Dạy học nội suy đa thức trong lớp các đa thức với hệ số nguyên cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông luận văn ths lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán 60 14 01 11

Bði ngo i nhœng øng döng thi‚t thüctrong cuºc sŁng hay khi mang vai trÆ l cæng cö khæng th” thi‚u cho nhi•umæn håc kh¡c th… To¡n håc cÆn l mæn håc gióp r–n kh£ n«ng t÷ duy chohåc sinh...

I H¯C QU¨C GIA H N¸I TR×˝NG

I H¯C QU¨C GIA H N¸ITR×˝NG I H¯C GI O DÖC

Ng÷íi h÷îng d¤n khoa håc

GS TSKH NGUY N V N M U

L˝IC MÌN

Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c tîi GS.TSKH Nguy„n V«n M“ung÷íi ¢ trüc ti‚p h÷îng d¤n v t“n t…nh ch¿ b£o tæi trong qu¡ tr…nh nghi¶ncøu v thüc hi»n • t i n y

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Khoa sau ⁄i håc ⁄i håc gi¡o döc, ⁄i håcQuŁc gia H Nºi v c¡c thƒy gi¡o, cæ gi¡o tham gia gi£ng d⁄y t⁄i Khoa ¢ gióp

ï tæi trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m Hi»u, c¡c thƒy cæ tŒ To¡n Tintr÷íng THPT Vi»t øc ¢ t⁄o i•u ki»n v gióp ï tæi trong qu¡ tr…nh gi£ng d⁄ythüc nghi»m t⁄i tr÷íng

M°c dò ¢ câ nhi•u cŁ g›ng, xong lu“n v«n ch›c ch›n khæng th” tr¡nhkhäi nhœng thi‚u sât, h⁄n ch‚ Tæi r§t mong nh“n ÷æc sü âng gâp quþ b¡ucıa thƒy cæ,v b⁄n åc ” lu“n v«n ÷æc ho n thi»n hìn

H nºi, Th¡ng 10 n«m 2016

Chu øc Minh

i

Danh s¡ch b£ng

1.1 Tƒn su§t d⁄y nºi suy a thøc 141.2 C¡ch håc nºi suy a thøc cıa håc sinh 171.3 Møc º quan t¥m cıa håc sinh Łi vîi nºi suy a thøc 174.1 C¡ch håc nºi suy a thøc cıa håc sinh 724.2 Møc º quan t¥m cıa håc sinh Łi vîi nºi suy a thøc 724.3 i”m ki”m tra sau thüc nghi»m 73

Danh möc c¡c kþ hi»u, chœ vi‚t t›t

Möc löc

1.1 °c i”m cæng t¡c bçi d÷ïng håc sinh kh¡, giäi trong tr÷íng

trung håc phŒ thæng 9

1.1.1 Håc sinh giäi v bçi d÷ïng håc sinh giäi 9

1.1.2 Khâ kh«n trong cæng t¡c bçi d÷ïng håc sinh giäi ð tr÷íng THPT khæng chuy¶n 10

1.2 Nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n ð b“c trung håc phŒ thæng 11

1.3 Thüc tr⁄ng vi»c d⁄y v håc nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n ð mºt sŁ tr÷íng trung håc phŒ thæng 12

2 Mºt sŁ v§n • li¶n quan ‚n a thøc vîi h» sŁ nguy¶n v b i to¡n nºi suy 20 2.1 Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n 20

2.1.1 Nghi»m nguy¶n v nghi»m hœu t cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n 20

2.1.2 Ph¥n t‰ch a thøc th nh nh¥n tß 21

2.2 Mºt sŁ b i to¡n nºi suy 22

2.2.1 Nºi suy Lagrange 22

2.2.2 Nºi suy Abel Newton 27

2.2.3 Nºi suy Taylor 29

3 Mºt sŁ øng döng cıa nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ

3.1 Mºt sŁ d⁄ng b§t flng thøc v cüc trà tr¶n t“p sŁ nguy¶n 31

3.1.1 C¡c b§t flng thøc vîi r ng buºc tŒng khæng Œi 31

3.1.2 C¡c b§t flng thøc vîi r ng buºc v• t‰ch khæng Œi 45

3.1.3 C¡c b§t flng thøc kh¡c 46

3.1.4 Mºt sŁ b§t flng thøc v cüc trà li¶n quan 50

3.2 Mºt sŁ d⁄ng to¡n li¶n quan 52

3.2.1 Ph¥n thøc nh“n gi¡ trà hœu t 52

3.2.2 Nºi suy v çng d÷ thøc 59

4 Thüc nghi»m s÷ ph⁄m 68 4.1 Möc ‰ch, tŒ chøc v nºi dung cıa thüc nghi»m s÷ ph⁄m 68

4.1.1 Möc ‰ch thüc nghi»m s÷ ph⁄m 68

4.1.2 Nhi»m vö thüc nghi»m s÷ ph⁄m 68

4.1.3 TŒ chøc thüc nghi»m s÷ ph⁄m 68

4.1.4 Nºi dung thüc nghi»m 69

4.2 ¡nh gi¡ k‚t qu£ thüc nghi»m 70

4.2.1 Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ k‚t qu£ thüc nghi»m 70

