Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh. Xây dựng, sắp xếp các bài tập hình học không gian có tính hệ thống, thông qua đó để phát huy trí tưởng tượng không gian, tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập cho học sinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạo hứng thú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn hình không gian.
Trang 1A. M Đ UỞ Ầ
I. LÝ DO CH N Đ TÀI:Ọ Ề
Trong b i c nh toàn ngành Giáo d c và Đào t o đang n l c đ i m iố ả ụ ạ ỗ ự ổ ớ
phương pháp d y h c theo hạ ọ ướng phát huy tính tích c c ch đ ng c a h cự ủ ộ ủ ọ sinh trong ho t đ ng h c t p. Đi u 24.2 c a Lu t giáo d c đã nêu rõ :ạ ộ ọ ậ ề ủ ậ ụ
“Ph ươ ng pháp giáo d c ph thông ph i phát huy tính tích c c, t giác, ch ụ ổ ả ự ự ủ
đ ng, sáng t o c a h c sinh, phù h p v i đ c đi m c a t ng l p h c, môn ộ ạ ủ ọ ợ ớ ặ ể ủ ừ ớ ọ
h c; b i d ọ ồ ưỡ ng ph ươ ng pháp t h c, rèn luy n k năng v n d ng ki n th c ự ọ ệ ỹ ậ ụ ế ứ vào th c ti n, tác đ ng đ n tình c m, đem l i ni m vui, h ng thú h c t p cho ự ễ ộ ế ả ạ ề ứ ọ ậ
h c sinh”. ọ Nh v y, chúng ta có th th y đ nh hư ậ ể ấ ị ướng đ i m i phổ ớ ương pháp
d y h c đã đạ ọ ược kh ng đ nh, không còn là v n đ tranh lu n. C t lõi c aẳ ị ấ ề ậ ố ủ
vi c đ i m i phệ ổ ớ ương pháp d y h c trạ ọ ở ường ph thông là giúp h c sinhổ ọ
hướng t i vi c h c t p ch đ ng,ớ ệ ọ ậ ủ ộ sáng t o, tích c c,ạ ự ch ng l i thói quen h cố ạ ọ
t p th đ ng. ậ ụ ộ
Trong h c t p môn Toán thì ho t đ ng ch đ o và thọ ậ ạ ộ ủ ạ ường xuyên c aủ
h c sinh là ho t đ ng t duy gi i bài t p, thông qua đó hình thành k năng, kọ ạ ộ ư ả ậ ỹ ỹ
x o đ ng th i rèn luy n phát tri n trí tu ả ồ ờ ệ ể ệ
Trong chương trình toán h c l p 11, 12, hình h c không gian gi m tọ ớ ọ ữ ộ vai trò quan tr ng, nó xu t hi n t t c các đ thi tuy n sinh vào đ i h c,ọ ấ ệ ở ấ ả ề ể ạ ọ cao đ ng; đ thi h c sinh gi i, đ thi t t nghi p và đ thi qu c gia trongẳ ề ọ ỏ ề ố ệ ề ố
nh ng năm g n đây và thữ ầ ường chi m m t đi m. Ngoài ra nó còn là ti n đ đế ộ ể ề ề ể các em h c sinh h c ph n hình h c gi i tích trong không gian là m t ph n màọ ọ ầ ọ ả ộ ầ trong đ thi cũng luôn chi m m t đi m. Tuy nhiên đây là n i dung mà đòi h iề ế ộ ể ộ ỏ
h c sinh ph i có t duy sâu s c, trí tọ ả ư ắ ưởng tượng hình không gian phong phú và
ph i đi t ng li t ng tí ki n th c, kiên trì, ch u khó tìm tòi h c h i ngay t v nả ừ ừ ế ứ ị ọ ỏ ừ ấ
đ đ u tiên, c b n là v hình. ề ầ ơ ả ẽ Đ i v i h c sinh đây là m ng ki n th c khóố ớ ọ ả ế ứ nên thường không làm được ho c thặ ường đ m t đi m trong các kì thi nóiể ấ ể trên.
