Rèn kỹ năng cho học sinh khi giải bài toán Hình học không gian bằng phương pháp cổ truyền

Đề tài này sẽ nghiên cứu và tổng kết về vấn đề: Một kỹ năng cần thiết khi giải toán Hình học không gian bằng phương pháp cổ truyền từ đó gợi ý cho học sinh phương pháp học tập trong giai đoạn hiện nay không chỉ là học kiến thức mà còn là vận dụng kiến thức vào thực tế cuộc sống, qua đó hình thành được các kỹ năng môn học cũng như kỹ năng trong cuộc sống.

M c l cụ ụ

1. M  đ u.ở ầ

1.1. Lí do ch n đ  tài.ọ ề

1.2. M c đích nghiên c u.ụ ứ

1.3. Đ i tố ượng nghiên c u.ứ

1.4. Phương pháp nghiên c u. ứ

2. N i dung sáng ki n kinh nghi m.ộ ế ệ

2.1. C  s  lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m.ơ ở ậ ủ ế ệ

2.2. Th c tr ng c a v n đ  trự ạ ủ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.ụ ế ệ 2.3. Các gi i pháp đã s  d ng đ  gi i quy t v n đ ả ử ụ ể ả ế ấ ề

Gi i pháp t ng th ả ổ ể

Gi i pháp c  th : Gi i thi u các k  năng thông qua các ví d ả ụ ể ớ ệ ỹ ụ  

m u và phân tích các k  năng đó ẫ ỹ

2.4. Hi u qu  c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáo d c,ệ ả ủ ế ệ ố ớ ạ ộ ụ  

v i b n thân, đ ng nghi p và nhà trớ ả ồ ệ ường

3. K t lu n, ki n ngh ế ậ ế ị

3.1. Nh n xét k t qu  thu đậ ế ả ược

3.2. Bài h c kinh nghi m.ọ ệ

Tài li u tham kh oệ ả

Ph  l cụ ụ

1

1. M  đ u.ở ầ

1.1. Lí do ch n đ  tài:ọ ề

+ Gi i toán hình h c không gian là bài toán c  b n trong chả ọ ơ ả ương trình  Hình h c l p 11, đây cũng là bài toán chính luôn có m t trong đ  thi môn Toánọ ớ ặ ề  

k  thi tuy n sinh Đ i h c t  năm 2002 đ n năm 2014, k  thi THPT Qu c giaỳ ể ạ ọ ừ ế ỳ ố   năm 2015 và nh ng năm ti p theo.ữ ế

+ Bài toán hình h c không gian là bài toán hay, khó, r ng và đa d ng, nóọ ộ ạ   chi m m t th i lế ộ ờ ượng l n th i gian h c môn Toán trong nhà trớ ờ ọ ường THPT

+ Khi gi ng d y giáo viên quan tâm nhi u đ n ki n th c và trình bàyả ạ ề ế ế ứ  

l i gi i c a nh ng bài c  th  mà ch a th c s  chú tr ng nhi u đ n vi c rènờ ả ủ ữ ụ ể ư ự ự ọ ề ế ệ  

k  năng cho h c sinh.ỹ ọ

+ Khi h c môn hình h c không gian, h c sinh h c bài nào bi t bài đó,ọ ọ ọ ọ ế  

ch a tìm đư ượ ực s  liên h  gi a các bài, không bi t vì sao l i làm nh  th , cácệ ữ ế ạ ư ế  

em khó khăn trong vi c phân tích tìm hệ ướng gi i, không nhìn th y con đả ấ ườ  ng

t  duy, khi gi i xong r i các em không phát hi n đư ả ồ ệ ược s  đa d ng c a bàiự ạ ủ   toán d n đ n m t nhi u th i gian h c mà hi u qu  không cao, th m chí có emẫ ế ấ ề ờ ọ ệ ả ậ   càng h c càng th y khó và chán n n.ọ ấ ả

+ Đây là môn h c không ch  đòi h i h c sinh ph i có m t t  duy khoaọ ỉ ỏ ọ ả ộ ư  

h c, logic, bi n ch ng cao mà còn c n nhi u k  năng trong gi i toán. ọ ệ ứ ầ ề ỹ ả