4.2.2 ¡nh gi¡ k‚t qu£ thüc nghi»m 71

v

Mð ƒu

1 Lþ do chån • t i

Nghà quy‚t sŁ 29-NQ/TW ng y 4 th¡ng 11 n«m 2013, Hºi nghà lƒnthø 8 Ban Ch§p h nh Trung ÷ìng £ng kho¡ XI v• Œi mîi c«n b£n, to n di»ngi¡o döc v o t⁄o n¶u rª: " Łi vîi gi¡o döc phŒ thæng, t“p trung ph¡t tri”n tr‰tu», th” ch§t, h…nh th nh ph'm ch§t n«ng lüc cæng d¥n, ph¡t huy v bçid÷ïng n«ng khi‚u, ành h÷îng ngh• nghi»p cho håc sinh Ph¡t tri”n kh£n«ng s¡ng t⁄o, tü håc, khuy‚n kh‰ch håc t“p suŁt íi"

To¡n håc l mºt trong c¡c mæn håc luæn ÷æc ÷u ti¶n v chó trång ph¡ttri”n h ng ƒu trong mØi n•n gi¡o döc Bði ngo i nhœng øng döng thi‚t thüctrong cuºc sŁng hay khi mang vai trÆ l cæng cö khæng th” thi‚u cho nhi•umæn håc kh¡c th… To¡n håc cÆn l mæn håc gióp r–n kh£ n«ng t÷ duy chohåc sinh Vîi khŁi l÷æng lîn v• ki‚n thøc v t‰nh logic, ch°t ch‡ v• nºi dung

m trong qu¡ tr…nh håc t“p mæn To¡n, håc sinh ph£i khæng ngłng lØ lüct…m tÆi, v“n döng v li¶n k‚t c¡c nºi dung ki‚n thøc, tł â gióp cho t÷ duy cıac¡c em trð n¶n nhanh nh⁄y, k‰ch th‰ch sü s¡ng t⁄o

Tuy nhi¶n khæng ph£i håc sinh n o công thüc sü y¶u th‰ch v håctŁt mæn håc n y, do v“y nhi»m vö cıa ng÷íi gi¡o vi¶n bº mæn To¡n l h‚tsøc quan trång Ngo i vi»c gi£ng d⁄y, ành h÷îng cho c¡c em ti‚p c“n c¡c nºidung ki‚n thøc mîi th… vi»c cung c§p cho c¡c em h» thŁng ƒy ı v• cì sð lþthuy‚t, ÷a ra mºt sŁ h÷îng øng döng cì b£n ” c¡c em t…m tÆi v ph¡t tri”n lr§t cƒn thi‚t Bði n‚u câ mºt h» thŁng lþ thuy‚t ƒy ı, mºt sŁ h÷îng øng döng

cì b£n th… c¡c em s‡ tü cıng cŁ v kh›c s¥u ki‚n thøc, câ ÷æc n•n t£ng tŁt

” ti‚p c“n ‚n nhœng v§n • phøc t⁄p hìn, tł nhœng h÷îng øng döng ban ƒu,c¡c em s‡ høng thó hìn, câ ºng lüc ” t…m tÆi, ph¡t tri”n s¥u s›c hìnnhœng øng döng v t…m ra c¡c øng döng mîi, tł â t«ng c÷íng kh£ n«ng t÷duy v k‰ch th‰ch sü s¡ng t⁄o

C¡c b i to¡n nºi suy v c¡c v§n • li¶n quan ‚n nâ l mºt phƒn quan trångcıa ⁄i sŁ v gi£i t‰ch to¡n håc C¡c håc sinh th÷íng ph£i Łi m°t vîi nhi•ud⁄ng to¡n lo⁄i khâ li¶n quan ‚n chuy¶n • n y C¡c b i to¡n nºi suy câ và tr‰

°c bi»t trong to¡n håc khæng ch¿ nh÷ nhœng Łi t÷æng ” nghi¶n cøu mcÆn âng vai trÆ nh÷ l mºt cæng cö ›c lüc cıa c¡c mæ h…nh li¶n töccông nh÷ c¡c mæ h…nh ríi r⁄c cıa gi£i t‰ch trong lþ thuy‚t ph÷ìng tr…nh,

lþ thuy‚t x§p x¿, lþ thuy‚t bi”u di„n

Trong hƒu h‚t c¡c ký thi håc sinh giäi quŁc gia, Olympic to¡n khu vüc

v quŁc t‚, c¡c b i to¡n li¶n quan ‚n nºi suy (th÷íng ch¿ dłng l⁄i ð nºi suy Lagrange v khai tri”n Taylor) r§t hay ÷æc • c“p v thuºc lo⁄i khâ v r§t khâ C¡c

b i to¡n v• khai tri”n, çng nh§t thøc, ÷îc l÷æng v t‰nh gi¡ trà cüc trà cıa tŒng, t‰ch công nh÷ c¡c b i to¡n x¡c ành giîi h⁄n cıa mºt bi”u thøc cho tr÷îc th÷íng câ mŁi quan h» ‰t nhi•u ‚n c¡c b i to¡n nºi suy t÷ìng øng

C¡c b i to¡n nºi suy v °c bi»t c¡c b i t“p v• øng döng cæng thøc nºi suyth÷íng ‰t ÷æc • c“p ð c¡c gi¡o tr…nh cì b£n v s¡ch tham kh£o v• ⁄i sŁ vgi£i t‰ch to¡n håc C¡c b i to¡n nºi suy l mºt chuy¶n • chån låc cƒn thi‚tcho gi¡o vi¶n v håc sinh kh¡, giäi b“c trung håc phŒ thæng

