Phát triển tư duy cho học sinh lớp 12 qua các bài toán ứng dụng tỉ số thể tích trong hình học không gian

Đề tài này góp phần trang bị đầy đủ kiến thức về hình học không gian đồng thời phát triển tư duy cho học sinh : tư duy sáng tạo, tư duy phân tích, tổng hợp, tư duy trừ tượng, và thói quen đặt câu hỏi ngược khi giải quyết một vấn đề, nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc cạnh từ đó tìm phương án nhanh gọn để giải quyết hiệu quả nhất. Những yếu tố trên cũng rất cần thiết trên con đường thành công của mỗi học sinh trong tương lai.

S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O THANH HÓA Ở Ụ Ạ

TRƯỜNG THPT QU NG XẢ ƯƠNG 1

2

M C L C Ụ Ụ

     M c l c ụ ụ trang 11­  M  đ uở ầ trang 22­ N i dung.  ………  ộ trang 3

2.1 ­ C  s  lý lu n ……… ơ ở ậ trang 32.2 ­ Th c tr ng c a v n đ ……… ự ạ ủ ấ ề trang 52.3­ Các bi n pháp đã ti n hành đ  gi i quy t v n đ … ệ ế ể ả ế ấ ề trang 52.4 ­ Hi u qu  c a sáng ki n kinh nghi m……… ệ ả ủ ế ệ trang 17    3­ K t lu n, ki n ngh ……… ế ậ ế ị trang 17       Tai liêu tham khao……… ̀ ̣ ̉ trang 19

1–M  Đ UỞ Ầ

   1.1 Lý do ch n đ  tàiọ ề

Trong chương trình môn Toán b c THPT hi n nay ph n hình h c khôngậ ệ ầ ọ  gian là ph n ki n th c khó đ i v i nhi u h c sinh.H n n a trong c u trúc đầ ế ứ ố ớ ề ọ ơ ữ ấ ề thi trung h c ph  thông qu c gia câu hình h c không gian trong là b t bu cọ ổ ố ọ ắ ộ  trong đó thường có m t ý tính th  tích kh i đa di n và kho ng cách. Đ  làmộ ể ố ệ ả ể  các bài toán hình không gian đòi h i h c sinh ph i n m v ng ki n th c cỏ ọ ả ắ ữ ế ứ ơ 

b n, v n d ng t ng h p ki n th c c a hình không gian và hình h c ph ngả ậ ụ ổ ợ ế ứ ủ ọ ẳ  

k t, h p thao tác c  th  đ  d ng hình, tính toán. Có nhi u bài toán ch  c nế ợ ụ ể ể ự ề ỉ ầ  

v n d ng đúng các bậ ụ ước theo lý thuy t là ta có th  đi đ n k t qu , nh ng cóế ể ế ế ả ư  nhi u bài toán đ  d ng đề ể ự ược hình theo lý thuy t r t khó khăn và khi d ngế ấ ự  

đượ ồc r i thì tính toán quá ph c t p. Khi đó bu c h c sinh ph i tìm con đứ ạ ộ ọ ả ườ  ngkhác đ  gi i quy t.C  th  là v n đ  tính th  tích kh i đa di n, tính kho ngể ả ế ụ ể ấ ề ể ố ệ ả  cách trong m t s  bài toán h c sinh t  ra r t lúng túng trong vi c xác đ nhộ ố ọ ỏ ấ ệ ị  

đường cao c a đa di n ho c di n tích đáy ho c xác đ nh hình chi u m t đi mủ ệ ặ ệ ặ ị ế ộ ể  lên m t m t ph ng. H c sinh bu c ph i tính th  tích ho c xác đ nh kho ngộ ặ ẳ ọ ộ ả ể ặ ị ả  cách thông qua th  tích c a m t kh i đa di n khác có th  tính th  tích m tể ủ ộ ố ệ ể ể ộ  cách d  dàng. Qua các bài t p này h c sinh t  hình thành cho mình các t  duyễ ậ ọ ự ư  toán h c, thói quen đào sâu suy nghĩ, luôn tìm tòi, phát hi n ra các cách m iọ ệ ớ  

m  đ  gi i quy t m t công vi c. Lâu nay trong quá trình d y tôi cũng nh  cácẻ ể ả ế ộ ệ ạ ư  