+ Đ c bi t hi n t i ch a có b t k  tài li u nào nói v  v n đ : “ặ ệ ệ ạ ư ấ ỳ ệ ề ấ ề Rèn kỹ 

năng cho h c sinh khi gi i bài toán Hình h c không gian b ng ph ọ ả ọ ằ ươ ng   pháp c  truy n” ổ ề

T  các lí do c n thi t nh  v y tôi đã ch n v n đ  này đ  vi t sángừ ầ ế ư ậ ọ ấ ề ể ế  

ki n kinh nghi m nh m m c đích t ng k t nh ng kinh nghi m c a b n thânế ệ ằ ụ ổ ế ữ ệ ủ ả  

đ ng th i chia s  cùng đ ng nghi p trong quá trình gi ng d y và giáo d cồ ờ ẻ ồ ệ ả ạ ụ  

h c sinh. R t mong nh n đọ ấ ậ ượ ực s  quan tâm đón nh n c a đ ng nghi p.ậ ủ ồ ệ

1.2. M c đích nghiên c u:ụ ứ

+ Tôi nghiên c u đ  tài này nh m m c đích t ng k t l i m t s  kứ ề ằ ụ ổ ế ạ ộ ố ỹ  năng mà tôi thường s  d ng và hử ụ ướng d n h c sinh khi đi tìm l i gi i cho bàiẫ ọ ờ ả   toán hình h c không gian.ọ

+ Qua đây cũng là d p gi i thi u và cùng trao đ i v i đ ng nghi p đị ớ ệ ổ ớ ồ ệ ể  giúp nhau cùng ti n b , đ  nh n đế ộ ể ậ ược nhi u h n n a s  góp ý c a đ ngề ơ ữ ự ủ ồ   nghi p.ệ

+ Giúp h c sinh t  tr  l i đọ ự ả ờ ược các câu h i: Vì sao h c hình h c khôngỏ ọ ọ   gian khó? Vì sao bi t cách h c hình h c không gian thì l i th y d ? và vì saoế ọ ọ ạ ấ ễ   khi h c hình đ n m t ọ ế ộ “Đ ng c p” ẳ ấ  nh t đ nh thì g n nh  m i bài toán hìnhấ ị ầ ư ọ  

h c không gian đ u có th  làm đọ ề ể ược

1.3. Đ i tố ượng nghiên c u:ứ

Đ  tài này s  nghiên c u và t ng k t v  v n đ : ề ẽ ứ ổ ế ề ấ ề M t k  năng c n ộ ỹ ầ   thi t khi gi i toán Hình h c không gian b ng ph ế ả ọ ằ ươ ng pháp c  truy n ổ ề  từ 

đó g i ý cho h c sinh phợ ọ ương pháp h c t p trong giai đo n hi n nay khôngọ ậ ạ ệ  

ch  là h c ki n th c mà còn là v n d ng ki n th c vào th c t  cu c s ng, quaỉ ọ ế ứ ậ ụ ế ứ ự ế ộ ố  

đó hình thành được các k  năng môn h c cũng nh  k  năng trong cu c s ng.ỹ ọ ư ỹ ộ ố 1.4. Phương pháp nghiên c u: ứ

+ Phương pháp nghiên c u xây d ng c  s  lý thuy t: T ng h p cácứ ự ơ ở ế ổ ợ  

ki n th c liên quan đ n các n i dung s  trình bày trong đ  tài. Tìm các ví dế ứ ế ộ ẽ ề ụ 

có áp d ng các k  năng đã nêu trong đ  tài. Xây d ng h  th ng k  năng c nụ ỹ ề ự ệ ố ỹ ầ   thi t theo m t th  t  h p lý nh t. Hế ộ ứ ự ợ ấ ướng d n áp d ng và hình thành các kẫ ụ ỹ  năng c n thi t khi gi i toán hình h c không gian.ầ ế ả ọ

+ Phương pháp đi u tra kh o sát th c t , thu th p thông tin: Ti n hànhề ả ự ế ậ ế  

đi u tra nhu c u c a h c sinh v  n i dung đ  tài, đi u tra nh ng v n đ  màề ầ ủ ọ ề ộ ề ề ữ ấ ề  

h c sinh vọ ướng m c có liên quan đ n đ  tài.ắ ế ề

+ Phương pháp th ng kê, x  lý s  li u: Th ng kê nhu c u c a h c sinh,ố ử ố ệ ố ầ ủ ọ   các v n đ  mà h c sinh vấ ề ọ ướng m c, t ng h p và so sánh k t qu  h c t p,ắ ổ ợ ế ả ọ ậ   tinh th n thái đ  v i môn h c đ i v i các nhóm đầ ộ ớ ọ ố ớ ược áp d ng và không đụ ượ  c

