Hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình không mẫu mực trong các đề thi đại học, THPT quốc gia và thi học sinh giỏi

Bài viết được chia làm ba mục: Mở đầu là tóm tắt các hệ phương trình thường gặp, đã được giới thiệu khá chi tiết trong sách giác khoa. Mục thứ hai là một số kĩ năng giải hệ phương trình không mẫu mực. Các bài toán đưa ra phần lớn là tác giả sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, trong các kì thi KS, thi HSG,…Lời giải các bài toán này tác giả chú ý đến cách đưa hệ không mẫu mực về dạng quen thuộc. Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo.

gi i bài t p toán là đi u ki n đ  th c hi n t t các m c đích d y h c toán ả ậ ề ệ ể ự ệ ố ụ ạ ọ ở 

trường ph  thông. Vì v y, t  ch c có hi u qu  gi i bài t p toán h c có vai tròổ ậ ổ ứ ệ ả ả ậ ọ  quy t đ nh đ i v i ch t lế ị ố ớ ấ ượng d y h c toánạ ọ   

    H  phệ ương trình là m t d ng toán khá ph  bi n trong các đ  thi tuy nộ ạ ổ ế ề ể  sinh ĐH, CĐ và đ  thi HSG các c p. Đ i v i nhi u h c sinh, bài toán gi i hề ấ ố ớ ề ọ ả ệ 

phương trình được coi là bài toán khó, th m chí là câu khó nh t trong c u trúcậ ấ ấ  

đ  thi ĐH, CĐ, thi THPT Qu c gia.ề ố

Qua quá trình gi ng d y h c sinh ôn thi ĐH, CĐ và b i dả ạ ọ ồ ưỡng h c sinhọ  

gi i ph i tr c ti p hỏ ả ự ế ướng d n h c sinh gi i các h  phẫ ọ ả ệ ương trình này, tôi th yấ  

c n ph i rèn cho h c sinh thành th o các kĩ năng gi i h  phầ ả ọ ạ ả ệ ương trình thông 

thường và chú ý t i m t s  kĩ năng thớ ộ ố ường áp d ng khi gi i “ụ ả h  không m uệ ẫ  

m cự ”. Trong bài vi t này tôi xin g i nh  v y đ i v i các h  phế ọ ư ậ ố ớ ệ ương trình mà thu t gi i không đậ ả ược trình bày trong sách giáo khoa. 

       Bài vi t đế ược chia làm ba m c: M  đ u là tóm t t các h  phụ ở ầ ắ ệ ương trình 

thường g p, đã đặ ược gi i thi u khá chi ti t trong sách giác khoa. M c th  haiớ ệ ế ụ ứ  

là m t s  kĩ năng gi i h  phộ ố ả ệ ương trình không m u m c. Các bài toán đ a raẫ ự ư  

ph n l n là tôi s u t m t  nhi u ngu n tài li u khác nhau, trong các kì thi KS,ầ ớ ư ầ ừ ề ồ ệ  thi HSG,…L i gi i các bài toán này tôi chú ý đ n cách đ a h  không m uờ ả ế ư ệ ẫ  

m c v  d ng quen thu c. Cu i cùng là h  th ng các bài t p đ  b n đ c thamự ề ạ ộ ố ệ ố ậ ể ạ ọ  

kh o.ả

        Chuyên đ  dùng gi ng d y ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG cho h c ề ả ạ ọ   sinh kh i 12. Th i gian gi ng d y chuyên đ  này cho h c sinh kh i 12 khi ố ờ ả ạ ề ọ ố  

ôn thi ĐH, CĐ là 3 bu i ổ

M c dù r t tâm huy t v i chuyên đ , nh ng do th i gian và kh  năngặ ấ ế ớ ề ư ờ ả  

có h n nên bài vi t khó tránh kh i nh ng thi u sót. T i r t mong nh n đạ ế ỏ ữ ế ố ấ ậ ượ  c

s  góp ý c a quí th y cô, b n bè đ ng nghi p và các em h c sinh đ  chuyênự ủ ầ ạ ồ ệ ọ ể  