đ ng nghi p khác có d y h c sinh các bài toán lo i này nh ng ch  d y xen kồ ệ ạ ọ ạ ư ỉ ạ ẽ 

và không chú tr ng đ n nên h c sinh cũng không quan tâm nhi u đ n hi uọ ế ọ ề ế ệ  

qu  c a nó.Trả ủ ước tình hình đó cùng v i quá trình gi ng d y và nghiên c u, tôiớ ả ạ ứ  

đã th  gi i các bài toán tính th  tích kh i đa di n b ng phử ả ể ố ệ ằ ương pháp t  s  thỉ ố ể tích th y có hi u qu  và cho đấ ệ ả ượ ờc l i gi i ng n g n r t nhi u; h n n a h cả ắ ọ ấ ề ơ ữ ọ  sinh ch  c n nh ng ki n th c c  b n v  hình h c không gian   l p 11 là cóỉ ầ ữ ế ứ ơ ả ề ọ ở ớ  

th  làm để ượ V i suy nghĩ nh m giúp các em tìm tòi, phát hi n và t o h ngc.  ớ ằ ệ ạ ứ  thú trong quá trình h c b  môn Toán và h n n a là góp ph n nâng cao ch tọ ộ ơ ữ ầ ấ  

lượng gi ng d y, trang b  đ y đ  ki n th c v  hình h c không gian, tôi vi tả ạ ị ầ ủ ế ứ ề ọ ế  

đ  tài sáng ki n kinh nghi m: ề ế ệ “Phát tri n t  duy cho h c sinh l p 12 qua ể ư ọ ớ   các bài toán  ng d ng t  s  th  tích trong hình h c không gian” ứ ụ ỉ ố ể ọ  

   1.2.M c đích nghiên c u :ụ ứ  

      Đ  tài này góp ph n trang b  đ y đ  ki n th c v  hình h c không gianề ầ ị ầ ủ ế ứ ề ọ  

đ ng th i phát tri n t  duy cho h c sinh : t  duy sáng t o, t  duy phân tích,ồ ờ ể ư ọ ư ạ ư  

t ng h p, t  duy tr  tổ ợ ư ừ ượng, và thói quen đ t câu h i ngặ ỏ ược khi gi i quy tả ế  

m t v n đ , nhìn nh n v n đ  dộ ấ ề ậ ấ ề ưới nhi u góc c nh t  đó tìm phề ạ ừ ương án nhanh g n đ  gi i quy t hi u qu  nh t. Nh ng y u t  trên cũng r t c n thi tọ ể ả ế ệ ả ấ ữ ế ố ấ ầ ế  trên con đường thành công c a m i h c sinh trong tủ ỗ ọ ương lai. 

1.3

   . Đ i t  ố ượng nghiên c u: ứ  

C' H'

    Đ  tài đ c áp d ng trong ph n tính th  tích kh i đa di n  và kho ng cáchề ượ ụ ầ ể ố ệ ả  trong chương trình hình h c l p 12, h c sinh ôn thi THPT Qu c gia. ọ ớ ọ ố

 1.4. Phương pháp nghiên c u:ứ  

    Trên c  s  lý thuy t c  b n trong sách giáo khoa, tr c các bài toán tính thơ ở ế ơ ả ướ ể tích kh i đa di n và kho ng cách trong hình h c không gian tôi hố ệ ả ọ ướng d n h cẫ ọ  sinh t  đ t câu h i cho m i bài toán có th  tính theo cách làm thông thự ặ ỏ ỗ ể ườ  ngkhông, n u làm đế ược thì cách gi i quy t có quá khăn không.T  đó h c sinh tả ế ừ ọ ự tìm con đường khác đ  gi i quy t bài toán trên c  s  các y u t  có th  gi iể ả ế ơ ở ế ố ể ả  quy t đ n gi n.Thông qua h  th ng câu h i mang tính ch t g i m  v n đ  vàế ơ ả ệ ố ỏ ấ ợ ở ấ ề  

