Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân001

Means-Các tài liệu viết về Bất đẳng thức hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một sốchuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức và giải các bài toán tìm giá trị l

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên trường Đại học

Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả

trong khoá học và suốt quá trình hoàn thành luận văn

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn được

hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Nguyễn Minh

Tuấn Xin trân trọng gửi tới thầy lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ

Toán - Tin trường Trung học phổ thông Lạng Giang số 3, Bắc Giang đã tạo

điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia

đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học bộ

môn Toán khóa 10 trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, trong

suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các bảng

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Phạm vi nghiên cứu

7 Cấu trúc luận văn

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Tư duy

1.2 Tư duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

1.2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo

1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chương trình phổ thông

1.3.1 Chương trình sách giáo khoa

1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông

1.3.3 Một số nhận xét của giáo viên khi dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

1.4 Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học sinh những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức

1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh

1.4.3 Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh

ii

1.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình

lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 15

Kết luận chương 1 16

Chương 2 Rèn luyện tư duy và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân 17

2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 17

2.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng 19

2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM 19

2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 24

2.2.3 Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng 27

2.2.4 Kỹ thuật ghép đối xứng 30

2.2.5 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo 32

2.2.6 Kĩ thuật đổi biến số 34

2.2.7 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu 40

2.3 Phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản 46

2.4 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát triển các yếu tố của tư duy sáng tạo 50

2.4.1 Phát triển tính mềm dẻo thông qua việc giải bất đẳng thức 50

2.4.2 Phát triển tính nhuần nhuyễn thông qua việc giải bất đẳng thức 54 2.4.3 Phát triển tính độc đáo thông qua việc giải bất đẳng thức 56

2.4.4 Phát triển tính trau chuốt thông qua việc giải bất đẳng thức 59

2.5 Phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh thông qua việc vận dụng bất đẳng thức AM-GM để giải các bài toán khác 62

2.5.1 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân để giải phương trình 62

2.5.2 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân để giải hệ phương trình 63

Kết luận chương 2 68

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 69

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm 69

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 69

3.4 Đánh giá thực nghiệm 79

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 82

Kết luận chương 3 83

Kết luận và kiến nghị 84

Tài liệu tham khảo 85

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm 80

Bảng 3.2 Xử lí số liệu 80

Bảng 3.3 Tỉ lệ bài kiểm tra 81

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ kết quả tỉ lệ bài kiểm tra 81

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đang sống và làm việc ở thế kỷ XXI, cùng với sự phát triển như

vũ bão của khoa học và công nghệ Có được những thành tựu đó, là sự phấnđấu học hỏi không ngừng của mỗi cá thể cùng với sự lãnh đạo, quản lý địnhhướng đúng đắn của các cấp lãnh đạo Tri thức là thành tố quan trọng quyếtđịnh nề kinh tế của một đất nước Con người là yếu tố trung tâm trong xã hộitri thức, là chủ thể kiến tạo không ngừng Giáo dục đóng vai trò thên chốttrong việc đào tạo con người và sự phát triển của xã hội Trong hiến phápnước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã khẳng định: “Giáo dục là quốcsách hàng đầu”

Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học,Cao đẳng, chọn Học sinh giỏi Tỉnh, Học sinh giỏi Quốc gia, Học sinh giỏi khuvực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành đượcnhiều lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng nhưcác tạp chí về Toán học

Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân (Arithmetic Geometric Means (AM-GM)), là một phần kiến thức quan trọng không thểthiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như bất đẳng thức Nó thực sự là mộtcông cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phươngpháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các bất đẳng thức thông thường

Means-Các tài liệu viết về Bất đẳng thức hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một sốchuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức

và giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có tính hệ thống vàtính phân loại cũng như tính sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡnghọc sinh giỏi và ôn luyện cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết

Do vậy tôi chọn chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầutrên cũng như góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng Học sinh giỏi của tỉnh

