Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí

NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHUƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY 20 2.1 Nghiệm bị chạn của phương trình tiến hóa tuyến tính.. Chúng tôi sẽ phát triển vàhoàn thiện các kết quả về tính bị

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Hà Nôi - 2020

VŨ THỊ MAI

TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIÊN HÓA

VÀ ĐỘNG LựC HỌC THỦY KHÍ

LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Hà Nôi - 2020

VŨ THỊ MAI

TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIÊN HÓA

VÀ ĐỘNG LựC HỌC THỦY KHÍ

Mã số: 9460101

LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS VŨ THỊ NGỌC HÀ

2 TS TRẦN THỊ LOAN

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNGTRONG LUẬN ÁN 3

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨ N BỊ 9 1.1 Không gian nội suy, các định lý nội suy 9

1.1.1 Định nghĩa 9

1.1.2 Không gian nội suy phức 9

1.1.3 Không gian nội suy thực 10

1.2 Nửa nhóm 13

1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 13

1.2.2 Nửa nhóm giải tích 14

1.2.3 Nửa nhóm hyperbolic 15

1.3 Một số không gian hàm 16

1.3.1 Không gian Lorentz 16

1.3.2 Không gian Besov 18

1.3.3 Hàm hầu tuần hoàn 18

Chương 2 NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHUƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY 20 2.1 Nghiệm bị chạn của phương trình tiến hóa tuyến tính 21

2.2 Nghiệm bị chạn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính và tính ổn định của nghiệm 25

2.2.1 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 25

2.2.2 Phương trình tổng quát hóa đối với động lực học thủy khí 31

Chương 3 NGHIÊM TUÂN HOÀN VÀ HAU TUÂN HOÀN CỦA

3.1 Nghiệm tuần hoàn 36

3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính 37

3.1.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 40

3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn 42

Chương 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 47 4.1 ứng dụng vào phương trình của động lực học thủy khí 47

4.1.1 Phương trình Navier-Stokes-Oseen 47

4.1.2 Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng 52 4.1.3 Phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov 55 4.2 ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương trình truyền nhiệt với hệ số thô 57

4.2.1 Phương trình Ornstein-Uhlenbeck 57

4.2.2 Phương trình truyền nhiệt với hệ số thô 62

4.3 ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic 63

4.4 ứng dụng vào phương trình truyền sóng 68

KẾT LUẬN 72

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tácgiả Các kết quả nghiên cứu và các kết luận trong luận án này là trungthực, và không sao chép từ bất kỳ một nguồn nào và dưới bất kỳ hình thứcnào Việc tham khảo các nguồn tài liệu đã được thực hiện trích dẫn và ghinguồn tài liệu tham khảo đúng quy định

Hà Nội, ngày 23 tháng 10 năm 2020

Tác giả Tập thể hướng dẫn

Vũ Thị Mai

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS VũThị Ngọc Hà, TS Trần Thị Loan, hai cô đã tận tình giúp đỡ tôi trên conđường nghiên cứu khoa học Các cô đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trìnhnghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo

ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gìtôi may mắn được tiếp nhận từ những người cô đáng kính của mình Tôixin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các cô

Tôi xin gửi lời cảm ơn đạc biệt tới PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, mộtnhà khoa học, một người thầy vô cùng mẫu mực, đã tận tình giúp đỡ tôi,cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc nhất đến thầy

Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong nhóm seminar “Phươngtrình vi phân và ứng dụng” tại trường ĐH Bách khoa Hà Nội do PGS.TSKH.Nguyễn Thiệu Huy điều hành đã luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ tôitrong quá trình học tập và nghiên cứu

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đãnhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộmôn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học Tôixin được chân thành cảm ơn

Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giámhiệu, Khoa Toán và KHTN Trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp vàtoàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trêncon đường toán học mình đã chọn

Tác giả

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

X; Y : không gian Banach

L(X; Y) : không gian các toán tử tuyến tính bị chạn từ X vào Y

L(X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chạn từ X vào chính nó

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Bài toán về hệ phương trình Navier - Stokes được đưa ra từ năm

1882, mô tả các hình dạng của sóng, sự chuyển động của đại dương, sựhình thành của bão, sự chuyển động của không khí, Bên cạnh hệ phươngtrình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác trong cơ học chất lỏngthu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi ý nghĩa về mạt toán học

và tầm quan trọng của chúng cũng như những thách thức khó khăn khinghiên cứu

Xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổngquát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những phát triểngần đây của toán học như khái niệm nghiệm đủ tốt, không gian nội suy,định lý nội suy, để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệmphương trình đó

Bài toán tìm nghiệm bị chạn của phương trình Navier-Stokes trong cácmiền Q không bị chạn về mọi hướng được Maremonti [1] phát biểu dướidạng sau:

Bài toán A:

“ Ký hiệu f (t, x) là ngoại lực và u(t, x) là một nghiệm của phương trình

Navier-Stokes u t — Ku + (u • V)u + Vp = f; X và Y là hai không gian Banach với chuẩn II • || X và II • IIY tương ứng Nếu f (t, •) 2 X với \\f (t, •)\X

bị chặn đều theo thời gian, thì u(t, •) 2 Y với \\u(t, •)\Y cũng bị chặn đều theo thời gian.”

Trong trường hợp, nếu Q là bị chạn (theo hướng nào đó), thì bằng cách

sử dụng bất đẳng thức Poincaré và một số định lý nhúng Sobolev compact,người ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán A Khi miền là không bị chạntheo mọi hướng thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều vì bất đẳng thứcPoincaré không còn đúng nữa và các định lý nhúng compact cũng không

khả dụng Vì thế, có nhiều cách tiếp cận được đưa ra để vượt qua khó khăn này Như một số đường hướng của Maremonti [1, 2] và Maremonti-Padula [3], của Galdi và Sohr [4], của Yamazaki [5], và của Thieu Huy Nguyen [6].