Trong sách giáo khoa, sách bài t p cũng nh sách tham kh o h u h tậ ư ả ầ ế
ch a hình thành cho h c sinh cách th cư ọ ứ đ gi i quy t các d ng, lo i bài t p.ể ả ế ạ ạ ậ
Đ i v i giáo viên, có nhi u lí do mà d n đ n vi c d y h c còn nhi u h n chố ớ ề ẫ ế ệ ạ ọ ề ạ ế
ch ng h n nh do lẳ ạ ư ượng th i gian ít i trên l p đ truy n đ t ki n th c,ờ ỏ ở ớ ể ề ạ ế ứ không kiên trì đ i v i h c sinh t khâu nh nh t, không ki m tra m t cách k pố ớ ọ ừ ỏ ấ ể ộ ị
th i vi c h c t p nhà c a h c sinh, do đó mà lờ ệ ọ ậ ở ủ ọ ượng ki n th c c a h c sinhế ứ ủ ọ
thường b r ng, d n d n tr thành n m không v ng ho c không còn bi t gìị ỗ ầ ầ ở ắ ữ ặ ế
v hình không gian.ề
V i ngớ ười th y ph i bi t hầ ả ế ướng d n h c sinh nghiên c u bài h c vàẫ ọ ứ ọ
s p x p các bài t p có tính h th ng thì s giúp h c sinh t tin h n khi gi iắ ế ậ ệ ố ẽ ọ ự ơ ả bài t p hình h c không gian, đ ng th i t o đi u ki n thu n l i đ phát huyậ ọ ồ ờ ạ ề ệ ậ ợ ể tính tích c c, t duy sáng t o cho các em. ự ư ạ
Trang 2T nh ng lí do trên tôi ch n đ tài ừ ữ ọ ề sáng ki n kinh nghi m:ế ệ
“KHAI THÁC VÀ XÂY D NG CÁC BÀI T P HÌNH H C KHÔNGỰ Ậ Ọ GIAN CÓ TÍNH H TH NG Đ PHÁT TRI N T DUY SÁNG T O,Ệ Ố Ể Ể Ư Ạ TÍNH TÍCH C C VÀ NĂNG L C GI I BÀI T P CHO H C SINH L PỰ Ự Ả Ậ Ọ Ớ
11 VÀ H C SINH L P 12 ÔN THI Đ I H C”.Ọ Ớ Ạ Ọ
II. M C ĐÍCH NGHIÊN C U:Ụ Ứ
Góp ph n tìm ra phầ ương pháp d y h c thích h p v i h c sinh ạ ọ ợ ớ ọ Xây
d ng, s p x p các bài t p ự ắ ế ậ hình h c không gian ọ có tính h th ng, thông qua đóệ ố
đ phát huy trí tể ưởng tượng không gian, tính tích c c, t duy sáng t o ự ư ạ và năng
l c gi i bài t p ự ả ậ cho h c sinh ọ nh m giúp h c sinh có phằ ọ ương pháp đ gi iể ả quy t các bài toán và t o h ng thú cho h c sinh, lôi kéo thêm s lế ạ ứ ọ ố ượng các em
h ng thú v i môn hình không gian, giúp h c sinh không ph i e s ph n này vàứ ớ ọ ả ợ ầ quan tr ng h n, đ ng trọ ơ ứ ước m t bài toán h c sinh có th b t ngay ra độ ọ ể ậ ượ ccách gi i, đả ược đ nh hị ướng trước khi làm bài qua đó có cách gi i t i u choả ố ư
IV. Đ I TỐ ƯỢNG NGHIÊN C U:Ứ
Đ i tố ượng nghiên c u trong đ tài ch y u là h c sinh kh i l p 11, 12ứ ề ủ ế ọ ố ớ năm h c 2015 2016ọ
Rèn luy n các thao tác v hình bi u di n, trí tệ ẽ ể ễ ưởng tượng không gian,
m đ u cho các ý tở ầ ưởng v thêm các đẽ ường, ch n đi m.ọ ể
2
Trang 3 Rèn luy n t duy đ c lâp, rèn luy n tính linh ho t và phê phán trong tệ ư ộ ệ ạ ư duy.
B. N I DUNGỘ
CHƯƠNG I: C S LÍ LU NƠ Ở Ậ
1.1. KHÁI NI M, C U TRÚC C A T DUY SÁNG T O. T DUYỆ Ấ Ủ Ư Ạ Ư TÍCH C C:Ự
1.1.1 T duy sáng t o là gì? ư ạ
Sáng t o đạ ược hi u theo t đi n Vi t Nam là làm ra cái m i ch a aiể ừ ể ệ ớ ư làm ho c là tìm tòi làm t t h n m t vi c gì đó mà không b gò bó.ặ ố ơ ộ ệ ị
T duy sáng t o là quá trình tìm cách nh n th c, phát hi n ra quy lu tư ạ ậ ứ ệ ậ
c a s v t, có ý th c luôn tìm ra cái m i đ hi u h n b n ch t c a s v tủ ự ậ ứ ớ ể ể ơ ả ấ ủ ự ậ
hi n tệ ượng cũng nh tìm ra nguyên nhân, ngăn ch n, lo i b nh ng cái x u vàư ặ ạ ỏ ữ ấ phát tri n cái t t.ể ố
Nh v y t duy sáng t o là thu c tính b n ch t c a con ngư ậ ư ạ ộ ả ấ ủ ườ ể ồ i đ t n
t i và phát tri n nh ng đi u t t đ p, trong các lo i hình t duy nh m ph nạ ể ữ ề ố ẹ ạ ư ằ ả ánh hi n th c thì t duy sáng t o là lo i hình t duy đ c l p t o ra ý tệ ự ư ạ ạ ư ộ ậ ạ ưở ng
m i đ c đáo và hi u qu , phát hi n ra n i dung m i, tìm ra hớ ộ ệ ả ệ ộ ớ ướng đi m iớ
đ ng th i t o ra k t qu m i.ồ ờ ạ ế ả ớ
1.1.2. Các y u t đ c tr ng và các thu c tính c a t duy sáng t o: ế ố ặ ư ộ ủ ư ạ
T duy sáng t o có 5 y u t c b n: Tính m m d o, tính nhu nư ạ ế ố ơ ả ề ẻ ậ nhuy n, tính đ c đáo, tính hoàn thi n, tính nh y c m v n đ ễ ộ ệ ạ ả ấ ề