1

Hiện nay vấn đề “Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo” đang làmột lĩnh vực nghiên cứu mới mẻ và mang tính thực tiễn cao Nó nhằm tìm racác phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để rènluyện, tăng cường khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể cộngđồng làm việc chung về một vấn đề hay lĩnh vực Do đó, một yêu cầu cấpthiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phươngpháp dạy học, trong đó đổi mới phương pháp dạy học Toán là một trongnhững vấn đề được quan tâm nhiều Sư phạm học hiện đại đề cao nguyên lýhọc là công việc của từng cá thể, thực chất quá trình tiếp nhận tri thức phải làquá trình tư duy bên trong của bản thân chủ thể Vì thế nhiệm vụ của ngườigiáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng cho học sinh chứkhông phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có.Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suynghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực của bản thân mình để giải quyết vấn đề

mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập và trong cuộc sống Hơn thế nữatrong thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày càng hiện đạihóa, con người ngày càng sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật hiệnđại thì năng lực suy luận, tư duy và sáng tạo giải quyết vấn đề càng trở nênkhẩn thiết hơn trước đây Không có một nhà giáo dục nào lại từ chối việc dạycho học sinh chúng ta tư duy Nhưng làm thế nào để đạt được điều đó? Dovậy, rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một mụctiêu mà các nhà giáo dục phải lưu tâm và hướng đến Bên cạnh đó, thực tiễncòn cho thấy trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn bộc lộ nhữngyếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo: Nhìn các đối tượng toán họcmột cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, khônglinh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suynghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vàohoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, học sinh

chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán Từ đó dẫn đến một hệ quả lànhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi phải

có sáng tạo trong lời giải như các bài tập bất đẳng thức Do vậy, việc rènluyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh nói chung và năng lực tư duysáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học toán nói riêng là một yêu cầucấp bách

Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến vấn

đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Nhà toán học nổi tiếng Polya đã đisâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học vàcho ra mắt tác phẩm Sáng tạo toán học Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn này là “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông

trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất phương án dạy và học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bìnhnhân theo định hướng sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh,nâng cao hiệu quả quá trình dạy và học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và rèn tư duy

- Nghiên cứu nội dung dạy học về chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân

- Đề xuất biện pháp dạy học giải bài tập bất đẳng thức theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

- Thực nghiệm sư phạm để tìm hiểu những khó khăn của giáo viên và họcsinh trong dạy học giải bài tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học

về dạy và học giải bài tập toán bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo ởtrường Trung học phổ thông

4 Giả thuyết nghiên cứu

Khi tổ chức được hoạt động dạy và hoạt động học bất đẳng thức trung bình

3

cộng trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng sángtạo của luận văn thì sẽ rèn luyện được tính sáng tạo của học sinh, qua đó nângcao chất lượng dạy và học ở trường Trung học phổ thông.

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tài liệu lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và tư duy toán học.Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiếnthức có liên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

5.2 Nghiên cứu thực tiễn

Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này

Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phầnnày

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chươngChương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ

đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên

hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thựckhách quan mà trước đó ta chưa biết [29]

Theo từ điển triết học “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổchức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới kháchquan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quátrình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tạimột cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồntại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, làhoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con ngườiđược thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và kết quả của tư duyđược ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình nhưtrừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định

và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kếtquả cuối cùng của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”

Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm của tư duy

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượngđuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của conngười nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều góc độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

5

Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người Về mặt tâm lí thì

tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mốiliên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của sự vật hiện tượng tronghiện thực khác quan mà trước đó con người chưa biết

1.2 Tư duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.Theo tác giả [12] “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điềukiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sángtạo của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năngtạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và

có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thề hiện ở chỗ phát hiện ravấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ýtưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất

Tùy theo mức độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình: Tư duytích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền

đề tạo nên mức độ tư duy đi sau

Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau:

Tư duy sáng tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tích cực

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo Theo [20] “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiệncần thiết cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau củacủa tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo racái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấnmạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”

