Hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường trung học phổ thông nhằm phát triển khả năng sáng tạo của người học

Vai trò của vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán trong chương trình trung học phổ thông...11 1.3.. Thực trạng việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải một số bà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ ANH VINH

HÀ NỘI - 2013

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

ĐPCM: Điều phải chứng minh

THPT: Trung học phổ thông

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang

Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm 79

Bảng 3.2 Điều tra ở lớp sau khi dạy thực nghiệm 80

Bảng 3.3 Điều tra về lượng bài tập về nhà được hoàn thành 81

Bảng 3.4 Kết quả làm bài kiểm tra sau khi dạy học thực nghiệm 81

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục các chữ viết tắt ii

Danh mục các bảng iii

Mục lục iv

Mở đầu 1

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 7 NGHIÊN CỨU

1.1 Người học sáng tạo 7

1.1.1 Sáng tạo 7

1.1.2 Người học sáng tạo 8

1.2 Phép biến hình và vai trò trong chương trình THPT 9

1.2.1 Phép biến hình 9

1.2.2 Một số dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải trong phép biến hình ở trường trung học phổ thông 10

1.2.3 Vai trò của vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán trong chương trình trung học phổ thông 11

1.3 Vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường THPT 12

1.3.1 Một vài bài toán vận dụng phép biến hình để giải 12

1.3.2 Cách nhận biết lớp các bài toán hình học có khả năng giải được bằng phương pháp biến hình 13

1.4 Cơ sở thực tiễn của việc việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải bài toán ở trường THPT 14

1.4.1 Tìm hiểu thực tiễn về dạy học phép biến hình ở trường THPT 14

1.4.2 Thực trạng việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường THPT 21

Tiểu kết chương 1 22

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CỦA NGƯỜI HỌC 23

2.1 Một số kiến thức và kĩ năng cốt lõi 23

2.1.1 Yêu cầu về kiến thức 23

2.1.2 Yêu cầu về kĩ năng 24

2.2 Một số dạng bài tập cơ bản trong phép biến hình ở trường THPT 26

2.2.1 Nội dung kiến thức 26

2.2.2 Vài dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải 29

2.3 Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập vận dụng Phép biến hình nhằm phát triển khả năng sáng tạo của học sinh 41

2.3.1 Bài toán chứng minh 41

2.3.2 Bài toán dựng hình 51

2.3.3 Bài toán tìm tập hợp điểm 61

Tiểu kết chương 2 76

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 77

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng thực nghiệm sư phạm 77

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 77

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 77

3.1.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 78

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 78

3.2.1 Chọn mẫu 78

3.2.2 Phương pháp tiến hành 78

3.2.3 Xây dựng tiêu chí đánh giá 79

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 79

3.3.1 Phân tích định tính kết quả thực nghiệm sư phạm 79

3.3.2 Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm sư phạm 79

3.3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 81

Tiểu kết chương 3 82

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 83

1 Kết luận 83

2 Khuyến nghị 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thànhnhững cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới – phát triển toàn diệnphù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam

Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thôngViệt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểutoàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghịtrung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục vàđào tạo - “Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triểnkhoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới”, “Chính sáchgiáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡngnhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề ”

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quantrọng đó là môn học công cụ, nếu học tốt thì những tri thức trong toán cùngvới phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt nhữngmôn học khác Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấpcho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết cho môn học, nócòn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩnthận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng ócthẩm mĩ Và sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trongnhà trường phổ thông Một trong những nội dung của môn học trong sáchgiáo khoa hình học 11 đó là “Phép biến hình”

Phép biến hình là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làmquen với khái niệm biến hình trong việc nghiên cứu hình học Có rất nhiều bàitoán ở trường trung học phổ thông có thể sử dụng phép biến hình để có nhữnglời giải hay Tuy nhiên, đa phần học sinh còn yếu và và chưa vận dụng đượckiến thức này trong quá trình giải toán Nguyên nhân chính là do sự mới mẻtrong kiến thức cũng như cảm giác sợ khi nghe đến mảng kiến thức này của

học sinh Trong khi đó muốn vận dụng được phép biến hình vào giải toán cầnhiểu được thật kĩ về lý thuyết biến hình cũng như giải quyết được một số bàitoán cơ bản.

Thực tế cho thấy, cả giáo viên lẫn học sinh hiện nay khi dạy và họcphép biến hình thường chỉ dừng ở mức độ giải một số bài toán cơ bản nhất vềnhận dạng chứ chưa vận dụng được nhiều phép biến hình trong giải các bàitoán khác để phát triển tư duy sáng tạo và sự chủ động của học sinh trong chủ

đề này Điều đó dẫn đến khi học sinh gặp một bài toán cần sử dụng phép biếnhình hơi khác những gì được học, sẽ gặp những lúng túng nhất định, thậm chí

là không phát hiện ra những sự liên kết giữa các bài toán có liên quan

Dạy học hiện nay không chỉ đơn thuần là truyền thụ kiến thức mới màcần giúp người học tiếp thu một cách đơn giản nhất cũng như vận dụng nhữngkiến thức đó để làm bài tập một cách nhanh chóng Ngoài ra, trong toán họcgiáo viên cần hướng đến dạy cho học sinh vận dụng kiến thức đã học mộtcách linh hoạt trong việc đa dạng hóa cách giải cũng như sáng tạo ra những

bài toán tương tự Chúng tôi, vì vậy, đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường trung học phổ thông nhằm phát triển khả năng sáng tạo của người học” nhằm kích thích

và phát huy khả năng suy luận cũng như sự chủ động cho học sinh trongchuyên đề này Chúng tôi cũng hi vọng rằng hệ thống bài tập và phương phápgiải được xây dựng trong đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo có giá trịnhằm nâng cao năng lực dạy và học phép biến hình cho giáo viên và học sinhcác trường trung học phổ thông Và quan trọng hơn hết, qua đề tài này tôimuốn giúp cho các em phát triển khả năng sáng tạo trong việc giải toán màđặc biệt là biết vận dụng phép biến hình vào giải những bài toán hình học

2 Lịch sử nghiên cứu

Một số đề tài đã được nghiên cứu có liên quan:

“Vận dụng phương pháp dạy học khám phá trong dạy học phép biếnhình lớp 11 trung học phổ thông (Ban nâng cao)” - Nguyễn Thị Hạnh Thúy,

Ngoài ra, cũng có một số tài liệu tham khảo về vận dụng phép biếnhình, như: Cuốn Các phép biến hình trong mặt phằng của tác giả NguyễnMộng Hy Cuốn Bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học - Hình học của nhàxuất bản giáo dục.