đ n cách gi i quy t h c, sinh có th  t  tìm cách làm bài toán trên nh ng ki nế ả ế ọ ể ự ữ ế  

th c c  b n đã đứ ơ ả ược trang b  Đ  h c sinh ti p c n v n đ  tôi chia các d ngị ể ọ ế ậ ấ ề ạ  bài  thành 4 d ng, h  th ng ví d  t  d  đ n khó, trạ ệ ố ụ ừ ễ ế ước khi gi i m i ví d  cóả ỗ ụ  câu   h i   g i   m   phân   tích   đ   hỏ ợ ở ể ướng   h c   sinh   t i   suy   nghĩ   tìm   các   gi iọ ớ ả  quy t.Sau các ví d  có l i gi i là các bài t p tham kh o đ  h c sinh t  luy nế ụ ờ ả ậ ả ể ọ ự ệ  

' '.

' (1')

     1, Ta có th  ch ng minh công th c (1’) b ng công th c tính th  tích :ể ứ ứ ằ ứ ể

   G i H, Họ ’ l n lầ ượt là hình chi u vuông góc c a hình chi u vuông góc c aế ủ ế ủ  

c a S và Aủ 1  lên mp(ABC). Khi đó A,H,H’  th ng hàng và  ẳ SH // H A1 1. Do đó 

    2,  Công th c (1) ch  dùng cho hình chóp tam giác.Các kh i chóp khác mu nứ ỉ ố ố  

s  d ng công th c này thì ph i phân chia thành các kh i chóp tam giác.ử ụ ứ ả ố

'

n n

A A A A

S A A A

Ch ng minh (2’) theo 2 cách tứ ương t  nh  trên (b ng phự ư ằ ương pháp quy 

n p theo n; ta chia kh i chóp S.Aạ ố 1A2…An thành các kh i chóp tam giác r i ápố ồ  

d ng công th c (2) ho c s  d ng cách xác đ nh đụ ứ ặ ử ụ ị ường cao và công th c tínhứ  

th  tích hìnhchóp ).ể

Bài toán 3 (

   Phân chia kh i đa di n SGK Hình h c c  b n l p 12):  ố ệ ọ ơ ả ớ      

Cho hình lăng tr  tam giác ABC.Aụ ’B’C’.Tính t  s  th  tích c a kh i chópỉ ố ể ủ ố  

A’.ABC và kh i chóp Aố ’.BCC’B’ v i th  tích kh i lăng tr  ABC.Aớ ể ố ụ ’B’C’

Gi i  ả : Gi  s  đ ng cao c a kh i lăng tr  là h.ả ử ườ ủ ố ụ

 *Theo công th c tình th  tích ta có : ứ ể

h S V

h S

V ABC B C ABC A ABC ABC.

' '

.

.

C B ABC

ABC A

V

V

*Ta có 

' ' '

' '

' ' '

2 2

B A'

* M t s  công th c c n s  d ng:ộ ố ứ ầ ử ụ

 ­Công th c h  th c l ng trong tam giác vuông,công th c xác đ nh ứ ệ ứ ượ ứ ị

đường cao,công th c hình chi u.ứ ế

­Công th c xác đ nh đứ ị ường cao c a hình chóp thông qua công th c th  ủ ứ ểtích: 