đ  đề ược hoàn thi n h n và tr  thành tài li u có ích trong gi ng d y và h cệ ơ ở ệ ả ạ ọ  

t p.ậ

PH N II: Ầ

 M T S  PHỘ Ố ƯƠNG PHÁP GI I H  PHẢ Ệ ƯƠNG TRÌNH 

KHÔNG M U M CẪ Ự

I. M T S  H  PHỘ Ố Ệ ƯƠNG TRÌNH THƯỜNG G P.Ặ

M t s  h  phộ ố ệ ương trình được h c trong chọ ương trình ph  thông cóổ  

phương pháp gi i rõ ràng, h c sinh ch  c n nh  thu t gi i, rèn luy n các kĩả ọ ỉ ầ ớ ậ ả ệ  năng bi n đ i, tính toán là có th  làm đế ổ ể ược. Th c ch t các h  phự ấ ệ ương trình này ta g p r t nhi u   c  THCS và THPT, không riêng b  môn toán mà cặ ấ ề ở ả ộ ả môn lí, môn hóa,… M t l n n a ta nh c l i các d ng h  phộ ầ ữ ắ ạ ạ ệ ương trình như 

v y.ậ

1. H  hai phệ ương trình b c nh t hai  n.ậ ấ ẩ

a) Đ nh nghĩa: Là h  ph ng trình có d ng ị ệ ươ ạ

b) Cách gi i: V i h  này ta có th  gi i b ng nhi u cách khác nhau nh :ả ớ ệ ể ả ằ ề ư  

Phương pháp th , phế ương pháp c ng, s  d ng đ  th , s  d ng máy tính c mộ ử ụ ồ ị ử ụ ầ  tay, tính đ nh th c, đ t  n ph ,…ị ứ ặ ẩ ụ

2. H  ba phệ ương trình b c nh t ba  n.ậ ấ ẩ

a) Đ nh nghĩa: Là h  phị ệ ương trình có d ng ạ

b) Cách gi i: V i h  này ta có th  gi i b ng nhi u cách khác nhau nh :ả ớ ệ ể ả ằ ề ư  

Phương pháp th , phế ương pháp c ng, s  d ng máy tính c m tay, tính đ nhộ ử ụ ầ ị  

th c, phứ ương pháp kh  Gauss,…ử

     3. H  g m m t phệ ồ ộ ương trình b c nh t và m t phậ ấ ộ ương trình khác.     a) Đ nh nghĩa: Là h  ph ng trình có d ng ị ệ ươ ạ 0

y là  n còn  ẩ f(x,y)  là bi u th c hai bi n ể ứ ế x, y.

     b) Cách gi i: S  d ng phả ử ụ ương pháp th ế

    4. H  đ i x ng lo i 1.ệ ố ứ ạ

     a) Đ nh nghĩa: Là h  mà khi ta đ i vai trò c a hai  n cho nhau trong m iị ệ ổ ủ ẩ ỗ  

phương trình, t ng phừ ương trình đó không thay đ i.ổ

     b) Cách gi i: Bi n đ i tả ế ổ ương đương làm xu t hi n t ng và tích c a cácấ ệ ổ ủ  nghi m r i đ t t ng b ng S, tích b ng P (ệ ồ ặ ổ ằ ằ S2 4P ). Thông thường sau bướ  cnày ta được m t h  đ n gi n.ộ ệ ơ ả

     5. H  đ i x ng lo i 2.ệ ố ứ ạ

     a) Đ nh nghĩa: Là h  mà khi ta đ i vai trò c a hai  n cho nhau trong m iị ệ ổ ủ ẩ ỗ  

phương trình, phương trình này bi n thành phế ương trình kia

b) Cách gi i: Tr  v  cho v  làm xu t hi n nhân t  chung ả ừ ế ế ấ ệ ử x­y r i đ a hồ ư ệ 

đã cho v  hai h  m i đ n gi n h n.ề ệ ớ ơ ả ơ

6. H  đ ng c p.ệ ẳ ấ

a)   Đ nh   nghĩa:   Là   h   có   d ng  ị ệ ạ 1 2

( ; ) ( ; )( ; ) ( ; )