Ngoài ra còn có nh ng y u t quan tr ng khác nh tính chính xác, năngữ ế ố ọ ư
l c đ nh giá, phán đoán, năng l c đ nh nghĩa l i ự ị ự ị ạ
Lecne đã ch ra các thu c tính sau đây c a quá trình t duy sáng t o:ỉ ộ ủ ư ạ
1. Có s t l c chuy n các tri th c và k năng sang m t tình hu ngự ự ự ể ứ ỹ ộ ố
m i.ớ
2. Nhìn th y nh ng v n đ m i trong đi u ki n quen bi t “đúng quy cách”,ấ ữ ấ ề ớ ề ệ ế
3. Nhìn th y ch c năng m i c a đ i tấ ứ ớ ủ ố ượng quen bi t.ế
4. Nhìn th y c u trúc c a đ i tấ ấ ủ ố ượng đang nghiên c u.ứ
5. Nhìn th y nhi u l i gi i, nhi u cách nhìn đ i v i vi c tìm ki m l iấ ề ờ ả ề ố ớ ệ ế ờ
gi i.ả
Trang 46. K t h p nh ng phế ợ ữ ương th c gi i đã bi t thành m t phứ ả ế ộ ương th cứ
Trong quá trình d y h c t khi vào ngành đ n nay, vi c d y h c hìnhạ ọ ừ ế ệ ạ ọ
h c không gian đ i v i b n thân và giáo viên trong trọ ố ớ ả ường đang còn nhi uề lúng túng. Đ c bi t là trong đ thi đ i h c, qu c gia, qua quá trình theo dõiặ ệ ề ạ ọ ố
k t qu thi c a các em h c sinh nhi u năm trế ả ủ ọ ề ước thì b n thân tôi th y r ng cóả ấ ằ
m t s h c sinh h c l c gi i thộ ố ọ ọ ự ỏ ường làm t t các bài toán này. Tuy nhiên số ố
lượng đó không nhi u. M t đi u đáng ti c và làm ta ph i suy nghĩ là t i saoề ộ ề ế ả ạ còn m t s lộ ố ượng tương đ i l n v n b câu này ho c làm sai? Đi u này rõố ớ ẫ ỏ ặ ề ràng trách nhi m đ u tiên là b n thân giáo viên d y, v n ch a nêu b t đệ ầ ở ả ạ ẫ ư ậ ượ cbài toán g c và gi i quy t bài toán g c. Ch a hình thành cho h c sinh t duyố ả ế ố ư ọ ư
gi i t ng lo i bài toán do v y mà h c sinh không đả ừ ạ ậ ọ ược rèn luy n nhi u, d nệ ề ẫ
đ n h c sinh không thích và không làm đế ọ ược bài. Trên đây là m t trong nh ngộ ữ
lí do mà h c sinh còn ch a h ng thú v i bài t p hình không gian.ọ ư ứ ớ ậ
1.3 M T S BI N PHÁP B I DỘ Ố Ệ Ồ ƯỠNG T DUY SÁNG T OƯ Ạ CHO H C SINHỌ
Theo các tác gi Isen và Barron vi c b i dả ệ ồ ưỡng trí sáng t o c n:ạ ầ
1. Phát tri n m t cái n n phong phú r ng rãi.ể ộ ề ộ
2. B i dồ ưỡng tính đ c l pộ ậ
3. Khuy n khích s tò mò ham hi u bi t.ế ự ể ế
Theo tác gi Tr n Thúc Trình, trong cu n “T duy và ho t đ ng toán”ả ầ ố ư ạ ộ
đã nêu ra các bi n pháp sau đ phát tri n năng l c sáng t o cho h c sinh:ệ ể ể ự ạ ọ
1. B i dồ ưỡng t duy sáng t o cho h c sinh k t h p h u c v i cácư ạ ọ ế ợ ữ ơ ớ
ho t đ ng trí tu khác.ạ ộ ệ
2. B i dồ ưỡng t duy sáng t o cho h c sinh đ t tr ng tâm vào vi c b iư ạ ọ ặ ọ ệ ồ
dưỡng năng l c phát hi n v n đ m i.ự ệ ấ ề ớ
3. Chú tr ng b i dọ ồ ưỡng t ng y u t c th c a t duy sáng t o vàừ ế ố ụ ể ủ ư ạ trang b cho h c sinh phị ọ ương ti n, th pháp các ho t đ ng nh n th c.ệ ủ ạ ộ ậ ứ
4. Quá trình b i dồ ưỡng t duy sáng t o là quá trình lâu dài, c n ti nư ạ ầ ế hành qua các bước trong t t c các khâu c a quá trình d y h c.ấ ả ủ ạ ọ
4
Trang 55. V n d ng t i đa ph ng pháp d y h c gi i quy t v n đ qua các gi lênậ ụ ố ươ ạ ọ ả ế ấ ề ờ
l p.ớ
Đ th c hi n đ tài, tôi xây d ng h th ng bài t p m i trên c s hể ự ệ ề ự ệ ố ậ ớ ơ ở ệ
th ng bài t p c b n, phân chia thành h th ng các bài t p dố ậ ơ ả ệ ố ậ ướ ại d ng nh ngữ
v n đ , nh ng lo i bài t p,ấ ề ữ ạ ậ hướng d n các em thói quen s d ng các lo iẫ ử ụ ạ hình t duy nh tư ư ương t , đ c bi t hóa, khái quát hóa, gi i bài toán b ngự ặ ệ ả ằ nhi u cách, ề t o c h i cho h c sinh phát tri n năng l c sáng t oạ ơ ộ ọ ể ự ạ , tích c cự
c a mình.ủ
Ti n hành xen k hế ẽ ướng d n, đ nh hẫ ị ướng h c sinh trong khi ch a bàiọ ữ
t p trên l p cũng nh trong các ti t h c t ch n và b i dậ ớ ư ế ọ ự ọ ỗ ưỡng.