Theo [10] Tư duy sáng tạo là một kiểu tư duy, đặc trưng bởi sự sản sinh rasản phẩm mới và xác lập các thành phần mới của hoạt động nhận thức nhằmtạo ra nó Các thành phần mới này có lên quan đến miền động cơ, mục đích,đánh giá, các ý tưởng của chủ thể sáng tạo

Tư duy sáng tạo được phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng sẵn có.Tâm lý học người Đức Mehlhowcho rằng “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sựsáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” Theo ông, tưduy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệnhư tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác

Trong khi đó, Tác giả [24] lại cho rằng “Tư duy sáng tạo đó là những nănglực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chứcnăng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cáchdạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sựkhám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thámhiểm”

Trong cuốn “Sáng tạo Toán học”, G.Polya [26] cho rằng: “Một tư duy gọi

là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Cóthể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bàitoán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có sốlượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duycàng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được nhữngphương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải

có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy

7

không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả”.

Tác giả [11] Sáng tạo là hoạt động tạo ra bất cứ cái gì có đồng thời tính mới

và tính ích lợi (trong phạm vi áp dụng cụ thể)

- Bất cứ cái gì: ở bất cứ lĩnh vực nào của thế giới vật chất và tinh thần

- Tính mới: là sự khác biệt của đối tượng cho trước so với đối tượng cùng loại

ra đời trước đó về mặt thời gian

- Tính ích lợi: như tăng năng suất, tăng hiệu quả, tiết kiệm, giảm giá thành,thuận tiện khi sử dụng, thân thiện với môi trường…, tính ích lợi có thể mangđến cho bản thân, cho gia đình, cho cộng đồng, cho nhân loại

- Phạm vi áp dụng: chỉ đúng trong không gian, thời gian, hoàn cảnh , điều kiện… cụ thể, nếu vượt ra ngoài thì có thể biến lợi thành hại

Như vậy, để biết bất cứ cái gì có sáng tạo hay không, bạn phải so sánh cái đóvới cái trước nó, nếu cái đã thay đổi nghĩa là nó mới hơn so với cái cũ đồngthời mang lại tính ích lợi cho bạn, cho cộng đồng hay cho nhân loại trongphạm vị áp dụng cụ thể thì bất cứ cái gì đó đã là sáng tạo

Như vậy có thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tư duy sáng tạo,nhưng đều có một điểm chung cốt lõi đó là: Tư duy sáng tạo là một dạng tưduy của cá nhân, nó phân biệt và khác với tư duy tái tạo về bản chất, tư duysáng tạo là sự mới mẻ của tư duy (đồng thời đây cũng là điểm phân biệt giữa

tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo) Sự khác biệt giữa tư duy sáng tạo với tưduy tái tạo là sự sản sinh ra cái mới

1.2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo

mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ, nhận ra bản chất của sự vật và nhiều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vậndụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,khái quát hoá và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự

Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác Điều chỉnh kịp thờihướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại

- Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những kinh nghiệm,kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu

tố thay đổi Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinh nghiệm, nhữngphương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

b) Tính nhuần nhuyễn

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng

lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới Là khảnăng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau.Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhấtđịnh các ý tưởng Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện

ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng

Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiềugiải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đềcần được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đềxuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tốiưu

9

- Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìnsinh động từ nhiều phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải cái nhìnbất biến, phiến diện, cứng nhắc.

c) Tính độc đáo

Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức lạ hoặc duy nhất

Các đặc trưng của tính độc đáo:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.d) Tính hoàn thiện

Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính

nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm

được phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại có mối

quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện,tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạonên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chương trình phổ thông

1.3.1 Chương trình sách giáo khoa

Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung bất đẳng thức được dạy trong 3 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập

Bài tập chính trong sách gồm có 8 bài, không có bài tập ứng dụng vào thực tiễn Bài tập làm thêm gồm 4 bài 14, 15, 16, 17 trang 42 sách bài tập