V… v“y tæi quy‚t ành chån • t i d⁄y håc nºi suy a thøc trong lîp c¡c

a thøc vîi h» sŁ nguy¶n cho håc sinh kh¡, giäi trung håc phŒ thæng l m

• t i lu“n v«n cıa m…nh

2 Möc ti¶u nghi¶n cøu

- T…m hi”u nhœng khâ kh«n khi d⁄y v håc nºi dung chı • nºi suy a thøc trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

- T…m hi”u nhœng v§n • li¶n quan ‚n nºi suy a thøc trong lîp c¡c

a thøc vîi h» sŁ nguy¶n v mºt sŁ øng döng

- • xu§t c¡c bi»n ph¡p cƒn thi‚t nh‹m gióp håc sinh gi£i quy‚t ÷æcmºt lîp c¡c b i to¡n li¶n quan ‚n nºi suy a thøc trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁnguy¶n

3 Nhi»m vö nghi¶n cøu

- ÷a ra ÷æc nhœng khâ kh«n khi d⁄y v håc nºi suy a thøc trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n ð b“c trung håc phŒ thæng

- ÷a ra ÷æc c¡c v§n • cì b£n v• nºi suy a thøc trong lîp c¡c a thøc vîih» sŁ nguy¶n

- ÷a ra ÷æc mºt sŁ øng döng cıa nºi suy a thøc trong lîp c¡c a

6

thøc vîi h» sŁ nguy¶n trong d⁄y håc b“c trung håc phŒ

thæng 4 Kh¡ch th” v Łi t÷æng nghi¶n cøu

- Kh¡ch th” nghi¶n cøu: Gi¡o vi¶n v håc sinh trung håc phŒ thæng

- Łi t÷æng nghi¶n cøu: Nºi suy trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

5 Ph⁄m vi nghi¶n cøu

Nºi suy trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n ð b“c trung håc phŒ thæng

6 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu

- Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu lþ lu“n:

åc c¡c t i li»u li¶n quan tîi nºi suy trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n,

tł â x¥y düng chuy¶n • håc t“p v• chı • n y

- Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu thüc ti„n:

Sß döng ph÷ìng ph¡p i•u tra b‹ng bº c¥u häi tr›c nghi»m k‚t hæp vîiphäng v§n

7 Gi£ thuy‚t khoa håc

N‚u ÷æc h» thŁng ƒy ı c¡c cì sð lþ thuy‚t v øng döng cıa b i to¡n nºisuy a thøc trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n, håc sinh s‡ d„ d ng ti‚pc“n hìn, câ høng thó hìn Łi vîi chı • n y

8 âng gâp mîi cıa • t i

B i to¡n nºi suy luæn l • t i ÷æc quan t¥m trong cæng t¡c gi£ng d⁄y vbçi d÷ïng håc sinh giäi Tuy nhi¶n hƒu h‚t c¡c • t i • nghi¶n cøu b i to¡n nºisuy m ch÷a câ • t i n o nghi¶n cøu v• "b i to¡n nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîih» sŁ nguy¶n" công nh÷ vi»c d⁄y v håc chı • n y ð b“c trung håc phŒthæng V… v“y trong • t i "d⁄y håc nºi suy trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶ncho håc sinh kh¡ giäi THPT", tæi ti‚n h nh nghi¶n cøu v

÷a ra ÷æc nhœng k‚t qu£ sau:

- Vi»c d⁄y v håc chı • nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

- Cì sð v• lþ thuy‚t v mºt sŁ øng döng cıa "nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n"

9 C§u tróc cıa lu“n v«n

C§u tróc cıa lu“n v«n gçm ba phƒn: phƒn mð ƒu, phƒn nºi dung v phƒn k‚t lu“n

Nºi dung lu“n v«n gçm bŁn ch÷ìng:

- Ch÷ìng 1: Cì sð lþ lu“n v thüc ti„n

- Ch÷ìng 2: Mºt sŁ v§n • li¶n quan ‚n a thøc vîi h» sŁ nguy¶n v b i to¡n nºi suy

- Ch÷ìng 3: Mºt sŁ øng döng cıa nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n.

- Ch÷ìng 4: Thüc nghi»m s÷ ph⁄m

8

i c ng t«ng l¶n g§p bºi Ch‰nh v… th‚, bçi d÷ïng håc sinh giäi l b÷îc i ƒuti¶n ” o t⁄o nh¥n t i cho §t n÷îc v l nhi»m vö quan trång cıa ng nh gi¡o döc.Cæng t¡c n y ÷æc x¡c ành l mºt ho⁄t ºng môi nhån trong vi»c n¥ng caod¥n tr‰, o t⁄o nguçn nh¥n lüc ch§t l÷æng cao v ang ÷æc £ng, Nh n÷îccòng to n th” x¢ hºi °c bi»t quan t¥m.

