Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, hàm khối xác suất đồng thời, phân phối lề, sự độc lập, kỳ vọng có điều kiện (hồi quy),... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trang 1

Chương 4

1

Biến ngẫu nhiên hai chiều

rời rạc

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Yêu cầu

• Phân phối xác suất đồng thời

• Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời)

• Phân phối xác suất điều kiện

• Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên

• Các tham số đặc trưng

2

Khái niệm

• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu

nhiên

• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc

• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục

• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất

phức tạp nên ta không xét trường hợp này

3

Ví dụ 1

• Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm Nếu kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X và chiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y)

• Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3 chiều (vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)

• Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thể tích V của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều (W,V)

4

Hàm khối xác suất đồng thời

• Joint probability mass function (p.m.f.)

• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc Gọi S là tập

hợp giá trị của X và Y

• Ký hiệu: pX,Y(x,y)

X Y

p x y P Xx Yy

 

,





X Y

x y S

Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

x 1 p 11 p 12 … p 1j … p 1m p 1●

x2 p 21 p 22 … p 2j … p 2m p 2●

xi p i1 p i2 … p ij … p im p i●

x n p n1 p n2 … p nj … p nm p n●

Y

X

Trang 2

Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

• Trong đó:

7

,

1 1

ij





Phân phối lề

• Marginal Probability Mass Function

• Phân phối lề của X:

• Phân phối lề của Y:

8

y

p x p x y P X x x S

x

p y p x y P Y y y S

Sự độc lập

Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi là độc lập nếu:

• Dấu hiệu:

• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.

• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.

9

  ,        ,   1 ,   2

P X x Y y P X x P Y y x S y S

Ví dụ 2

Cho hàm khối xác suất đồng thời như sau:

Trong đó:

a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời

b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập?

10

, ,

13



X Y

xy

p x y

     

1,1 , 1, 2 , 2, 2



S

The Trinomial Distribution

• Sinh viên đọc thêm

Ví dụ 3

15 0,12 0,42 0,06

16 0,08 0,28 0,04

X: chiều dài (mm) Y:

chiều rộng (mm)

• Tìm xác suất một chiếc CD có chiều dài 130mm biết chiều rộng là 15mm

• Tìm phân phối xác suất của X với điều kiện Y =15

Trang 3

Ppxs có điều kiện

• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng

thời và các hàm khối xác suất thành phần:

• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:

• PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:

13

  ,    ,

| X Y

X

Y

p x y

p y



  ,    ,

|  X Y Y

X

p x y

p y x

p x

Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)

• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=y (còn gọi là hồi quy của X theo Y khi Y=y)

• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=x (còn gọi là hồi quy của Y theo X khi X=x)

14

 |   Y x|  Y x|

y

 |   X y|  X y|

x

Phương sai có điều kiện

• Phương sai của X với điều kiện Y=y

• Tương tự cho Y

15

     

2

| 2

|





X y

X y x

y

V X Y y x p x

Ví dụ 4

15 0,12 0,42 0,06

16 0,08 0,28 0,04

16

X: chiều dài (mm) Y:

chiều rộng (mm)

• Tìm E(Y|X=129) và V(Y|X=129)

Ví dụ 5

• Chọn ngẫu nhiên 2 cục pin, không hoàn lại, từ 12

cục pin, trong đó bao gồm 3 cục mới, 4 cục đã sử

dụng và 5 cục bị hỏng

• Gọi X là số pin mới được chọn

• Gọi Y là số pin đã sử dụng được chọn

• Lập bảng ppxs đồng thời của (X,Y)

• Tìm E(X), E(Y)

Ví dụ 6

• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác suất:

• Tìm luật ppxs của các biến X và Y

X Y

Trang 4

Ví dụ 7

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên

(X,Y) cho bởi bảng sau:

• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)

• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y)

19

X Y

Ví dụ 8

• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:

• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2 Tính E(X|Y=2)?

• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8 Tính E(Y|X=8)?

20

X Y

Ví dụ 9

• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y

(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng

thời như sau:

21

500 (400-600)

700 (600-800)

900 (800-1000)

X

Y

Ví dụ 9

• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?

22

Ví dụ 10

• Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai

ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %)

có ppxs đồng thời như sau:

• A) Lập bảng phân phối biên của X, Y Tính lãi trung bình

của từng ngân hàng

- 1 0,10 0,05 0

4 0,15 0,20 0,05

8 0,05 0,05 0,35

X

Y

Ví dụ 10

• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X?

• C) X và Y có độc lập nhau không

• D) Lập bảng ppxs của T=X+Y Tìm E(T), V(T)

- 1 0,10 0,05 0

4 0,15 0,20 0,05

8 0,05 0,05 0,35

X

Y

Trang 5

Kỳ vọng của hàm theo X,Y

• Cho X,Y có phân phối đã biết Đặt Z=h(X,Y) là biến

mới

• Ta có:

25

 

E h X Y h x y P X x Yy

 

E h X Y h x y p x y

Ví dụ 11

• Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng thời như sau:

• Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2

26

X

Y

Ví dụ 12

• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:

27

       

 

1 2 0, 2 1, 75

Hiệp phương sai (Covariance)

• Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sai lệch của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng

28

cov X Y ,  E XY   X Y

Tính chất Covariance 1

   



Ví dụ 13

- 1 0,10 0,05 0

4 0,15 0,20 0,05

8 0,05 0,05 0,35

X

Y

Trang 6

Tính chất Covariance 2

31

 

       

     

2 2

2

8)

9) co

v

, ,

v

Nếu X và Y độc lập thì

ngược lại không chắc đúng

X Y

V X Y V X

V aX bY a V X b V Y ab X Y

X Y

V X V Y

Y





















Hệ số tương quan

• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu Corr(X,Y) và định nghĩa bởi cơng thức:

• Hệ số tương quan cịn ký hiệu là:

32

 ,  cov , 

 



X Y,  ;r X Y, 



Tính chất

33

 

,

, ,

,

)

1 1

với mọi X, Y

Nếu X và Y độc lập thì

nếu ab>0 nếu ab<0 khi và chỉ khi:

nếu a>0 nếu a<0

X Y

aX c bY d

X Y

i

ii

iii

iv Y aX b a



  





 





 

 nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Ý nghĩa

• Hệ số tương quan đo mức độphụ thuộc tuyến tínhgiữa X và Y

• Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng chặt

• Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng yếu

• Khi ρX,Y= 0 ta nĩi X và Y khơng tương quan

34

Về dấu của Corr(X,Y)

• https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/113/

• Tại sao ρX,Ycĩ thể đo mức độ tương quan tuyến tính?

• Tại sao ρX,Ycàng gần 1; -1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng

mạnh

Ví dụ 14

Cho bảng ppxs đồng thời:

a) Tìm hệ Corr(X,Y) b) X và Y cĩ phải là hai biến ngẫu nhiên độc lập

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	1 MB