Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 1 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố vầ xác suất cung cấp cho người học các kiến thức: Phép thử và biến cố, quan hệ các biến cố, xác suất của biến cố. Bài giảng cũng cung cấp nhiều ví dụ minh họa để người học có thể củng cố kiến thức.

Trang 1

CHƯƠNG 1

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 1

nguyenvantien0405.wordpress.com

1.1 Phép thử và biến cố

• Phép thử

• Biến cố (kết quả, kết cục)

• Không gian mẫu

• Ký hiệu: Ω

• Phân loại biến cố

Biến cố ngẫu nhiên

• Biến cố sơ cấpwi

• Biến cố (ngẫu nhiên)

• Ký hiệu: A, B, C, A1, A2…

• Biến cố ngẫu nhiên chứa một vài biến cố sơ cấp

nào đó

3 Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019

Biểu diễn

• Không gian mẫu:chứa tất cả các kết quả của phép thử

• Biến cố: tập con của không gian mẫu, chứa một vài kết quả của phép thử



B A

 A và B là các biến cố trong không gian mẫu Ω

 B chứa nhiều kết quả hơn A

 Các kết quả nằm trong A đều nằm trong B

1.2 Quan hệ các biến cố

• Kéo theo

• Tương đương

• Tổng (Hợp)

• Đối lập

• Tích (Giao)

• Xung khắc

• Hiệu

Quan hệ kéo theo

• Định nghĩa Biến cố A được gọi làkéo theobiến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra

• Ký hiệu: AB,

• Ta nói A là biến cố thuận lợi cho B

• Biểu diễn:



B A

Trang 2

Ví dụ 1

• Theo dõi 3 bệnh nhân đang được điều trị

• Gọi Ai: có i bệnh nhân khỏi bệnh (i=0,1,2,3)

• B: có nhiều hơn 1 bệnh nhân khỏi bệnh

• Xét quan hệ kéo theo giữa các cặp biến cố sau:

• A2 và B

• A3 và B

• A1 và B

Quan hệ tương đương

• Định nghĩa Biến cố Atương đươngvới biến cố B nếu

A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại

• Kí hiệu: A=B

• Ví dụ 2 Mua ngẫu nhiên 5 bóng đèn

• A: ít nhất 3 bóng hỏng

• B: nhiều nhất 2 bóng tốt

• A và B có tương đương?





   



Biến cố tổng

• Định nghĩa Biến cố C được gọi là tổng (union)

của hai biến cố A và B nếu C chỉ xảy ra khi có ít

nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra

• Kí hiệu C=A∪B hayC=A+B

• Biến cố C xảy ra khi AhoặcB xuất hiện trong

phép thử

Ví dụ 3

• Mua ngẫu nhiên 2 bóng đèn

• A: biến cố bóng 1 hỏng

• B: biến cố bóng 2 hỏng

• Hãy mô tả biến cố A+B?

Biến cố đối lập

• Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu 𝐴 là biến cố

xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

• Ta có: Ω𝐴 = Ω\ Ω𝐴

A

A A

Ví dụ 4

• Khi gieo một con xúc sắc

• Gọi A: bc số chấm chẵn thì 𝐴 là bc số chấm lẻ

1, 2,3, 4,5,6

2, 4,6 1,3,5 \

 

Trang 3

Biến cố tích

• Định nghĩa Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A

và B nến C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và

B cùng đồng thời xảy ra

• Ký hiệu C=A.B

Ví dụ 5

Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2

Cho các biến cố sau

• A: sinh viên đậu Toán Cao cấp

• B: sinh viên đậu Nguyên lý 2 a) A.B là biến cố nào?

b) Biểu diễn các biến cố sau theo A, B

i C: Sinh viên không đậu cả hai môn

ii D: Sinh viên chỉ đậu môn Toán Cao cấp

Quan hệ xung khắc

• Định nghĩa Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc

với nhau nếu A và B không thể đồng thời xảy ra

trong một phép thử

• Ngược lại thì hai biến cố gọi là không xung khắc

• Nếu hai biến cố A, B xung khắc thì:

  0

AB

P AB

 



Xung khắc từng đôi

• Định nghĩa Các biến cố A1, A2,…,An gọi làxung khắc từng đôinếu bất kỳ hai biến cố nào trong n biến cố này cũng xung khắc với nhau

• Ví dụ 6 Tổ có 3 sinh viên, hãy chỉ ra nhóm các

biến cố xung khắc từng đôi trong số các biến cố sau

• A3: tất cả là nam A4: có ít nhất 1 nam

• A5: có cả nam và nữ

Biến cố hiệu

• Định nghĩa Biến cố xuất hiện biến cố A nhưng

không xuất hiện biến cố B gọi là biến cố hiệu của A

và B, ký hiệu A\B

• Ta có:

• Nghĩa là:A B \  A B .

B A



Ví dụ 7

• Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2

• A: sinh viên đậu Toán Cao cấp

• B: sinh viên đậu Nguyên lý 2

• Mô tả các biến cố:

• A\B; A+B

• B\A; A + B; A + B ; A B

• Nhận xét gì về: A + B và A B

Trang 4

Tính chất

 

)

        

  



ii A B B A A B B A

iii A B C AB AC

iv A B C A B A C

vii A B C A B C A B C A B C

Ví dụ 8

• Có 3 xạ thủ bắn vào mục tiêu

• A, B, C là bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng Biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C và các phép toán (các quan hệ)

a) Có đúng một xạ thủ bắn trúng b) Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng

Ví dụ 9

a) Xác định biến cố X từ đẳng thức sau:

b) Cho 4 sản phẩm Gọi A là bc cả 4 sp đều tốt B

là bc có ít nhất 1 phế phẩm Cho biết ý nghĩa

các bc sau:

X   A X A B

, , , ,

A B A B AB AB

AB A B A B A B A B



1.3 Xác suất của biến cố

• Khái niệm

• Các định nghĩa

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 22

Khái niệm

• Xác suất của một biến cố là một con số đặc

trưng cho khả năng xuất hiệncủa biến cố trong

phép thử

• Kí hiệu xác suất:P(A)

• Tính chất:

 

Định nghĩa cổ điển

• Xác suất xuất hiện biến cố A làtỷ số giữa số biến

cố thuận lợi cho A và tổng số các biến cốđồng khả năngcó thể xảy ra

𝑃 𝐴 =n(A) n(Ω)=

Số biến cố thuận lợi cho A

Số biến cố có thể xảy ra

Trang 5

Ví dụ 10

Cơ quan cĩ 50 người, trong đĩ cĩ 25 người học về

đại học về kinh tế, 20 người học về kỹ thuật, 10

người học cả hai, cịn lại khơng ai học đại học

Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên 1 người thì người đĩ:

a) Chỉ học ĐH đúng 1 ngành

b) Học ĐH ít nhất 1 ngành

c) Học 2 ngành nếu người đĩ cĩ học đại học

QUI TẮC ĐẾM

• Quy tắc cộng

• Quy tắc nhân

• Tổ hợp chập k của n phần tử

• Chỉnh hợp chập k của n phần tử

• Hốn vị của n phần tử

Ví dụ 11

• Một khách hàng chọn mua một hộp gồm 12 sản

phẩm Ơng ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm của

hộp để kiểm tra, nếu khơng cĩ phế phẩm thì sẽ

mua hộp sản phẩm đĩ

• Tính xác suất người đĩ mua hộp sản phẩm biết

rằng trong hộp cĩ 4 phế phẩm

Ví dụ 12

Một nhĩm gồm n người Tìm xác suất để trong nhĩm cĩ ít nhất 2 người cĩ cùng ngày sinh (cùng ngày và tháng)

Định nghĩa hình học

• Nếu phép thử cĩ khơng gian mẫu được biểu

diễn bởi miền hình họcvà biến cố A được biểu

diễn bởi miền hình học A:

 Độ đo miền Độ đo miền A    

s A

P A

s

Ví dụ 13

• https://brilliant.org/wiki/1-dimensional-geometric-probability/

• Your bus is coming at a random time between 12 pm and 1 pm If you show up at 12:30 pm, how likely are you to catch the bus?

Trang 6

Ví dụ 14

• Both the bus and you get to the bus stop at random times

between 12 pm and 1 pm When the bus arrives, it waits for 5

minutes before leaving When you arrive, you wait for 20

minutes before leaving if the bus doesn't come What is the

probability that you catch the bus?

Ví dụ 15

• Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm nào

đó từ 19h đến 20h Mỗi người đến (chắc chắn

sẽ đến) điểm hẹn độc lập nhau, chờ khoảng 20 phút; nếu không thấy người kia đến sẽ bỏ đi

Tìm xác suất để 2 người gặp nhau

Ví dụ 16

• Ta có: x, y là thời điểm đến của

mỗi người

• A: bc hai người gặp nhau Như

vậy:

• Biểu diễn:

1 3

x y

 

, :19 20;19 20

1 , :19 20;19 20;

3

x y x y

A x y x y x y

9

P A 

Định nghĩa thống kê

• Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ

số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

  n A  

f A

n



Định nghĩa thống kê

• Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là

một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó

trong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó

khi số phép thử tăng lên vô hạn

  lim  

n

n A

P A

n





   

pP A f A

Ví dụ 17

• Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng xu cân đối, đồng chất

• Tần suất dần tới 0.5

•

https://seeing-theory.brown.edu/basic-Người tung

Số lần tung

Số lần sấp

Tần suất

Trang 7

Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm):

Nếu một biến cố có xác suất rất gần 0 thì thực tế

có thể xem rằng trong một phép thử biến cố đó

sẽ không xảy ra

• Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác

suất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cố

đó sẽ xảy ra trong một phép thử

Ví dụ 18

• Lớp có 50 sinh viên Giáo viên gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên thì cả 2 sinh viên đều không làm bài tập

• Hãy ước lượng số sinh viên không làm bài trong lớp? (sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ)

1.4 Các công thức tính xác suất

• Xác suất điều kiện

• Công thức nhân

• Công thức cộng

• Công thức Bernoulli

• Công thức xác suất đầy đủ

• Công thức Bayes

Xác suất điều kiện

• Định nghĩa Xác suất của biến cố A được tính với điều

kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của

A hay xác suất của A trong điều kiện B

• Kí hiệu: P(A|B)

Tính độc lập

• Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với

nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này

không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và

ngược lại

• Nếu hai biến cố A, B độc lập thì:

P

B

A B

B

A B

Độc lập từng đôi và độc lập toàn phần

• Các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập từng đôi (pairwise independence)nếu mỗi cặp hai biến cố trong n biến cố đó độc lập với nhau

• Các biến cố A1, A2,…,Angọi làđộc lập toàn phần (mutual independence)nếu mỗi biến cố độc lập với mọi tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

Trang 8

Công thức nhân xác suất

• Hai biến cố bất kỳ

• Hai biến cố độc lập

P A B P A P B A P B P A B

     

P AB P A P B

Công thức nhân mở rộng

• Các biến cố bất kỳ

• Các biến cố độc lậptoàn phần

 1 2 n  1  2 1  n 1 2 n1

P A A A P A P A A P A A A A

 1 2 n      1 2 n

P A A A P A P A P A

Công thức xác suất điều kiện

• Công thức:

P A B neu P B

P B

Ví dụ 19

• Xác suất một chuyến bay khởi hành đúng giờ là 0,83

• Xác suất chuyến bay đến đúng giờ là 0,82

• Xác suất một chuyến bay vừa khởi hành đúng giờ vừa đến đúng giờ là 0,78

• a) XS chuyến bay đến đúng giờ biết nó đã khởi hành đúng giờ

• b) Khởi hành đúng giờ biết nó đến không đúng giờ

• Hai biến cố bất kỳ

• Hai biến cố xung khắc

       

     

Trang 9

Ví dụ 20

Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1;

trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn

8 điểm là 0,45 Tìm xác suất để xạ thủ được ít nhất

9 điểm

Ví dụ 21

• Sinh viên A sắp tốt nghiệp Sau khi tham gia hội chợ việc làm tại trường, được 2 công ty phỏng vấn anh ta đánh giá như sau:

• Xs anh ta được công ty A chọn là 0,8

• Xs anh ta được công ty B chọn là 0,6

• Xs anh ta được cả 2 công ty chọn là 0,5

• Tính xác suất anh ta được chọn bởi ít nhất 1 công ty?

Công thức cộng mở rộng

• Các biến cố xung khắc từng đôi

• Các biến cố tùy ý

 1 2  n  1   2    n

 1 2  n  ???

Công thức cộng mở rộng

• Cho 3 biến cố:

• Cho n biến cố:

 

1 2 3 1 2 3

P A

P A A A P A

A P A A P A

P A P A

P A A A

A

  





     

1 2

1

1 2

1

( )

n

j k

n

i

P A P A A

P A A A

P A A

A A

A

P A



 





 





Tính chất xác suất điều kiện

• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0 Ta có:

)

 

Ví dụ 22

• Trong đợt đấu giải tennis, A sẽ gặp B và sau đó A

sẽ gặp C Xác suất A thắng B là 0,6 và xác suất A thắng C là 0,7

• Nếu A đã thắng B thì xác suất A thắng C là 0,85

• Tính xác suất:

• a) A thắng cả B lẫn C

• b) A chỉ thắng một trong hai người

• c) A thắng ít nhất 1 người

Trang 10

Ví dụ 23

• Hộp 1 có 7 bóng trắng và 3 bóng đen

• Hộp 2 có 10 trắng và 5 đen

• Lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2

(không nhìn bóng lúc bỏ)

• Tính xác suất lấy ngẫu nhiên 1 bóng từ hộp 2 thì ta

được bóng màu đen

Dãy phép thử Bernoulli

• i) Các phép thửđộc lập

• ii) Chỉ quan tâm biến cố A hoặc 𝐴

• iii)Xác suấtxuất hiện biến cố A trong mọi phép thử làbằng nhau

P A p P A   p q

Công thức Bernoulli

Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong dãy n

phép thử Bernoulli là:

Ví dụ 24

• Một người đi bán hàng ở 3 nơi độc lập, xác suất bán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8 Tính xác suất người đó:

• A) Bán được ở đúng 1 nơi

• B) Bán được ở đúng 2 nơi

• C) Bán được ở ít nhất 1 nơi

Ví dụ 25

• Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữ

gồm có 10 câu hỏi Mỗi câu có 4 phần để lựa chọn

trả lời, trong đó chỉ có 1 phần đúng Giả sử sinh

viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phần

của câu hỏi Tính xác suất trong các trường hợp

sau:

• a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm)

• b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi

Công thức xác suất đầy đủ

• Hệ biến cố đầy đủ

• “luôn có 1 và chỉ 1 biến cố trong hệ xảy ra khi thực hiện phép thử”

1 2

   

    

i j

n

Trang 11

Công thức xác suất đầy đủ

     

1

n

i

P A P H P A H





• Biến cố A phụ thuộc vào hệ biến cố đầy đủ Hi

• Xác suất của biến cố A:

Công thức Bayes

     

1

i n

i

P H P A H

P H A

P H P A H



 nguyenvantien0405.wordpress.com

https://www.bayestheorem.net/

     P B A P A    

P A B

P B

Ví dụ 26

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 3 sản phẩm Tính xác suất để lấy được 2

chính phẩm và 1 phế phẩm?

6 chính phẩm

4 phế phẩm

15 chính phẩm

5 phế phẩm

10 chính phẩm

5 phế phẩm

HỘP 1

HỘP 3

HỘP 2

Ví dụ 27

• Công ty có 3 máy sản xuất các sản phẩm Tương ứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% và 25% sản phẩm của công ty Theo đánh giá có 2%; 3% và 1%

các sản phẩm của các máy tương ứng kém chất lượng

• Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Xác suất sản phẩm này kém chất lượng là bao nhiêu?

• Giả sử sp chọn ra là sp tốt Khả năng cao nhất sp này do máy nào sx ra?

Tính xác suất của biến cố

• 1 Gọi tên biến cố, xác định rõ phép thử dẫn đến

biến cố đó

• 2 Biểu diễn biến cố thông qua các quan hệ để

đơn giản hóa

• 3 Xác định công thức tính (cần chú ý các điều kiện

đối với mỗi công thức sử dụng)

Bài tập chương 1

• 1.1; 1.3; 1.8;1.9; 1.17

• 1.19;1.22;1.23;1.24;1.27;1.29;1.30; 1.33;1.37

• 1.38;.139;1.42; 1.46; 1.48;1.49;1.50

• 1.51;1.52;1.56;1.59;1.61;1.63

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	1,02 MB