1.1.1 Håc sinh giäi v bçi d÷ïng håc sinh giäi

Håc sinh giäi l nhœng håc sinh câ n«ng khi‚u, t i n«ng, n«ng lüc tŁt ðmºt hay nhi•u mæn håc hay l¾nh vüc n o â, ngo i ra håc sinh giäi cÆncƒn câ sü s¡ng t⁄o, ph£i th” hi»n ºng cì håc t“p m¢nh li»t v ⁄t ÷æc tr…nh ºxu§t s›c trong håc t“p v nghi¶n cøu khoa håc

Bçi d÷ïng håc sinh giäi ch‰nh l ho⁄t ºng nh‹m n¥ng cao tr…nh º, ki‚nthøc, kÿ n«ng cho håc sinh mºt c¡ch câ h» thŁng trong mºt sŁ mæn håcnh§t ành ” phöc vö cho vi»c håc t“p ð møc cao hìn v ph¡t huy ÷æc h‚tn«ng lüc cıa håc sinh trong l¾nh vüc â Bçi d÷ïng håc sinh giäi ÷æc thüchi»n ð t§t c¡c c¡c c§p håc v ð c¡c tr÷íng v cì sð gi¡o döc trong c£ n÷îc.Bçi d÷ïng håc sinh giäi l t⁄o ra mæi tr÷íng v nhœng i•u ki»n th‰chhæp cho ng÷íi håc câ th” ph¡t huy h‚t n«ng lüc cıa m…nh, còng vîi vi»cti‚p nh“n mºt c¡ch thæng minh, hi»u qu£ ngo⁄i lüc vîi vai trÆ quan trång h

ng ƒu cıa ng÷íi thƒy m cŁt lªi l ph£i gióp ÷æc cho ng÷íi håc v• ph÷ìngph¡p håc, c¡ch nghi¶n cøu, t÷ duy, bi‚t tü ¡nh gi¡, çng thíi bi‚t sß döngph÷ìng ti»n hi»n ⁄i ” t…m ki‚m, thu th“p, xß lþ thæng tin nh‹m möc ‰ch tühåc v tü bçi d÷ïng

1.1.2 Khâ kh«n trong cæng t¡c bçi d÷ïng håc sinh giäi ð tr÷íng

THPT khæng chuy¶n

Łi vîi c¡c tr÷íng khæng chuy¶n, m°c dò cæng t¡c bçi d÷ïng håc sinhgiäi ¢ ÷æc Ban gi¡m hi»u c¡c nh tr÷íng coi trång, l mºt trong c¡c möc ti¶umôi nhån nh÷ng cÆn nhi•u h⁄n ch‚ v• k‚t qu£ Nhœng h⁄n ch‚ n y xu§t ph¡t

tł c¡c nguy¶n nh¥n chı y‚u sau:

Thø nh§t, do khæng câ ch÷ìng tr…nh ri¶ng nh÷ håc sinh chuy¶n, c¡c t i li»u •u do c¡c gi¡o vi¶n tü nghi¶n cøu, tü s÷u tƒm, tü so⁄n trong i•u ki»n nhi•u gi¡o vi¶n còng tham gia gi£ng d⁄y n¶n cÆn thi‚u t‰nh h» thŁng, t‰nh li¶n thæng trong ch÷ìng tr…nh d⁄y

Thø hai, ch÷a câ c¡c quy ch‚ ÷u ti¶n cho c¡c håc sinh giäi, n¶n håc sinh ch÷a y¶n t¥m ƒu t÷ thíi gian, cæng søc cho c¡c mæn th‚ m⁄nh cıa m…nh

Thø ba, phƒn nhi•u ki‚n thøc cÆn t÷ìng Łi xa l⁄ Łi vîi håc sinh giäikhæng chuy¶n, nhi•u ki‚n thøc khæng câ trong ch÷ìng tr…nh s¡ch gi¡o khoa Do â, vi»c ti‚p c“n Łi vîi håc sinh g°p nhi•u khâ kh«n

10

1.2 Nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

— lîp 8, håc sinh ¢ ÷æc l m quen vîi a thøc v a thøc vîi h» sŁnguy¶n Mºt sŁ ành lþ v• nghi»m cıa a thøc công ¢ ÷æc d⁄y trong ch÷ìngtr…nh ch‰nh khâa (quy t›c nh'm nghi»m, nghi»m cıa a thøc b“c hai, ành

lþ Viet ), v ch÷ìng tr…nh bçi d÷ïng cho håc sinh kh¡ giäi ( ành lþ Bezout,t‰nh ch§t nghi»m nguy¶n, hœu t )

— lîp 11, håc sinh ÷æc l m quen vîi nhœng kh¡i ni»m cì b£n v• gi£i t

‰ch nh÷ giîi h⁄n, ⁄o h m M°c dò c¡c b i to¡n nºi suy nâi chung v nºi suytrong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n khæng ÷æc • c“p trong ch÷ìng tr…

nh ch‰nh khâa nh÷ng nhœng ti•n • cì b£n cıa nºi dung n y håc sinh ¢

÷æc chu'n bà ƒy ı

C¡c b i to¡n nºi suy v c¡c v§n • li¶n quan l mºt phƒn quan trångtrong ⁄i sŁ v gi£i t‰ch to¡n håc C¡c b i to¡n nºi suy câ và tr‰ °c bi»t trongto¡n håc, khæng ch¿ nh÷ l nhœng Łi t÷æng ” nghi¶n cøu m cÆn âng vaitrÆ nh÷ l mºt cæng cö ›c lüc cıa c¡c mæ h…nh li¶n töc công nh÷ c¡c mæh…nh ríi r⁄c cıa gi£i t‰ch trong lþ thuy‚t ph÷ìng tr…nh, lþ thuy‚t x§p x¿, lþthuy‚t bi”u di„n