áp d ng ho c trụ ặ ước khi áp d ng và sau khi áp d ng n i dung đ  tài t  đó rútụ ụ ộ ề ừ  

ra nh ng k t lu n. Thu th p các ph n h i c a các đ ng nghi p cùng b  mônữ ế ậ ậ ả ồ ủ ồ ệ ộ  

đ  hoàn thi n đ  tài.ể ệ ề

2. N i dung sáng ki n kinh nghi m.ộ ế ệ

2.1. C  s  lí lu n c a sáng ki n kinh nghi m:ơ ở ậ ủ ế ệ

Toàn b  ki n th c c  b n v  các v n đ  c a hình h c không gian nh :ộ ế ứ ơ ả ề ấ ề ủ ọ ư

­ Đ i cạ ương v  đề ường th ng và m t ph ng;ẳ ặ ẳ

­ Quan h  song song trong không gian;ệ

­ Véc t  trong không gian;ơ

­ Quan h  vuông góc trong không gian;ệ

­ Kho ng cách và góc trong không gian;ả

­ Th  tích c a kh i đa di n;ể ủ ố ệ

2.2. Th c tr ng c a v n đ  trự ạ ủ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m.ụ ế ệ

2.2.1. V  phía giáo viên: Quan tâm nhi u đ n vi c trang b  ki n th c và trìnhề ề ế ệ ị ế ứ   bày các l i gi i các bài toán cho h c sinh mà ch a th c s  chú tr ng vi c rènờ ả ọ ư ự ự ọ ệ   các k  năng c n thi t cho h c sinh. ỹ ầ ế ọ

2.2.2. V  phía h c sinh: Các em n m đề ọ ắ ược ki n th c nh ng k  năng c n thi tế ứ ư ỹ ầ ế  

đ  gi i toán còn y u; các em ch a bi t phân tích gi  thi t đ  tìm hể ả ế ư ế ả ế ể ướng gi iả   quy t, các em còn lúng túng trong vi c l a ch n phế ệ ự ọ ương pháp gi i quy t; khiả ế  

gi i quy t xong r i các em ch a bi t phân tích k t lu n cũng nh  thay đ i giả ế ồ ư ế ế ậ ư ổ ả  thi t đ  tìm các k t lu n m i cũng nh  ch a t ng k t l i các ki n th c, kế ể ế ậ ớ ư ư ổ ế ạ ế ứ ỹ  năng đã s  d ng trong bài và tìm các bài toán quen thu c. Đ c bi t có nh ngử ụ ộ ặ ệ ữ  

em còn th y n n trí khi h c hình h c không gian b i vì các em không bi t v nấ ả ọ ọ ở ế ậ  

d ng ki n th c đã h c vào gi i quy t các bài toán nh  th  nào cho hi u qu ụ ế ứ ọ ả ế ư ế ệ ả

3

2.3. Các gi i pháp đã s  d ng đ  gi i quy t v n đ ả ử ụ ể ả ế ấ ề

Gi i pháp t ng th : ả ổ ể  

Đ i tố ượng áp d ng là các em h c sinh đã và đang h c hình h c khôngụ ọ ọ ọ   gian. V i các em đang h c thì h c đ n đâu gi i thi u đ n đó và cu i cùngớ ọ ọ ế ớ ệ ế ố   dành kho ng 3 ti t đ  t ng h p l i, v i các em đã h c xong thì dành th i gianả ế ể ổ ợ ạ ớ ọ ờ   kho ng 6 ti t đ  gi i thi u.ả ế ể ớ ệ