Bài toán tìm nghiệm bị chạn trong các miền không bị chạn và chứngminh sự ổn định của nghiệm là bài toán thời sự và mang đến nhiều ứngdụng trong các vấn đề về luồng thủy khí qua các vật cản đứng yên hayquay tròn như là Tuabin hay cánh quạt

Một số kết quả nền móng ban đầu đã đạt được bởi Thieu Huy Nguyen

và một số tác giả khác (xem [4, 5, 6, 7, 8, 9]) Chúng tôi sẽ phát triển vàhoàn thiện các kết quả về tính bị chạn, ổn định, hầu tuần hoàn của nghiệmcác phương trình tiến hóa trong các không gian nội suy để nhận được cáckết quả tổng quát và ứng dụng vào các phương trình cụ thể của động lựchọc thủy khí

Luận án “Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến

hóa và động lực học thủy khí” Luận án nhằm nghiên cứu và đánh giá sự

tồn tại của các nghiệm bị chạn và tính ổn định của nghiệm của các phươngtrình tiến hóa tổng quát trong các không gian nội suy Từ đó, áp dụng vàocác bài toán cụ thể của động lực học thủy khí Chúng tôi tổng quát hóacách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen, đó là khai thác đạctrưng nội suy và các định lý nội suy của các không gian Ld-yếu để chỉ ranghiệm bị chạn theo thời gian của các phương trình tiến hóa Cùng với đó

là kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa chuộng trên thếgiới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhómliên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội suy, vv

Cụ thể như sau: Xây dựng hệ điều kiện cho các cạp không gian Banach

Y 1 ; Y 2 , và không gian nội suy (Y1, Ì2)ớ,1 cùng với các toán tử sinh và nửanhóm trên đó để có thể rút ra được nghiệm bị chạn của các phương trìnhtiến hóa dạng:

(Ẳ/b

trên không gian (Y 1;Y2) ỹ 1 , trong đó — A là toán tử sinh ra nửa nhóm; B

là “toán tử liên kết”; G là toán tử phi tuyến liên tục Lipschitz địa phương

2 Mục đích, đối tương và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích nghiên cứu của Luận án:

Xây dựng hệ điều kiện cho các cạp không gian Banach Y 1 ; Y2, vàkhông gian nội suy (Y1, Y 2 ) ỹ; 1 cùng với các toán tử sinh và nửa nhómtrên đó để có thể chứng minh được sự tồn tại của nghiệm bị chạn

của các phương trình tiến hóa (1) trên không gian (Y 1 ,Y 2 ) ỹ; 1

Sau đó chỉ ra nghiệm bị chạn đó là ổn định nhờ vào hệ bất đẳng thứcdạng L — Lq và chứng minh tồn tại nghiệm tuần hoàn hay hầu tuầnhoàn

• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:

Nghiên cứu tổng quát hóa những tính chất của phương trình cụthể trong động học thủy khí để đề xuất những phương trình tiến hóatổng quát chứa các phương trình cụ thể đó như là trường hợp riêng

Xây dựng hệ điều kiện cho các không gian Banach Y 1 ,Y 2 và lớpcác không gian nội suy của chúng để có thể chứng minh sự tồn tạinghiệm bị chạn của các phương trình tiến hóa

Dưới các điều kiện và hệ tiên đề sẽ xây dựng, chứng minh nghiệm

bị chạn là ổn định

Xét một số lớp phương trình tiến hóa là mô hình của các quátrình xảy ra trong bài toán cơ học thủy khí: phương trình Navier-Stokes qua vật cản xoay, qua các miền có lỗ thủng, phương trìnhNavier - Stokes trong không gian Besov Đồng thời xét một số ví

dụ ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương trìnhtruyền nhiệt với hệ số thô

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm các toán tử tuyến tính và

các đánh giá L p — L q để đưa ra những đạc trưng nội suy của lớp cáchàm đối ngẫu đạc biệt

• Sử dụng các không gian nội suy và hàm tử nội suy để chứng minhtồn tại nghiệm bị chạn của các phương trình tiến hóa.

• Mở rộng các hàm tử nội suy để xét bài toán có nghiệm ổn định

• Sử dụng các đạc trưng tô-pô và lý thuyết các không gian hàm chấpnhận được cùng với các khái niệm nghiệm khác nhau (đủ tốt, đủ tốtyếu, rất yếu, ) để xét bài toán nghiệm hầu tuần hoàn

4 Ý nghĩa các kết quả của luận án

Như trên đã nói, bài toán tìm nghiệm bị chạn trong các miền không

bị chạn và chứng minh sự ổn định của nó là bài toán thời sự và mangđến nhiều ứng dụng trong các vấn đề của luồng thủy khí qua các vật như

là Tuabin hay cánh quạt, hoạc là bài toán dao động của sóng đại dương.Việc nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại của các nghiệm bị chạn và tính ổnđịnh của nó của các phương trình tiến hóa tổng quát trong các không giannội suy không những có ý nghĩa rất lớn về việc mở rộng lý thuyết nghiệmcủa các phương trình tiến hóa mà còn có thể áp dụng để nghiên cứu cácphương trình của động lực học thủy khí và một số vấn đề ứng dụng khác.Việc khai thác đạc trưng nội suy và các định lý nội suy của các khônggian Ld-yếu (theo cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen) chophép mở ra một hướng tiếp cận độc đáo để tìm hiểu sự tồn tại nghiệm bịchạn theo thời gian của các phương trình tiến hóa và xét tính ổn định củachúng và cho phép kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưachuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lýthuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nộisuy vào một đường hướng thống nhất và mang lại ứng dụng phong phúvào các bài toán của động học thủy khí

5 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ sở

sử dụng trong các chương tiếp theo Trước tiên là khái niệm về không

• gian hàm Lorentz và tính chất của nó Tiếp theo là khái niệm không gian nội suy, định lý nội suy tổng quát Cuối cùng là khái niệm về