1. Phương pháp bi n đ i tế ổ ương đương

M t s  kĩ năng thộ ố ường áp d ng nh  phân tích thành tích, bình phụ ư ươ  ng

ho c l p phặ ậ ương hai v , thêm b t làm xu t hi n nhân t  chung,…ế ớ ấ ệ ử

Bài 1. Gi i h  ph ng trình: ả ệ ươ

­ Vì x y+ >0 nên (4) không th a mãn. ỏ V y h  có hai nghi m.ậ ệ ệ

Bài 3.  (Đ  thi TS cũ)ề  Gi i h  ph ng trình: ả ệ ươ

Bài 4. (HSG QG 1996) Gi i h  ph ng trình:ả ệ ươ

V y h  đã cho có nghi m duy nh t (x;y)=(1;2)ậ ệ ệ ấ

Bài 6. Gi i h  ph ng trình: ả ệ ươ

Gi i:ả  Nh n th y ậ ấ y=0 không th a mãn h  V i ỏ ệ ớ y khác không, chia c  haiả  

v  c a (1) và (2) cho ế ủ y ta được: 

2

2 2

      T  đây ta tìm đừ ượ x và y.c 

Bài 7.  Gi i h  phả ệ ương trình:        ( ) ( )

Gi i:ả  Đi u ki n: 2y – 2x + 5 ≥ 0ề ệ

N u x = 0, t  (1) suy ra y = 0. Khi đó không th a mãn (2). V y x ế ừ ỏ ậ  0

Chia c  hai v  c a (1) cho xả ế ủ 3, ta được:  2 3 2 3

Do đó t  (3) ta đừ ược: 2y x 2y x2

Th  vào (2) ta có: ế 1 ( )2 ( )

2015x− �� x− 1 + − − 4 x 1 ��= 2

Đ t   u   =   x   –   1   ,   ta   đặ ược   PT:  2015u( u2 + − = 4 u) 2  (4)     Xét   hàm   s   :ố  ( ) 2015u( 2 4 )

Gi i:ả  Nh n th y ậ ấ x=0 không th a mãn h  Chia c  hai v  c a (1) và (2)ỏ ệ ả ế ủ  

cho x  ta đ2 ược h  ệ

2 2

2 2

2

1

66

Gi i h  này ta tìm đả ệ ượ S và P, t  đó ta tìm đc  ừ ượ x và y.c 

Bài 9. Gi i h  ph ng trình: ả ệ ươ

49

1 1 ) (

5

1 1 ) (

2 2 2

2

y x y

x

xy y

x

Gi i:ả  Trước h t ta th y h  này có d ng quen thu c là h  đ i x ng lo iế ấ ệ ạ ộ ệ ố ứ ạ  

1, tuy nhiên n u đ t  n ph  theo t ng và tích nh  cách thông thế ặ ẩ ụ ổ ư ường ta sẽ 

g p m t h  khó, ph c t p và không có nghi m đ p. Nh ng sau khi đ t đi uặ ộ ệ ứ ạ ệ ẹ ư ặ ề  

ki n và khai tri n ra ta đệ ể ược: 

553.

ta được  7x y+ = + −3 x y. Do đó ta có h  ệ

 D  th y nghi m ễ ấ ệ x y= =1 th a mãn h  còn nghi m kia thì không.ỏ ệ ệ

Bài 12. (KS­THPT Chuyên VP) Gi i h  ph ng trình:ả ệ ươ

T  đây và phừ ương trình th  hai c a h  ta tìm đứ ủ ệ ược các nghi m ệ x và y.