Nhưng các tài liệu này phần lớn hoặc là chỉ tập trung vào phương phápnhưng chưa có nhiều bài tập, hoặc là chỉ tập trung vào hệ thống hóa các bàitập chứ chưa chú trọng đến các phương pháp giảng dạy môn học để phát triển

tư duy sáng tạo và sự chủ động của học sinh trong chủ đề này

3 Mục tiêu nghiên cứu

Trong đề tài này, tôi sẽ xây dựng một hệ thống các bài tập, từ những bàitập cư bản vận dụng định nghĩa, tính chất đến những bài toán đòi hỏi kĩ năngphân tích, đánh giá, suy đoán, trừu tượng nhằm kích thích và phát huy khảnăng sáng tạo cũng như sự chủ động cho học sinh

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Thứ nhất, nghiên cứu những lí luận cơ bản nhất về người học sáng tạo.Thứ hai, nghiên cứu về nội dung Phép biến hình trong chương trình THPThiện hành và các dạng bài toán cơ bản về phép biến hình Tiếp theo, chúng tôi

sẽ nghiên cứu về dạng bài tập có thể vận dụng phép biến hình để giải

Sau đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu thực trạng quá trình vận dụng phépbiến hình để giải toán ở một số trường THPT trên địa bàn thành phố HảiPhòng Để xây dựng hệ thống bài tập vận dụng phép biến hình vào giải toán

và hướng dẫn học sinh phương pháp giải nhằm phát huy khả năng sáng tạocho người học

Cuối cùng, chúng tôi sẽ áp dụng những nghiên cứu của mình để vậndụng vào việc thực nghiệm sư phạm để đưa ra kết luận về tính khả thi của đềtài

5 Phạm vi nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng không chỉ hỗ trợ giáo

mà còn hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình vào giải toán ở trườngTHPT không chuyên Một mặt do giới hạn về khuôn khổ luận văn, mặt khác

để phát triển khả năng sáng tạo cho người học nên hầu hết bài tập ở đây tôichủ yếu đưa ra gợi ý và hướng dẫn làm bài

8 Giả thuyết nghiên cứu

Vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo để xây dựngcác dạng bài tập có dùng phép biến hình để giải cho học sinh trường THPT, sẽgiúp học sinh phát huy khả năng sáng tạo cũng như sự chủ động trong việc hệthống hóa kiến thức, phát triển kĩ năng giải bài tập và khả năng ứng biến trướcnhững bài tập có cách phát biểu mới lạ

9 Phương pháp nghiên cứu

9.1 Nghiên cứu lí luận

Một là, nghiên cứu cơ sở lý luận để làm sáng tỏ khái niệm người họcsáng tạo

Hai là, nghiên cứu chương trình, giáo trình, tài liệu hướng dẫn vềchuyên đề này, nội dung các sách tham khảo có liên quan để xác định mức độnội dung và yêu cầu về mặt kiến thức, kĩ năng giải bài tập mà học sinh cầnnắm vững

9.2 Nghiên cứu thực tiễn

Trước hết, tìm hiểu nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức việc hệthống hóa bài tập và lời giải cho chương phép biến hình ở các trường trunghọc phổ thông theo phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo

Sau đó, điều tra thực tiễn với giáo viên giảng dạy và với học sinh lớp

11 tại trường trung học phổ thông Hàng Hải, quận Ngô Quyền và một sốtrường THPT khác trên địa bàn thành phố Hải Phòng từ các bạn đồng nghiệp

9.3 Thực nghiệm sư phạm

Đầu tiên, chọn trong hai lớp 11 trường THPT Hàng Hải hai nhóm họcsinh đã dạy kiến thức về phép biến hình (mỗi nhóm 30 em lực học trung bìnhkhá trở lên) để kiểm tra khả năng vận dụng phép biến hình vào giải toán củacác em khi chưa được hướng dẫn Tiếp theo, tiến hành phân tích và hướngdẫn các em giải một số bài toán vận dụng phép biến hình trong 6 tiết Sau đó,Điều tra kín về ý kiến của học sinh sau các tiết thực nghiệm và kiểm tra lạicác em về kĩ năng vận dụng phương pháp biến hình để đưa ra những phântích

Trên cơ sở phân tích định tính và định lượng kết quả thu được trongquá trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả củacác biện pháp do đề tài đưa ra

Vận dụng phép biến hình vào giải các bài toán hình học có ý nghĩa lớn.Rất nhiều bài toán nếu dùng phương pháp thông thường rất phức tạp nhưngkhi áp dụng phương pháp bến hình thì bài toán được giải quyết rất gọn gàng

Việc phát triển khả năng sáng tạo cho người học là một việc hết sức cầnthiết Nó giúp cho học sinh không chỉ nhạy bén trong làm bài, linh hoạt trướccác tình huống để giải quyết bài toán nói riêng, trong học tập nói chung vàhơn thế nữa là áp dụng tính cách đấy vào cuộc sống.

11 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, nộidung chính của luận văn được trình bày trong 03 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng phép biến hình vàhướng dẫn học sinh giải các bài tập phép biến hình theo phương pháp dạy họcphát triển tư duy sáng tạo

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.1 Ngưiờ học sáng tạo

1.1.1 Sáng tạo

Sáng tạo là sáng tạo ngay từ bản thân!

Sáng tạo không đơn thuần chỉ là theo những gì đã được giảng dạy, sửdụng lại kiến thức đã có, mà khởi đầu cho sáng tạo chính là sáng tạo ngay từbản thân Để sáng tạo con người phải có đam mê và niềm tin Vậy, như thếnào là sáng tạo ngay từ bản thân?

“Sáng tạo luôn có được từ những người đang thực hiện sứ mệnh, do họ

có niềm tin và tình yêu với công việc họ làm Và sáng tạo cũng chỉ có được từnhững con người tự do, biết suy nghĩ và có suy nghĩ độc lập Vì vậy, khởi đầucho sáng tạo là không đòi hỏi, không bị lệ thuộc vào các điều kiện phải cóđược như thế này, thế kia!”