Gi i pháp c  th : ả ụ ể  Gi i thi u cho các em các k  năng thông qua các víớ ệ ỹ  

d  m u và sau đó cho các em ví d  v  nhà và ki m tra ti n đ  cũng nh  k tụ ẫ ụ ề ể ế ộ ư ế  

qu  c a các em.ả ủ

2.3.1. K  thu t thay đ i gi  thi t:ỹ ậ ổ ả ế

Ví d  m u: ụ ẫ

Cho   hình   chóp   S.ABC   có   đáy 

ABC   là   tam   giác   vuông   t i   B,   gócạ  

ﾷACB= θ, c nh bên SA vuông góc v iạ ớ  

(ABC) và SA = h. Tính VS.ABC bi t:ế

a. SC t o v i đáy m t góc ạ ớ ộ α

b. (SBC) t o v i đáy m t góc ạ ớ ộ β

c. Kho ng cách t  A đ n (SBC) b ngả ừ ế ằ  

x

d. Kho ng cách t  B đ n SC b ng y.ả ừ ế ằ

e. SA t o v i (SBC) m t góc ạ ớ ộ γ

f. Di n tích tam giác SBC b ng s.ệ ằ

x

y h

C A

B

S

H

K

Nh n xét:  ậ

1. Yêu c u c  b n đ i v i h c sinh khi gi i bài toán này:ầ ơ ả ố ớ ọ ả

­ Khi g p m t bài toán là m t trong các câu a, b, c, d, e, f thì khi làmặ ộ ộ   xong bài toán đó ph i xem l i bài toán và thay đ i gi  thi t đ  t o ra bài toánả ạ ổ ả ế ể ạ  

m i sau đó tìm hớ ướng gi i quy t tr c ti p ho c chuy n bài toán m i v  bàiả ế ự ế ặ ể ớ ề   toán đã làm

­ Hình thành ý th c và xây d ng k  năng thay đ i gi  thi t c a bài toán.ứ ự ỹ ổ ả ế ủ

­ H c sinh xác đ nh đọ ị ược các y u t  trong đ  bài: h và góc ế ố ề ﾷACB= θ cho 

trước; góc ﾷSCA= α; góc ﾷSBA= β ; góc ﾷASB= = γ 90 0 − β ; x = AH v i AH vuôngớ   góc v i SB, H thu c SB; y = BK v i BK vuông góc v i SC, K thu c SC; S =ớ ộ ớ ớ ộ  

1 .

2SB BC

2. Xây d ng m i quan h  gi a  ự ố ệ ữ α   và  β: Xét tam giác vuông SAC ta có: 

.cot cot 1

AC SA= SCA h= α  Xét tam giác vuông ABC ta có:  AC AB ( )2

Sinθ

tam giác vuông SAB ta có:  AB SA= cot β =h.cot (3) β    Thay (3) vào (2) ta có: 

( )

.cot

4 sin

h

θ

=  T  (1) và (4) ta có: ừ cot sin α θ = cot β . 

V y quan h  gi a ậ ệ ữ α  và β là: cot sin α θ = cot β.

3. Xây d ng quan h  gi a ự ệ ữ β và γ : Theo hình v  ta có: ẽ β γ + = 90 0.

4. Xây d ng quan h  gi a ự ệ ữ γ  và α: Áp d ng m c 2 ta có: ụ ụ cot sin α θ = tan γ

5. Xây d ng quan h  gi a ự ệ ữ α  và x:

Xét tam giác vuông SAB vuông t i A, có đạ ường cao AH nên:  1 2 12 12

AH = SA + AB  

x =h + AB

�   Theo   m c   2   ta   có:  ụ AB AC= sin θ =SA.cot sin α θ =h.cot sin α θ   nên ta có:  12 12 2 21 2

cot sin

.sin sin tan

h

=

�

Ví d  v  nhà: ụ ề

Cho hình chóp t  giác đ u S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, đứ ề ườ  ng cao b ng h. Tính th  tích kh i chóp bi t:ằ ể ố ế

a. C nh bên b ng 2h.ạ ằ

b. C nh bên h p v i đáy góc 45ạ ợ ớ 0

c. M t bên h p v i đáy góc 30ặ ợ ớ 0

d. Các góc m t bên đ nh S b ng 60ặ ỉ ằ 0

e. Góc gi a hai m t bên b ng 120ữ ặ ằ 0

f. Đường cao SO h p v i m t bên góc 30ợ ớ ặ 0

g. Kho ng cách t  O đ n m t bên b ng ả ừ ế ặ ằ 2

2

h  

h. Kho ng cách t  A đ n m t ph ng (SCD) b ng ả ừ ế ặ ẳ ằ h 3 

i. Kho ng cách gi a AB và SC b ng h .ả ữ ằ

2.3.2. K  thu t d ng hình ph :ỹ ậ ự ụ

Ví d  m u: ụ ẫ  (Đ  thi h c sinh gi i t nh c a S  GD­ĐT Thanh Hóa năm h c ề ọ ỏ ỉ ủ ở ọ   2015­2016)

Cho hình chóp  S.ABC  có đáy  ABC  là tam giác vuông cân t i   ạ B, bi tế  

3

AB BC a= = ,   kho ng   cách   t  ả ừ A  đ n   m t   ph ng   (ế ặ ẳ SBC)   b ng  ằ a 2  và 

ﾷ ﾷ 90 0

SAB SCB= =  Tính theo a th  tích kh i chóp ể ố S.ABC và kho ng cách gi a haiả ữ  

đường th ng ẳ SB, AC.