Bài 13. (HSG QG – 2004) Gi i h  ph ng trình: ả ệ ươ

Gi i:ả  V i h  này, c  hai  n và   hai phớ ệ ả ẩ ở ương trình đ u khó có th  rútề ể  

n này theo  n kia. Tuy nhiên, n u rút 

­ N u ế x −1&x 0 thì t  (3) suy ra ừ 2 2 49 49

Không phái lúc nào ta cũng may m n khi áp d ng phắ ụ ương pháp ‘‘ thế 

đ n cùng’’ nh  v y, ch ng h n nh  g p phế ư ậ ẳ ạ ư ặ ương trình b c 4 mà không nh mậ ẩ  

được nghi m nh  bài toán sauệ ư  : 

Bài 14. Gi i h  ph ng trìnhả ệ ươ  :

Gi i:ả    Rõ ràng phương trình đ u có b c nh t đ i v i ầ ậ ấ ố ớ b và c, đi u đóề  

g i ý cho ta rút m t  n t  phợ ộ ẩ ừ ương trình này và th  vào phế ương trình kia. Tuy nhiên sau khi rút g n ta đọ ược m t phộ ương trình b c 4 mà nghi m l    đây taậ ệ ẻ Ở  

c n m t kĩ năng tách khéo léo h nầ ộ ơ  :

Ta có (1)�2 (c b− =1) b2 +4�2 (c b− =1) b2 −2b+ +1 2b− +2 5, rõ ràng b=1 không th a mãn, v i ỏ ớ b 1suy ra 2 1 2 5

H  phệ ương trình này xu t hi n khi ta gi i bài toán hình h c ph ng:ấ ệ ả ọ ẳ  

Trong h  t a đ  Oxy cho đi m A(1 ệ ọ ộ ể  ;2), đ ườ ng th ng   ẳ ∆: y=3. Tìm đi m B ể   thu c  ộ ∆ và đi m C thu c Ox sao cho tam giác ABC đ u ể ộ ề

4. Phương pháp s  d ng tính đ n đi u c a hàm s ử ụ ơ ệ ủ ố

Đ  v n d ng phể ậ ụ ương pháp này ta c n đ n m t tính ch t quan tr ng sauầ ế ộ ấ ọ  đây: N u hàm s  ế ố f(x) đ n đi u và liên t c trên kho ng ơ ệ ụ ả ( ; )α β  thì phương trình 

f(x)=0 có nghi m duy nh t trên kho ng ệ ấ ả ( ; )α β , h n n a ơ ữ f(a)=f(b) khi và ch  khiỉ  

x −  N u ế y=0 thì t  phừ ương trình (1) ta suy ra x=0, thế 

vào phương trình (2) ta th y không th a mãn, v y ấ ỏ ậ y khác 0. Đ t  ặ x=ky ta đượ  c(1) tr  thành ở

k y +ky = y + y �k + =k y + y (3). Xét hàm s  ố f t( )= +t5 t  trên  R , ta 

có   f t'( ) 5= t4 + > ∀1 0 t R   Do   đó  f(t)  là   hàm   s   đ ng   bi n   trên  ố ồ ế R ,   v yậ  

2(3)� f k( )= f y( )�k y= �x y= Th  vào (2) ta đế ượ  :c

2 2

Gi iả : ĐK x 0,y 0. Ta th y đây là m t h  đ i x ng lo i 2, nên trấ ộ ệ ố ứ ạ ừ 

v  cho v  và bi n đ i ta đế ế ế ổ ược: 

2 x + +5 2 x− +1 x =2 y + +5 2 y− +1 y (3) 

Xét   hàm   s  ố f t( ) 2= t2+ +5 2 t− +1 t2trên  [1;+ ) ,   d   th y  ễ ấ f’(t)>0   trên 

(1;+ )nên f(t) đ ng bi n trên ồ ế [1;+ )  và do đó (3) t ng đ ng v i ươ ươ ớ x=y. Thế 

vào (1) ta được 2 x2+ =5 2 x− +1 x2. Gi i b ng MTCT ta đả ằ ượ x=2. c 

Do đó ta bi n đ i nh  sau ế ổ ư 2 x2 + − =5 6 2 x− − +1 2 x2−4

2 2

�

− ++ +

2

x=

Phương trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghi m. V y h  có nghi mệ ậ ệ ệ  