Sách giáo khoa nâng cao năm 2007, nội dung bất đẳng thức được dạy trong

5 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 3 tiết bài tập Bài tập trong sách gồm có 20 bàitập chính thức và 10 bài tập làm thêm

Bài tập đã có tính ứng dụng vào thực tiễn nhưng không có nhiều

Sách giáo khoa năm 2007 có nhiều ví dụ hơn, trình bày dễ hiểu hơn nhằm khuyến khích học sinh tự học, tuy nhiên có vất vả hơn

1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông

- Trong chương trình toán Trung học phổ thông, bất đẳng thức là mộtchuyên đề khó Tuy nhiên nội dung đưa vào giảng dạy rất cơ bản, học sinh cơbản mới chỉ tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức và những tính chất cơ bảncủa bất đẳng thức Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm bất đẳng thức AM-

GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với lí thuyết như vậy học sinh lớp

10 khó có thể vận dụng linh hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức

- Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trongtrường Trung học phổ thông, trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phươngpháp điều tra bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó khăn từ phíahọc sinh từ đó điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng

- Theo bộ sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cảicách giáo dục, phần bất đẳng thức được đưa vào chương IV Đại số lớp 10.Đây là phần kiến thức khó đối với học sinh thường xuất hiện trong các đề thituyển sinh và chọn học sinh giỏi Chính vì vậy mà dạy nội dung này trở nênkhó khăn hơn một số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học

11

sinh tìm ra hướng giải quyết mỗi bài toán một cách đơn giản nhất, giúp học sinh hứng thú và chủ động hơn trong học tập.

- Để tìm hiểu rõ hơn thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường Trung họcphổ thông Tôi đã tiến hành quan sát, dự giờ và lấy ý kiến các đồng nghiệp,sau khi điều tra phân tích tôi thu được kết quả thực tế là nhiều học sinh chorằng bất đẳng thức là chủ đề khó, đặc biệt là việc áp dụng trong giải toán

1.3.3 Một số nhận xét của giáo viên khi dạy học chủ đề bất đẳng thức

trung bình cộng – trung bình nhân

Nhìn chung bất đẳng thức là một phần rất khó đối với học sinh Thời giandành cho việc luyện tập bất đẳng thức còn ít

Đối với những lớp học sinh đại trà, sức học yếu có khi giáo viên dạy cho cóchứ không hy vọng học sinh làm được loại bài này

Bất đẳng thức được dạy cho học sinh từ các lớp Trung học cơ sở, nhưng nóđược dạy tập chung nhất ở chương trình đại số lớp 10 Trung học phổ thông.Các bài tập trong sách giáo khoa chỉ nhằm mục đích giới thiệu một số dạngtoán điển hình trong việc chứng minh bất đẳng thức vì vậy bài tập thì ít nhưngmỗi bài một dạng gây khó khăn cho học sinh khi làm bài

Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị một ít phút trước khilên lớp sau đó giáo viên gọi học sinh khá lên chữa bài

Như vậy mô hình chung giáo viên đã bỏ qua lớp học sinh có lực học trungbình và yếu Do đó học sinh yếu ngày càng sợ học hơn, ngày càng bị bỏ rơi.Một số bài toán được phát triển theo hướng khái quát hoá và đặc biệt hoácho đối tượng học sinh khá và học sinh giỏi

Việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh chưa đầy đủ, thường các thầy côchú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, chưa chú ý đến khả năng quy nạpcho học sinh Thời gian không cho phép dạy học toán nói chung và dạy họcbất đẳng thức nói riêng bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi có

dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa các ý kiến trái ngược hay các tìnhhuống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các

giải pháp.