Nh n xét:  ậ

1. V  hình th c đ  bài cho m t hình chóp tam giác ch a xác đ nh rõề ứ ề ộ ư ị   hình chi u c a đ nh trên m t đáy, đây là m t d ng toán khó đ i v i h c sinh.ế ủ ỉ ặ ộ ạ ố ớ ọ

2. Trong quá trình d y, ta c n hình thành ý th c tách m t kh i đa di nạ ầ ứ ộ ố ệ  

ra nhi u kh i đa di n; ghép thêm các kh i đa di n vào m t hình đ  sau nàyề ố ệ ố ệ ộ ể  

g p các hình có nh ng tính ch t đ c bi t ta có th  d ng thêm hình ph  đặ ữ ấ ặ ệ ể ự ụ ể 

đ a bài toán l  v  bài toán quen thu c đã g p, đã làm.ư ạ ề ộ ặ

3. M t d ng quen thu c ta hay g p là b  sung hình chóp tam giác thànhộ ạ ộ ặ ổ   hình chóp t  giác trong đó d ng đ c bi t là b  sung hình chóp có đáy là tamứ ạ ặ ệ ổ   vuông cân thành hình chóp có đáy là hình vuông. R t có th  đi m thêm vào làấ ể ể   hình chi u c a đ nh trên m t đáy.ế ủ ỉ ặ

4. Hướng d n h c sinh b  sung đ  có hình chóp sau:ẫ ọ ổ ể

5

G i H là hình chi u vuông góc c aọ ế ủ  

S trên mp(ABC). 

Ta có:

( )

(gt)

SH ABC

HA AB

SA AB

⊥ �� ⊥

Tương t  ự HC BC⊥

Suy ra t  giác  ứ HABC  là m t hìnhộ  

vuông

+Tacó: 

( ,( )) ( ,( )) 2

�

O H

C

S

I K

D ng ự HK ⊥SC t i ạ K  (1) . Do   BC HC BC (SHC) BC HK(2)

BC SH

⊥ �� ⊥ � ⊥

T  (1) và (2) suy ra ừ HK⊥ (SBC), nên d H SBC( ,( )) =HK a= 2 

 Ta có:   2 2 2 2

Th  tích kh i chóp ể ố S.ABC được tính b i: ở 1 . 1 .

3

a

� G i I là hình chi u c a O lên SB khi đóọ ế ủ  

2

a

OI OB= =  . V y ậ kho ng cách gi a AC và SB là ả ữ ( ; ) 3

2

a

Ví d  v  nhà: ụ ề

1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x; BC = y, các c nh còn l iạ ạ  

có đ  dài b ng 1. Tính th  tích kh i chóp theo x và y.ộ ằ ể ố

2   Cho   t   di n   ABCD   có   các   c nh  ứ ệ ạ AB BC a= = ,    AC BD b= = , 

AB CD c= =  Tính th  tích kh i t  di n theo a,b,c.ể ố ứ ệ

2.3.3. K  thu t b o toàn kho ng cách:ỹ ậ ả ả

Ví d  m u: ụ ẫ  

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, tam giác SAB làạ   tam giác đ u và ề SD SC a= = 3. Tính kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng SA vàẳ   BC

Nh n xét: ậ

Đây là m t k  thu t r t ph  bi n trong vi c tính kho ng cách t  m tộ ỹ ậ ấ ổ ế ệ ả ừ ộ  

đi m đ n m t để ế ộ ường th ng ho c m t ph ng mà không c n xác đ nh hìnhẳ ặ ặ ẳ ầ ị   chi u. Tính kho ng cách gi a hai đế ả ữ ường th ng chéo nhau mà không c n xácẳ ầ  