ABC

ABC S

S

V ABC

S

)) (

,

(

2.2. Th c tr ng v n đ  trự ạ ấ ề ước khi áp  ng sáng ki n kinh nghi mụ ế ệ

       Trường THPT Qu ng Xả ương 1 là m t ngôi trộ ường dày truy n th ng d yề ố ạ  

và h c.Nhi u năm qua trọ ề ường luôn d n đ u trong thành tích h c sinh gi i vàẫ ầ ọ ỏ  

x p t p đ u trong k  thi Đ i h c –Cao đ ng trong t nh. Dế ố ầ ỳ ạ ọ ẳ ỉ ướ ựi s  lãnh đ o c aạ ủ  Ban giám hi u, đ i ngũ giáo viên luôn trăn tr  tìm tòi, đ i m i phệ ộ ở ổ ớ ương pháp 

gi ng d y nh m nâng cao ch t lả ạ ằ ấ ượng giáo d c toàn di n cho h c sinh . Nhàụ ệ ọ  

trương không ch  chú tr ng truy n th  tri th c mà còn phát tri n t  duy choỉ ọ ề ụ ứ ể ư  

h c sinh thông qua các bài h c, làm hành trang v ng ch c cho các em bọ ọ ữ ắ ướ  cvào tương lai.Tuy nhiên trong các môn h c thì  hình h c không gian v n làọ ọ ẫ  môn h c khó đ i v i đ i đa s  h c sinh đ c bi t là h c sinh trung bình vàọ ố ớ ạ ố ọ ặ ệ ọ  

y u.Khi gi i các bài toán v  hình h c không gian,n u ti n hành theo các bế ả ề ọ ế ế ướ  c

c  b n không đơ ả ược thì tâm lý h c sinh thọ ường n n và b  qua.  Theo s  li uả ỏ ố ệ  

th ng kê trố ước khi d y đ  tài này   ba l p tôi tr c ti p gi ng d y năm h cạ ề ở ớ ự ế ả ạ ọ  2015­2016 : 12T4,12T5,12C3 trường THPT Qu ng Xả ương 1, k t qu  nhế ả ư sau: 

Năm h cọ L pớ Sĩ số S  h c sinh gi i đố ọ ả ược trtàiước khi th c hi n đự ệ ề 2015­2016

       Đ ng trứ ước th c tr ng tên tôi nghĩ nên hự ạ ướng cho các em t i m t cáchớ ộ  

gi i quy t khác trên c  s  ki n th c trong SGK. Song song v i vi c cung c pả ế ơ ở ế ứ ớ ệ ấ  tri th c tôi chú tr ng rèn rũa k  năng gi i toán,phát tri n t  duy cho h c sinhứ ọ ỹ ả ể ư ọ  

đ  trên c  s  này h c sinh không ch  h c t t ph n này mà còn làm n n t ngể ơ ở ọ ỉ ọ ố ầ ề ả  cho các ph n ki n th c khác.ầ ế ứ

   2.3.Các bi n pháp ti n hành gi i quy t v n đệ ế ả ế ấ ề

Đ  tính th  tích c a m t kh i đa di n b t kì chúng ta chia kh i đa di nể ể ủ ộ ố ệ ấ ố ệ  

đó thành các kh i đa di n đã bi t công th c tính ( Kh i lăng tr  ố ệ ế ứ ố ụ V =B h. , Kh iố  

3

V = B h, Kh i h p ch  nh t ố ộ ữ ậ V abc= , …) r i c ng các k t qu  l i.ồ ộ ế ả ạ

8

Tuy nhiên trong nhi u trề ường h p, vi c tính th  tính c a các kh i lăngợ ệ ể ủ ố  

tr  và kh i chóp theo công th c trên l i g p khó khăn do không xác đ nh đụ ố ứ ạ ặ ị ượ  c

đường cao hay di n tích đáy, h c sinh t  đ t câu h i các đ nh trong hình đaệ ọ ự ặ ỏ ỉ  

di n c n tính có xác đ nh đệ ầ ị ược không (tính theo t  l  đ  dài so v i các c nh đãỉ ệ ộ ớ ạ  

bi t) do đó có th  chuy n vi c tính th  tích các kh i này v  vi c tính th  tíchế ể ể ệ ể ố ề ệ ể  

c a các kh i đã bi t thông qua t  s  th  tích c a hai kh i.ủ ố ế ỉ ố ể ủ ố

Sau đây ta s  xét m t s  d ng toán  ng d ng t  s  th  tích, m i d ng tôiẽ ộ ố ạ ứ ụ ỉ ố ể ỗ ạ  