Các bài t p đậ ược đ c p b t ngu n t sách giáo khoa, sách bài t p,ề ậ ắ ồ ừ ậ trong các đ thi Đ i h c, cao đ ng, đề ạ ọ ẳ ượ ực l a ch n theo họ ướng c b n, cóơ ả
nh ng ki n th c đ khai thác, kh c sâu.ữ ế ứ ể ắ
CHƯƠNG II:
KHAI THÁC VÀ XÂY D NG CÁC BÀI T P Ự Ậ HÌNH H C KHÔNGỌ GIAN CÓ TÍNH H TH NG ĐỆ Ố Ể PHÁT TRI NỂ T DUY SÁNG T OƯ Ạ , TÍNH TÍCH C C VÀ NĂNG L C GI I BÀI T PỰ Ự Ả Ậ CHO H C SINHỌ .2.1. RA CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG T :Ự
Tương t là m t trong nh ng thao tác t duy c b n, là quá trình suyự ộ ữ ư ơ ả nghĩ, phát hi n s gi ng nhau gi a hai đ i tệ ự ố ữ ố ượng, đ t nh ng s ki n đãể ừ ữ ự ệ
bi t đ i v i đ i tế ố ớ ố ượng này ta d đoán nh ng s ki n tự ữ ự ệ ương ng đ i v i đ iứ ố ớ ố
tượng kia. Nh v y nh ng đ i tư ậ ữ ố ượng tương t thự ường là đ i tố ượng có tính
ch t gi ng nhau, có vai trò gi ng nhau .ấ ố ố
V n đ tấ ề ương t c a các bài toán có th xem xét dự ủ ể ưới nhi u khía c nhề ạ+ Các bài toán có đường l i gi i gi ng nhau , phố ả ố ương pháp gi ng nhauố+ N i dung c a chúng có nh ng nét gi ng nhau ho c chúng có chungộ ủ ữ ố ặ
gi thi t hay là có cùng k t lu n gi ng nhau .ả ế ế ậ ố
+ Các bài toán đ c p đ n nh ng v n đ gi ng nhau , nh ng đ i tề ậ ế ữ ấ ề ố ữ ố ượ ng
có tính ch t gi ng nhau .ấ ố
T m t s tính ch t gi ng nhau c a 2 đ i từ ộ ố ấ ố ủ ố ượng ta có th d đoán m tể ự ộ
s tính ch t gi ng nhau khác c a chúng. Nh v y khi h c sinh làm vi c v iố ấ ố ủ ư ậ ọ ệ ớ
Trang 6các bài toán tương t , s rèn luy n cho h c sinh kh năng d đoán m t s cácự ẽ ệ ọ ả ự ộ ố tính ch t m i c a toán h c, t o ti n đ cho h c sinh có kh năng t nghiênấ ớ ủ ọ ạ ề ề ọ ả ự
c u khoa h c. T bài toán ban đ u đ n bài toán tứ ọ ừ ầ ế ương t giúp h c sinh xemự ọ xét m t v n đ toán h c dộ ấ ề ọ ưới nh ng góc đ khác nhau, giúp h c sinh bi tữ ộ ọ ế khai thác các k t qu khác nhau t nh ng d ki n không thay đ i, nhi u khiế ả ừ ữ ữ ệ ổ ề bài toán tương t khó h n bài toán ban đ u r t nhi u, có khi ph i đòi h i l iự ơ ầ ấ ề ả ỏ ờ
gi i đ c đáo, sáng t o .ả ộ ạ
Các ví dụ :
*Bài toán 1 : Cho tam giác vuông ABC có c nh huy n BC n m trênạ ề ằ
m t ph ng (P). G i ặ ẳ ọ β γ, là góc h p b i 2 đợ ở ường th ng AB, AC và m tẳ ặ
ph ng (P). G i là góc t o b i 2 m t ph ng (ABC) và (P).ẳ ọ α ạ ở ặ ẳ
Ch ng minh r ng : Sinứ ằ 2α =Sin2β + Sin2γ
Trong bài toán này đi u ph i ch ng minh liên quan đ n đề ả ứ ế ường cao
AI BC và hai c nh góc vuông AB,AC. Đi u ph i ch ng minh có đạ ề ả ứ ược nhờ
h th c lệ ứ ượng trong tam giác vuông là:
= +
* Gi iả
K đẻ ường AH (P) và AI BC thì
=ABH; = ACH; = AIH và vì
∆ABC vuông A có đở ường cao AI nên
= + = +
Sin2α = Sin2β + Sin2γ
*Bài toán 2: (có l i gi i tờ ả ương t bài 1)ự
Cho t di n OABC có tam giác OAB, OBC, OCA đ u là các tamứ ệ ề giác vuông đ nh O; OA = a; OB = b; OC = c ; G i ỉ ọ α, β, γ là góc l n lầ ượt
h p b i các m t (OBC), (OCA), (OAB) v i mp (ABC).ợ ở ặ ớ