đ nh đ  dài đo n vuông góc chung.ị ộ ạ

Cách   1:  G i   I,   J   l n   l t   là   trungọ ầ ượ  

đi m c a AB và CD. G i H là hìnhể ủ ọ  

chi u c a S trên IJ, ta có  ế ủ AB⊥(SHI) 

AB SH⊥

�   v y  ậ SH ⊥(ABCD), l i cóạ  

2 2

3, IJ , 11

SI = =a SJ = ,   ta   có 

ﾷ 2 IJ2 2

cos IJ

2 IJ

S

SI

+ −

3

−

= <  v y gócậ  

ﾷ IJ

S   tù   V y   đi m   H   n m     ngoàiậ ể ằ ở  

đo n ạ

E

C B

S

K

IJ và cos IHﾷ 1

3

sin

3

SIH =

SH SI sinSIH= = =  G i E làọ   hình chi u c a H trên AD thì HE //IA, g i K là hình chi u c a H trên SE ta cóế ủ ọ ế ủ  

BC // (SAD) nên d(BC,SA) = d(B,(SAD)) = 2. d(H,(SAD)) = 2HK (1). Ta l i cóạ  

HK = HE +SH = a  . Thay vào (1) ta có: d(BC,SA) = 2. 6

3 6

a =a

Cách 2:  B o toàn th  tích:ả ể

SAD

V

d BC SA d B SAD

S∆

3

a

d BC SA =

Nh n xét: ậ

Rõ ràng so v i cách gi i quy t   cách 1 cách gi i quy t này r t hi uớ ả ế ở ả ế ấ ệ  

qu ả

Ví d  m u: ụ ẫ  (Đ  thi Đ i h c kh i D năm 2008 ề ạ ọ ố )

  Cho lăng tr  đ ng ABC.Aụ ứ ’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC 

= a, c nh bên AAạ ’ = a 2. G i M là trung đi m c a c nh BC. Tính theo a thọ ể ủ ạ ể  tích kh i lăng tr  ABC.Aố ụ ’B’C’ và kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng AM vàẳ  

B’C

L i gi i:ờ ả

T   gi   thi t   suy   ra   tam   giác   ABCừ ả ế  

vuông cân t i B. Th  tích kh i lăngạ ể ố  

tr  là: ụ ' ' '

3 '

.

2

AA

2

ABC ABC A B C

a

Cách 1:

G i E là trung đi m c a BBọ ể ủ ’. 

Khi đó m t ph ng (AME) song songặ ẳ  

v i   Bớ ’C   nên   kho ng   cách   gi a   haiả ữ  

đường   th ng   AM   và   Bẳ ’C   b ngằ  

kho ng cách gi a Bả ữ ’C và m t ph ngặ ẳ  

(AME). Nh n th y kho ng cách t  Bậ ấ ả ừ  

đ n m t ph ng (AME) b ng kho ngế ặ ẳ ằ ả  

cách t  ừ

B'

E

M

A'

C'

B

C

A

7

C đ n m t ph ng (AME). G i h là kho ng cách t  B đ n (AME). Do t  di nế ặ ẳ ọ ả ừ ế ứ ệ   BAME có BA, BM, BE đôi m t vuông góc nên:ộ

h = BA +BM +BE    7

7

a

h=

Cách 2: B o toàn th  tích:ả ể

( , ) ( ;( )) ( ;( ))

d AM B C =d B C AME =d C AME = 3 C AME 3 E ACM.

S∆ = S∆ 7

7

a

=

Nh n xét: ậ  

Rõ ràng so v i cách gi i quy t   cách 1, cách gi i quy t này r t hi uớ ả ế ở ả ế ấ ệ  

qu , v a ng n g n l i v a d  hi u, ta không c n ph i phát hi n t  di nả ừ ắ ọ ạ ừ ễ ể ầ ả ệ ứ ệ   BEAM vuông t i đ nh B. N u h c sinh không bi t cách chuy n kho ng cáchạ ỉ ế ọ ế ể ả  

t  C đ n (AEM) b ng kho ng cách t  B đ n (AEM) ho c n u h c sinh khôngừ ế ằ ả ừ ế ặ ế ọ  

nh  tính ch t c a t  di n vuông thì làm theo cách 1 qu  là gian nan vô cùng.ớ ấ ủ ứ ệ ả