đ a ra m t s  bài toán c  b n và ví d  minh ho , trên c  s  lý thuy t đã cóư ộ ố ơ ả ụ ạ ơ ở ế  

hướng d n h c sinh t  đ t câu h i và l a ch n cách gi i đúng và ng n g nẫ ọ ự ặ ỏ ự ọ ả ắ ọ  

nh t.ấ

D NG 1Ạ :  TÍNH T  S  TH  TÍCH C A CÁC KH I ĐA DI NỈ Ố Ể Ủ Ố Ệ

*M c đích c a d ng này giúp h c sinh tìm đ ụ ủ ạ ọ ượ ỉ ệ ể c t  l  th  tích c a kh i đa ủ ố  

di n c n tính v i th  tích c a kh i đa di n đã bi t th  tích ệ ầ ớ ể ủ ố ệ ế ể

       Ví d  1: ụ   Cho hình chóp S.ABC có  SA (ABC), SA a, đáy ABC  là tam giác vuông t i B và ạ AB a;BC 2a. G i H là hình chi u vuông góc c a A lênọ ế ủ  

SC, M là trung đi m c a SB. Tính t  s  th  tích hai kh i chóp S.AMH vàể ủ ỉ ố ể ố  S.ABC

 *  Câu h i g i m : ỏ ợ ở Theo gi  thi t có th  tính đ ả ế ể ượ ỉ ố c t  s  

SC

      Tam giác SAC vuông t i S nên ta cóạ  

6 6

a

a SC

SA SH SA

1 2

1

SM SA

SA V

O '

C ' I

D' B'

*Câu h i g i m :  ỏ ợ ở

­Phân chia kh i chóp t  giác th  nào đ  có th  áp d ng bài toán t  l  c ố ứ ế ể ể ụ ỉ ệ ơ  

SC SC a AC SA

5

4

SB SB a

AB SA

SD AD a

AD SA

4 5

4

SB SA

SA V

V

ABC S

C AB

2 1

4 2

1

SD SA

SA V

D AC S

V V

V y ậ

45

13 45

8 9

1

.

' ' '

ABCD S

D C AB S

G i O là giao đi m c a AC và BD và I là giao đi m c a SO và B’D’. Khiọ ể ủ ể ủ  

*Câu h i g i m :  ỏ ợ ở

­V  trí đi m I có gì đ c bi t.Có th  xác đ nh v  trí c a nó so v i các đi m ị ể ặ ệ ể ị ị ủ ớ ể  

­T  di n A ứ ệ ’ ABI đ a v  hình chóp tam giác v i đ nh nào cho phù h p? ư ề ớ ỉ ợ

­M i quan h  gi a m t đáy v i các m t c a hình lăng tr ?Thi t l p m i ố ệ ữ ặ ớ ặ ủ ụ ế ậ ố   quan h  v i th  tích c a t  di n v i th  tích c a các kh i chóp có th  tính ệ ớ ể ủ ứ ệ ớ ể ủ ố ể   theo t  l  trong các bài c  b n ỉ ệ ơ ả

Gi i :  ả

   Vì  BB'// CC'nên 

3

2 2

1

' '

' '

B C

IB BB

M C IB

I C

 Ta có 

' ' '

' '

' '

' '

1 3

2 3

2 3

2

C B ABC C

B B BB

A C BB

A I ÂB

C'

B A'

* Bài t p tham kh o ậ ả :

tr c tâm H và c nh b ng a. G i I, J, K l n lự ạ ằ ọ ầ ượt là trung đi m các c nh AB,ể ạ  

BC, CA và M, N, P l n lầ ượt là trung đi m các đo n SI, SJ, SK. Tính t  s  thể ạ ỉ ố ể tích c a hai kh i chóp H.MNP và S.ABC. T   đó tính th  tích kh i chópủ ố ừ ể ố  H.MNP

ĐS:  .

.

1 32

2a và DA vuông góc v i đáy. G i M, N l n lớ ọ ầ ượt là hình chi u vuông góc c aế ủ  

A lên các đường th ng DB và DC. Tính th  tích kh i chóp A.BCNM theo aẳ ể ố

*Câu h i g i m : ỏ ợ ở   D a vào gi  thi t ta có th  tính di n tích hình chóp ự ả ế ể ệ   D.AMN không?    

Ví d  2: ụ  Cho hình chóp S.ABCD có,  SA (ABCD), SA 2 a ; đáy ABCD là hình thoi c nh a, ạ BAD 120 0.G i I là trung đi m c a SC.M t ph ng đi qua AIọ ể ủ ặ ẳ  

và song song v i BD c t SB, SC, SD l n lớ ắ ầ ượ ạt t i M,N,P.  Tính th  tích hìnhể  chóp S.MNPI

*Câu h i g i m :ỏ ợ ở

th  xác đ nh đ ể ị ượ ỉ ệ c t  l  chia các đo n th ng đó.V y ta có th  gi  quy t bài ạ ẳ ậ ể ả ế   toán này theo cách dùng t  l  đ  đ n gi n bài toán ỉ ệ ể ơ ả

SM

Khi đó V SAMNI V S.AMI V SANI   

M

N I

E

F D

SM V

V

.

.

.

6

1 3

1 2

1 3

2

ABCD S ANI

S ADC

SN

V

V

.

.

.

6

1 3

1 2

1 3

2

V y ậ V SAMNI V S.ABCD

3

1  M t khác ặ

3

3 2 120 sin 2 2 3

1

3

0

a a

a a S

a

V S AMNI

a, AD =a 2 SA vuông góc v i đáy. G i M, N l n lớ ọ ầ ượt là trung đi m c a ADể ủ  

và SC, g i I là giao đi m c a BM và AC. Tính th  tích kh i t  di n ANIMọ ể ủ ể ố ứ ệ  theo a. 

  *Câu h i g i m  : ỏ ợ ở

 ­Ch n đ nh phù h p đ  xác đ nh đ ng cao c a t   di n ANIM (Ch n đ nh ọ ỉ ợ ể ị ườ ủ ứ ệ ọ ỉ   N)

)) (

, ( 2

1 ))

(

,

d

đ ượ c theo t  l  đ  dài c a tam giác ABM mà  ỉ ệ ộ ủ S ABM S ABCD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, c nh bên SAạ ạ  

= a, hình chi u vuông góc c a đ nh S trên m t ph ng (ABCD) là đi m Hế ủ ỉ ặ ẳ ể  thu c đo n th ng AC sao cho AH = ộ ạ ẳ

4

AC

. G i CM là đọ ường cao c a tam giácủ  SAC. Ch ng minh r ng M là trung đi m c a SA và tính th  tích kh i t  di nứ ằ ể ủ ể ố ứ ệ  SMBC theo a

*Câu h i g i m : ỏ ợ ở  

  ­D a vào gi  thi t ta có th  tính di n tích hình chóp S.MBC không ? ự ả ế ể ệ

đ ườ ng   vuông   góc   c a   S   lên   (MBC)   và   tính   di n   tích   tam   giác  MBC  khó ủ ệ  

s n y u t   vuông góc ẵ ế ố

­Vì v y nên dùng t  s  th  tích đ  tính th  tích kh i chóp S.MBC thông qua th ậ ỉ ố ể ể ể ố ể  tích kh i chóp S.ABCD đ  có cách gi i đ n gi n h n nhi u.     ố ể ả ơ ả ơ ề

Gi i ả :

T  gi  thi t ta tính đừ ả ế ược 

4

2 3

; 4

Ví d  4 ụ :  Cho hình lăng tr  đ ngụ ứ ABC.A'B'C'có góc gi a đữ ường th ng ẳ A'C 

và m t ph ng ặ ẳ (ABC)b ng 60ằ 0, AB a ; AC 2 avà BAC 120 0.  G i M là trungọ  

đi m c a  ể ủ CC',I là giao đi m c a  ể ủ B'M   và  BC'.Tính   th  tích c a t  di nể ủ ứ ệ  

A’ABI. 