• Chương 2 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa trong

không gian nôi suy: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm

bị chạn của phương trình tiến hóa trong không gian nội suy Chứngminh sự ổn định của các nghiệm bị chạn

• Chương 3 Nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn của phương

trình tiến hóa: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tuần

hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính dựatrên sự ổn định có điều kiện của nửa nhóm Nghiên cứu sự tồn tạiduy nhất và ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn dựa trên lýthuyết nội suy kết hợp với các bất đẳng thức vi phân

• Chương 4 ững dụng: Trong chương này, chúng tôi áp dụng các

kết quả của chương 2 và 3 để chứng minh sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của các phương trình động lực học thủy khí, phương trìnhNavier - Stokes và phương trình truyền sóng

Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở

“Danh mục công trình đã công bố của luận án” Các kết quả

của luận án được báo cáo tại seminar “Phương trình vi phân và ứngdụng” - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chấtcủa các không gian hàm, không gian nội suy, định lý nội suy, nửa nhóm

liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích, đánh giá L — L q

1.1 Không gian nội suy, các định lý nội suy

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nộisuy, (xem [10, 11, 12]) Lý thuyết nội suy đóng vai trò quan trọng trongcác nghiên cứu về tính bị chạn, ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa

Định nghĩa 1.1.1 Cho %0,X1 là các không gian tuyến tính tựa chuẩn.Cạp (X0,X1) được gọi là cặp nội suy nếu X0,X1 được nhúng vào trong

không gian tôpô Hausdorff V.

Cho cạp nội suy X0, X1, khi đó X0n X1được trang bị tựa chuẩn

ll X ll x 0 n X i := ll x H x- 0 + ll x H x i.Tổng X0+ X1được trang bị tựa chuẩn

l|x||X 0 +X 1:= inf{||X0||X 0+ ||X1|| X 1: X = X 0 + X 1 ;X 0 2 Xo,X1 2 X1g

Không gian véc tơ X được gọi là không gian nội suy của cặp nội suy

(X0;X1) nếu X0n X1c X c X0+ X1, và các phép nhúng là liên tục

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nộisuy phức, (xem [10], phần 2.1)

Cho (X0,X1) là cạp nội suy của không gian Banach phức, ta định nghĩa

dải

S := {x + iy 2 C : 0 < X < 1}.

Cho tập F(X0, X1) là không gian của các hàm f : S ! X 0 + X1thỏa mãn

các tính chất sau:

(i) f liên tục trên S và giải tích trong S,

(ii) t ! f (it) 2 C(R,X0),t ! f(1 + it) 2 C(R,X1) và

Định nghĩa 1.1.2 Cho ớ 2 [0,1] và (X0,X1) là cạp nội suy của không

gian Banach phức Không gian nội suy phức [X0,X1]ớ được xác định bởi

[X0,X1]Ớ:= ff (ớ): f 2F (X0,X1)} ,với chuẩn

II X II[X O ,X Í ] Ỡ

:= inf {|| f

|| F (X 0 ;X Í ) : f(ớ)= x}

Mệnh đề 1.1.3 Cho (X0,X1) và (Y0, Y1) là các cặp nội suy của không

gian Banach phức, T 2 L(X 0 ,Y 0 ) \ L(X 1 ,Y 1 ) và ớ 2 (0,1) Khi đó

T 2L([X0,X1]Ớ, [Y0,Y1 ]ớ),

và

ll T II L ([X 0 ,X Í ] Ỡ ,[Y 0 ,Y Í ] Ớ ) < ll T llỉỹX-0,y0 )II T I|L(X Í ,Y Í )

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về không gian nộisuy thực và các tính chất của nó

Trước hết ta định nghĩa phiếm hàm K:

Cho (X0, X1) là cạp nội suy của không gian tuyến tính tựa chuẩn và định

(Xot!o,Xi)0:= n x 2 (Xo,X1)ớ, 00 : lim t~ e K(t,x) = lim t~ e K(t,x) = o| t!1

Sau đây là một số tính chất cơ bản của các không gian này

Mệnh đề 1.1.4 Cho (Xo,X1) là cặp nội suy của không gian tuyến tính

tựa chuẩn, ỡ 2 (0,1) và q 2 [1,1] Ta có:

(a) Không gian nội suy thực (Xo,X1) ỹ; q là không gian tuyến tính tựa chuẩn.

Nếu X o và X 1 là đủ thì không gian nội suy thực liên tục cũng đủ.

(b) Nếu Xo và X1 là các không gian tuyến tính định chuẩn thì không gian (Xo,X1) ỹ; q cũng là không gian tuyến tính định chuẩn.

(c) Nếu q < 1 thì X o \ X1 là trù mật trong (X o ,X 1 ) ỹ; q Nếu thêm điều kiện X o hoặc X 1 tách được và q < 1, thì (Xo,X1)ớ; qcũng tách được.

Mệnh đề 1.1.5 Cho (Xo,X1) và (Yo, Y1) là các cặp nội suy của không

gian tựa chuẩn Cho T 2 L(X o ,Y o ) \ L(X 1 ,Y 1 ) với ỡ 2 (0,1), q 2 [1,1] Khi đó T 2 L((Xo,X1)ớq, (Y o,Y1) e q ) với chuẩn được tính bởi

ll T || L ((X 0 ; X i ) ỡj q ,(Y 0,Yi) 6 q) < || T IIL7X 0ỵ 0 )\\ TIIL(X 1 ,Y 1 )

Mệnh đề 1.1.6 (xem [10], Mệnh đề 1.17) Cho (X0,X1) là cặp nội suy

của không gian Banach Khi đó (Xo, X 1 )0 trùng với bao đóng của Xo \X 1 trong (X 0 ; X 1 ) ỹ ;1 và (Xo, X1)0 00 cũng là không gian Banach.