Ch ng minh r ng : Cosứ ằ 2α + Cos2β +Cos2γ =1
*Gi iả :
G i H là chân đọ ường vuông góc h t Oạ ừ
xu ng (ABC). D th y H là tr c tâm c a ố ễ ấ ự ủ
tam giác ABC.G i AA', BB',CC' là ọ
đường cao c a tam giác ABCủ
Thì OA'H= ; OB'H= ; OC'H=α β γ
O
B'
A' C'
Trang 7= OH2 [ + + ] (1)
M t khác trong tam giác vuông AOA’ ta có : = + ặ
Mà = + (vì các tam giác có đ nh O vuông )ỉ
V y ậ = ++ (2)
T (1) và (2) ta có: Cosừ 2α + Cos2β +Cos2γ =1
Ta th y: Hai bài toán trên có gi thi t và k t lu n khác nhau, nh ng ấ ả ế ế ậ ư chúng có đ ườ ng l i gi i t ố ả ươ ng t nhau, sau khi gi i đ ự ả ượ c bài toán 1 thì bài toán th 2 cũng đ ứ ượ c gi i quy t d dàng, m c dù quá trình gi i c n ph i qua ả ế ễ ặ ả ầ ả các b ướ c trung gian ph c t p h n. Cái chung mà h c sinh th y hai bài toán ứ ạ ơ ọ ấ ở này là: Các góc ph ng nh di n, các tam giác vuông và có th áp d ng h ẳ ị ệ ể ụ ệ
Ta g i H là hình chi u c a A trên mp (BCD)ọ ế ủ ; K= BH CD
H là tâm vòng tròn ngo i ti p ∆ABCạ ế
CD BK vì AH (BCD)
AH CD CD mp(ABK)
CD AB
Tương t ta có ADự BC; AC BD
*Bài toán 4:(Tương t bài toán 3)ự
Ch ng minh r ng n u m t t di n MNPQ th a mãn đi u ki nứ ằ ế ộ ứ ệ ỏ ề ệ
M
D
E
F H
H B
D A
I
Trang 8QD cũng là đường cao QD NP.
Do MH (NPQ) NP MH
NP (MQD) NP MQ
Đi u nh n th y hai bài toán trên là : Gi thi t khác nhau, nh ng ề ậ ấ ở ả ế ư
ph n k t lu n và ph ầ ế ậ ươ ng pháp gi i gi ng nhau ả ố
+ Khi gi i bài toán th 4 chúng ta ph i đi ch ng minh nh ng d ki n ả ứ ả ứ ữ ữ ệ
mà bài toán 3 đã có s n , do đó bài toán 4 t ẵ ươ ng t nh bài toán 3 nh ng ự ư ư ở
m c đ khó h n ứ ộ ơ
+ Vi c cho h c sinh làm nh ng bài toán này s rèn luy n cho h c sinh ệ ọ ữ ẽ ệ ọ
kh năng t duy linh ho t, h c sinh th y đ ả ư ạ ọ ấ ượ c nhi u con đ ề ườ ng khác nhau đ ể
d n đ n m t k t qu gi ng nhau và h c sinh có th t mình hình thành ẫ ế ộ ế ả ố ọ ể ự
ph ươ ng pháp chung đ gi i m t bài toán ể ả ộ
2.2. RA BÀI TOÁN N CH A KH NĂNG SÁNG T OẨ Ứ Ả Ạ
Đây là d ng bài toán trong đó đi u ph i tìm không đạ ề ả ược nêu lên m tộ cách rõ ràng, c th , tụ ể ường minh, khi h c sinh gi i ph i tìm ho c ch ng minhọ ả ả ặ ứ
t t c các k t qu có th có, ho c ph i đón nh n, phát hi n các k t lu n c nấ ả ế ả ể ặ ả ậ ệ ế ậ ầ
ph i ch ng minh.ả ứ
Bài t p lo i này kích thích óc tò mò, khoa h c , đ t h c sinh trậ ạ ọ ặ ọ ước tình
hu ng có v n đ v i nh ng cái ch a bi t , nh ng cái c n khám phá , làm choố ấ ề ớ ữ ư ế ữ ầ
h c sinh tháy có nhu c u , có h ng thú và quy t tâm huy đ ng ki n th c , kinhọ ầ ứ ế ộ ế ứ nghi m và năng l c t duy sáng t o c a b n thân đ tìm tòi , phát hi n cácệ ự ư ạ ủ ả ể ệ
k t qu còn ti m n trong bài toán.ế ả ề ẩ
Xác đ nh giao đi m c a đị ể ủ ường th ng BF và mp (MED)ẳ
Xét v trí tị ương đ i c a MN và (BCE)ố ủ
bài toán 5: Yêu c u đ t ra là t giác BCEF là hình gì? đi u này bu c
h c sinh ph i có óc phán đoán, suy lu n trên c s , đi u ki n c a đ u bài, sauọ ả ậ ơ ở ề ệ ủ ầ
đó d đoán xem kh năng hình đó là hình gì? Và đi ch ng minh đi u d đoánự ả ứ ề ự
c a mình. Tủ ương t nh v y n u yêu c u ch ng minh MN song song v iự ư ậ ế ầ ứ ớ (BCE) thì quá d , nh ng đ xét v trí tễ ư ể ị ương đ i thì h c sinh l i c n xem xétố ọ ạ ầ
m t trộ ường h p có th x y ra đ i v i MN và (BCE) và ch n ra phợ ể ả ố ớ ọ ương án phù h p, đi u này rèn luy n cho h c sinh r t nhi u trong vi c nhìn nh n m tợ ề ệ ọ ấ ề ệ ậ ộ
v n đ dấ ề ưới nhi u khía c nh, góc đ khác nhau. Đây là m t trong nh ngề ạ ộ ộ ữ
ph m ch t, trí tu mà giáo viên c n quan tâm b i dẩ ấ ệ ầ ồ ưỡng cho h c sinh, đ ọ ể
t o ti n đ cho các ho t đ ng sáng t o ti p theo.ạ ề ề ạ ộ ạ ế
8 M
Trang 9ME//AF cân v i MI=MBớ
Ta có MB= AB – AM = DE – DN=EN MI=EN ; Mà MI // EN tứ giác IENM là hình bình hành MN//IE ; IE (BCE) MN// mp ( BCE )
2 3
2) Vì AC (BDMN) nên MHN là góc
ph ng c a nh di n t o b i các mp (ACM) và (ACN) nên :ẳ ủ ị ệ ạ ở
(ACM) (ACN) MHN = 900 BMH = DHN ∆ BMH ∆ DHN ̴ = xy =
3) Trong tam giác HMN k HKẻ MN. Theo trên AC (BDMN) nên
HK AC . V y HK là đậ ường vuông góc chung c a AC và BN nên H c đ nh.ủ ố ị
A
C D
Trang 10T giác BHKM n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính HM do đó ta có BKH= BMN= 900 – BHM (1). Tương t ta đự ược DKH=DNH= 900 – DHN góc BKD = 1800 – (BHM+ DHN) = 900
đã h c, tìm tòi sáng t o đ xây d ng nên ki n th c m i phù h p v i yêu c u ọ ạ ể ự ế ứ ớ ợ ớ ầ
ki n th c đ t ra. ế ứ ặ
2.3. RA CÁC BÀI TOÁN Đ C BI T HÓA, KHÁI QUÁT HÓA:Ặ Ệ
Trong chương trình ph thông h th ng bài t p thổ ệ ố ậ ường có m c đíchụ
c ng c , rèn luy n các kĩ năng ki n th c cho h c sinh. Giáo viên c n giúp choủ ố ệ ế ứ ọ ầ
h c sinh có ý th c v n d ng khaí quát hóa, đ c bi t và tọ ứ ậ ụ ặ ệ ương t đ xét bàiự ể
t p t ng quát l n, trậ ổ ớ ường h p đ c bi t ho c bài t p tợ ặ ệ ặ ậ ương t c a bài t p đãự ủ ậ góp ph n m r ng, đào sâu h th ng hóa ki n th c và cao h n là sáng t oầ ở ộ ệ ố ế ứ ơ ạ toán h cọ
a) Đ c bi t hóa bài toán ban đ u:ặ ệ ầ
Đ t o ra bài toán m i, giáo viên có th thêm vào bài toán ban đ u m tể ạ ớ ể ầ ộ
s y u t , có th thêm vào gi thi t m t s d ki n ho c thêm vào k t lu nố ế ố ể ả ế ộ ố ữ ệ ặ ế ậ
m t s đi u ph i ch ng minh. Trong nhi u trộ ố ề ả ứ ề ường h p thêm m t s y u tợ ộ ố ế ố vào bài toán ban đ u có th chuy n vi c nghiên c u vào m t t p h p nh h nầ ể ể ệ ứ ộ ậ ợ ỏ ơ
ch a trong t p h p đã cho. Ch ng h n, có th xem hình l p phứ ậ ợ ẳ ạ ể ậ ương là trườ ng
h p đ c bi t c a hình h p ch a nh t, ho c có th xem là trợ ặ ệ ủ ộ ữ ậ ặ ể ường h p đ cợ ặ
bi t c a hình h p. Kh i t di n đ u là trệ ủ ộ ố ứ ệ ề ường h p đ c bi t c a hình chópợ ặ ệ ủ tam giác đ u hay là trề ường h p đ c bi t c a chóp tam giác n u nhìn góc đợ ặ ệ ủ ế ở ộ
y u t b ng nhau gi a các c nh.ế ố ằ ữ ạ
Ví dụ:
*Bài toán 7:
Cho hình h p ABCD.A'B'C'D'. L y m t đ nh b t kì A ch ng h n,ộ ấ ộ ỉ ấ ẳ ạ
ta có ba c nh chung đ nh A, đó là AB, AD, AA'. Ba đ nh B, D, A' làmạ ỉ ỉ thành m t mi n tam giác g i là m t chéo tam giác ng v i đ nh Aộ ề ọ ặ ứ ớ ỉ
Trang 11A
D' B'
c) Đường chéo n i 2 đ nh đ i di n đi qua tr ng tâm c a 2 m tố ỉ ố ệ ọ ủ ặ
chéo tương ng v i hai đ nh đóứ ớ ỉ
* Gi iả :
a) Hai m t chéo tam giác ng v i 2 đ nh A, C' là m t A'BD và m tặ ứ ớ ỉ ặ ặ
CB'D' Ta có BD//B'D' và A'B//B'C V y mp ( A'BD ) // mp ( CB'D' ) nghĩa là haiậ
m t chéo đó n m trên hai m t ph ng song song ặ ằ ặ ẳ
b) O, O' là giao c a hai đủ ường chéo c a haiủ
m t ABCD và A'B'C'D'. G i I = A'Oặ ọ A'C
I = AC' (A'BD) ; J = CO' AC'
J = AC' (CB'D'); vì A'O // CO' và
OA=OC nên AI = IJ
Lí lu n tậ ương t ta có : IJ = JC'.ự
V y hai m t chéo A'BD và CB'D chia đậ ặ ường chéo
n i hai đ nh AC' thành 3 ph n b ng nhau.ố ỉ ầ ằ
c) Ta ch ng minh I là tr ng tâm c a m t chéo A'BD .ứ ọ ủ ặ
Th t v y A'O là m t trung tuy n c a A'BD mà I ậ ậ ộ ế ủ A'O
M t khác xét ∆ A'AC thì ta có I là tr ng tâm c a nó . T đó ta có IO =ặ ọ ủ ừ
A'O . V y I là tr ng tâm c a ∆ A'BD. Tậ ọ ủ ương t ta có J là tr ng tâm ∆ CB'D' .ự ọ
* Bài toán 8:
Cho hình l p phậ ương ABCD.A'B'C'D'
a) Ch ng minh r ng B'D ứ ằ (BA'C'), B'D (ACD')
b) Tính kho ng cách gi a hai m t ph ng ( AB'C') và (ACD')ả ữ ặ ẳ
c) Tính kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng BC và CD' ẳ
* Gi i:ả
a) Xét đường chéo AC' và m t chéo ặ
tam giác tương ng v i nó là: ∆A'BDứ ớ
và ∆CB'D'. Do mp (A'BD) // (CB'D)
(áp d ng bài toán 7)ụ
N u ch c n ch ng minh AC' ế ỉ ầ ứ (AB'D')
Th t v y AC' có hình chi u trên (ABCD) ậ ậ ế
là AC Vì BD AC BD AC'
Tương t BA' ự AC' AC' (A'BD)
b) mp ( A'BC' ) // ( ACD' ) ( áp d ng bài toán 7). Do B'D ụ ( A'BC')
kho ng cách gi a hai mp là HK ( áp d ng k t qu b c a bài toán 7) ả ữ ụ ế ả ủ
B'H = HK = KD = = 3
3
a
c) Kho ng cách gi a BC' và CD'. Do BC' và CD' chéo nhau và BC' vàả ữ
CD' n m trong hai m t ph ng (AB'C') và (ACD') tằ ặ ẳ ương ng , hai m t ph ngứ ặ ẳ
B'
C B
O D
J
O'
C' A
I
Trang 12J C
D
A
I B
A
C
D B
I
J H
này song song. V y kho ng cách gi a BC' và CD' b ng kho ng cách gi a haiậ ả ữ ằ ả ữ
m i ớ
Khi cho h c sinh làm quen v i các bài toán ki u này giúp h c sinh ọ ớ ể ọ
ch ng suy nghĩ r p khuôn , ch ng áp d ng quy t c , thu t toán m t cách máy ố ậ ố ụ ắ ậ ộ móc , giúp kh c ph c tính c a t duy ắ ụ ỳ ủ ư
b) Ra bài toán khái quát hóa :
T m t bài toán ban đ u ta xây d ng bài toán m i nh b b t đi m từ ộ ầ ự ớ ờ ỏ ớ ộ
s y u t c a bài toán cũ, ho c b đi m t s đi u ki n r ng bu c , ho c bố ế ố ủ ặ ỏ ộ ố ề ệ ằ ộ ặ ỏ
đi m t s đòi h i c a k t lu n . Khi đó ta có bài toán m r ng ho c tăng thêmộ ố ỏ ủ ế ậ ở ộ ặ
Cho t di n ABCD đ u, nên các c pứ ệ ề ặ
c nh đ i di n có vai trò nh nhau v y ạ ố ệ ư ậ
ch c n tính kho ng cách gi a AB và ỉ ầ ả ữ
2 2
IJ a a a
* Bài toán 10 :
Tính kho ng cách gi a hai c nh AB và CD c a hình t ả ữ ạ ủ ứ
di n ABCD n u AC= BC = AD = BD = aệ ế ; AB = p ; CD = q.
Trang 13đi u ki n bài toán m r ng h n thì k t qu cũng thay đ i , m c dù các b ề ệ ở ộ ơ ế ả ổ ặ ướ c
gi i c b n v n t ả ơ ả ẫ ươ ng t bài toán 9, nh ng ph n l p lu n đ xác đ nh ự ư ầ ậ ậ ể ị kho ng cách IJ gi a AB và CD c n ph i ch ng minh ch t ch và khó h n bài ả ữ ầ ả ứ ặ ẽ ơ toán 9.
Cho h c sinh th ọ ườ ng xuyên làm quen v i các bài toán này , giúp h c ớ ọ sinh có kh năng nâng cao kh năng bi t xem xét m t v n đ d ả ả ế ộ ấ ề ướ i nhi u khía ề
c nh và đi u ki n , giúp h c sinh có th tìm đ ạ ề ệ ọ ể ượ c nhi u l i gi i khác nhau ề ờ ả
c a m t bài toán ho c có kh năng rèn luy n tính nhu n nhuy n c a t duy ủ ộ ặ ả ệ ầ ễ ủ ư
Đ h c sinh có cách t duy t l i gi i c a m t bài toán ban đ u , h c sinh có ể ọ ư ừ ờ ả ủ ộ ầ ọ
th m r ng hay thu h p các l i gi i đó trong đi u ki n đ u bài thay đ i ể ở ộ ẹ ờ ả ề ệ ầ ổ
2.4. RA CÁC BÀI TOÁN CÓ NHI U L I GI I KHÁC NHAU: Ề Ờ Ả
Đó là nh ng bài toán có nh ng đ i tữ ữ ố ượng, nh ng quan h có th xemữ ệ ể xét dưới nhi u khía c nh khác nhau.ề ạ
Cho h c sinh làm quen v i các bài toán đó s giúp h c sinh rèn luy nọ ớ ẽ ọ ệ
kh năng chuy n t ho t đ ng trí tu này sang ho t đ ng trí tu khác, rènả ể ừ ạ ộ ệ ạ ộ ệ luy n kh năng nhìn m t đ i tệ ả ộ ố ượng toán h c dọ ưới nhi u khía c nh khác nhauề ạ
đ c bi t giúp các em bặ ệ ước đ u, rèn luy n t duy m m d o, nhu n nhuy n vàầ ệ ư ề ẻ ầ ễ
đ c đáo thông qua vi c tìm độ ệ ượ ờc l i gi i, nhi u cách gi i trong đó có nh ngả ề ả ữ cách gi i l , đ c s c, nh t là thông qua vi c s thêm đả ạ ặ ắ ấ ệ ẽ ường ph t o ra sụ ạ ự
đ c đáo trong m i l i gi i và đây chính là n n móng c a s sáng t o trongộ ỗ ờ ả ề ủ ự ạ
ho t đ ng khoa h c.ạ ộ ọ
* Bài toán 11 :
Cho t di n SABC có SA, SB, SC vuông góc v i nhau t ng đôiứ ệ ớ ừ
m t và SA=a; SB=b; SC=c. Tính bán kính m t c u ngo i ti p t di n ộ ặ ầ ạ ế ứ ệ
* Gi iả :
* Cách 1: G i Oọ 1 là trung đi m c a AB thì Oể ủ 1 là tâm đường tròn ngo iạ
ti p ∆ SAB. K Oế ẻ 1x // SC và t I là trung đi m c a SC ta k Iừ ể ủ ẻ y // SO1 .
G i O là giao đi m c a Oọ ể ủ 1x
Iy là tâm m t c u ngo i ti p SABC.ặ ầ ạ ế
G i R là bán kính m t c u y thì :ọ ặ ầ ấ S B
Trang 141 + O1O2 = + = (SA2 + SB2 + SC2 )
hay R= a2 b2 c2
* Cách 2:
T 3 c nh SA, SB, SC d ng m t hình h p ch nh t nh n SA, SB, SC làừ ạ ự ộ ộ ữ ậ ậ
3 c nh xu t phát t đ nh S.ạ ấ ừ ỉ
Khi y tâm c a hình h p ch nh t chính là ấ ủ ộ ữ ậ
tâm c a m t c u ph i tìm và bán kính m t c u b ng ủ ặ ầ ả ặ ầ ằ
n a đử ường chéo c a hình h p ch nh t đó ủ ộ ữ ậ
đường chéo là d = a2 b2 c2
V y R= ậ d = a2 b2 c2
* Bài toán 12 :
Cho t di n v i các c p c nh đ i di n b ng ứ ệ ớ ặ ạ ố ệ ằ
nhau t ng đôi m t và b ng a, b, c. Tính th tích t di n ừ ộ ằ ể ứ ệ
(là 2 trung tuy n tế ương ng c a 2 ∆ OAB = ∆ CBA)ứ ủ
Nên ∆ ECD cân đ nh Eỉ ; EF CD
Tương tự : FE AB và EF là đường vuông góc chung
c a AB, CD còn IJ, KL cũng là đủ ường vuông góc chung c a AC và BDủ ; AD
và BC. Các t giácEKFL, IKJL, EIFJ đ u là hình thoi v i c nh l n lứ ề ớ ạ ầ ượt là ; ;
A
B L C
F
D K
A
F I
J G
BP
DA
R
bax
zc
y
