Bài giảng Giải tích 1: Chương 3 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân cung cấp cho người học các kiến thức: Tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng của tích phân. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Khoa học tự nhiên dùng làm tài liệu học tập và tham khảo.

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 1

Chương 3: Tích phân

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Hàm số y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm

hàm y  f x( ) trong [a,b], nếu y = F(x) liên tục, có đạo

tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và F x'( )  f x( )

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f(x) được gọi làtích phân bất định của hàm y = f(x), ký hiệu

Phương pháp đổi biến

Ví dụ Tính

sin

dx I

x

 

sin

dx I

x

sinsin

xdx x

2 cos 1

x

C x

Phương pháp tích phân từng phần.

Giả sử hai hàm u  u x v( ),  v x( ) liên tục trên đoạn [a,b]

và khả vi trong khoảng (a,b)

Nếu tồn tại  v u dx ' , thì tồn tại u v dx ' Ngoài ra:

Tích phân của hàm hữu tỷ

( )( )

n m

1 Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng

2 (Đại số) Mẫu là đa thức với hệ số thực, phân tích ra

Tích phân của hàm hữu tỷ.

4 Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số

5 Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau

Tích phân của hàm hữu tỷ.

Tích phân của hàm hữu tỷ.

Ví dụ Tính

3( 2)

dx I

d x I

d x x

x

C x

Để tìm A, nhân hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào

Để tìm B, nhân hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào

Thay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4.

Để tìm các hệ số A, B, C, … nhanh, có thể sử dụng khaitriển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử,giảng viên Đặng Văn Vinh

Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii

Tích phân của hàm vô tỷ

Ví dụ Tính

4

dx I

Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler

t x

2

1 1

  

2 2

Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Trêbưsev

Đặt x  t N, với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n

Đặt ax n  b t s , với s là mẫu của p

Ví dụ Tính

2 3 3 5

( 2)

dx I

t

dt t

Z n

Tích phân của hàm lượng giác

dt dx

Trong nhiều trường hợp, cách giải trên rất cồng kềnh

Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v

Ví dụ Tính

3sin 4cos 5

dx I

dt dx





Tích phân của hàm lượng giác

2) Rsin , cosx  x  Rsin ,cosx x đặt t  sin ,x x 0, 

3) Rsin , cosx  x  Rsin ,cosx x đặt tan , ,

2 2

t x x    

4) sin p x cosq x dx đặt t  sin x hoặc t  cos x

Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: coshx, sinhx

Ví dụ Tính

(2sin 3cos )sin cos 9cos

dx dt

x x

(cos ) (cos )cos 1 cos

Tích phân của hàm lượng giác

Phân tích: 2sin x  3cos x  A(sin x  4cos )x  B(sin x  4cos )x '

2sin x  3cos x  (A  4 )sinB x  (4A  B) cos x

A B

Tích phân của hàm lượng giác

2sin x  cos x   3 A(3sin x  4cos x  5)  B(3sin x  4cos x  5)  C

2sin x  cos x   3 (3A  4 )sinB x  (4A  3 ) cosB x  (5A C )

A B C

Tích phân của hàm Hyperbolic

Trong nhiều trường hợp, đặt t = sinhx, t = coshx, t = tanhx.

Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v