Định nghĩa 1.1.7 Cho hai không gian véc tơ tựa chuẩn X và Y, một

toán tử T : X ! Y được gọi là toán tử dưới tuyến tỉnh nếu

\\T(Ax)||y = |A|||T(x)||y,Vx 2 X, A 2 R

\\T(xo + X1)||y < M(||T(xo)||y + \\T(X1)||y) Vxo,X1 2 X

ở đó M > 0 độc lập với x0và x1 Hằng số M được gọi là tựa chuẩn của T.

Định lý 1.1.8 (Định lý nội suy tổng quát) (xem [11],DỊnh lý 3.11.2)

Cho (X0,X1) và (YO; Y1) là cặp nội suy của không gian tựa chuẩn Cho

T : Xo + X1 ! Y o + Y1 sao cho T : Xo ! Y o và T : X1 ! Y1 là dưới tuyến tỉnh với tựa chuẩn M o và M 1 Khi đó với bất kỳ 0 2 (0,1) và q 2 [1,1]

có T : (X0,X1)ỉ , q ! (YO, Y 1 ) ỉq là dưới tuyến tỉnh với tựa chuẩn M bỊ chặn bởi

M < M 1~ e M ỉ

Mệnh đề 1.1.9 (xem [10], DỊnh lý 1.23) Cho (X0,X1) là cặp nội suy của

không gian Banach, 0 0 ,0 1 ,0, 2 (0,1) và q 0 ,q 1 ,q 2 [1,1] Khi đó các tỉnh chất sau là đúng

((Xo,X1)ỉ o ,q o, (Xo,X1)ỉ„„)ỉ,q = (Xo,X1)(1_ỉ)ỉ 6 + ỉ, < ,,

((Xo,X1)0 o ,i, (Xo,X1)ỉ < ,i)ỉ, ?= (Xo, X1)(1_ỉ)ỉ 0 + ỉỉ < ,„

(X, (Xo,X1)ỉ 1 , <)ỉ,q = (Xo,X1)ỉỉ < ,q.Các không gian đối ngẫu của không gian nội suy thực có mối quan hệnhư sau

Mệnh đề 1.1.10 Cho (Xo,X1) là cặp nội suy của không gian Banach sao

cho X o \ X1 là trù mật trong X o và X1 Giả sử 0 2 (0,1),q 2 [1,1] Khi

đó các tỉnh chất sau là đúng

((Xo,X1)ỉ,q)' = (X0 ,X1 )ỉ,q , ;1 = 1 + 1

((Xo ,X1)O,1)' = (X0 ,X1 )w.

BỔ đề 1.1.11 Cho Z 1,Z 2 là cặp nội suy của không gian Banach sao

cho Z 1 \ Z 2 là trù mật trong Z 1 ,Z 2 và ỡ,ỡ 2 (0,1) Giả sử (x n ) n 2 N c

(Z 1 ,Z' 2)Ớ ,1 \ (Z1 ,Z' 2)~,1 thỏa mãn

x n ! x trong tôpô chuẩn của (Z'1 ,Z' 2 ') ỹ, 1 , (1.1)

xn! y trong tôpô yếu 1 của (Z 1 ,Z f 2)~00, (1.2)

Trong phần này, cho X là không gian Banach.

Định nghĩa 1.2.1 Một họ toán tử (T(t)) i > 0 c L(X) được gọi là nửa

nhóm nếu

(1) T(0) = Id,

(2) T(t + s) = T(t)T(s) 8t,s 2 [0,1).

Nếu thêm lim T(t)x = x với mỗi x 2 X, ta gọi (T(t))t > 0là nửa nhóm

liên tục mạnh hay C 0 -nửa nhóm.

Cận tăng trưởng u(T) = inf {! 2 R : 9M ! > 1,8t > 0 : \\T(t) || L ( X) < M !e!t}

• Nửa nhóm (T(t))t > 0gọi là bị chặn, nếu supt > 0\\T(Í)IIL ( X) < C với

C > 0

1 Nửa nhóm (T(t))t > 0gọi là co, nếu supt 0\\T(t)|| L ( X) < 1

• Nửa nhóm (T(t))t > 0được gọi là ổn định mũ, nếu !(T) < 0.

duy nhất, đóng, trù mật và giao hoán với nửa nhóm trên D(A) Với toán

tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tương ứng sẽ thường

được kí hiệu bởi (e t A ) t > 0

Cho C0-nửa nhóm (etA)t > 0 với toán tử sinh A, họ liên hợp (etA)t>0 cũng lànửa nhóm, nhưng không nhất thiết là liên tục mạnh Tuy nhiên, do mốiquan hệ liên hợp, dễ dàng thấy rằng nửa nhóm liên hợp là liên tục yếu*.Điều này có nghĩa

lim (x, (etA)*x°) = (x, (et o A)*x'} ,

với mỗi x 2 X, x0 2 X0 và t0> 0 Sử dụng tôpô yếu*, có thể định nghĩa

một toán tử liên kết với nửa nhóm liên hợp Đạt

x0 2 X0 : lim ị((e tA )'x' — x0) tồn tại trong tôpô yếu* > ,

t!0 t

và định nghĩa

A ơ x' := yếu* — lim ị((e tA )'x' — x0),

t!0 tvới mỗi x0 2 D(A Ơ ) Có thể thấy rằng A ơ trùng với A0- là toán tử liên hợp

của toán tử A Với lý do này, ta cũng gọi A0 là toán tử sinh của ((etA)0)t > 0

Định nghĩa 1.2.2 Cho X là không gian Banach và ỡ 2 (0, 2) Nửa nhóm(T (t))t > 0 c L(X) được gọi là nửa nhóm giải tích bị chạn với góc ỡ nếu có

mở rộng giải tích bị chạn của T lên Sộ / với mọi ớ° 2 (0, ỡ).

Ta có tính chất sau của toán tử sinh A.

