Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 6 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 6: Ước lượng tham số cung cấp cho người học các kiến thức: Ước lượng, thống kê mẫu và ước lượng điểm, ước lượng điểm, ước lượng khoảng, ước lượng phương sai,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 1

ƯỚC LƯỢNG

THAM SỐ

1

CHƯƠNG 6

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019

ƯỚC LƯỢNG

• Ước lượng điểm

• Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai

• Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch hai tỷ lệ

• Ước lượng tỷ số hai phương sai

2

Ước lượng

• Tổng thể có tham sốchưa biết

• Ta muốn xác định tham số này

• Lấy một mẫu ngẫu nhiên cỡ n

• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của

tham sốcủa tổng thể

• Ước lượng điểm: dùng một giá trị

• Ước lượng khoảng: dùng một khoảng

3

Thống kê mẫu và Ước lượng điểm

• Định nghĩa Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn)

của tổng thể Một hàm của các biến ngẫu nhiên

X1, X2, , X nđược gọi là thống kê mẫu (statistic)

• Định nghĩa Một thống kê mẫu T(X1, X2, , X n) được

sử dụng để ước lượng cho tham số được gọi là một ước lượng điểm của

6.1 Ước lượng điểm

• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số

chưa biết của tổng thể

• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào

đó của mẫu ngẫu nhiên

• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng

được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho

tham số

• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu

quả, vững …

Ước lượng không chệch (ƯLKC)

• Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng không chệch của tham sốnếu:

• Nếu E(T)thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số

• Độ chệch của ước lượng:

E(T)  

E(T)  

Trang 2

Ví dụ 1

• Theo lý thuyết mẫu ta có:

7

 

   

 

*2 2

2

1

E X

E S

n

E S

n

E S

E F p











2

la ULKC cua

la ULKC cua , la ULKC cua

la UL chech cua

X

S S

S





Ước lượng KC tốt hơn

• Cho X, Y là hai ULKC của tham số

• Có nghĩa là:

• Nếu:

• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số

nhiều hơn)

8

Ví dụ 1.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn)

a) CMR: các thống kê sau:

đều là các ước lượng không chệch của 

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt

hơn

9

1 2

2

  



 ;  ;  n

n

X X

n

Ước lượng hiệu quả

• Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả của tham sốnếu:

• T là ULKC của 

• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.

• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá

10

BĐT Cramer-Rao

• Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc công thức tính

xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn

một số điều kiện nhất định

• Cho T là một ƯLKC của θ Ta luôn có:

• Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ

11

 

  2

1

ln ,

V T

f X nE



Ví dụ 2.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì vọngvà phương sai2 Xét 2 thống kê:

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của 

b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn

12

1



Trang 3

Ví dụ 3

Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2) CMR: 𝑋 là ước

lượng hiệu quả nhất của tham số μ

Giải.

Dễ thấy, 𝑋 là ước lượng không chệch và:

Hàm ppxs của tổng thể:

13

Var X

n





2 2

2

1

2

x







Ví dụ 3

• Ta có:

• Và:

14

 

2

2 2





ln

x

2

X



Ví dụ 3

• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:

• Vậy thống kê 𝑋 là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất

trong các ước lượng không chệch của tham số μ

của tổng thể

15

 

2

1

ln ,

n

f X nE





Các ULHQ

• Ta chứng minh được:

16

X la ULHQ cua

S S la ULHQ cua

F la ULHQ cua p





Ước lượng hợp lý tối đa

• Sinh viên tự tham khảo tài liệu

6.2 Ước lượng khoảng

Giả sử tổng thể có tham sốchưa biết Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho:

P(a < <b)=(1 -) khá lớn

Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số

với độ tin cậy (1 -)

Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn

Dạng khoảng tin cậy:

• (𝑎; 𝑏) : khoảng tin cậy hai phía

• (−∞; 𝑏) : khoảng tin cậy bên trái (tối đa)

• (𝑎: +∞) : khoảng tin cậy bên phải (tối thiểu)

Trang 4

Ước lượng khoảng

• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.

• (1 -  ): độ tin cậy của ước lượng.

• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.

• ε : độ chính xác (sai số).

• Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 -  ) là bao nhiêu thì phù

hợp.

• a, b là 2 thống kê mẫu

19

Nguyên tắc ULK

• Với mẫu đã chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định

và chứa tham số cần ước lượng

• Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α1; α2sao cho:

• Tìm các giá trị tới hạn mức (1- α1) và α2

• Ta có:

• Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số cần tìm

20

1 2

P T   T T   

6.2.1 Ước lượng trung bình

• Tổng thể có phân phối chuẩn

• Ước lượng điểm không chệch: 𝑋

• Độ tin cậy: 1 − 𝛼

• Phân phối thống kê mẫu:

• Chú ý: t(n) hội tụ về N(0;1) khi n>30

21

S



Khoảng tin cậy cho phân phối chuẩn

• Ta có:

• Từ đó:

0

/ 2

 / 2

 1 

/2

z

/2

z



P  z   Z z   







    

Khoảng tin cậy cho phân phối Student

• Ta có:

• Từ đó:

0

/ 2

 / 2

 1 

1;

2



 

t n

        

P t n Z t n

 



     

        

     

1;

2



  

t n

Khoảng tin cậy

• Khoảng tin cậy hai phía_ biết σ

• Khoảng tin cậy hai phía_ chưa biết σ

• Chú ý:

24

2

n

2



 

S

n

/ 2



Trang 5

Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

• Khi ước lượng hai phía, sai số hay độ chính xác:

• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:

25

2

1;

2

S



2 2

/ 2

z

n  



 

 

 

2 2

2

1;

2 1

S t n n





    



    

 

6.2.2 Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán

• Sinh viên tự tính toán

• Xét riêng các trường hợp

6.2.2 Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán

• Trường hợp mẫu cặp

• Paired t-Interval

6.2.3 Ước lượng phương sai

• Tổng thể có phân phối chuẩn

• Ước lượng điểm không chệch: S*2hay S2

• Độ tin cậy: 1 − 𝛼

• Phân phối thống kê mẫu:

• Chú ý: 𝜒2(n) hội tụ về N(n;2n) khi n>30

28

*2

1

nS



Khoảng tin cậy

• Khoảng tin cậy hai phía – biết µ

• Khoảng tin cậy hai phía – chưa biết µ

*2 *2

;

     

  2   2

; 1; 1;1

       

6.2.4 Ước lượng tỷ số hai phương sai

Trang 6

6.2.5 Ước lượng xác suất p

• Bài toán hai phía Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về

tính chất A nào đó)

• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30)

• Tìm (a,b) sao cho:

31

  1

P a   p b   

 

 1  ~   0;1







Ước lượng hai phía cho p

• B1 Với độ tin cậy (1-α), ta chọn α1; α2

32

 

0

/ 2

 / 2

 1

/ 2

z

/ 2

z



• B2 KƯL của thống kê Z

P  z   Z z   

• B3 KƯL của tham số p sau khi biến đổi và xấp xỉ

P F      Z F    

𝑣ớ𝑖 𝜀 = 𝑧 𝛼 2

𝐹 1 − 𝐹 𝑛

Khoảng tin cậy cho p

• Hai phía:

33

F;F  

2

1

z n



Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu

• Khi ước lượng hai phía, độ dài khoảng ước lượng:

• Sai số (độ chính xác của ước lượng):

• Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:

34

2

1

2 2z F F

n



  2 2 2

1

F F z n





  

 

2

4

z n





 

 

 

 

 

2 1

z n



6.2.6 Ước lượng hiệu hai xác suất

Bài 1

• Trong kho hàng xí nghiệp A có rất nhiều sản phẩm

Lấy nn 100 sp cân lên ta thấy

a) Các sp từ 1050 gr trở lên là sp loại 1 Ước lượng trọng lượng trung bình của các sp loại 1 với độ tin cậy 98% (giả sử trọng lượng sp có pp chuẩn)

36

Xi (gr) 800-850 850-900 900-950 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150

Trang 7

Bài 1

b) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sp loại 1 với độ tin cậy

98% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao

nhiêu sản phẩm nữa

c) Giả sử trong kho để nhầm 1000sp của xí nghiệp B và

trong 100 sp lấy ra có 9 sp của xí nghiệp B Hãy ước

lượng số sp của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy

82%

37

Bài 2

• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là bnn có pp chuẩn Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95%

trong 2 trường hợp:

a) Biết kỳ vọng là 20?

b) Không biết kỳ vọng?

38

X 19,5 20 20,5

ni 5 18 2

Bài 3

• Năng suất lúa một vùng (tạ/ha) là bnn có phân phối

chuẩn Thu hoạch ngẫu nhiên 100 ha ta có số liệu sau:

• Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng với độ tin

cậy 95%

• Tìm khoảng tin cậy với hệ số tin cậy 95% cho phương

sai của năng suất

39

1

i



Bài 4

• Lấy ngẫu nhiên 15 bao bột do một máy đóng bao sản xuất ta có:

• Giả thiết trọng lượng các bao bột là bnn có phân phối chuẩn Hãy ước lượng trọng lượng trung bình

với độ tin cậy 95%

40

2

Bài 5

• Một lô hàng có 5000 sản phẩm Chọn ngẫu nhiên 400

sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A

a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với

độ tin cậy 96%?

b) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng

đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì

phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

Bài 6

• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt

2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ Sau đó người

ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu

Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao nhiêu con?

Trang 8

Bài 7

• Một tổ chức nghiên cứu tiếp thị được thuê để ước

lượng số trung bình lãi suất cho vay cơ bản của các

ngân hàng đặt tại vùng phía tây của Hoa Kỳ

• Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 50 ngân hàng được

chọn trong nội bộ vùng này, và lãi suất cơ bản được

ghi nhận cho từng ngân hàng

• Trung bình và độ lệch chuẩn cho 50 lãi suất cơ bản

là x = 1.8 % và s = 0.24

• A) Hãy ước lượng số trung bình lãi suất cơ bản cho

toàn khu vực, và tìm biên sai số đi cùng với ước

lượng đó

• B) Tìm một khoảng tin cậy 90% cho số trung bình tỷ

lệ cho vay cơ bản

Bài 8

• Một sự gia tăng tỷ lệ tiết kiệm của người tiêu dùng thường được gắn chặt với sự thiếu tin tưởng vào nền kinh tế và được cho là một chỉ báo về một xu hướng suy thoái trong nền kinh tế

• Chọn mẫu ngẫu nhiên n = 200 tài khoản tiết kiệm tại một cộng đồng địa phương cho thấy một sự gia tăng trung bình trong tài khoản tiết kiệm là 7.2%

trong vòng 12 tháng qua và một độ lệch chuẩn là 5.65

• Ước lượng sự gia tăng tỷ lệ phần trăm trung bình trong các giá trị tài khoản tiết kiệm trong 12 tháng qua đối với những người gởi tiền trong cộng đồng này Hãy tính biên sai số ước lượng

Bài tập

• 4.2 – 4.13

• 4.15; 4.19; 4.20

45

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	1,36 MB