Hiển nhiên, để sáng tạo thì cũng phải có chuyên môn sâu về các vấn đềliên quan, nhưng sáng tạo không phải là sử dụng lại kiến thức đã có, mà sángtạo là vận dụng, tìm kiếm những điều mới mẻ và kết hợp chúng theo nhữngcách thức độc đáo mà trước đó không ai tưởng tượng được

Vậy điều gì làm lên sự khác biệt của những con người sáng tạo? Đó là

họ không đi theo những suy nghĩ “dựa theo” mang tính lối mòn Hầu hết,những nhân vật thành công, những người sáng tạo đều được lôi cuốn bởinhững trải nghiệm mới Cho nên, nếu muốn sáng tạo, chúng ta phải tập trungvào những suy nghĩ cởi mở, tự do cùng những thông tin mà lối tư duy đómang lại

Không đòi hỏi sự hoàn hảo, không luẩn quẩn do dự mãi với lập luận vô

nghĩa: “Chúng ta có thông minh không, có sáng tạo không?” – Bởi sáng tạo

không có sự đắn đo, mà là có “tâm hồn sáng tạo”, thoát khỏi sự kìm kẹp củatâm thức ngay từ bước khởi đầu! Nếu đòi hỏi phải có như thế này, có như thế

Biết chấp nhận môi trường đang sống, từ hoàn cảnh từ thực tế, thíchứng và vận dụng tất cả những gì mình có, tìm cách phát huy, đổi mới, độc đáo thì đó chính là sáng tạo - Sáng tạo không chờ đợi sự thay đổi, mà phải làtích cực chủ động tạo ra thay đổi.

Như vậy, trước khi tìm kiếm các điều kiện và phương tiện để sáng tạo,

để có thể nắm bắt cơ hội và thành công thì điều trước tiên cần có là lòng tin và

sự đam mê; tự đặt ra thách thức cho bản thân, sẵn sàng ra khỏi vùng an toàn,vượt qua thử thách…

Tóm lại, tính sáng tạo, sự sáng tạo chân chính hoàn toàn thoát ly khỏitâm lý so sánh nhỏ nhen, sánh so đố kỵ và nhất là phải vượt thoát khỏi cái tínhhay đổ thừa… Không đòi hỏi hoàn cảnh phải chiều theo ý mình, bởi một khi

có niềm tin, có khát vọng thì chính những khó khăn, khổ nhọc… có thể sẽ làđộng lực khiến bạn cố gắng vươn lên hơn mà thôi

Sáng tạo là một năng lực vô cùng quan trọng trong công việc và trongchính đời sống Đó là khả năng tìm thấy điều mới mẻ từ khả năng quan sát vànhận biết, nó sẽ giúp bạn phát triển thêm những hiểu biết của mình, làmphong phú những ý tưởng mới, để nhạy bén và sâu sắc hơn trong việc tìmkiếm ý tưởng và giải quyết vấn đề

Sáng tạo của bạn là sản phẩm của bạn, bởi sẽ chẳng ai có thể “nhậnthức” thay cho bạn được, vì vậy bạn phải có niềm tin để quyết tâm cố gắng -Người ta vẫn thường nói rằng, tiềm năng sáng tạo có sẵn ở tất cả mọi ngườihay nói cách khác, sáng tạo là sáng tạo ngay từ bản thân!

mới, để nhạy bén và sâu sắc hơn trong việc tìm kiếm ý tưởng và giải quyếtvấn đề.

Người học sáng tạo là người biết vận dụng những lý thuyết vào bài tập,vào thực hành, vào xây dựng chuỗi kiến thức,… và ngay cả vào việc đưa ra ýkiến của mình về mảng kiến thức nào đó

1.2 Phép biến hình và vai trò trong chương trình THPT

1.2.1 Phép biến hình

Đây là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làm quen với kháiniệm phép biến hình trong việc nghiên cứu hình học Để hiểu được khái niệmbiến hình, chúng ta cần làm cho học sinh hiểu thế nào là một “hình” theonghĩa tập hợp và đồng thời cũng chứa đựng nội dung của “hình” theo nghĩathông thường như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn, v.v…Việc hiểu hình

là một “tập hợp điểm” giúp chúng ta hiểu thêm một số khái niệm có liên quannhư giao của hai hình, hợp của hai hình, tập hợp A là một bộ phận của tập hợp

B và do đó trong lập luận chúng chúng ta có thể dùng các kí hiệu của lýthuyết tập hợp như: A  B Để kí hiệu điểm A thuộc đường thẳng d, ta kí hiệu

A d hoặc muốn chỉrõ M là giao điểm hai đường thẳng a, b ta kí hiệu M   a

b hay M  a b

Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm biến hình đã được nhà Toánhọc Đức là Felix Klein (1849 – 1925) hệ thống lại trong “Chương trìnhErlangen” năm 1872 Trong chương trình này, Klein đã sắp xếp hệ thống cácphép biến hình lại thành những nhóm biến hình khác nhau Dựa vào các bấtbiến của mỗi nhóm với các nhóm con của nó, Klein đã xác lập được mối quan

hệ giữa các thứ hình học để hệ thống hóa các thứ hình học theo quan điểmmới và hiện đại Thí dụ như về quan hệ giữa các nhóm biến hình hình học cósắp xếp: Nhóm xạ ảnh  Nhóm afin  Nhóm đồng dạng  Nhóm dời hình

Trong chương trình Hình học lớp 11 học sinh được học các phép hìnhhọc cụ thể như phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phépquay thông qua định nghĩa và tính chất cơ bản của các phép biến hình đó

1.2.2 Một số dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải trong phép biến hình ở trường THPT

Dạng thứ nhất là xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép biếnhình Với dạng này chúng ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc biểu thức tọa độcủa phép biến hình để giải

Dạng thứ hai là tìm các yếu tố của phép biến hình khi biết hình và ảnhcủa nó Chẳng hạn như xác định trục đối xứng của một đa giác ta có thể sửdụng tính chất: “Nếu một đa giác có trục đối xứng d thì qua phép đối xứngtrục d mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của đagiác phải biến thành một cạnh của đa giác đó”

Hay xác định tâm đối xứng của hình, nếu hình đã cho là một đa giác thì

sử dụng tính chất: “Một đa giác có tâm đối xứng I thì qua phép đối xứng tâm Imỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của đa giácphải biến thành một cạnh đa giác song song và bằng cạnh ấy” Nếu hình đãcho không phải là đa giác thì sử dụng định nghĩa

Bên cạnh đó, chúng ta có thể tìm tâm vị tự của hai đường tròn (I; R) và(I; R’) bằng cách sử dụng kiến thức sau:

Nếu như I trùng I’ thì tâm vị tự là I như hình vẽ

Còn nếu I khác I’ và R R ' thì tâm vị tự ngoài là O, tâm vị tự trong là

Hay I khác I’ và R R ' thì tâm vị tự là O1

Ngoài ra, để tìm phép đồng dạng biến hình (h) thành hình (h’) chúng

ta có thể tìm cách biểu thị phép đồng dạng đó như kết quả của việc thực hiệnliên tiếp các phép đồng dạng quen biết

Dạng thứ ba là các bài toán về mối liên quan giữa một số phép dời hìnhquen biết Hay cụ thể là, chứng minh phép dời hình này là kết quả của việcthực hiện một số phép dời hình khác chúng ta có thể sử dụng định nghĩa củacác phép dời hình liên quan