Mệnh đề 1.2.3 Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích bị chặn

(e zA ) z 2 ỵ gu{ 0 } với ỡ 2 (0, 2) Khi đó e t A x c D(A) với mỗi t 2 (0,1) và

x 2 X ,và tồn tại hằng số M sao cho

sup HtAe tA || £ (x) < M.

t2(0;1)

Định nghĩa 1.2.4 Nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)) t > 0 trên không gian

Banach Y được gọi là hyperbolic (hoạc có nhị phân mũ) nếu và chỉ nếu tồn tại phép chiếu (tuyến tính, bị chạn)P trên Y và hằng số M,V > 0 sao cho với mỗi T(t) giao hoán với P, thỏa mãn T(t)kerP = kerP, và

||T(t)x|| < Me_^||x|| với mọi t > 0 và x 2 ImP := PY,

e P

IIT(t)x|| > Jỹ||x|| với mọi t > 0 và x 2 KerP := (I — P)Y (1.3)

Trong trường hợp này, phép chiếu P được gọi là phép chiếu nhị phân

với nửa nhóm hyperbolic (T(t))t > 0, còn M, V được gọi là hằng số nhị phân.

Đạc biệt, nửa nhóm (T(t))t > 0 được gọi là ổn định mũ nếu nó là hyperbolic

với phép chiếu nhị phân P = Id, toán tử đồng nhất trên Y Rõ ràng, từ

định nghĩa trên ta thấy nếu (T(t))t > 0 là hyperbolic thì hạn chế T(t) |Ker P

của T(t) lên KerP là đẳng cấu T(t) |Ker P: KerP ! KerP Ta định nghĩa

nghịch đảo của nó bởi T(—t) := (T(t) |Ker P)-1 với t > 0 Điều đó cónghĩa là hạn chế của nửa nhóm T(t) lên KerP có thể mở rộng tới nhóm(T(t))t 2 R trên không gian Banach KerP Hơn nữa, dễ thấy PY = {x 2 Y :

suPt>0 ll T(t)x ll < !•}

Với (T(t))t > là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P và hằng số N, V >

0, thì hàm Green được xác định bởi:

ở đây chú ý nếu t < 0 ta có T(t) := (T(—t) |Ker P) 1 được xác định trên

KerP = (I P )X

Ngoài ra, 3 (t) thỏa mãn đánh giá

||3(t)II < (1 + \\PW)Me~ v 1 với t 2 R (1.5)

1.3 Một số không gian hàm

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất về khônggian Lorentz (xem [11, 12, 15, 16, 17])

Cho Q là miền thuộc C3-lớp trong Rd với d > 3 ở đây, ta sử dụng các

không gian sau

C 0 f ơ (Q) := {v 2 C 0 1 (Q) : divv = 0 trong Q},

u p(Q) := C“(Õ)“'“ IP (1.6)

Định nghĩa 1.3.1 Cho 1 < p < 1 và 1 < q < 1, không gian Lorentz

được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3.2.

Lp, 1(Q) := L p

w (Q) được gọi là không gian L p — yếu.

Sử dụng hàm tử nội suy thực (•, U’ ta có:

Với mỗi 1 < r < 1, cho P — P r là phép chiếu Helmholtz trên Lr(Q),

nghĩa là phép chiếu trên L ơ(Q) tương đương với phân rã Helmholtz của

Có nhiều tài liệu đưa ra định nghĩa về không gian Besov, ở đây chúngtôi sử dụng tài liệu [18].

Cho X 2 Cx{Rd.R) sao cho suppx c B(0,4/3),0 < X < 1 và X — 1 trong

B (0.4/3)

Tập Ộ(Ệ) := X(€/2) - X(^) và h := F-1^, với F là biến đổi Furier

Phép phân hoạch Littlewood-Paley (Aj)j 2 z được xác định bởi

A j u(x) = 2 ■ / h(2jy)u(x - y)dy = (F“1^(2“j•)Fu)(x).

JR d

Hơn nữa, chúng tôi xét toán tử Sju = ỵ^j' < j- 1 A j' u.

Lấy s 2 R và p q 2 [1.1], không gian thuần nhất Besov được định nghĩa

bởi B p q(Rd) = {u 2 S f

h : ||U||B s < 1}, với S f

h là tập tất cả các hàm suyrộng ôn hòa u sao cho limj!_ 1 S j u = 0 trong tôpô của hàm suy rộng ôn

Có thể xem chi tiết về hàm hầu tuần hoàn trong [19]

Định nghĩa 1.3.4 Cho X là không gian Banach hoặc tựa Banach Hàm

liên tục f : R — X được gọi là hầu tuần hoàn nếu với mọi " > 0 tồn tại

một số thực L " > 0 sao cho Va 2 R có thể tìm được T 2 [a, a + L"] sao chollf(í + T) - f(t)|| <",Ví 2 R

Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn ta cần

CHƯƠNG 2

NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIÊN

HÓA TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY

Năm 1991 khi nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn cho các phương trìnhchất lỏng trong miền không bị chạn theo mọi hướng, Maremonti [1] đãcông bố bài toán quan trọng (Bài toán A ở trong phần mở đầu) liên quanđến nghiệm bị chạn của phương trình Navier-Stokes trong miền không bịchạn Với trường hợp miền Q bị chạn theo một hướng nào đó thì ta có thể

áp dụng bất đẳng thức Poincaré và một số phép nhúng compact vẫn đúng.Tình huống thực sự phức tạp khi Q không bị chạn theo mọi hướng thìkhông thể áp dụng bất đẳng thức Poincaré và phép nhúng compact khôngđúng Do đó, ta cần các cách tiếp cận mới

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một phương pháp tổng quát để chứngminh tính bị chạn theo thời gian và ổn định của phương trình tiến hóatrong không gian nội suy với miền không bị chạn, cụ thể lấy ý tưởng từ[7], chúng tôi nghiên cứu phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng tổngquát

u0 + Au = Bg (t,u), (2.1)trong đó —A là toán tử sinh của Ư0-nửa nhóm (e-tA)t>0 trong không gian

nội suy Y := (Y1, Y 2 ) ỹ ;1 và B là “toán tử liên kết” giữa không gian chứa

giá trị của g và Y Trong trường hợp các phương trình nảy sinh từ dòng

chất lỏng không nén được, toán tử A là toán tử Stokes (A := —PA) và B

sẽ là Pdiv với P là phép chiếu Helmholtz Tuy nhiên, trong một số trường

hợp khác có thể chọn B = Id.