Ví d  m u: ụ ẫ  (Đ  thi h c sinh gi i t nh c a S  GD­ĐT Thanh Hóa năm h c ề ọ ỏ ỉ ủ ở ọ   2011­2012)

Cho hình chóp S.ABCD. Đáy là hình ch  nh t có AB = a, BC = 2a,ữ ậ   (SAB) vuông góc v i đáy, các m t (SBC) và (SCD) cùng t o v i đáy m t gócớ ặ ạ ớ ộ  

b ng nhau. Bi t kho ng cách gi a hai đằ ế ả ữ ường th ng SA và BD b ng ẳ ằ 2

6

a

a. Tính VS.ABCD

b. Tính cosin góc gi a hai đữ ường th ng SA và BD.ẳ

L i gi i ờ ả

Vì (SAB)⊥ (ABCD) và (SAB)  

(ABCD) = AB nên ta g i H làọ  

hình chi u c a S trên AB thì Hế ủ  

cũng là hình chi u   c a S trênế ủ  

(ABCD). G i E là đi m sao choọ ể  

HBCE là hình vuông, vì các m tặ  

(SBC)   và   (SCD)   cùng   t o   v iạ ớ  

đáy m t góc b ng nhau suy raộ ằ  

SBH SEH= � tanSBHﾷ = tanSEHﾷ

2

HB HE= = a

đi m c a HB. ể ủ

A

D

B H

E

C S

Đ t SH = h đ  gi i ví d  4 ta ch  c n đi xác đ nh h và d a vào gi  thi tặ ể ả ụ ỉ ầ ị ự ả ế   kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng SA và BD b ng ẳ ằ 2

6

a

Cách 1: Xác đ nh đo n vuông góc chung c a SA và BD.ị ạ ủ

Cách 2: B o toàn th  tích đ  xác đ nh h.ả ể ể ị

kho ng cách gi a  SA và BD = kho ng cách gi a BD và (SAE)ả ữ ả ữ

G n v i h/c S.ABE => ắ ớ V S ABE =V B SAE.

1. . 1 . 1 .(4 2 )

a h

V = SH S∆ = h S∆ = h a − −a a =

  SE= h2 + 4a2 ; SA= h2 +a2  AB= 3a2 �SA2 +AB2 =SE2

SAE

∆

�  vuông t i A  ạ 1 . 1 2 2 3

SAE

S∆ = SA AE= h +a a

�

2

( ;( ))

6

3 3 2

SAE

�

+

6h= 3h + 3a

�

bh = h + a h a=

� �  => bài toán được gi i quy t.ả ế

Nh n xét: ậ  

 đây các b n có th  tham kh o cách gi i th  nh t và đáp án đ y đ  c a ví

d  này trong hụ ướng d n ch m c a s  GD­ĐT, m c đích c a tôi khi đ a ra víẫ ấ ủ ở ụ ủ ư  

d  nh m c ng c  thêm ni m tin cho các em v   ng d ng r ng rãi c a kụ ằ ủ ố ề ề ứ ụ ộ ủ ỹ  thu t b o toàn th  tích đ  tính kho ng cách, nó không ch  áp d ng trong cácậ ả ể ể ả ỉ ụ   bài toán thông thường trong SGK, SBT mà trong các k  thi Đ i h c, th m chíỳ ạ ọ ậ  

c  các k  thi HSG n a.ả ỳ ữ

2.3.4. K  thu t quy v  ph ng:ỹ ậ ề ẳ

Nh n xét: ậ  

C t lõi c a k  thu t này là chúng ta ph i th y rõ b n ch t c a m t bàiố ủ ỹ ậ ả ấ ả ấ ủ ộ   toán hình h c không gian là s  k t h p m t cách h u c  c a nhi u bài toánọ ự ế ợ ộ ữ ơ ủ ề   hình h c ph ng trên các m t ph ng khác nhau có trên hình v  Vì v y khi c nọ ẳ ặ ẳ ẽ ậ ầ   tính toán m t c nh hay m t góc nào đó ta s  g n c nh, góc đó vào trong hìnhộ ạ ộ ẽ ắ ạ  

m t hình trên m t m t ph ng xác đ nh, v  hình đó trên m t ph ng và ti nộ ộ ặ ẳ ị ẽ ặ ẳ ế   hành thao tác tính toán thì công vi c tr  thành r t đ n gi n. K  thu t đó ta g iệ ở ấ ơ ả ỹ ậ ọ  

là k  thu t quy v  m t ph ng, có th  hi u ng n g n là ỹ ậ ề ặ ẳ ể ể ắ ọ làm vi c v i m t ệ ớ ặ  

ph ng nào thì ta tách m t ph ng đó ra ẳ ặ ẳ

 Ví d  m u: ụ ẫ  (Đ  thi Đ i h c kh i A và A1  năm 2012 ề ạ ọ ố )

  Cho hình chóp S.ABC có 

đáy là tam giác đ u c nh a. Hìnhề ạ  

chi u vuông góc c a S trên m tế ủ ặ  

ph ng   (ABC)   là   đi m   H   thu cẳ ể ộ  

c nh AB sao cho HA = 2HB. Gócạ  

gi a   đữ ường   th ng   SC   và   m tẳ ặ  

ph ng (ABC) b ng 60ẳ ằ 0. Tính thể 

tích kh i chóp S.ABC và kho ngố ả  

cách gi a hai đữ ường th ng SA vàẳ  

BC theo a

x

D

H A

B

C S

N

K

       Mu n tính th  tích kh i chópố ể ố  

9 A

C

B

S

A

C D

E

H

S.ABC ta c n tính chi u cao SH vàầ ề  

di n tích đáy ABC. Do tam giác ABCệ  

là   tam   giác   đ u   c nh   a   nênề ạ  

4

ABC

a

S∆ =   ; mu n tính SH ta ph iố ả  

g n   vào   tam   giác   SHC   Ta   có   gócắ  

ﾷSCH  là góc gi a SC và m t ph ngữ ặ ẳ  

(ABC), suy ra  ﾷSCH = 60 0   Bây gi  taờ  

còn ph i tìm HC. Đ  tìm HC ta g nả ể ắ  

vào tam giác ABC và tách m t ph ngặ ẳ  

(ABC)

G i D là trung đi m c a AB. Xét tam giác vuông CDH vuông t i D ta cóọ ể ủ ạ   6

a

HD=  ;  3

2

a

2

a

HC= HD +CD =  .  Suy ra  tan 600 21

3

a

3

a

V = SH S∆ =  

       Mu n tính kho ng cách gi  SA và BC ta k  Ax // BC. G i N, K l n lố ả ữ ẻ ọ ầ ượ  t

là hình chi u vuông góc c a H trên Ax và SN. Ta có BC // (SAN) và ế ủ 2

3

BA= HA  nên  ( , ) ( ,( )) 3 ( ,( )).

2

d SA BC =d B SAN = d H SAN  Ta cũng có Ax ⊥(SHN) nên Ax HK⊥  . 

Do đó HK ⊥(SAN). Suy ra d H SAN( ,( )) =HK. Mu n tìm HK ta g n vào tam giácố ắ   SNH và tách m t ph ng (SNH).ặ ẳ

Ta có  2

3

a

AH = ,  sin 600 3

2

a

HN AH= =  ; 

HK = HN +HS HK SH HN2. 2 a1242

SH HN

�

42 ( , )

8

a

d SA BC =

Ví d  v  nhà: ụ ề (Đ  thi Đ i h c kh i D  năm 2010 ề ạ ọ ố )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bênạ ạ  

SA = a; hình chi u vuông góc c a đ nh S trên m t ph ng (ABCD) là đi m Hế ủ ỉ ặ ẳ ể   thu c đo n AC sao cho ộ ạ

4

AC

AH =  G i CM là đọ ường cao c a tam giác SAC.ủ  

Ch ng minh M là trung đi m c a SA và tính th  tích kh i t  di n SMBC theoứ ể ủ ể ố ứ ệ  

a. 

2.3.5. K  thu t “thỹ ậ ượng” đường vuông góc:

Chúng ta thường quá quen thu c v i c m t  h   độ ớ ụ ừ ạ ường vuông góc, 

nh ng th c t  trong gi i toán ta l i thư ự ế ả ạ ường xuyên ph i thả ượng đường vuông  góc. Đ c bi t là bài toán đ nh lặ ệ ị ượng có liên quan đ n hình chi u c a đ nh hìnhế ế ủ ỉ   chóp trên m t ph ng đáy nh ng đ  bài ch a cho v  trí c a hình chi u, ta ph iặ ẳ ư ề ư ị ủ ế ả  

S

K