Trong hƒu h‚t c¡c ký thi håc sinh giäi quŁc gia, Olympic to¡n khu vüc

v quŁc t‚, c¡c b i to¡n nºi suy r§t hay ÷æc • c“p v thuºc lo⁄i khâ v r§t khâ.C¡c b i to¡n v• khai tri”n, çng nh§t thøc, ÷îc l÷æng v t‰nh gi¡ trà c¡c cüc tràcıa c¡c tŒng, t‰ch công nh÷ b i to¡n x¡c ành giîi h⁄n cıa mºt bi”u thøc chotr÷îc th÷íng câ mŁi quan h» ‰t nhi•u ‚n c¡c b i to¡n nºi suy t÷ìng øng

Do â, chuy¶n • v• nºi suy nâi ri¶ng v nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h»

sŁ nguy¶n l mºt chuy¶n • cƒn thi‚t cho håc sinh kh¡, giäi b“c trung håcphŒ thæng

1.3 Thüc tr⁄ng vi»c d⁄y v håc nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi

h» sŁ nguy¶n ð mºt sŁ tr÷íng trung håc phŒ thæng

” t…m hi”u thüc tr⁄ng vi»c d⁄y håc nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h»

sŁ nguy¶n cıa gi¡o vi¶n ð mºt sŁ tr÷íng trung håc phŒ thæng tæi ¢ ti‚n

h nh phäng v§n v ph¡t phi‚u c¥u häi cho 31 gi¡o vi¶n To¡n Trung håcphŒ thæng ð c¡c tr÷íng tr¶n àa b n th nh phŁ H Nºi: tr÷íng THPT chuy¶nAmsterdam, tr÷íng THPT chuy¶n HSP H Nºi, tr÷íng THPT Th«ng Long,tr÷íng THPT Vi»t øc, THPT Trƒn Phó

Phi‚u c¥u häi vîi c¡c c¥u häi câ nºi dung nh÷ sau:

12

A Ch¿ nhœng håc sinh thi håc sinh giäi;

B Håc sinh câ lüc håc giäi trð l¶n;

Thu th“p v tŒng k‚t l⁄i c¡c phi‚u tr£ líi, tæi thu ÷æc k‚t qu£ nh÷ sau:

V• tƒn su§t d⁄y håc nºi suy v nºi suy trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

cıa 31 gi¡o vi¶n nh÷ sau:

B£ng 1.1: Tƒn su§t d⁄y nºi suy a thøc trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

Nh“n x†t 1.1 Phƒn lîn gi¡o vi¶n (26/31) khæng bao gií d⁄y håc nºi

dung n y Nguy¶n nh¥n theo tæi l trong c§u tróc ch÷ìng tr…nh to¡n

trung håc phŒ thæng khæng trüc ti‚p • c“p tîi nºi dung n y n¶n

khæng câ ph¥n bŁ thíi l÷æng, th¶m v o â nºi suy v nºi suy trong lîp

c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n l mºt nºi dung khâ, khæng ph£i håc sinh

n o công câ th” ti‚p thu ÷æc trong khi quÿ thíi gian th… câ h⁄n 5 gi¡o

vi¶n câ d⁄y nºi dung n y •u l c¡c gi¡o vi¶n ð c¡c tr÷íng chuy¶n i•u â

cho th§y ¢ câ sü quan t¥m ‚n vi»c d⁄y håc nºi suy nh÷ng ch¿ dłng l⁄i

ð c¡c tr÷íng chuy¶n

V• quan i”m cıa c¡c thƒy cæ v• lüa chån Łi t÷æng håc sinh ” d⁄y håc

nºi dung nºi suy v nºi suy trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n: 100 %

gi¡o vi¶n •u cho r‹ng ch¿ n¶n d⁄y cho håc sinh thi håc sinh giäi Lþ

do ÷æc ÷a ra l nºi dung n y qu¡ khâ, c¡c håc sinh kh¡c g°p qu¡ nhi•u

khâ kh«n khi ti‚p c“n nºi dung n y Theo þ ki‚n c¡ nh¥n tæi, n‚u câ

ph÷ìng ph¡p hæp lþ v chån låc ki‚n thøc phò hæp, ta v¤n câ th” d⁄y

nºi dung n y cho t§t c£ håc sinh giäi câ ni•m am m¶ vîi to¡n (khæng

nh§t thi‚t ph£i n‹m trong c¡c ºi tuy”n)

V• thíi gian ÷æc c¡c gi¡o vi¶n lüa chån ” d⁄y nºi dung nºi suy v nºi

suy trong lîp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n: c£ 5 gi¡o vi¶n tr¶n •u cho r‹ng

n¶n d⁄y ð cuŁi lîp 10, ƒu n«m lîp 11 T⁄i thíi i”m n y, c¡c håc sinh

14

chuy¶n •u ¢ håc xong c¡c ki‚n thøc cì b£n cıa gi£i t‰ch, ı kh£ n«ngti‚p nh“n T§t c£ c¡c gi¡o vi¶n cÆn l⁄i •u thŁng nh§t r‹ng n¶n d⁄y ð giaio⁄n cuŁi lîp 11 ƒu lîp 12 do tîi thíi i”m n y c¡c em mîi ÷æc håc v• gi£i t

