, hình thành và tiếp nhận được những kiếnthức cơ bản của chương trình giáo dục

- Thứ hai là giúp các em phát triển được năng lực trí tuệ:

+ Khả năng phán đoán, tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng trong không gian

+ Tư duy logic (trong đó có tư duy thuật toán) và ngôn ngữ lời giải chính xác

+ Một số thao tác tư duy như tổng hợp, phân tích, khái quát hóa, đặc biệt hóa, quy lạ về quen,….

+ Các phẩm chất trí tuệ như trừu tượng, tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

1.2.3 Vai trò của bài tập trong dạy học

Trong môn Toán, bài tập có một vị trí vô cùng quan trọng Vai trò của bàitập toán được thể hiện trên các phương diện: Mục tiêu, nội dung phương phápdạy học

Trên phương diện mục tiêu dạy học các bài tập toán cũng có những chứcnăng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục tiêu dạy học môn Toán:

+ Bài tập toán giúp hình thành tri thức, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ởnhững khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán họcvào thực tiễn;

+ Nhằm giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạtđộng tư duy và qua đó hình thành những phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của học, người lao động

Trên phương diện nội dung dạy học: bài tập toán học mang hoạt động liên

hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoànchỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý thuyết

Trên phương diện phương pháp dạy học: bài tập toán học giúp người họckiến tạo những tri thức nhất định và thực hiện các mục tiêu dạy học khác Từ đó,góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tựgiác, chủ động, tích cực, sáng tạo được thực hiện cá nhân hoặc nhóm hay tập thể.Các yêu cầu đối với một lời giải:

- Kết quả đúng kể cả kết luận cuối cùng và các bước trung gian

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải hợp lý và ngắn gọn nhất.

- Nghiên cứu giải các bài tập tương tự, lật ngược hay mở rộng vấn đề

Để giải được một bài toán cần thực hiện các bước sau:

Bước thứ nhất: Tìm hiểu về nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới các dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung củabài toán;

- Phân biệt cái bài toán đã cho và cái cần phải tìm, cần phải chứng minh;

- Có thể sử dụng kí hiệu, công thức, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đềbài

Đặc biệt với một bài toán hình học nếu cần thiết phải vẽ hình cho nó Hình

vẽ sẽ giúp chúng ta hiểu được đề bài cụ thể, rõ ràng hơn Hình vẽ còn có tácdụng gợi ý cho việc tìm ra cách giải của bài toán và cũng giúp phát triển trítưởng tượng không gian

Bước thứ hai: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ các suy nghĩ có tính chất tìm đoán: trên

cơ sở phân tích đề bài nhằm biến đổi bài toán đã cho, biến đổi cái phải tìm hoặcphải chứng minh, liên hệ với những kiến thức, lý thuyết đã biết, có thể liên hệ bàitoán cần giải với một bài toán đã biết tương tự, với một bài toán tổng quát hơnhay một bài toán khác có liên quan hoặc sử dụng các phương pháp đặc thù vớitừng dạng bài toán cụ thể chẳng biến đổi tương đương đối với bài toán chứngminh đẳng thức, giải phương trình, bài toán tích phân nguyên hàm, bài toán quynạp, bài toán dựng hình,…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ các bước thực hiện có đúng không,biến đổi tương đương hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quảtìm được đó với một số kiến thức liên quan

- Tìm tòi các cách giải khác, so sánh các lời giải đó để chọn được cách giải hợp lý và ngắn gọn nhất

Bước thứ ba: Trình bày lời giải

- Từ cách giải đã được tìm ở bước 2, sắp xếp các việc phải làm thành mộtchương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp ngắn gọn nhất và thực

hiện các bước đó.

- Kiểm tra lại toàn bộ quá trình trình bày, kết quả có thể sử dụng máy tính

Bước thứ tư: Nghiên cứu sâu lời giải

- Từ lời giải nghiên cứu về khả năng ứng dụng kết quả của nó vào các bàitoán hoặc lĩnh vực khác

- Tìm cách giải khác cho bài toán (nếu có) Lời giải đã làm có hợp lýkhông? Nếu bài toán có nhiều cách giải thì tìm lời giải tối ưu

- Nghiên cứu giải các lớp bài toán tương tự, có thể xây dựng bài toántương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Tìm cách đề xuất những bài toán khácnhờ tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa,…

Ví dụ với bài toán tính tích phân ∫2

0

toán tích phân này thuộc dạng gì? Tích phân này đã là dạng cơ bản chưa? Cầnphải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân như thế nào? Tích phân có thể tính bằngphương pháp nào? Có bao nhiêu cách tính tích phân này?

