Chương này cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.
Trang 1Nội dung ôn tập
-I) Giới hạn và liên tục: Cách tìm giới hạn hàm, liên tục hàm số
II) Đạo hàm và vi phân: đạo hàm và vi phân của hàm y = f(x),
hàm tham số, hàm ẩn Công thức Taylor, Maclaurint
Ứng dụng đạo hàm: các bài toán liên quan, khảo sát vẽ
III) Tích phân: 1) Tích phân bất định, tích phân xác định
Tích phân suy rộng loại một và hai: tính tphân, khảo sát hội tụ
IV) phương trình vi phân:
1) Phương trình vi phân cấp 1: chỉ có 4 loại đã học: Tách biến, tuyếntính, đẳng cấp, Bernoulli
3) Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng: Phươngpháp khử, phương pháp trị riêng, véctơ riêng (trường hợp chéo được)2) Phương trình vi phân cấp hai HỆ SỐ HẰNG
Ứng dụng hình học của tích phân: có 4 ứng dụng đã học
Trang 2Chú ý: Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng
Các em có thể giải theo cách Thầy trình bày trong bài giảng
Tuy nhiên đối với hệ thuần nhất, thì cách trình bày trong bài giảngdài dòng Với hệ thuần nhất các em giải theo cách trình bày trongnhiều sách (Vdụ: Sách Thầy Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương)
Với hệ không thuần nhất, giải theo cách trình bày trong bài giảng có
vẻ dễ hiểu hơn Tuy nhiên các em có thể giải theo cách trong sách
CHÚC MỪNG NĂM MỚI!
С НОВЫМ ГОДОМ!
HAPPY NEW YEAR!
Đáp án các đề mẫu còn lại, Thầy sẽ cố gắng đưa lên mạng Khônghứa trước!!!!
Trang 3cosh lim
Trang 4Câu 6 Giải phương trình vi phân y ' y x y
Câu 5 Tìm thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi
Trang 6Tiệm cận xiên.
2
2
lim ( ) lim ( )
( ) 4
t
y t a
là tiệm cận xiên.
2
( ) 3 lim
( ) 20
t
y t a
Trang 8Câu 5 y1 x arctan , x y2 x arctan x
Trang 9Câu 7 Phương trình đặc trưng: k2 3 k 2 0 k1 1 k2 2
Nghiệm của phương trình thuần nhất: y0 C e1 x C e2 2x
Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: yr yr1 yr2
Nghiệm riêng của y'' 3 y' 2 y 3 x là
Trang 11Đề mẫu cuối kỳ 2
-Câu 1 Tính
2 0
x
3 22
ln
1 arctan
Trang 12Câu 6 Giải phương trình vi phân y ' x y 1 x y 1
Câu 5 Tìm diện tích bề mặt tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi
Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút
Câu 8 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử
Trang 13Giải đề mẫu cuối kỳ 2
x
f x a
Trang 14( 1)
4 ( 1)
d t I
x
f x
x x
Nếu 2 / 3 1 1/ 3 , thì tích phân hội tụ với mọi
Nếu 2 / 3 1 1/ 3 , thì tích phân phân kỳ với mọi
Nếu 2 / 3 1 1/ 3 , thì tích phân hội tụ khi 1
Trang 15Câu 5 x a t ( sin ), t y a (1 cos ), 0 t t 2
Trang 16Câu 6 ' 1
1
x y y
Câu 7 Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: y0 C e1 2t C te2 2t
Dùng nguyên lý cộng dồn nghiệm tìm nghiệm riêng: yr yr1 yr2
Nghiệm riêng của y'' 4 y' 4 y e2x : 1 1 2 2
2
x r
Trang 17Nghiệm riêng của y'' 4 y' 4 y cos x :
Trang 18Thay vào (4) ta được x t1( )
Thay vào đầu của hệ ta được x t2( )
Đạo hàm hai vế pt thứ 3: ' '' ' '
1
8 9 3
Trang 19Đề mẫu cuối kỳ 3
-Câu 1 Tính
2 0
4 9
2
Trang 20Câu 6 Giải phương trình 2 ydx ( y2 6 ) x dy 0, y (1) 1.
Câu 7 Giải phương trình vi phân cấp 2
4 4 sin cos 2
y y y x x
Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thời gian: 90phút
Câu 8 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng
Trang 212 1
t t
Trang 22Câu 6 Giải phương trình y' y cos x esin x.
Câu 7 Giải phương trình vi phân cấp 2
''
cos
y y x
Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày gọn gàng), thời gian: 90phút
Câu 8 Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp trị riêng
Trang 233 1
Trang 24Câu 6 Giải phương trình y' y cos x esin x.
Câu 7 Giải phương trình vi phân cấp 2
Trang 252 0
arcsin 1
Trang 26Câu 6 Giải phương trình ( x 2 y 3) dx (2 x y 3) dy 0
Câu 7 Giải phương trình vi phân cấp 2
Trang 27Đề mẫu cuối kỳ 7
-Câu 3 Tính tích phân
4 1
1 (1 ) 1
x dx I
Trang 28Câu 6 Giải pt y' cos( x 2 ) y cos( x 2 ), (0) y y / 4
Câu 7 Giải phương trình vi phân cấp 2
Trang 30Câu 6 Giải phương trình y' y tan x y2 cos x 0
Câu 7 Giải phương trình vi phân cấp 2
Trang 31Câu 4 Tính tất cả để tích phân sau hội tụ.
Câu 1 Khảo sát điểm gián đoạn của hàm arcsin
sin 2
x y
x
Trang 32Câu 6 Giải phương trình (x y 1)dx (2x 2 y 1)dy.
Câu 7 Giải phương trình vi phân cấp 2
Trang 33Đề mẫu cuối kỳ 10
-1 arctan
Câu 4 Tính tất cả để tích phân sau hội tụ
Câu 1 Tìm tất cả , để hàm sau là một vô cùng bé khi x 0
Trang 34Câu 6 Giải phương trình '