4

5 4 2

x

x y

2

f � �� �=

� �  nên (*) co nghiêm duy nhât x = ́ ̣ ́ 1

2 va y = 2.̀Vây hê co nghiêm duy nhât x = ̣ ̣ ́ ̣ ́ 1

2 va y = 2.̀

Th c t  là các h  phự ế ệ ương trình d ng này có nhi u cách gi i phong phú,ạ ề ả  các kĩ thu t tách cũng r t đa d ng. Trong khuôn kh  chuyên đ  tôi ch  d ngậ ấ ạ ổ ề ỉ ừ  

l i   b n kĩ năng thông d ng nh  trên. Ti p theo tôi xin gi i thi u các hạ ở ố ụ ư ế ớ ệ ệ 

phương trình tương t  đ  b n đ c có thêm ngu n tài li u gi ng d y, r tự ể ạ ọ ồ ệ ả ạ ấ  mong được ti p t c th o lu n trao đ i v  chuyên đ  này cùng các th y cô vàế ụ ả ậ ổ ề ề ầ  các em h c sinh.ọ

Bài 18. Gi i h  ph ng trình ả ệ ươ 3 3 2 ( )

K t lu n: V y h  đã cho có đúng hai nghi m ế ậ ậ ệ ệ (x y; ) (= − − 1; 3 ; 2;0) ( )

Bài 19. Gi i h  ph ng trình: ả ệ ươ

L i bình: ờ   Trong bài gi i trên ta nh m đ ả ẩ ượ c hai nghi m c a ph ệ ủ ươ   ng trình (5) là  x= 1; và  x= 5, vì v y cũng có th  phân tích ph ậ ể ươ ng trình trên thành   các nhóm có ch a  ứ (x− 1) (x− = 5) x2 − 6x+ 5. N u ch  nh m đ ế ỉ ẩ ượ c m t nghi m thì ộ ệ   sau khi nhân liên h p đ ợ ượ c nghi m đó và m t ph ệ ộ ươ ng trình n a v n có ữ ẫ   nghi m, ph ệ ươ ng trình  y tuy ph c t p nh ng v n có th  dùng cách nhóm và ấ ứ ạ ư ẫ ể   nhân l ượ ng liên h p sau khi nh m ra nghi m th  hai, ho c dùng ph ợ ẩ ệ ứ ặ ươ   ng pháp hàm s  nh  ví d  2   trên ố ư ụ ở

Bài 20. (Đ  thi l n 1 năm 2014 c a tr ng HN ­ Amsterdam)ề ầ ủ ườ

Trường h p 1: ợ y= 0 �x= 2 không ph i là nghi m c a hả ệ ủ ệ

Bài 4. Gi i h  ph ng trìnhả ệ ươ  

Bài 8.  Gi i h  ph ng trình ả ệ ươ

2

1 4 (

3 2 )

2

1 4 (

y x y

x x

Bài 11. Tìm t t c  các giá tr  c a tham s  a sao cho h  ph ng trình sauấ ả ị ủ ố ệ ươ  

có nghi m v i m i giá tr  c a tham s  b: ệ ớ ọ ị ủ ố 5 45 2

) 1 (

1 ).

1 (

a by a e

y x a

bx

Bài 12. Gi i h  ph ng trình ả ệ ươ

0 6

) ( 8

1 3

) (

4 4

4

4

y x

x y

y x

y x

Bài 16. Gi i h  ph ng trình ả ệ ươ

­ Trên đây là nh ng bài t p mà tôi đúc rút đữ ậ ược trong quá trình gi ngả  

d y và b i dạ ồ ưỡng h c sinh gi i. ọ ỏ

­ Đ  tài c a tôi đã đề ủ ược ki m nghi m trong năm h c này, để ệ ọ ược h cọ  sinh đ ng tình và đ t đồ ạ ược k t qu , nâng cao kh  năng gi i h  phế ả ả ả ệ ương trình. Các em h ng thú h c t p h n,   nh ng l p có hứ ọ ậ ơ ở ữ ớ ướng d n k  các em h c sinhẫ ỹ ọ  

v i m c h c trung bình cũng tr  lên đã có k  năng gi i các bài t p. H c sinhớ ứ ọ ở ỹ ả ậ ọ  

bi t áp d ng tăng rõ r t. C  th    l p 12A1 sau khi áp d ng sáng ki n nàyế ụ ệ ụ ể ở ớ ụ ế  vào gi ng d y thì s  h c sinh hi u và có k  năng gi i đả ạ ố ọ ể ỹ ả ược c  b n các d ngơ ả ạ  toán nói trên. K t qu  kh o sát qua các bài thi th  nh  sau:ế ả ả ử ư