1.3 Thực hiện vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

1.3.1 Phân tích chương trình sách giáo khoa

Trong sách giáo khoa giải tích 12, nội dung tích phân nằm trong chương 3 Khái niệm tích phân xuất phát từ bài toán tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởimột đường cong Việc giải bài toán trên được đưa về bài toán tính diện tích hìnhthang cong Các tính chất của tích phân được trình bày có hệ thống

Việc tính tích phân được thực hiện bởi công thức Newton Leibniz, tuynhiên, trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng các phương pháp khác (phươngpháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần)

Ứng dụng của tích phân được thực hiện qua bài toán về diện tích hìnhphẳng và thể tích khối tròn xoay Phần ứng dụng vật lý của tích phân không được

đề cập đến

11

Việc không đưa vào tổng tích phân trong phần định nghĩa làm cho học

sinh không thấy được bản chất đích thực của phép tính tích phân từ đó phải thừa

nhận hàng loạt những ứng dụng của tích phân như diện tích hình phẳng, thể tích

của vật thể, quãng đường đi được của vật… Đồng thời cũng khó cho GV giải

thích cho HS khi sử dụng kí hiệu ∫b f ( x )dx để chỉ tích phân trong khi nếu khái

a

niệm tích phân được định nghĩa bằng tổng tích phân thì các kí hiệu tích phân

xuất hiện rất tự nhiên

Sơ lược nội dung chương trình nguyên hàm tích phân lớp 12:

Theo chương trình SGK lớp 12 hiện hành chủ đề nguyên hàm tích phân được

trình bày ở chương 3 có nội dung cụ thể như sau:

Bảng 1.1 Phân tích thống kê nội dung, chương trình Tích phân

trong Chương 3 Giải tích 12.

Nội dung

§1 Nguyên hàm

§2 Một số phương pháp tìm nguyên hàmLuyện tập

§3 Tích phân

§4 Một số phương pháp tính tích phânLuyện tập

§5 Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng

§6 Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thểLuyện tập

Câu hỏi và bài tập ôn tập chươngKiểm tra

Với việc chỉ có 20 tiết dành cho nội dung này, GV chỉ có thể giúp HS hiểu được

khái niệm và biết được phương pháp cơ bản

1.3.2 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học

sinh lớp 12 ở trường trung học phổ thông

* Những thuận lợi và khó khăn khi giảng dạy nội dung nguyên hàm và tích phân.

- Những thuận lợi:

Đây là kiến thức mới đối với học sinh, có nhiều ứng dụng trong toán học

và thực tế, trong khoa học kỹ thuật nên gây được sự thích thú với HS

Với việc không đưa tổng tích phân vào phần định nghĩa mà trình bày, diễnđạt kiến thức mới của SGK là tương đối phù hợp, dễ hiểu với trình độ nhận thứccủa phần lớn HS hiện nay

Các bài tập tính tích phân phù hợp với nội dung chương trình, các bài tậpphức tạp đã được giảm tải

- Những khó khăn:

Nội dung nguyên hàm tích phân là một nội dung kiến thức khó và lần đầuđược tiếp cận Vì vậy các em sẽ có nhiều lúng túng, bỡ ngỡ và gặp phải nhiềukhó khăn khi học tập Ví dụ như khó khăn trong việc vận dụng các công thức từbảng nguyên hàm vào các bài toán tích phân cụ thể; HS nhầm lẫn giữa công thứcđạo hàm và nguyên hàm đặc biệt là mảng liên quan đến lượng giác Nhiều emcòn mơ hồ không nắm được lý thuyết, bản chất của định nghĩa, định lý, phươngpháp tính tích phân Số tiết của phân phối chương trình dành cho nội dungnguyên hàm tích phân còn hạn chế trong khi nội dung kiến thức này lại trừutượng khó hiểu Đây thực sự là điều bất cập gây ra tâm lý ngại khó khi học đốivới HS và ngại dạy đối với GV

Phiếu tham khảo ý kiến của Giáo viên và Học sinh:

* Chúng tôi đã tiến hành xây dựng mẫu phiếu điều tra để nắm bắt những ý kiến,đánh giá của giáo viên Toán THPT về mức độ khó của bài toán tính tích phântrong chương trình, mức độ kỹ năng đạt được của học sinh, thời lượng dành choviệc rèn kỹ năng tính tích phân cho học sinh có phù hợp không, những ý kiến đềxuất, trao đổi của GV (mẫu điều tra ở phụ lục 3)

Có 20 giáo viên toán tham gia Dưới đây là bảng tổng hợp các ý kiến:

13

Bảng 1.2 Đánh giá mức độ khó của bài toán tính tích phân

Về ý kiến đề xuất, trao đổi của GV:

Cần tăng thêm thời lượng cho phần luyện tập tính tích phân

Đa số HS thuộc bảng nguyên hàm và công thức tính tích phân nhưng lạilúng túng trong quá trình vận dụng vì hàm số dưới dấu tích phân đa dạng, phongphú, đòi hỏi kỹ năng tổng hợp của học sinh

Vì vậy cần việc rèn luyện cho HS kỹ năng tính tích phân Chẳng hạn rèncho học sinh luyện các công thức biến đổi vi phân,…

Chúng tôi tiến hành xây dựng mẫu phiếu điều tra tổng hợp ý kiến phản hồi

về mức độ khó của các bài toán tính Tích phân trong chương trình, mức độ kỹnăng đạt được của các em khi học nội dung này, và thời lượng mà các em dànhcho việc rèn luyện kỹ năng tính Tích phân trên lớp có phù hợp không, về phươngpháp dạy học của giáo viên có phù hợp với các em không, những ý kiến đề xuấtmong muốn của học sinh (mẫu điều tra ở phụ lục 3)

Có 200 học sinh tham gia khảo sát Dưới đây là bảng tổng hợp các ý kiến:

Bảng 1.5 Đánh giá mức độ khó của bài toán tính tích phân:

Những đề xuất trao đổi của học sinh:

Trong khi tính tích phân chúng em còn lúng túng không biết khi nào thì áp

dụng phương pháp đổi biến số, khi nào thì áp dụng phương pháp tính tích phân

từng phần Đặc biệt là khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số chúng

em không biết đổi biến như thế nào để tính tích phân theo biến mới do hàm số

dưới dấu tích phân rất đa dạng

Qua phân tích trên chúng tôi thấy rằng nội dung cấu trúc chương trình và

SGK chưa thật hợp lý, phương pháp dạy học của GV lại có chỗ cần được điều

chỉnh Thực tế cho thấy rằng ngoài việc giúp học sinh nắm được lý thuyết thì

việc rèn kỹ năng giải toán cho học sinh là rất quan trọng Đặc biệt với nội dung

Tích phân là nội dung khó, dạng bài tập đa dạng và yêu cầu cao

15

Kết luận chương 1

Trong chương này luận văn đã trình bày một số vấn đề thuộc về lý luậnliên quan đến kỹ năng, kỹ năng giải Toán Những vấn đề đó như quan niệm về kỹnăng và kỹ năng giải Toán; điều kiện để có kỹ năng giải toán, các mức độ của kỹnăng giải toán, nhiệm vụ phải rèn kỹ năng giải toán THPT; vai trò của bài tậptoán học

Chương 1 chúng tôi cũng tóm tắt những tri thức liên quan đến bài toántính Tích phân Tóm tắt nội dung chương trình tích phân Chúng tôi cũng tiếnhành khảo sát kỹ năng tính tích phân của học sinh cuối cấp THPT tại trườngTHPT A Duy Tiên Từ kết quả khảo sát cũng như các phân tích về mặt lý luận ởphần trên chúng tôi đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán tính tíchphân cho học sinh ở chương 2 nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

CHO HỌC SINH LỚP 12 2.1 Biện pháp 1: Rèn kỹ năng tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân, sử dụng các nguyên hàm cơ bản

Ở biện pháp này HS sẽ biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về tổng hiệucủa các hàm số đơn giản hơn có trong bảng nguyên hàm cơ bản bằng các phépbiến đổi sơ cấp Đối với học sinh khi mới tiếp cận với khái niệm tích phân thìbiện pháp này là cơ bản và phù hợp Giáo viên cần rèn cho học sinh các phépbiến đổi sơ cấp một cách thành thạo Rèn luyện kỹ năng biến đổi đa thức, phânthức, căn thức, lũy thừa, lượng giác, số mũ,…cho học sinh nhằm khắc sâu cáckiến thức đã học và đồng thời giúp học sinh dễ dàng đưa tích phân cần tính vềdạng tích phân cơ bản