‰ch

V• ph÷ìng ph¡p, c¡c gi¡o vi¶n •u thŁng nh§t sß döng ph÷ìng ph¡p thuy‚t tr…nh k‚t hæp vîi tü nghi¶n cøu t i li»u l chı y‚u

V• thu“n læi v khâ kh«n:

Thu“n læi: ¥y l chı • k‰ch th‰ch tr‰ tÆ mÆ v thu hót ÷æc sü quan t¥m cıa kh¡ nhi•u c¡c håc sinh muŁn chinh phöc nhœng khâ kh«n, muŁn khflng ành m…nh

Khâ kh«n: ¥y l mºt chı • khâ, Æi häi ð c£ ng÷íi gi¡o vi¶n v håc sinh ph£i ÷æc trang bà ki‚n thøc chuy¶n mæn r§t vœng v ng, nh“n di»n ÷æc b i to¡n v v“n döng c¡c ki‚n thøc â ” gi£i b i to¡n V khæng ph£i håc sinh n o, th“m ch‰ khæng ph£i t§t c£ gi¡o vi¶n

ai công ¡p øng ÷æc y¶u cƒu â V… v“y b¶n c⁄nh vi»c câ

kh¡ nhi•u håc sinh bà thu hót bði • t i n y th… công r§t nhi•u håc sinh tä ra b§t lüc, ch¡n tr÷íng v khæng quan t¥m tîi nºi dung n y

” t…m hi”u v• thüc tr⁄ng vi»c håc nºi dung nºi suy v nºi suy trong lîp

a thøc vîi h» sŁ nguy¶n, tæi ¢ ti‚n h nh ph¡t phi‚u i•u tra 197 håc sinh mºt

sŁ tr÷íng THPT tr¶n àa b n H Nºi: Lîp 11T1, 11T2, 11 Sinh tr÷íng THPTChuy¶n d⁄i håc S÷ Ph⁄m H Nºi, lîp 11T1 tr÷íng THPT chuy¶n H NºiAmsterdam, ºi tuy”n to¡n c¡c tr÷íng THPT Th«ng Long, tr÷íng THPT TrƒnPhó, THPT Vi»t øc

Nºi dung c¡c phi‚u i•u tra nh÷ sau:

Phi‚u sŁ 2

C¥u 1 Em ¢ ÷æc d⁄y nºi dung nºi suy v nºi suy a thøc vîi h» sŁ

nguy¶n bao gií ch÷a?

A Ch÷a bao gií

B ¢ ÷æc thƒy cæ d⁄y.

C¥u 2 Em håc nºi dung nºi suy v nºi suy a thøc vîi h» sŁ nguy¶n nh÷th‚ n o?

A Ch¿ håc qua thƒy cæ gi¡o

B Thæng qua thƒy cæ gi¡o v c¡c t i li»u tham kh£o

C Ch¿ bi‚t ‚n qua c¡c t i li»u tham kh£o

D Ch÷a bao gií håc nºi dung tr¶n

C¥u 3 C¡c em câ quan t¥m ‚n nºi dung nºi suy v nºi suy a thøc vîi h»

K‚t qu£ i•u tra nh÷ sau:

C¥u häi 1: câ 105 HS tr£ líi ¢ ÷æc thƒy cæ gi¡o d⁄y chi‚m t l» 53.3%

T l» n y r§t cao so vîi t l» gi¡o vi¶n d⁄y nºi dung n y Tuy nhi¶n

t§t c£ c¡c håc sinh n y •u thuºc lîp 11T1, 11T2 tr÷íng THPT chuy¶n

HSP v lîp 11T1 tr÷íng THPT chuy¶n H Nºi Amsterdam

C¥u häi 2:

SŁ l÷æng T l»

Håc thæng qua thƒy cæ gi¡o v t i li»u tham kh£o 48 24.62%

Ch¿ bi‚t ‚n qua c¡c t i li»u tham kh£o 20 10.25%

B£ng 1.2: C¡ch håc nºi suy a thøc trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

K‚t qu£ i•u tra Łi vîi håc sinh cho th§y møc º quan t¥m cıa håc sinh d

nh cho nºi dung n y kh¡ lîn (trong â hƒu h‚t l håc sinh chuy¶n, ngo i ra

cÆn câ 1 t l» nhä nhœng håc sinh khæng chuy¶n håc nºi dung n y qua

c¡c t i li»u tham kh£o, th“m ch‰ ch÷a nghe ‚n nºi dung n y nh÷ng câ

quan t¥m v mong muŁn ÷æc håc) B¶n c⁄nh â, công câ mºt sŁ l÷æng

khæng nhä håc sinh khæng quan t¥m, ho°c ‰t quan t¥m ‚n chı • n y

(trong â câ c£ 1 sŁ håc sinh chuy¶n)

K‚t lu“n ch÷ìng 1

Trong ch÷ìng 1, qua nghi¶n cøu thüc t‚, tæi ¢ rót ra ÷æc mºt sŁ k‚tqu£ quan trång v• thüc tr⁄ng d⁄y v håc nºi dung nºi suy v nºi suy a thøc vîih» sŁ nguy¶n cho håc sinh b“c trung håc phŒ thæng