2.1 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến

hóa tuyến tính

Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại và ổn định

của nghiệm đủ tốt2 của phương trình tiến hóa tuyến tính trong không giannội suy

Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất với hàm chưa biết u(t)

(du+Au=Bf (t),

1 u(0)= uo 2 (Y i ,Y 2 ) t , i,

trong đó — A sinh ra C0-nửa nhóm (e~ t A ) t > 0 trên (Y1,Y2)Ớ;1, f(t) 2 X,

t > 0, với X, Y1, Y2 là không gian Banach, và (Y1, Y 2 ) ỹ ;1 là không gian nội

suy thực với 0 < ỡ < 1 Toán tử B là “toán tử liên kết” giữa X và (Y1, Y 2 ) ỹ ;1

sao cho e~ tA B thoả mãn đánh giá (2.5) ở dưới (Chú ý trong phương trình

động lực học chất lỏng, B = Pdiv, là hợp thành của phép chiếu Helmholtz

và toán tử phân kỳ 3 Trong một số trường hợp khác, người ta có thể lấy

3Tiếng Anh: divergent

Giả thiết 2.1.1 Cho (Ỵ Í ,Y 2 ) là cặp nội suy Giả thiết Y ị có tiền đối ngẫu

Z ị với i = 1, 2 sao cho Z 1 \ Z 2 trù mật trong Z ị với i = 1, 2 Cho —A sinh

ra C 0 -nửa nhóm bị chặn (e~ t A ) t > 0 trên Y 1 và Y 2 Hơn nữa, giả sử tồn tại hằng số «1, a 2 2 R với 0 < a2 < 1 < H| và K > 0 sao cho

||e-tASv||y <<Kt~ a ' llvkx, t> 0,

||e-tABv||y2<Kt~“2||v||x, t> 0,

trong đó B được đưa ra như trên.

Bổ đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong phương pháp của chúngtôi

Bổ đề 2.1.2 Giả sử các Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn Xét ỡ 2 (0,1) sao

cho 1 = (1 — ớ)a1+ ỡa 2 Khi đó bất đẳng thức sau là đúng.

í || B 'e“eA '|| x 'dỆ <M ||'||( Z 1 ,Z 2) M (2.6)

Jo Chứng minh Từ (2.5) ta có

ở đó V ' được định nghĩa như trong (2.8).

Từ (2.9) ta suy ra các toán tử T : Z1 ! L“ 1 ;1(0,1) và T : Z 2 !

L“ 2 ;1(0,1) là dưới tuyến tính Bởi Định lý nội suy tổng quát 1.1.8 tanhận được

T : (Z 1 ; Z 2X1 ! (L“ 1 ’1(0,1), L“ 2 ’1(0, oo))ớ,i là dưới tuyến tính

Hơn nữa, theo giả thiết ỡ 2 (0,1) thỏa mãn 1 = (1 — ớ)ơ1+ ỡa 2 ta có

(L“ 1 1 (0,1), L“ 2;1 (0, 1)X1 = L1(0,1)suy ra T : (Z1, Z 2 ) 0’ 1 ! L1(0,1) là dưới tuyến tính

Định lý 2.1.3 Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn Khi

đó, với f 2 C b(R+,X) và mỗi u 0 2 (Y1, Y2)ớ, 1 tồn tại nghiệm đủ tốt

u 2 Cb(R+, (Y1, Y2)Ớ ,1) của phương trình (2.2) thỏa mãn

ll u \ 1’(Y i ’Y 2 ) ới i < Mll u o \l(Y i Yh , ! + Mll f II1’X, (2.10)

với hằng số M > 1, -\l > 0 nào đó.

Chứng minh Bởi giả thiết (Z1,Z2)/

Ớ1 = (Y1, y2)ớ, 1 Do (e~ t A ) t > 0 là nửanhóm bị chạn trên (Y1, y2)ớ, 1, nên chỉ cần đánh giá tích phân

f t

/ e~ (t ~ T)A Bf(r)dr.

Jo

Để làm điều này ta kí hiệu (♦, •) là cạp đối ngẫu giữa (Y1, Ì2)ớ,1 và (Z 1, Z2)ớ,i

từ đó ta có được ' 2 (Z 1, Z2) ỹ ; 1

Ị* 1

\\ f \\ 1 ,X J \\ B ' e ~ TA ' '\\ x ' dr (2.11)Thay bất đẳng thức (2.6) vào (2.11), ta có

rằng X có tiền đối ngẫu Banach V; tức là, X = V' với không gian Banach

V nào đó, chẳng hạn, X = L ị ; 1(Q) = (L z ; 1(Q))' Do đó, trong trườnghợp này, đánh giá (2.5) có thể được thay bằng đánh giá trên sự thu hẹpcủa toán tử đối ngẫu trên V Cụ thể, có hệ quả sau

Hệ quả 2.1.4 Xét các không gian Banach X, (Y 1,Y2) ỹ ;1 như trong ĐỊnh

lý 2.1.3 Giả sử tồn tại không gian Banach V và hằng số oq > 1 > a 2 > 0,

sao cho X = V', 1 = (1 — ớ)a1+ ỡa 2 , và

t > 0. (2.12)

(2.13)

2.2 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến

hóa nửa tuyến tính và tính ổn định của nghiệm

2.2.1 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho các không gian Banach (Yy Y 2 ) ỹ; 1 và X Bây giờ chúng tôi xét

phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

u t + Au = Bg(t; u);

u|t=0 = U0 2 (Y1 ;Y2)e.

trong đó toán tử — A và B thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.1.3, và

hàm g thỏa mãn Giả thiết 2.2.1.

Giả thiết 2.2.1 Cho g : R+X (Y 1;Y2) ỹ; 1 ! X thỏa mãn

(1) g liên tục theo thời gian t và tồn tại 2 > 0 sao cho kg(t; 0)||X < 2

với mọi t 2 R+,

(2) tồn tại L > 0 và p > 0 sao cho ||g(t,v 1) — g(t, v2)||x < L|v1 — v2||(y 1 ; y 2)ỡ

với mọi t 2 R+; và V 1 ;V 2 2 B p := {v 2 (Y1; Y2)Ớ) 1 : ||v|(y 1 ) y 2 ) ớ)i< p}

(2.15)Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.14) là hàm u thỏa mãn phương

Định lý 2.2.2 Xét phương trình (2.16) với giả thiết u 0 2 (Y 1 ,Y 2 ) ỹ 1 Cho

A và B thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.3, và cho g thỏa mãn điều kiện trong (2.15) Khi đó, nếu ||u0|(y 1 ) y 2 ) ới, 2 và L là đủ nhỏ, thì phương trình

(2.16) có một và chỉ một nghiệm bị chặn u (tức là, u là nghiệm đủ tốt bị

chặn duy nhất của (2.14) trên hình cầu nào đó của Gb(R+, (Y ,Y ) ỹ ;1 ).

(2.14)

Chứng minh Cho hình cầu B p c Cb(R+, (Y1,Y 2X1) xác định bởi

B p:= fv 2 C b(R +; (Y1; Y 2 ) Ớ ; 1) : ll v lli ,(y i ;Y 2 ) ớ, i - p g (2-17)Xét phương trình

Từ Định lý 2.1.3 và tính chất (2) của g được xác định trong (2.15) ta được

< M||g(-,v i) - g^vOlkx < ML\[V 1 -v2111, (^72X1 (2.22)

Do đó ta có, nếu ||uo||(ỵ 1 ,y 2 ) ớ 1, L, và 7 là đủ nhỏ, thì T : B p ! B p là co Vì

thế, với những giá trị L và 7 tồn tại duy nhất điểm bất động u của T, và bằng cách xác định của T, hàm này u là nghiệm đủ tốt duy nhất bị chạn

Sau khi có được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm bị chạn của phươngtrình (2.14), để chứng minh sự ổn định của nghiệm, ta cần giả thiết sau

Giả thiết 2.2.3 (a) Tồn tại hằng số p 1 > 1 > -ý > 0, không gian Banach

W và một cặp nội suy Banach (ỡ1,62) sao cho với ( = ^T 1 ta có

P 1 P 2

(ỡ1,02)^,1 có tiền đối ngẫu Banach và

ỉe- tA B^k & i <Mt-f' ||v>||w,

||e-íABV>Ue <Mt-^- ||v>||w,

với một số hằng số M > 0 độc lập với t và p Hơn nữa, tồn tại hằng

với mọi V 1 ,V 2 2 Bp \ (61, 62)^1 = {v 2 (Y1,Y>)ớ,i \ (61, 62)^1 :

IH|(y 1; y 2 ) ỡ 1 < pg và với mọi t 2 R+

Định lý 2.2.4 Giả sử các điều kiện của Định lý 2.2.2 và các Giả thiết

2.1.1 được thỏa mãn Khi đó, nghiệm bị chặn u của (2.14) là ổn định, tức

(2.23)

(2.24)

là với nghiệm bất kỳ u 2 Cb (R+ (Y 1 Y 2 ) ỡ ; 1) của (2.14) sao cho ||u(0) —

u(0)II ( Y 1 ,y 2 ) ớ 1, L, L 1 , và ||u| 1 ,(e 1 ,e 2 ) < 1 là đủ nhỏ thì ta có

Chứng minh Cho u là nghiệm đủ tốt bị chạn của (2.14) trong một hình

cầu nào đó B p := {v 2 C b (( R + (Y1.Y2X1) : ||v|i ) (y 1 ) y 2 ) ớ) 1 < p} và cho

u 2 Cb(R+ (Y1 Y 2 ) ỹ 1 ) là nghiệm đủ tốt bị chạn khác của (2.14) sao cho

||u(0) — u(0) II(Y 1 ;y 2 ) ỡ 1 là đủ nhỏ

Đạt v = u — u suy ra v thỏa mãn phương trình

với chuẩn ||V||M := IIvH1;(Y 1 ,Y 2 ) Ớ ; 1 + supt>0t^-1 IIv(t)II(e^y ; 1

Ta sẽ chứng minh rằng nếu L, L1, ||u(0)—u(0) ||( y 1 ; y 2 ) ỡ 1 và ||u|1,(e 1 ,e 2 ) < 1

là đủ nhỏ, thì phương trình (2.27) có duy nhất nghiệm trong hình cầu nhỏcủa M Thật vậy, cho v 2 M ta xét ánh xạ T xác định bởi

T(v)(t) := e-tA(u(0) — u(0)) + í e~ (t ~ T)A B(G(T v))dT

0

Đạt Bp:= {v 2 M : ||v||M< p}

Sau đó ta chứng minh rằng ||u|1 ,(e 1 ,e 2 )ộ 1 < p nếu L, L1, ||u(0)—u(0) II(Y 1 ;y 2 ) ớ

và p là đủ nhỏ, thì phép biến đổi T đi từ Bp vào chính nó là ánh xạ co Đểlàm điều này, cố định v 2 M, áp dụng Định lý 2.1.3 cho f (t) = G(t.v) ta

Nhờ đánh giá phân rã cho nửa nhóm (e tA)t > 0(xem (2.24)) ta nhận được

HG“1e “ tA (u(0) - u(0))H(e1,e 2 ) Ct i < Mllu(o) - u(0)||(Y 1 ,Y 2 ) Ớ;1

Bây giờ ta đánh giá

R O e~ (t ~ T)AB(G( T , v))dT = R O e~^ A B(G(t — í, v(t — í))dí với mỗi t > 0.