Hình thức học nói chung còn chưa đa dạng, phong phú, cách truyền đạt đôilúc chưa cuốn hút học sinh vào bài học Học sinh tiếp nhận kiến thức còn thụđộng

Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức, cao hơn nữa cũngchỉ là dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một số kĩ năng nhất định chứchưa làm được vai trò của người khơi nguồn sáng tạo, kích thích học sinh tìmtòi

Thuận lợi cho việc dạy học bất đẳng thức là ở chỗ đây là một bài toán cómặt rất thường xuyên trong các đề thi đại học vì vậy một phần lớn học sinhvẫn muốn tìm hiểu và nắm chắc kiến thức về bất đẳng thức

1.4 Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học sinh

những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức

Quan điểm này cho rằng để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho họcsinh, giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các tư duy, phân tích, tổnghợp, so sánh, quy nạp, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa,

…

Trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm

Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp chohọc sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mìnhphát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giảicủa một bài toán, hướng chứng minh một định lý, giúp học sinh hiểu sâu sắccác khái niệm các mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứngminh, từ đó mà nhớ lâu các công thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lạiđược

1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo

13

cho học sinh Đối với học sinh thì các yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuầnnhuyễn và tính nhậy cảm vấn đề.

Trên cơ sở đó để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trìnhdạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo Cóthể khai thác từng nội dung giảng dạy, có thể đề xuất các câu hỏi sư phạmnhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để họcsinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối họcthuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáoviên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tưduy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụngcông thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phùhợp với điều kiện mới; những bài có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinhphải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tậptrong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúpcho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồng thời với việc hìnhthành các liên tưởng thuận

1.4.3 Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh

Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứutrong đó giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìmtòi, khám phá kiến thức mới Nói cách khác là vận dụng tối đa phương phápdạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên lớp

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phảichứng minh, bài tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để phát hiện vấn đề vàgiải quyết vấn đề Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá những kết quảmới từ các bài toán đã giải

1.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Phát triển năng lực tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hànhthường xuyên hết các tiết học này sang các tiết học khác, năm này sang nămkhác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như cáchoạt động ngoại khóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyệnkhả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống trong thực tế,trong việc viết báo toán với những đề toán tương tự sáng tác, những cách giảimới khai thác từ các bài toán đã giải

15

Kết luận chương 1

Luận văn đã nêu ra được các khái niệm về tư duy, tư duy sáng tạo Đưa rathực trạng về việc học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông, từ đóluận văn đưa ra một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Chương 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

TRUNG BÌNH CỘNG TRUNG BÌNH NHÂN

2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

a) Các đại lượng trung bình của hai số không âm

Với hai số không âm a,b Kí hiệu

là trung bình điều hòa của n số dương a1 , a2 , a3 , , a n.

Ta cũng có bất đẳng thức Q ≥ A ≥ G ≥ H Dấu “=” xảy ra khi

a1 = a2= a3 = = a n

Chú ý A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung

bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa).

Cho n số thực không âm a1 , a2 , a3 , , a n , n ∈ ¢ , n ≥ 2 ta luôn có

18

a1+ a2+ a3+ + a n≥ n n a1.a2 a3 a n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3= = a n

2.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng

2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM

Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” trong bất đẳng thứcAM-GM và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “=”, quy tắc biên và quy tắcđối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến

Ví dụ 2.2.1 Cho a ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

S = a +1 a Sai lầm thường gặp.

S = a +1 a≥ 2 a 1

a≥ 2.

Dấu “=” xảy ra khi a =1 a hay a =1, nhưng điều này vô lí vì giả thiết là a ≥ 2

Phân tích Chọn điểm rơi, ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

Dấu “=” xảy ra khi a = 2.

Bình luận Ta sử dụng điều kiện dấu “=” và điểm rơi là

biên để tìm ra α= 4 Ở đây ta thấy tính đồng thời của

a = 2 dựa trên quy tắc

dấu “=” trong việc áp

Nguyên nhân sai lầm Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và min S =9 4 là đáp số

đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số, nếu a ≥

2 thì

2

là đánh giá sai Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật táchnghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM sẽkhử hết biến số a ở mẫu số

Lời giải.

S = a +

Ví dụ 2.2.3 Cho a,b,c > 0, a + b + c ≤3 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = a + b + c +1 a +b 1+1 c Phân tích.

