Bài giảng Giải tích 1: Chương 3.1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Chương này cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 1

Chương 3: Tích phân (tt)

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

I Tích phân xác địnhBài toán

Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:

, trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b.( )

y  f x

Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S1, S2, …, Sn.

Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, …, Sn bằng các hình chữ nhật

Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần.

Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần.

n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác

Trên mỗi miền S1, S2, …, Sn lấy tùy ý một điểm

thuộc cách chia S và cách lấy điểm x i*, thì I gọi là

tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và

Ví dụ

Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:

, trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1

2

y  x

Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái

Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải

8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn

 

9 ( ) leû ( ) 0

a a

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx  F x  F b  F a



Công thức Newton - Leibnitz

Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)

Công thức Đạo hàm theo cận trên

Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)

' ( )

Hai phương pháp tính tích phân xác định

Đổi biến

Nếu f(x) liên tục trên (a,b), ( ),t '( )t xác định và liên tục

trong khoảng t t1, 2  , ngoài ra  t ( , )t t1 2 a  ( )t  b

Hai phương pháp tính tích phân xác định

Ví dụ Tích phân nào lớn hơn

Ví dụ Tính giới hạn của dãy

n

n

k

k f

0

1lim

n n

x S

Chia [0,1] ra thành n phần bằng nhau, có độ dài 1/n.

Trên mỗi đoạn con k 1, k chọn điểm

1

1lim

n

n

k

k f

dx x





Ví dụ Tính

2

0 0

coslim

x

x

t dt I

0

' 0

coslim

Ví dụ Tính

sin

0 tan 0

0

tanlim

sin

x

x x

tdt I

sin

x

tdt I

tan(sin ) coslim

'

(arctan )lim

1

x

x

t dt I

I Tính các tích phân sau

3 7





4

2 7

2)

9

dx x





ln 3 0

3)

1

x

dx e





1

cos(ln )4)

x



1 1

3 2ln

4  7

2 1 ln

cos 27)

cos8)

7 cos 2

x

dx x







6 / 2

0

sin10)

-1 18





10 ln

9

2 12



4



/ 4

6 0





/ 4

3 0

ln(1 )17)

(1 )

x dx x



0

25)

d

t dt dx

4) cos

x x