Cuối cùng, định nghĩa (•, •) là cạp đối ngẫu giữa (©1, ©2)^,1 và (©1, ©2)^1

kg(t - í),v(t - í) + u(t - í)) - g(t - í,u(t - í))k W

< LilHí- OII(©1,e2)Coo,

và \\ù(t — Oll(©i,02)<oo — p (theo Giả thiết 2.2.3 (b)) Vì thế, ta cần

Sử dụng kỹ thuật nội suy như trong Bổ đề 2.1.2, ta được

Vì thế,

IHI M |MI(© I ,© 2 V

(2.30)Tiếp theo ta đánh giá tích phân cuối cùng trong (2.29) Ta có

với mọi t > 0 suy ra

||T(0I| M < M||ư(o) - â(0)||(y1,y2)ỡjOO + K(L + L1)I\vI| M

Tính toán tương tự

Il$(v1) - £(V2)||M < K~(L + L1 )||vi - V2|| M

với mọi V1; V2 2 M Vì thế, nếu ||u(0) - u(0)k(Y 1 ,y 2 ) ớ)1, ||u|i,(e 1 ,e 2 ) <i1, L, và

L1 là đủ nhỏ, thì phép biến đổi T từ Bp vào chính nó là ánh xạ co Điểm

bất động của T là hàm v = u — u thuộc vào M Vì vậy, từ bất đẳng thức(2.26), ta nhận được tính ổn định của nghiệm bị chạn u □

2.2.2 Phương trình tổng quát hóa đối với đông lực

trong đó —A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm bị chạn (e~ tA )t > 0 trên(Y1,Y2)Ớ ;1, F(t) 2 X, t > 0, B := Pdiv và P là phép chiếu Helmholtz,

g(t,u) = G(u) + F(t) thỏa mãn các điều kiện trong (2.15).

Các ví dụ cụ thể của A và G được trình bày trong Chương 4

Hơn nữa, thay B bởi Pdiv trong phương trình (2.16), ta có khái niệmsau đây về nghiệm đủ tốt

u(t) = e~ tA u(0) + í e~ (t ~ T)APdiv(G(u) + F(r))dr. (2.33)

0

Giả thiết 2.2.5 Giả sử toán tử —A sinh ra C 0-nửa nhóm bị chặn (e~ t A)t > 0

thỏa mãn đánh giá trơn sau đây với mọi 1 < p < dZ2:

1 dí 1 d 2

HVe-^xll^;1 < Mt-2 --2( p )|x|p,i (2.34)

Hơn nữa, giả sử F 2 Cb(R+, L d =(Q)d 2), và toán tử phi tuyến G :

(2.32)

Hơn nữa, Giả thiết 2.2.3 là tương đương với giả thiết sau

Giả thiết 2.2.6 Giả sử toán tử —A và toán tử đối ngẫu của nó —A' sinh

ra C0-nửa nhóm bị chăn (e~ t A ) t > ữ và (e~ t A

(1) Nếu K,, ||uo||d! , \\F 111 d w và p đủ nhỏ, thì phương trình (2.32) có duy nhất nghiệm đủ tốt u trong hình cầu

B p :— {v 2 C'6(R+,Ld,w(0)) : IHUd, < p}

(2) Nghiệm u của (2.32) là ổn định theo nghĩa với bất kỳ nghiệm nào khác

u 2 C b ( R +,L Ơ w (0)) của (2.32) sao cho ||u(0) — u(0)||d , w là đủ nhỏ ta có

C

||u(t) — u(t) || r , w< ——d với mọi t > 0, (2.40)

’ t 2 _ 27

với r > d như trong (2.37).

Chứng minh Lấy số thực p1,p2và ỡ 2 (0,1) sao cho

Hơn nữa W :— Lw r (0)d — Ld r- d -r’ (0)0 Chắc chắn, (01, 02)c, 1 có tiền

đối ngẫu Banach Lơ^ 1 ’ 1(Q)=(Lơi w(0), L ơ 2

[Pdivf,'] — -[f, V'] với mọi f 2 Lw(0)d

2 và ' 2 C 1 ơ(0),

từ L w (O) d vào (Lơ 1 (0))' = L ơ w(0) Khi đó, toán tử đối ngẫu B = —V

theo nghĩa phân phối ở đây, chú ý (Lơ 1^(O))' = L ơ w(0) xuất phát từ

(Lỉ^ĩ ' 1íO))z (L P 1 (O) LP 2 (O))' = (L p i„T (O) L p2 Y (O))n„ = Ld (O)

(L ơ (O))= ịự,.w (O); L

ơ,w(O))Ớ 1 = ( L

ơ.w (O) ; L

ơ.w(O))Ớ 1 = L ơ w (O);

từ d d = 1^ + (và do d = (pi ~ p i(1~^ ) + '"'',, ) như phần đầu của chứng

minh

Vì thế, Giả thiết 2.2.5 suy ra từ Giả thiết 2.1.1 với Y1, Y 2 , o và 0 2

được chọn như trên Giả thiết 2.2.6 suy ra từ Giả thiết 2.2.3 với hằng số

Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau:

• Sử dụng độ trơn của nửa nhóm, không gian nội suy và định lý nộisuy, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm đủ tốt bị chạn củacủa phương trình tiến hóa tuyến tính tổng quát;

• Sử dụng nguyên lý điểm bất động chúng tôi chứng minh được sự tồntại duy nghiệm đủ tốt bị chạn của phương trình tiến hóa nửa tuyếntính trong không gian nội suy Đồng thời, chúng tôi cũng chứng minh