*Câu h i g i m : ỏ ợ ở  T  di n   ứ ệ A ’ ABI có xác đ nh tr c ti p đ ị ụ ế ườ ng cao và di n tíc ệ   đáy không?

­Câu tr  l i là r t khó khăn đ c bi t là trong hình lăng tr   ả ờ ấ ặ ệ ụ

­Quan sát   và tìm xem v  trí đi m I có gì đ c bi t.Có th  xác đ nh v  trí ị ể ặ ệ ể ị ị  

c a nó so v i các đi m đã bi t không? ủ ớ ể ế

­T  di n A ứ ệ ’ ABI đ a v  hình chóp tam giác v i đ nh nào cho phù h p? ư ề ớ ỉ ợ

­M i quan h  gi a m t đáy v i các m t c a hình lăng tr ?Thi t l p m i ố ệ ữ ặ ớ ặ ủ ụ ế ậ ố   quan h  v i th  tích c a t  di n v i th  tích c a các kh i chóp có th  tính ệ ớ ể ủ ứ ệ ớ ể ủ ố ể   theo t  l  trong các bài c  b n ỉ ệ ơ ả

Gi i: ả

    Hình chi u c a Aế ủ ’ lên m t ph ng (ABC) là A nênặ ẳ

 (A'C, (ABC) (A'C,AC) A'CA 60 0.Do đó

3 2 60 tan

2

1 3 2

2 9

2 9

3

.

' ' '

A C

vuông góc v i đáy và SA = 2a. G i B’, D’ l n lớ ọ ầ ượt là hình chi u vuông gócế  

c a A lên SB và SD. Mp(AB’D’) c t SC t i C’. Tính th  tích kh i chópủ ắ ạ ể ố  S.AB’C’D’ theo a

Bài 3: Cho hình chóp t  giác đ u S.ABCD có t t c  các c nh đ u b ng.ứ ề ấ ả ạ ề ằ  

G i M, P l n lọ ầ ượt là trung đi m c a SA và SC, mp(DMP) c t SB t i N. Tínhể ủ ắ ạ  theo a th  tích kh i chóp S.DMNPể ố

Cho hình lăng tr  tam giác đ u ABC.A’B’C’ có AB = a, góc gi a hai m tụ ề ữ ặ  

ph ng (A’BC) và (ABC) b ng 60ẳ ằ 0. G i G là tr ng tâm tam giác A’BC. Tínhọ ọ  

th  tích kh i lăng tr  đã cho và bán kính m t c u ngo i ti p t  di n GABCể ố ụ ặ ầ ạ ế ứ ệ  theo a

đ  dài độ ường cao c a kh i đa di n. Sau đây ta s  xét m t s  ví d  minh ho ,ủ ố ệ ẽ ộ ố ụ ạ  

trước m i bài toán h c sinh t  đ t câu h i:” ỗ ọ ự ặ ỏ V i đi u ki n c a bài toán thì ớ ề ệ ủ  

vi c d ng chân đ ệ ự ườ ng vuông góc c a đi m đã cho xu ng m t ph ng có th c ủ ể ố ặ ẳ ự   hiên đ ượ c không?N u khó khăn ho  c qua ph c t p thì có th  dùng công th c ế ặ ứ ạ ể ứ  

ng ượ c thông qua t  s  th  th  tích không?Xác đ nh kh i chóp c n tính th ỉ ố ể ể ị ố ầ ể   tích.”

Ví d  1 ụ : 

16