Thø nh§t, v• và tr‰ cıa nºi dung nºi suy v nºi suy a thøc vîi h» sŁnguy¶n trong ch÷ìng tr…nh To¡n trung håc phŒ thæng, m°c dò nºidung n y khæng ÷æc • c“p trüc ti‚p trong ch÷ìng tr…nh To¡n trung håcphŒ thæng nh÷ng ¥y l mºt nºi dung quan trång, câ øng döng trongnhi•u chuy¶n ng nh kh¡c nhau trong to¡n, n‚u ÷æc d⁄y, håc sinh s‡ câi•u ki»n thu“n læi cho vi»c ti‚p nh“n ki‚n thøc to¡n ð c¡c b“c håc ti‚p theo

Thø hai, khæng câ ph¥n phŁi thíi gian ch÷ìng tr…nh ” håc nºi dung n

y, do â ¥y l mºt th¡ch thøc khâ kh«n cho c£ thƒy v trÆ Hìn bao gií h‚t, vi»c tü håc, chı ºng t…m tÆi l¾nh hºi ki‚n thøc ð håc sinh l væ còng cƒn thi‚t

Thø ba, ¥y l mºt nºi dung khâ, mºt m°t nâ thu hót ÷æc håc sinh, k

‰ch th‰ch sü tÆ mÆ, hi‚u k…, k‰ch th‰ch sü t…m tÆi kh¡m ph¡líi gi£i, song công l mºt khâ kh«n th¡ch thøc v… Æi häi sü n›m vœngmºt c¡ch ƒy ı v ch›c ch›n h» thŁng ph÷ìng ph¡p gi£i còng c¡c ki‚n thøc li¶n quan, kh£ n«ng quan s¡t, nh…n nh“n v§n •, x¡c ành ph÷ìng h÷îng gi£i i•u n y g¥y c£n trð cho vi»c tü håc cıa håc sinh

Tł nhœng þ ki‚n tr¶n v theo quan i”m c¡ nh¥n cıa tæi th… vi»c d⁄yhåc nºi suy v nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n ð trung håcphŒ thæng l cƒn thi‚t m°c dò khæng câ ph¥n phŁi thíi gian trong ch÷ìngtr…nh håc Khi d⁄y cho c¡c em håc sinh, ng÷íi gi¡o vi¶n ph£i k‚t hæp nhi•uph÷ìng ph¡p d⁄y, b¶n c⁄nh vi»c sß döng ph÷ìng ph¡p thuy‚t tr…nh cÆn sßdöng c¡c ph÷ìng ph¡p nh÷ v§n ¡p gæi mð, h÷îng d¤n håc sinh tü åc t ili»u B i d⁄y khæng ch¿ h÷îng tîi Łi t÷æng tham gia ºi tuy”n håc sinhgiäi m n¶n lüa chån s›p x‚p ki‚n thøc cho c¡c Łi t÷æng câ håc lüc giäi v câni•m am m¶ dŁi vîi to¡n V y‚u tŁ quy‚t ành tîi sü th nh cæng trong d⁄y håc nºi dung n y v¤n l vi»c tü håc cıa c¡c em håc sinh Vi»c tü håc cıa c¡c em

l bi»n ph¡p kh›c phöc hi»u qu£ nh§t cho th¡ch thøc v• sü eo

18

hµp cıa thíi gian khi m khæng câ ph¥n phŁi thíi gian cho nºi dung n y Hìnnœa, vi»c tü håc gióp c¡c em chı ºng t…m tÆi l¾nh hºi ki‚n thøc, tü nh…

n nh“n ành h÷îng líi gi£i cıa mØi b i to¡n theo c¡ch ri¶ng cıa m…nh ” hØtræ c¡c em tü håc hi»u qu£ v công l gi£i ph¡p cho th¡ch thøc v• vi»c muŁnhåc tŁt nºi dung n y th… Æi häi c¡c em ph£i n›m vœng c¡c ki‚n thøc n•nt£ng v• nºi suy v nºi suy trong lîp c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

V v… v“y m ð c¡c ch÷ìng ti‚p theo, tæi s‡ tr…nh b y c¡c ki‚n thøc cìb£n v mºt sŁ øng döng cıa nºi suy a thøc vîi h» sŁ nguy¶n ¥y l t i li»u thamkh£o hØ træ gi¡o vi¶n v håc sinh trong vi»c d⁄y v håc nºi dung n y

Ch֓ng 2

Mºt sŁ v§n • li¶n quan ‚n a thøc vîi h» sŁ nguy¶n v b i to¡n nºi suy

2.1 Mºt sŁ t‰nh ch§t cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n

2.1.1 Nghi»m nguy¶n v nghi»m hœu t cıa a thøc vîi h» sŁ

nguy¶n

ành ngh¾a 2.1 ( a thøc) Cho A l mºt v nh giao ho¡n câ ìn và a

thøc (tr¶n A) b“c n, bi‚n x l mºt bi”u thøc câ d⁄ng

P (x) = anxn + an 1xn 1 + + a1x + a0

trong â a0; a1; ; an 1; an 2 A v an 6= 0.