Nguyên nhân sai lầm

min S = 6 Khi và chỉ khi a = b = c =

với giả thiết

Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán min S đạt tại điểm rơi a = b = c =

a = b = c =

21

Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau

Suy ra min S = 3

Nguyên nhân sai lầm

22

min S = 3

(trái với giả thiết)

Tìm tòi lời giải Do S là một biểu thức đối xứng với a , b, c nên dự đoán min

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

Bình luận Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách

đúng đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh Nếu

chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thìbài toán sẽ nhanh gọn hơn, đẹp hơn

a ≤ b,

Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kĩ thuật đánh giá từ trung bình

nhân sang trung bình cộng, chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ

phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá

nằm ở mẫu số hay ở tử số

2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Nếu như đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là đánh giá

với

dấu đánh giá từ tổng sang tích, có thể hiểu là thay dấu a + b bằng dấu

a.b thì ngược lại đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng là thay

dấu a.b bằng dấu a + b Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích

thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số Ví dụ

Bình luận Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể

triệt tiêu ẩn số Suy ra ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích

thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số

Dấu “ ≤” gợi ý cho ta nếu sử dụng bất đẳng thức AM-GM thì ta phải đánh

giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Ví dụ 2.2.7 Chứng minh rằng

Lời giải Ta có (1) tương đương với

Ta có bài toán tổng quát Chứng minh rằng

Bài tập

1) Chứng minh rằng 16ab(a − b)2≤ ( a + b)4 , ∀a,b > 0

Hướng dẫn Ta có

16ab (a − b )2 = 4.(4ab )(a − b )2 ≤ 4

2) Cho a, b, c > 0; a + b + c =1 Chứng minh rằng

abc(a + b)(b + c)(c + a)≤729 8 Hướng dẫn Sơ đồ điểm rơi

Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu “=” của bất đẳng thức

xảy ra khi a = b = c =1 3 Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm là sau khi sử dụng

bất đẳng thức AM-GM ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu “=” là a = b

= c Do đó ta có lời giải sau

Trong kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng ta thấythường nhân thêm các hằng số để sao cho sau biến tích thành tổng các tổng

đó triệt tiêu các biến Đặt biệt là đối với những bài toán có thêm điều kiệnràng buộc của ẩn số thì việc nhân thêm hằng số các em học sinh dễ mắc sailầm Sau đây ta lại nghiên cứu thêm 2 phương pháp nữa đó là phương phápnhân thêm hằng số, và chọn điểm rơi trong việc đánh giá từ trung bìnhnhân sang

trung bình cộng Do đã trình bày phương pháp điểm rơi ở trên nên trong mục

dụng phương pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng như

phần trước đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới,

phương pháp nhân thêm hằng số

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b − 1 = 1; a − 1 =1 hay a = 2, b = 2

Bình luận Ta nhận thấy việc nhân thêm hằng số “1” vào biểu thức không

hoàn toàn tự nhiên, tai sao lại nhân thêm “1” mà không phải là “2” Thực chất

của vấn đề là chúng ta chọn điểm rơi của bất đẳng thức theo quy tắc biên là

a = b =1 2 Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên thì học sinh sẽ dễ mắc

sai như trong ví dụ sau đây,

Ví dụ 2.2.11 Cho a,b,c > 0, a + b + c =1 Tìm giá trị lớn nhất

S = a + b + b + c + c + a.

Phân tích.

Sai lầm thường gặp

Ta suy ra

Nguyên nhân sai lầm

Dấu “=” xảy ra khi a + b = b + c = c + a hay a + b + c = 2 trái với giả thiết

Tìm tòi lời giải Do vai trò của a,b,c trong các biểu thức là như nhau do đó

điểm của bất đẳng thức sẽ là a = b = c =1 3 từ đó ta dự đoán max S = 6 khi

a + b = b + c = c + a = 2 3 , suy ra hằng số cần nhân thêm là 2

3 Vậy ta có lời

giải đúng sau:

Lời giải Ta có

a + b =