1.2.3 Vai trò của vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán trong chương trình trung học phổ thông

Hình học phẳng là một trong những phần kiến thức khó đối với đại đa

số học sinh, các bài toán thì có nhiều lời giải khác nhau Một số dạng bài toán

đã học như: Chứng minh, dựng hình, quỹ tích,… hay gặp khó khăn với những

lời giải thông thường Tuy nhiên, khi vận dụng đực kiến thức phép biến hìnhvào giải quyết thì bài toán trở nên đơn giản hơn và lời giải lại hết sức gọngàng, dễ hiểu

Mặt khác, để vận dụng đực phép biến hình vào giải một số bài toántrong chương trình trung học phổ thông đòi hỏi người học cần có kiến thứcsâu sắc cũng như khả năng xâu chuỗi và vận dụng kiến thức đó

Chính vì thế, việc vận dụng không chỉ giúp người học nắm vững kiếnthức mà sẽ có tác dụng lớn trong việc phát triển khả năng sáng tạo của cácem

1.3 Vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường THPT

1.3.1 Một vài bài toán vận dụng phép biến hình để giải

Một là, bài toán chứng minh các tính chất hình học có thể tiến hànhtheo hai bước Thứ nhất, ta thực hiện một phép biến hình thích hợp và sau đó

sử dụng các tính chất của phép biến hình này để giải quyết các yêu cầu củabài toán

Hai là, để dựng một hình thỏa mãn điều kiện cho trước chúng ta cũnggiải theo hai bước cơ bản Thứ nhất, ta dựng các điểm của hình theo cách sau:

“Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một phép biếnhình hoặc xem điểm M như là giao của một đường cố định với ảnh của mộtđường đã biết qua một phép biến hình” Sau đó, đưa ra kết luận và biện luận

số lượng hình cần dựng

Ba là, tìm tập hợp điểm thỏa mãn một số điều kiện đã cho Với bài toánnày ta cần chú ý: Nếu có một phép biến hình f xác định , biến một điểm E diđộng thành điểm M và nếu ta tìm được tập hợp (h) của các điểm E thì tập hợpđiểm M là ảnh của hình (h) qua phép biến hình f

1.3.2 Cách nhận biết lớp các bài toán hình học có khả năng giải được

Về mặt nguyên tắc, bất kì bài toán hình học nào cũng có thể giải bằngphương pháp tọa độ (còn gọi là phương pháp đại số) Tuy nhiên, nhiều bàitoán giải bằng phương pháp tổng hợp lại đi đến kete quả nhanh chóng, gọngàng và đẹp hơn nhiều Cũng vậy, nhiều bài toán hình học có thể giải đượcnhanh chóng và gọn gàng nếu biết sử dụng phương pháp vectơ.

Như chúng ta đã thấy, thường thì một bài toán hình học có thể giảiđược bằng nhiều cách khác nhau, chí ít là một cách: phương pháp tổng hợphay phương pháp tọa độ Tuy nhiên đứng trước một bài toán mới về hình học

ta nên xem xét cẩn thận để lựa chọn phương pháp giải phù hợp sao cho đạt kếtquả nhanh chóng, gọn và dễ dàng nhất

Để có thể giải được một bài toàn hình học bằng phương pháp biến hìnhtrước hết phải nhận ra được dấu hiệu của lớp các bài toán có khả năng giảiđược bằng phương pháp này Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng giảiđược bằng phương pháp biến hình Một câu hỏi đặt ra là: Làm thế nào đểnhận biết một bài toán hình học nào đó có thể giải được bằng phương phápbiến hình?

Muốn vậy, ta hãy trở lại phân tích những dạng bài toán ở mục 1.3.1 Cơ

sở của việc có thể sử dụng phép biến hình này nọ vào mỗi bài toán đã đượcchỉ ra Thường thì trong dữ kiện của mỗi bài toán và (hoặc) trong tính chấtcủa hình đòi hỏi phải thiết lập (chứng minh) hoặc trong điều kiện đòi hỏi ởhình cần dựng đã xuất hiện những yếu tố có mối liên hệ đáng chú ý đến mộtphép biến hình cụ thể nào đó

Tóm lại, muốn nhận biết được một bài toán hình học nào đó có khảnăng giải được bằng phương pháp biến hình (cụ thể là phương pháp dời hình,bao gồm tịnh tiến, đối xứng – tâm, đối xứng – trục, quay hoặc phép đồngdạng,…), trước hết chúng ta phai xem xét, phân tích nội dung bài toán để tìm

ra yếu tố nào trong đó có mốt liên hệ đáng chú ý đến một phép biến hình cụthể nào đó Sau đó vận dụng các tính chất của phép biến hình này mà tìm lờigiải hay đáp của bài toán được xét Đặc biệt, đáng chú ý là phương pháp biến

hình cũng thường gặp và được sử dụng trong giải bài toán quỹ tích và dựnghình, nhất là toán dựng hình Theo quan điểm của lí thuyết tập hợp thì hình làmột tập hợp điểm nào đó Bởi vậy, việc dựng một hình hình học nào đólại quy

về dựng một số hữu hạn điểm đủ để xác định, cũng có nghĩa đủ để xác địnhhình đó Trong mặt phẳng, thông thường một điểm được xác định bởi giao haiđường, trong đó có đường thẳng và đường conic mà đường tròn là một Elipđặc biệt Trong hai đường dùng để xác định điểm phải dựng là một trong cácgiao điểm của chúng, thường thì một đường đã có sẵn trong dữ kiện bài toáncòn đường thứ hai là quỹ tích những điểm có tính chất đặc trưng nào đó vàđược suy ra từ những đường đã cho trong dữ kiện của bài toán bởi một phépbiến hình nào đó Phép biến hình này được phát hiện để sử dụng nhờ việcphân tích cụ thể nội dung bài toán hình học được đặt ra như đã nói trên Tómlại, có những bài toán chỉ xoay quanh việc sử dụng phương pháp biến hìnhvào việc giải toán dựng hình, cũng có bài toán cần khai thác tính chất biếnhình nào đó mà từ đấy (có thể kết hợp với một vài tính chất hình học khác) đểtìm ra quỹ tích điểm Tuy nhiên, cũng lưu ý thêm rằng trong nhiều trường hợpkhác, chúng ta lại giải được bài toán quỹ tích bằng phương pháp biến hìnhnhờ vận dụng được tính chất hình học đặc trưng (kể cả định nghĩa) của phépbiến hình đó

1.4 Cơ sở thực tiễn của việc việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải bài toán ở trường THPT

1.4.1 Tìm hiểu thực tiễn về dạy học phép biến hình ở trường THPT

Thứ nhất, xét về nội dung chương trình thì đây là nội dung của chương

1 sách giáo khoa Hình học 11 (chương trình chuẩn) Chương này được chiathành 8 bài và ôn tập chương như sau:

§1 Phép biến hình và §2 Phép tịnh tiến (2 tiết)Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

- Nắm được định nghĩa các phép biến hình, một số thuật ngữ và kí hiệu liên

- Nắm được định nghĩa về phép tịnh tiến Hiểu được phép tịnh tiến hoàn toàn xác định khi biết vectơ tịnh tiến.

- Biết được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Biết vận dụng nó để xác địnhtọa độ ảnh của một điểm, phương trình đường thẳng là ảnh của một điểm,

phương trình đường thẳng cho trước qua một phép tịnh tiến

- Hiểu được tính chất cơ bản của phép tịnh tiến là bảo toàn khoảng cách

Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

- Hiểu được định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục qua các trục tọa độ

- Nắm được thế nào là trục đối xứng của một hình và hình có trục đối xứng

- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua một phép đối xứng trục

- Biết cách xác định trục đối xứng của một hình và nhận biết một hình có trục đối xứng

- Nhận biết được một hình H’ là ảnh của một hình H qua một phép đối xứng trục

- Biết quy lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng, suy luận logic

- Tích cực trong phát hiện và chiếm lĩnh tri thức

Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

- Hiểu được định nghĩa, tính chất cúa phép đối xứng tâm

- Nắm được biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua tâm O

- Nắm được thế nào là tâm đối xứng của một hình và hình có tâm đối xứng

- Biết dựng ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua một phép đối xứng tâm

- Biết cách xác định tâm đối xứng của một hình và nhận biết một hình có tâm đối xứng

- Biết xác định toạ độ ảnh của một điểm, đường thẳng, đường tròn… qua phép đối xứng tâm O

- Biết quy lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng, suy luận logic

- Tích cực trong phát hiện và chiếm lĩnh tri thức

Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

- Nắm vững định nghĩa và tính chất của phép quay

- Biết xác định chiều quay và góc quay

- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác qua phép quay

- Rèn luyện tư duy logic cho học sinh

- Rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản

- Liên hệ được với nhiều vấn đề có trong thực tế với phép quay

§6 Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau (1 tiết)

Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

- Nắm được định nghĩa và các tính chất của phép dời hình

- Biết được các phép tịnh tiến, phép đx trục, đx tâm, phép quay đều là phép dời hình

- Biết được khi thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình ta được một phép dời hình

- Nắm được định nghĩa của hai hình bằng nhau

- Vẽ được ảnh của một hình đơn giản qua phép dời hình

- Bước đầu vận dụng phép dời hình trong một số bài tập đơn giản

- Rèn luyện tư duy logic, tư duy tổng hợp cho học sinh

- Hiểu được thế nào là hai hình bằng nhau

- Biết được toán học có ứng dụng trong thực tế

Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

- Nắm được định nghĩa và các tính chất của phép vị tự

- Tìm ảnh của một điểm, ảnh của một hình đơn giản qua phép vị tự

- Biết phân biệt hai phép tự khác nhau khi nào

- Biết cách tính biểu thức tọa độ của ảnh của một điểm và phương trình đườngthẳng cho trước qua một phép vị tự

- Biết cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn

- Rèn luyện tư duy logic, tư duy hình học

- Liên hệ được với thực tế

Sau khi học xong, học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:

- Hiểu được định nghĩa phép đồng dạng

- Hiểu được tính chất cơ bản của phép đồng dạng và hai hình đồng dạng

- Nhận biết được phép dời hình và phép vị tự là trường hợp riêng của phép đồng dạng

- Biết được phép đồng dạng có được là thực hiện liên tiếp hai phép biến hình

- Nhận biết được các hình đồng dạng trong thực tế

Thứ hai, tiến hành điều tra về việc dạy và học nội dung phép biến hình

ở trường THPT thông qua phiếu dưới đây:

PHIẾU ĐIỀU TRA HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC PHÉP BIẾN HÌNH

Câu 1: Theo thầy (cô) vai trò của phép biến hình trong chương trình

THPT như thế nào?

Rất quan trọngQuan trọng nhưng không nhiềuBình thường

Không cần có trong chương trình họcCâu 2: Theo Thầy (cô) những khó khăn lớn nhất trong dạy học phép biến

hình là gì?

Kiến thức mớiThiếu giáo cụ trực quanHọc sinh thụ động

Kiến thức trừu tượng, khó hiểuCâu 3: Thầy (cô) đã dạy phép biến hình như thế nào?

Dạy cho đủ chương trình

Dạy qua kiến thức và chỉ làm một vài bài tập trong sách giáokhoa

Luyện tập bài tập cho học sinh biết cách nhận dạng phép biến hình và xác định ảnh qua phép biến hình

Dạy theo chuẩn sách giáo khoa và vận dụng phép biến hình giải một số bài toán khác

Câu 4: Theo Thầy (cô) cần điều chỉnh gì ở nội dung kiến thức và bài tập phép biến hình trong sách giáo khoa (ban cơ bản)

Bỏ phần này

Giảm chương trình

Giữ nguyên như cũ

Thêm chương trình

Theo điều tra bằng phiếu đối với giáo viên, đa số chỉ dạy qua kiến thức

và chỉ làm một vài bài tập trong sách giáo khoa Trong tiết dạy chỉ luyện tậpbài tập cho học sinh biết cách nhận dạng phép biến hình và xác định ảnh quaphép biến hình Nhiều giáo viên cho rằng, cần giảm tải nội dung này bởi đâykhông phải là nội dung thực sự cần thiết

PHIẾU ĐIỀU TRA HOẠT ĐỘNG HỌC PHÉP BIẾN HÌNH

CỦA HỌC SINHCâu 1: Em thấy sau khi học phép biến hình Em thấy vai trò của phần này như thế nào?

Rất quan trọngQuan trọng nhưng không nhiềuBình thường

Không cần có trong chương trình họcCâu 2: Những khó khăn của em khi học phép biến hình

Kiến thức cơ bản nắm chưa chắcKhả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgic còn hạn chế

Có tâm lí sợ học môn hình họcNội dung ít thi nên tâm lý không tập trung

Câu 3: Em có nhận xét gì về nội dung phép biến hình giáo viên đã dạy?

Kiến thức ítKiến thức không sâu

Chủ yếu là luyện tập bài tập cho học sinh biết cách nhận dạng phép biến hình và xác định ảnh qua phép biến hình

Dạy theo chuẩn sách giáo khoa và vận dụng phép biến hình giải một số bài toán khác

Câu 4: Em mong muốn gì về nội dung phép biến hình trong sách giáo khoa?

Bỏ phần nàyThêm kiến thức sâu về phần này

Có cũng được mà không có nội dung này cũng đượcNội dung như hiện tại là ổn

Qua điều tra thấy đa số học sinh chưa có hứng thú với nội dung này.Các em không tập trung nhiều vào việc giải toán có liên quan đến phép biếnhình dẫn đến tâm lý không thích học về mảng nội dung này

1.4.2 Thực trạng việc hướng dẫn học sinh vận dụng phép biến hình để giải một số bài toán ở trường THPT

Đối với giáo viên, đa số giáo viên chưa thực sự tạo ra tâm thế hứng thú,sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của họcsinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung chương học Hình thức

tổ chức dạy học kết hợp môn học còn đơn điệu nên chưa tạo sự cuốn hút vàchưa làm rõ được ý nghĩa nội dung cho người học Về phương pháp dạy học,chưa thực sự chú ý đến phương pháp lĩnh hội tri của HS để giúp các em cókhả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình huống đadạng Cũng chưa thực sự rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trongthực hiện các kĩ năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tínhchủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hìnhthành và phát triển nhân cách của các em Ngoài ra, việc học hỏi trau dồichuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp vẫn chưa diễn ra thườngxuyên Bên cạnh đó, vấn đề giúp đỡ các em học sinh để các em không cảmthấy áp lực trong học tập cũng như việc tạo ra tình huống có vấn đề, kíchthích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh chưa có kết quả nổi trội Giáo viêncũng chưa vạch ra cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành,cũng như đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh Mặt khác, nộidung giảng dạy chưa đi sâu vào phần ứng dụng phép biến hình để giải toán.

Đối với học sinh, do tâm lý sợ học hình và đặc biệt là phép biến hình nên

đa số các Em chưa tập trung nghe giảng về mảng kiến thức này Một mặt nữa

do những hạn chế về khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgic dẫn đếnkhó khăn khi lĩnh hội tri thức này Thời kì hiện nay, các em quen với lối đượccung cấp sẵn mà quên mất việc tự tìm kiếm Trong khi đó, thời gian trêntrường có ít nên việc tự luyện tập là rất cần thiết, tuy nhiên các em chưa cótính tự giác Chính vì thế lượng kiến thức nắm được rất hời hợt và dễ quên.Lại do trong các kì thi quan trọng nội dung này chưa được đưa vào nên họcsinh đa số thường thích bỏ qua Nhiều em chưa biết được ứng dụng của phépbiến hình có ý nghĩa lớn trong việc giải bài toán chứng minh, dựng hình vàquỹ tích

Tiểu kết chương 1

Trong chương này, tôi đã đưa ra những cơ sở lí luận và thực tiễn của đềtài nghiên cứu Từ những khái niệm về người học sang tạo đến “Phép biếnhình”, những nội dung kiến thức về phép biến hình ở trường THPT và bài tập

cơ bản Bên cạnh đó, tôi cũng đưa ra dấu hiệu nhận biết bài toán hình học cóthể giải bằng cách vận dụng phép biến hình và một số dạng thường gặp.Ngoài ra, tôi còn đưa ra những thông tin về thực trạng dạy học phép biến hìnhcũng như vận dụng phép biến hình vào giải bài toán THPT hiện nay

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH

GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CỦA NGƯỜI

HỌC 2.1 Một số kiến thức và kĩ năng cốt lõi

2.1.1 Yêu cầu về kiến thức

Đầu tiên, cần biết khái niệm: Hình là một tập hợp các điểm mà các

điểm đó được sắp xếp theo một quy định nào đó

Tiếp theo, phải nắm được định nghĩa:

“Phép biến hình trong mặt phẳng f : P  P là một quy tắc cho tương

ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng P xác định duy nhất M '  f M thỏa mãn:

- Nếu M, N là hai điểm bất kì của P thì f M ,f Nlà hai điểm phân biệt của P

- Với mỗi điểm M’ thuộc P bao giờ cũng tìm được điểm M thuộc P sao cho f

M   M '

Điểm f M được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngược lại, M

là tạo ảnh của f M qua phép biến hình nói trên

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợpf

ảnh của hình f H qua phép biến hình f ”

Sau đó, cần biết cách xác định một phép biến hình f : P  P ta cần nêu

rõ quy tắc f bằng các cách sau: Quy tắc f được xác định bằng các phép dựnghình cơ bản trong mặt phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đãđược xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc vớimột đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho v,v

Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ (x; y) củađiểm M với tọa độ (x'; y') của điểm M'  f(M) đối với hệ tọa độ Oxy nào đó

2.1.2 Yêu cầu về kĩ năng

Đầu tiên là kĩ năng phân tích: Phân tích có nghĩa là chẻ vấn đề rathànhtừng mảnh nhỏ, để hiểu từng chi tiết, từng khía cạnh nhỏ, hiểu được vấn đề từngoài vào trong, từ trong ra ngoài, cũng như người thợ máy rã cái máy khổng

lồ thành trăm mảnh vụn để tìm và chữa bệnh bên trong lòng máy Người tathường dùng chỉ một từ phân tích, nhưng trong thực tế, phân tích còn bao hàm

ý tổng hợp Tổng hợp là ngược lại của phân tích, là ráp trăm mảnh phụ tùnglặt vặt lại thành chiếc máy Nếu rã máy mà không lắp lại được, thì đó là phámáy chứ không phải là phân tích, phải không? Tuy nhiên, người ta ít chú tâm

và ít nói đến tổng hợp, vì người giỏi phân tích tự nhiên là giỏi tổng hợp, cũngnhư người rã máy thường xuyên thì đương nhiên là sẽ biết ráp trở lại Trên

phương diện lý luận, kỹ năng phân tích có thể gom vào một chữ–“hỏi.”

Người phân tích là người biết đặt câu hỏi, như chuyên viên điều tra Nghe bất

cứ điều gì cũng có thể đặt câu hỏi

Đứng trước một bài toán, việc nhận dạng nó thuộc dạng bài tập nào là

vô cùng quan trọng Và ngay sau đó, người giải toán phải phân tích đề bàinhững yếu tố đã biết, những yếu tố chưa biết và mối quan hệ giữa chúng vớinhau Dựa trên những điều đã có được cần phát biểu đề bài dưới nhiều dạngkhác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

Ngoài ra trong quá trình hướng dẫn học sinh vận dụng một số lượngkiến thức đã quá vào giải toán thì việc đưa ra những câu hỏi phù hợp để phântích đề bài lại vô cũng quan trọng

Thứ hai là kĩ năng suy đoán: Nhắc tới toán học, người ta thường nghĩ

ngay tới tính chính xác, hoặc cho rằng những kiến thức trong sách giáo khoađều đã được kiểm nghiệm gắt gao rồi mới được đưa vào giáo trình…Thế màtrong rất nhiều tình huống giải toán, ta không thể chứng minh, hay dựa vàomột tiên đề, một định lý nào đó, đưa ra kết luận cuối cùng mà phải “đoán” kếtquả Vậy điều này có mâu thuẩn với tinh chất của toán học không?

Thực ra, toán học cũng giống như bất kỳ một sự sáng tạo nào đều cầnphải “suy đoán” nội dung trước, sau đó mới có thể chứng minh Để có một bàichứng minh hoàn chỉnh cần phải hướng tư duy chứng minh của bản thân theohướng” đoán định” Đó là sự kết hợp của hai bước đi, bước thứ nhất: quan sát,bước thứ hai tổng hợp kết quả quan sát so sánh và tiến hành thử nghiệm nhiềulần” Câu nói của nhà toán học Mỹ thiên tài G.Bolia cho ta thấy “bất kỳ kếtluận nào dù là triệt để, tuyệt đối cũng đều được các nhà toán học rút ra saunhiều lần “suy đoán” ra sao “ Suy đoán” là cách thể hiện tư duy sáng tạo củacon người Và nếu chỉ dừng lại ở việc phân tích và so sánh thì không thể giúpchúng ta bắt đầu một lời giải được Kĩ năng suy đoán rất quan trọng, sau khiphân tích đề bài và những yếu tố liên quan, chúng ta cần có những suy đoán

về hướng giải quyết, suy đoán những công cụ cần thiết để vận dụng Một sốbài toán cần có suy đoán về đáp án bài toán Bên cạnh đó, người hướng dẫncần đưa là những câu hỏi cho bản thân để dự đoán được khả năng tiếp thu củangười học và kết quả tự giải quyết vấn đề của các em

Ngoài ra, một số kĩ năng sau cũng vô cùng cần thiết, như:

Một là kĩ năng tương tự hóa, kĩ năng này được vận dụng trong mỗi bài,chẳng hạn như các bước tương tự nhau hay các kết quả tươnng tự nhau Kĩnăng này còn vận dụng để nhận dạng những bài tập đã ừng làm và có nhữnggiả thiết tương tự Ngoài ra, đưa ra những cách diễn đạt có kết quả tương tựgiúp chúng ta hiểu kĩ đề bài và nhớ về nó một cách sâu sắc Đối với ngườihướng dẫn, đây là một kĩ năng để giúp học sinh biết cách liên hệ giữa các bàitoán Ngoài ra, đây cũng là một kĩ năng để xây dựng lớp bài toán có nhữngyếu tố chung để phục vụ quá trình giải bài tập

Hai là kĩ năng trừu tượng hóa, đối với toán học đòi hỏi về tính trừutượng rất cao, chính vì thế đây là một kĩ năng rất cần thiết với cả người dạy vàngười học Người học cần có óc tưởng tốt trong quá trình tìm hiểu đề bài, tìmtòi lời giải Có những bài toán không thể mô tả bằng hình vẽ, bằng biểu thức

Ba là kĩ năng đặc biệt hóa, đôi khi trong quá trình đưa một lời giải,chúng ta cần có một số phép thử đặc biệt ở những trường hợp cụ thể Hay khigiải xong một bài toán rồi thì kĩ năng này cũng rất cần thiết để kiểm tra độchính xác của kết quả cuối cùng Đây cũng chính là kĩ năng cần thiết để hỗ trợviệc kiểm tra, đánh giá đối với giáo viên giảng dạy.

Bốn là kĩ năng so sánh, với vai trò là người hướng dẫn, kĩ năng so sánhlại rất quan trọng Kết quả của việc so sánh tỉ mỉ chính xác sẽ không chỉ giúpcho học sinh có cách nhìn chính xác về một bài toán mà còn giúp các em lưulại kiến thức một cách chặt chẽ và lâu dài

Năm là kĩ năng khái quát hóa, đây là kĩ năng cần thiết để đưa ra kết luậnchung nhất về đề bài cũng như lời giải Kĩ năng này giúp chúng ta nghiên cứusâu về khả năng ứng dụng của một lời giải Và đây chính là một kĩ năng quantrọng để giúp người dạy xây dựng lớp bài toán và phương pháp giải chúng

Sáu là kĩ năng sắp xếp, những yếu tố tìm được trong các quá trình,những kiến thức, công cụ hỗ trợ cần được sắp xếp hợp lí để định hướng giảiquyết bài toán Bên cạnh đó, kĩ năng sắp xếp giúp cho chúng ta có một lời giảihợp lôgic và dễ hiểu Ngoài ra, đây là một kĩ năng vô cùng quan trọng vớingười dạy để xây dựng tiến trình lên lớp, xây dựng hệ thống kiến thức và bàitập hợp lí Đặc biệt, nó còn hỗ trợ đắc lực cho việc xây chương trình hóa trongdạy học

2.2 Một số dạng bài tập cơ bản trong phép biến hình ở trường trung học phổ thông

2.2.1 Nội dung kiến thức

Đối với phép tịnh tiến, trước hết ta cần nhớ định nghĩa: Trong mặt

phẳng , cho véc tơ v a;b.Phép tịnh tiến theo véc tơ v a;blà phép biến hình ,

biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM '  v .Ký hiệu : T v

Về tính chất của phép tịnh tiến, ta có:

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì

MN = M’N’

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tiathành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến mộttam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đườngtròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó

Về biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Giả sử cho v a; b và một điểmM(x;y) Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa

x '  a  x

y '  y  b

Đối với phép đối xứng trục, ta có định nghĩa: Cho đường thẳng d.

Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó Biến mỗi điểm M khôngthuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’, được gọi làphép đối xứng qua đường thẳng d (hay là phép đối xứng trục), kí hiệu Đd.Đường thẳng d gọi là trục đối xứng

Về biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: Ta chọn đường thẳng dtrùng với trục Ox Với mỗi điểm M x; y, gọi M’  x’; y’ là ảnh của M quaphép đối xứng trục thì :  x '  x (Đó chính là biểu thức tọa độ )

y '  y

Khi đó ta có các tính chất sau: Một là phép đối xứng trục bảo toànkhoảng cách giữa hai điểm bất kỳ Hai là phép đối xứng trục biến một đườngthẳng thành một đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳngbằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường trònthành một đường tròn có cùng bán kính

Ngoài ra, ta có khái niệm trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đốixứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó

Đối với phép đối xứng tâm, ta có định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm

O là một phép biến hình, biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với Mqua O, có nghĩa là: OM  OM '  0 Phép đối xứng tâm O ký hiệu : ĐO.Trong đó O là tâm đối xứng

Về biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(a;b) Nếu

x '  2a  xphép đối xứng tâm I biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thì:  y '  2b 

y

(Đó chính là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm )

Và khái niệm, tâm đối xứng của một hình là điểm sao cho biến hình H

thành chính nó

Đối với phép quay, ta có định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố

định và góc lượng giác  không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm

O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’và góc (OM;OM’)=  Được gọi là phép quay tâm O góc quay là  Phép quay là phépdời hình

Đối với Phép vị tự, ta có định nghĩa: Cho điểm O và một số k  0

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’ sao cho OM '  kOM

được gọi là phép vị tự tâm, tỉ số vị tự là k Phép vị tự có một số tính chất sau:

Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì:

M ' N '  k MN

Phép vị tự tỉ số k: Biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng vàbảo toàn thứ tự các điểm ấy Biến một đường thẳng thành một đường thẳngsong song hoặc trùng với đường thẳng âý, biến một tia thành một tia, biến mộtđoạn thẳng thành một đoạn thẳng Biến một tam giác thành một tam giác đồngdạng với nó, biến một góc thành một góc bằng nó Biến đường tròn thànhđường tròn có cùng bán kính

Chú ý định nghĩa tâm tỉ cự của hai đường tròn: Với hai đường tròn bất

kỳ luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia và ngượclại Tâm của phép vị tự gọi là tâm vị tự của hai đường tròn

Có thể tìm tâm vị tự của hai đường tròn như sau: Nếu I trùng với I’, khi

đó phép vị tự tâm I tỉ số R’/R và phép vị tự tâm I tỉ số  R

R ' biến đường tròn

(I; R) thành đường tròn (I;R’) Còn nếu I  I '; R  R ', trên (O; R) lấy một

diểm M bất kỳ, trên (O’; R’) lấy điểm M’ sao cho IM//I’M’ và I’M’’//IM Haiđường thẳng MM’ và MM’’ cắt đường thẳng nối hai tâm II’ tại hai điểm O vàO’ Khi đó O nằm ngoài II’gọi là tâm vị tự ngoài, còn O’ nằm trong đoạnII’gọi là tâm vị tự trong Ngoài ra, nếu I khác I’ và R = R’ Khi đó MM’//II’nên chỉ có phép vị tự tâm O’ với k = -1 đó chính là phép đối xứng

2.2.2 Vài dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải

Một số bài toán xác định ảnh của một hình qua phép biến hình:

Bài toán 1.1: Cho hình bình hành MNPQ Dựng ảnh của MNP qua phép tịnhtiến theo vectơ MQ

Ta có thể đưa ra hình vẽ và hướng dẫn

Hình 2.1

Qua TMQ : Các điểm M, N, P biến thành những điểm nào?

Hình tạo bởi ba điểm ảnh lần lượt của M, N, P là ảnh của MNP

   

d 2x  5y  1 0 trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Bài toán 1.2: Cho u  2;1 và

Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tu

Có thể hướng dẫn học sinh hai hướng khác nhau như sau:

Cách thứ nhất, lấy M d bất kì, xác định ảnh M’ của M qua Tu

(d’) là đường thẳng qua M’ và có cùng vectơ pháp tuyến với đường thẳng (d).Cách thứ hai, lấy M, N d bất kì, xác định ảnh M’, N’ của M, N qua Tu (d’) là đường thẳng qua M’, N’

Bài toán 1.3: Cho hình tứ giác PQRS Hai đường thẳng PR và QS cắt nhau tại

I Xác định ảnh của tam giác PQI qua phép đối xứng qua đường thẳng RS.Với bài toán này ta có thể đưa ra một số hướng dẫn và vẽ hình

Để xác định ảnh của tam giác ta xác định ảnh của từng đỉnh của tamgiác Và hình tạo bởi các điểm ảnh tương ứng là ảnh của tam giác

Hình 2.2

Bài toán 1.4: Cho điểm M 1;5, d : x  2y  4  0 và đường tròn

C : x 2  y 2  2x  4y  4  0 trong mặt phẳng tọa độ Oxy

a) Tìm ảnh của M, d, C qua phép đối xứng trục Ox

b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d Hướng dẫn

x '  x,

a) Để tìm ảnh M’(x’; y’) của M(x; y) ta sử dụng biểu thức tọa độ 

y '  y.

Từ đó tìm ra M ' 1; 5

Muốn tìm ảnh d’ của d ta có thể sử dụng lấy A, B bất kỳ nằm trên d

Xác định ảnh A’, B’ lần lượt của A, B qua phép đối xứng trục Ox Khi đó, d’

là đường thẳng qua A’, B’

Ngoài ra có thể giải bằng cách thứ hai như sau:

Nhận xét: d cắt Ox tại A(- 4; 0) nên d’ qua A

d cắt Oy tại B(0; 2) nên d’ qua B’(0; -2)

Hình 2.3

Kết luận: d’ qua A, B’ có phương trình x  2y  4  0

36

Tìm ảnh của (C) khi biết tâm và bán kính: Từ phương trình

C : x 2  y 2  2x  4y  4  0 ta xác định được tâm của (C) là I 1; 2vàbán kính R = 3 Vậy ảnh của nó qua phép đí xứng trục là đường tròn (C’) có tâm

Bài toán 1.5 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I2;3 và

d : 2x  3y  6  0 Tìm tọa độ I’ và phương trình của đường thẳng d’ là ảnhcủa I và d qua phép đối xứng tâm O

Cách thứ hai, ảnh d’ của d qua phép đối xứng tâm O song song với d.Lấy M bất kỳ trên d, xác định ảnh M’ của M qua phép đối xứng tâm O Ảnhcủa d qua phép đối xứng tâm O là d’ qua M’ và song song với d.

Bài toán 1.6: Cho hình vuông ABCD tâm O (như hình dưới) M, N lần lượt làtrung điểm của AB, OA Xác định ảnh của M, N qua QO,90 0.

Hình 2.6

Hướng dẫn

Hình 2.7

- Gọi M’, N’ lần lượt là trung điểm của AD, OD

- Chứng minh M’, N’ lần lượt là ảnh M, N qua QO,90 0.

Bài toán 1.7: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(5; 0), B(1; 1), C(3; 3) vàđường thẳng d có phương trình 3x  5y  15  0 Hãy xác định tọa độ cácđỉnh của A'B'C' và phương trình đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của ABC

O,90 0 

Hướng dẫn

Hình 2.8

 

v ( 2;1)

Hướng dẫn

Hình 2.9