T“p hæp c¡c a thøc tr¶n v nh A v c¡c ph†p to¡n cºng, nh¥n a thøc l“p

th nh mºt v nh giao ho¡n, ÷æc kþ hi»u l A[x] N‚u A l mºt tr÷íng th… A[x] l

v nh giao ho¡n câ ìn và

Ta th÷íng x†t A = Z; A = Q; A = R; A = C, khi â ta câ v nh a thøct÷ìng øng l Z[x]; Q[x]; R[x]; C[x]

ành ngh¾a 2.2 (Nghi»m cıa a thøc) a 2 A ÷æc gåi l nghi»m cıa a thøc

P (x) 2 A[x] n‚u P (a) = 0

20

a0qn = p(anpn 1 + an 1pn 2q + + a1qn 1): (2.2)

Tł (2.1) suy ra anpn chia h‚t cho q, m (p; q) = 1 n¶n an chia h‚t cho q

Tł (2.2) suy ra a0qn chia h‚t cho p, m (p; q) = 1 n¶n a0 chia h‚t cho p

2.1.2 Ph¥n t‰ch a thøc th nh nh¥n tß

ành ngh¾a 2.3 (×îc cıa a thøc) Cho a thøc P (x) 2 A[x] N‚u

P (x) = g(x)q(x) vîi g(x); q(x) 2 A[x] v deg g(x); deg q(x) > 0

ành ngh¾a 2.4 (×îc chung) Cho P (x) v Q(x) 2 A[x]

(i) a thøc g(x) 2 A[x] ÷æc gåi l ÷îc chung cıa P (x) v Q(x) n‚u g(x)jP (x)

v g(x)jQ(x)

(ii) g(x) ÷æc gåi l ÷îc chung lîn nh§t cıa hai a thøc P (x) v Q(x) n‚u g(x)

chia h‚t cho måi ÷îc chung kh¡c cıa P (x) v Q(x)

ành ngh¾a 2.5 ( a thøc nguy¶n tŁ còng nhau) Hai a thøc P (x) v Q(x)

÷æc gåi l nguy¶n tŁ còng nhau n‚u chóng ch¿ câ ÷îc chung l c¡c a thøcb“c 0

22

a thøc Q(x) câ b“c khæng qu¡ n m câ n + 1 nghi»m n¶n Q(x) = 0 V“y

B i to¡n nºi suy Lagrange

Cho n sŁ thüc x1; x2; :::; xn ph¥n bi»t v n sŁ thüc a1; a2; :::; an tòy þ.Khi â, tçn t⁄i duy nh§t mºt a thøc P (x) câ b“c khæng qu¡ n 1 thäa m¢n i•uki»n P (xj) = ai, vîi måi j = 1; 2; :::; n a thøc â câ d⁄ng:

Y6(xk xi)

a thøc tr¶n ÷æc gåi l a thøc nºi suy Lagrange C¡c sŁ x1; x2; :::; xn ÷æc

gåi l c¡c nót nºi suy

Þ ngh¾a h…nh håc cıa cæng thøc nºi suy Lagrange:

Cæng thøc nºi suy Lagrange ch‰nh lph÷ìng tr…nh ÷íng cong i qua c¡c

24

quen thuºc sau:

a2(a + b)(a + c)

+ b2(b + c)(b + a) + c2 (c + a)(c + b) = (a + b + c)2: (2.5)(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)

B i to¡n 2.3 Cho x1; x2; : : : ; xn vîi n 2 l c¡c sŁ thüc ph¥n bi»t Chøngminh r‹ng:

25

D„ th§y r‹ng v‚ ph£i cıa (2.8) l a thøc câ h» sŁ t÷ìng øng vîi xn 1l

(iii) Sm+k b‹ng tŒng c¡c t‰ch, mØi t‰ch câ k + 1 thła sŁ (giŁng nhau

ho°c kh¡c nhau) l§y trong c¡c sŁ x1; x2; :::; xm

Chøng minh Chøng minh câ th” xem trong [3]

H» qu£ 2.1 Gi£ sß

Sk = (a b)(a c) + (b a)(b c) + (c a)(c b) :

26

2.2.2 Nºi suy Abel Newton

ành lþ 2.4 Cho P (x) l a thøc b“c n tr¶n A[x] v n phƒn tß tòy þ x1;

x2; : : : ; xn 2 A Khi â tçn t⁄i c¡c phƒn tß a0; a1; : : : ; an 2 A ”

P (x) = a0+a1(x x1)+a2(x x1)(x x2)+ +an(x x1)(x x2) (x xn):Chøng minh Tr÷îc h‚t, c¡c a thøc

f(x) = a0+a1(x x1)+a2(x x1)(x x2)+ +an(x x1)(x x2) (x xn):

27

Ta t…m a0; a1; : : : ; an sao cho f(xi) = bi vîi måi i = 1; n + 1 Ta câ:

V“y

P (x) = a0+a1(x x1)+a2(x x1)(x x2)+ +an(x x1)(x x2) (x xn):

Líi gi£i Tł gi£ thi‚t suy ra P (1) = P (2) = P (3) = 6 Theo cæng thøc nºi suy Newton Abel, tçn t⁄i a0; a1; a2; a3 sao cho:

P (x) = a0 + a1(x 1) + a2(x 1)(x 2) + a3(x 1)(x 2)(x 3):

28

2.2.3 Nºi suy Taylor

ành lþ 2.5 (Taylor) Cho P (x) l a thøc b“c n 0 tr¶n tr÷íng A v a 2 A Khi

â, ta câ:

P (x) = P (a)+ P

0(a)(x a)+ P "(a)(x a)2 + + P

(n)(a)(x a)n: (2.11)

M°t kh¡c, theo gi£ thi‚t quy n⁄p, (2.11) óng vîi a thøc P 0(x) câ b“c n 1, n¶n

thi‚t l“p mºt sŁ çng nh§t thøc.