T ngổ  

số L p th c nghi m (1ớ ự ệ 2A1)

T ngổ  

số L p đ i ch ng (1ớ ố ứ 2A2)

39 h cọ  

sinh

Gi i ỏ Khá TB

39 h cọ  sinh

­ Đ  ngh  các c p lãnh đ o t o đi u ki n giúp đ  h c sinh và giáo viênề ị ấ ạ ạ ề ệ ỡ ọ  

có nhi u h n n a tài li u sách tham kh o đ i m i vào phòng th  vi n đ  giáoề ơ ữ ệ ả ổ ớ ư ệ ể  viên  và h c sinh có th  nghiên c u h c t p nâng cao ki n th c chuyên mônọ ể ứ ọ ậ ế ứ  nghi p v ệ ụ

  ­ T  chuyên môn c n t  ch c các bu i trao đ i phổ ầ ổ ứ ổ ổ ương pháp gi ng d yả ạ  cũng nh  các m ng chuyên đ  hay trong các bu i h p t  chuyên môn đ  h cư ả ề ổ ọ ổ ể ọ  

XÁC NH N C A TH  TRẬ Ủ Ủ ƯỞNG 

Đ N VƠ Ị

           Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2016

Tôi cam đoan đây là SKKN c a mình vi t,ủ ế  không sao chép n i dung c a ngộ ủ ười khác

Người vi tế

Đ  Th  H ng H nh ỗ ị ồ ạ

TÀI LI U THAM KH O Ệ Ả

[1] Sách giáo khoa Đ i s  và Gi i tích 12 ­ ạ ố ả Tác gi :  ả Tr n Văn H o, Vũ Tu n ­ầ ạ ấ  

Nhà xu t b n Giáo d c; ấ ả ụ

[2] Bài t p Đ i s  và Gi i tích 12 ­ ậ ạ ố ả Tác gi :  ả Vũ Tu n, Tr n Văn H o ­ ấ ầ ạ Nhà 

[5] Các bài gi ng luy n thi môn toán ­ ả ệ Tác gi : ả  Phan Đ c Chính, Vũ Dứ ươ  ng

Th y, ụ Đào Tam, Lê Th ng Nh tố ấ  ­ Nhà xu t b n Giáo d c; ấ ả ụ

[6] Toán nâng cao Đ i s  và Gi i tích 12 ­  ạ ố ả Tác giả: Nguy n Tu n Khôi,ễ ấ  Nguy n Vĩnh C n ­ ễ ậ Nhà xu t b n Đ i h c S  ph m; ấ ả ạ ọ ư ạ

[7] Báo Toán h c tu i tr   ­ ọ ổ ẻ Nhà xu t b n Giáo d c; ấ ả ụ

[8] Đ  thi tuy n sinh môn Toán ­ ề ể Tác gi :  ả Phan Đ c Chính, Đăng Kh iứ ả  ­

Nhà xu t b n Giáo d c; ấ ả ụ

[9] Các đ  thi đ i h c các năm trề ạ ọ ước;

[10] Các đ  thi th  đ i h c các năm trề ử ạ ọ ước;

[11] Đ  thi h c sinh gi i môn Toán l p 10, 11, 12 c a các t nh nh ng nămề ọ ỏ ớ ủ ỉ ữ  

trước

ﾡﾡﾡﾡ 

II. M T S  PHỘ Ố ƯƠNG PHÁP GI I H  PHẢ Ệ ƯƠNG TRÌNH KHÔNG 

PH N III: K T LU N VÀ KI N NGH   Ầ Ế Ậ Ế Ị ……….18

TÀI LI U THAM KH O Ệ Ả ………20

S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HOÁ Ở Ụ Ạ

    Ch c v :  ứ ụ Phó Hi u trệ ưởng

THANH HOÁ ­ NĂM 2016