Học sinh cần nắm vững các phép biến đổi căn bản, chẳng hạn:

+ Nhân phân phối hai biểu thức

+ Chia hai đa thức (biểu thức) nhằm mục đích đưa phân thức thành những hạng

tử đơn giản hơn

+ Thêm hoặc bớt hạng tử mới chẳng hạn:

X = ( X − A ) + A = ( X − B ) + B;X = X A .A ( A ≠ 0 ) + Sử dụng phép nhân liên hợp của các đại lượng A ± B ; 3 A2 ±3 AB +3B2 ;

+ Sử dụng các biến đổi tính chất đặc trưng cơ bản của hàm số mũ, lũy thừa

17

I =

∫ 5

Để tính tích phân trên chúng ta cần loại bỏ được dấu giá trị tuyệt đối của hàm số

dưới dấu tích phân và để thực hiện điều này ta cần xét dấu của y=x2−1 trên đoạn

[−2; 2] Từ đó ta sử dụng tính chất của tích phân để tách tích phân ban đầu thành

nhiều tích phân thành phần mà ở đó hàm số y=x2 −1 mang dấu âm hoặc

20

=

0

Nếu hàm dưới dấu tích phân là hàm cực trị như

khi đó ta thực hiện phép xét dấu hiệu của các hàm số

2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đổi vi phân để biến đổi tích phân đã cho

về tích phân cơ bản hoặc áp dụng công thức tích phân từng phần

2.2.1 Kỹ năng biến đổi vi phân để quy tích phân đã cho về tích phân cơ bản.

Khi tính tích phân để vận dụng được bảng nguyên hàm trên một cáchnhuần nhuyễn và chính xác cần tìm quan hệ gần gũi, tương tự của các tích phâncần tính và tích phân đã biết có thể lưu ý một số kỹ năng cơ bản:

Trước hết học sinh cần tự rèn kỹ năng biến đổi vi phân

sin xdx = −d (cosx ); sin (ax )dx = −1a d (cosax );sin (ax + b )dx = −1a d (cos (ax + b) );

cosxdx = d (sin x ); cos(ax ) dx =1a d (sin (ax ) );cos (ax + b )dx =1a d (sin (ax + b) );

dx

= d (tan x );cos 2 x

dx

= − d (cot x );sin 2 x

=

Tính I1=∫2x(x2+ 5)4dx

1

Nếu HS chỉ dừng lại ở việc quan sát bề mặt dễ dẫn đến khai triển biểu thức (x

2+ 5 )4= x 8+ 20 x 6+ 150 x 4+ 500 x2+ 625 thì việc tính tích phân này sẽphức

22

tạp hơn và nếu ta tăng số mũ của x2 +5 lên cao thì khai triển này cũng khó thực

hiện được… Tuy nhiên nếu HS chú ý phân tích và quan sát bài toán sẽ nhận thấy

Tương tự tính tích phân I2 HS có thể sử dụng công thức hạ bậc kết hợp với biến

đổi tích thành tổng nhưng việc tính theo cách này sẽ phức tạp hơn sử dụng biến

đổi vi phân: d(sinx)= cosx dx.

x + 4 ) = 1 x

23

I = ∫

0 3 x + 4Ngoài ra học sinh cũng có thể giải bằng phương pháp đổi biến số như sau:

Đặt t = 3 x + 4 ⇒ dt = 3dx

⇒ I =

24

Như vậy việc tính tích phân bằng việc áp dụng công thức biến đổi vi phân thựcchất là áp dụng phương pháp đổi biến số ở dạng đơn giản, nhưng nếu học sinh

áp dụng thành thạo thì phương pháp đổi vi phân gọn gàng hơn nhiều

I 4= ∫ x 2( x 3+ 1 )11 dx

0

2.2.2 Kỹ năng biến đổi vi phân trong tính tích phân từng phần.

Tích phân từng phần là một trong hai phương pháp cơ bản để tính tíchphân Tuy nhiên không phải bài tích phân nào cũng tính được bằng phương pháptích phân từng phần

Chú ý rằng khi sử dụng phương pháp này cần chọn hàm u(x) và v(x)

thích hợp để việc tính tích phân mới ∫bv ( x ) u ' ( x ) dx đơn giản hơn tích phân ban

a

đầu ∫b u (x )v '(x )dx

a

Ta có thể chọn u và dv như sau: