Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế cung cấp cho người học các kiến thức: Mô hình cân đối liên ngành Input Output, mô hình cân bằng thị trường nhiều loại hàng hóa, mô hình cân bằng thu nhập quốc dân, ... Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH
TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
MÔ HÌNH KINH TẾ
1 Mô hình cân đối liên ngành Input Output
2 Mô hình cân bằng thị trường nhiều loại hàng hóa
3 Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân
4 Mô hình cân bằng thị trường hàng hóa và tiền tệ IS LM
MÔ HÌNH CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH
Mô hình Input-Output Leontief
Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền
hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành công
nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội
BẢNG VÀO RA (I/O)
Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927 Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản phẩm kinh tế mỗi ngành
Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản phẩm cung cấp cho chính mình và cho các ngành khác như yếu
tố đầu vào và một phần dùng cho tích lũy tiêu dùng và xuất khẩu
MÔ HÌNH I/O
Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành
Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, phân phối như
thế nào
Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào
Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế
CÁC GIẢ THUYẾT
Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định
không đổi(constant return to scale), tức là nếu mở rộng đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần
Trang 2MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT
Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị hàng hóa
(loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố định aijcác hàng hóa
loại i
Ví dụ: a23= 0,35 có nghĩa gì?
MA TRẬN HỆ SỐ KỸ THUẬT
trận hệ số kỹ thuật
Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì?
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
1
2
n n
n n nn
n
A
n
Đầu ra
Đầu vào
1
1 , 1, 2, , n
n ij i
TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG
hàng hóa ngành i
cho việc sản xuất (cầu trung gian);
khẩu (cầu cuối cùng);
1 2
j
x
x
BẢNG I-O DẠNG GIÁ TRỊ
Ta có:
Công thức:
Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng
1 2
k
x
x
Mua của ngành 1
Bán của ngành 1
MÔ HÌNH I-O
Ta có mô hình I-O:
Dạng ma trận:
n
hay x
1 2
b b
X A X B X A X B I A X B
X I A B
MỘT SỐ THUẬT NGỮ
A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật
X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)
B là ma trận cầu cuối cùng
T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ
của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản
Trang 3VÍ DỤ 1
Cho bảng I/0:
A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí
cuối cùng
B) Giải thích ý nghĩa của a32 và c21
1 100 20 10 8 62
2 50 ??? 10 16 14
3 40 10 10 8 12
GTGT 60 ??? ??? 88
GTSX 100 50 40
ĐÁP ÁN
Ta có:
phải cung cấp cho ngành 2 một khối lượng sp có giá trị là 0,2
1
0, 2 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 0, 4 0,1 0, 2 0, 2 1,3681 0, 495 0,594
0, 297 1,5346 0,8415
0, 2475 0, 4455 1,5346
A
C I A
ĐÁP ÁN
Ta có:
c21=0,297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá trị nhu
cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một
khối lượng sp có giá trị là 0,297
C I A
VÍ DỤ 2
Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3 Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật:
a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành
0, 2 0,3 0, 2
0, 4 0,1 0, 2 0,1 0,3 0, 2
GIẢI
a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ
thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành
1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2
b) Ta có:
1
1
0,384
GIẢI
Ma trận tổng cầu:
Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84;
đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)
1
0,384
X I A B
Trang 4PHÂN TÍCH THÊM
Với j=2 ta có:
Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là
0,3$ Tiền lãi này được dành để trả lương cho đầu vào cơ
bản (dịch vụ, lao động sử dụng trong ngành công nghiệp
2 cho việc sản xuất ra 1$ hàng hóa loại 2)
3
1
i
PHÂN TÍCH THÊM
Ta có:
Mức lương ngành 1:
Mức lương cả nền kinh tế:
02 03
a
a
3 0 1 0,3.28,84 0,3.20,68 0, 4.18,36 21($)
j j j
01. 1 0,3.28,84 8,65($)
Một nền kinh tế dựa trên ba lĩnh vực: than đá, dầu mỏ và vận
tải
Để sản xuất ra 1$ giá trị ngành than đá đòi hỏi đầu vào 0,2 $
từ ngành than đá và 0,4 $ từ ngành vận tải
Để sản xuất ra 1$ giá trị ngành dầu mỏ đòi hỏi đầu vào 0,1 $
từ ngành dầu mỏ và 0,2 $ từ ngành vận tải
Để sản xuất ra 1$ giá trị ngành vận chuyển đòi hỏi đầu vào 0,4
$ từ ngành than đá, 0,2 $ từ ngành dầu mỏ và 0,2 $ từ ngành
vận tải
a) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật A
c) Tìm sản lượng từ mỗi khu vực cần thiết để đáp ứng nhu cầu
cuối cùng là 30 tỷ đô la cho ngành than đá, 10 tỷ đô la cho
ngành dầu mỏ và 20 tỷ đô la cho ngành vận tải
MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG
Chú ý:
Hàm cung Qs, hàm cầu Qd và giá P
S
Q
D
MỘT LOẠI HÀNG HÓA
Mô hình cân bằng thị trường:
Giá cân bằng:
Lượng cân bằng:
S
Q
D
P
NHIỀU LOẠI HÀNG HÓA
Hàm cung và hàm cầu:
cầu, giá hàng hóa i
1 1 2 2
1 1 2 2
1, 2, ,
Trang 5NHIỀU LOẠI HÀNG HÓA
Chuyển vế ta có:
Giải hệ trên ta tìm được giá cân bằng của n hàng hóa, từ
đó tìm được lượng cung và cầu cân bằng
11 1 12 2 1 10
n n
n n
MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ
Ở dạng đơn giản, ta xét mô hình cân bằng đối với một nên kinh tế đóng (không có quan hệ kinh tế với nước ngoài)
Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income) và E là tổng chi tiêu kế hoạch (Planned Ependiture) của nền kinh tế, trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình:
Y E
MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ
Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của
toàn bộ nền kinh tế gồm các thành phần sau:
(Investment)
Phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế
đóng là:
Y C G I
MÔ HÌNH CÂN BẰNG KTQD
Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I = I0 và chính sách tài khóa của chính phủ cố định: G = G0, còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất (gọi là hàm tiêu dùng):
C = aY + b (0 < a < 1, b > 0)
Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm $1 thu nhập, được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên (marginal propensity to consume), còn b là mức tiêu dùng tối thiểu, tức là mức tiêu dùng khi không có thu nhập
MÔ HÌNH CÂN BẰNG KTQD
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô trong trường hợp này
quy về hệ phương trình tuyến tính:
Mô hình cân bằng:
Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng
cân bằng
0 0
Y C I G
0 0
Y C I G
aY C b
MÔ HÌNH CÂN BẰNG KTQD _ CÓ THUẾ TN
Trên đây là mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô dạng đơn giản Độ phức tạp của mô hình sẽ tăng lên nếu ta tính đến các yếu tố khác, chẳng hạn như thuế, xuất nhập khẩu Nếu tính thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi như sau:
Trong đó Yd là thu nhập sau thuế, hay còn gọi là thu nhập khả dụng (disponsable income):
d
CaY b
Trang 6MÔ HÌNH CÂN BẰNG KTQD _ CÓ THUẾ TN
Gọi tỷ lệ thuế thu nhập là t (biểu diễn ở dạng thập phân),
ta có:
Yd= Y – tY = (1 − t )Y,
C= a(1− t)Y + b
Ta có mô hình cân bằng:
Y C I G
MÔ HÌNH CÂN BẰNG THU NHẬP QUỐC DÂN
Mô hình cho dưới dạng:
Trong đó:
Y: tổng thu nhập quốc dân
C: chi tiêu dùng dân cư
T: thuế gồm thuế cố định và thuế tỷ lệ; I: đầu tư
G: chi tiêu chính phủ
0 0
Y C I G
MÔ HÌNH CÂN BẰNG THU NHẬP QUỐC DÂN
Mục tiêu: giải tìm Y, C, T
Biến đổi ta có hệ:
Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng
và mức thuế cân bằng
0 0
bY C bT a
tY T d
MÔ HÌNH CBTNQD _ CÓ XNK
Dạng:
Trong đó:
X: xuất khẩu M: nhập khẩu
0 0
Y C I G X M
C a b Y T
T d tY
VÍ DỤ
Cho mô hình cân bằng kinh tế:
Trong đó Y:thu nhập, Yd: thu nhập khả dụng, C: tiêu dùng;
M: nhập khẩu; I0: đầu tư; G0: chi tiêu chính phủ; X0: xuất
khẩu; t: thuế suất
0,8
0, 2
1
d d d
VÍ DỤ
A Khi I0, t không đổi, G0 tăng 1 đơn vị, x0 giảm một đơn
vị thì thu nhập cân bằng Y* thay đổi như thế nào
B Giả sử I0=270; G0=430; X0=340; t=0,2 thì nền kinh tế thặng dư hay thâm hụt ngân sách, thặng dư hay thâm hụt thương mại
C Chi I0=270; X0=340; t=0,2 tìm G0 để thu nhập cân bằng
là 2100
D Cho I0=340; X0=300; G0=400 tìm t để cân đối được ngân sách
Trang 7Ta có:
Thay vào ta có mô hình:
0,8
0, 2
1
d d d
0,8 1
0, 2 1
GIẢI
Thay vào ta có mô hình:
0,6 1 0,8 1
1 0,6 1 0,8 1
0,8 1
;
GIẢI
Thu nhập cân bằng:
Ta có:
Vậy khi G0 tăng 1 đơn vị, X0 giảm một đơn vị thay đổi thì thu
nhập quốc dân cân bằng không đổi
*
1 0,6 1
t
0 0
CHÚ Ý
Mức thay đổi tính bằng vi phân toàn phần
Cho
Ta có:
1, 2, 3, , n
n
GIẢI
B) Khi I0=270; G0=430; X0=340; t=0,2 thì:
Ta có:
270 430 340 2000; 1280
1 0,6 1 0, 2
0
30 0
0, 2 d 0, 2 1 320 340
GIẢI
C) Ta có:
D) Ta có:
t
0 400
1 0,6 1
340 400 300
1 0,6 1
t
t
Trang 8CHÚ Ý
Y: thu nhập, Yd: thu nhập khả dụng (thu nhập sau thuế)
Ta có: Yd=Y-T; trong đó T: thuế
Ngân sách = Thuế - Chi tiêu CP
NS=T-G
Cân đối ngân sách khi T=G
Khi
t: thuế suất hay mức tăng lên của thuế khi thu nhập tăng 1
đơn vị
1
d
Y t Y Y tY Y T
CHÚ Ý
Cán cân thương mại: (Trade Balance, Net Exports)
Ta có: TB=X-M Thâm hụt thương mại: (xuất – nhập) Nền kinh tế có thặng dư:
Thâm hụt ngân sách: (thuế - chi tiêu CP)
X M
0 0
TG
X M
MÔ HÌNH CÂN BẰNG HÀNG HÓA VÀ TIỀN TỆ
Mô hình IS-LM
IS: Investment – Saving (Đầu tư – Tiết kiệm)
LM: Liquidity preference - Money supply (Nhu cầu thanh
toán – Tiền cung cấp ưu đãi)
ĐƯỜNG IS
tiêu dự kiến giảm (vì đầu tư là một phần của tổng chi tiêu
dự kiến) và sản lượng cân bằng giảm
tiêu dự kiến tăng và sản lượng cân bằng cũng tăng
nền kinh tế cân bằng, và chúng nghịch biến với nhau
ĐƯỜNG IS
Tập hợp các kết hợp khác nhau giữa lãi suất và thu nhập
sao cho tổng chi tiêu kế hoạch đúng bằng thu nhập
Phương trình cân bằng trong thị trường hàng hóa
Y=C+G+I
YC YT G I r
ĐƯỜNG LM
• Để tách biệt sự thay đổi thu nhập thực (Y) khác với thu nhập danh nghĩa (PY), chúng ta phân tích sự cân bằng trên thị trường tiền tệ là những nhân tố thực: cung tiền thực (M/P) và cầu tiền ảnh hưởng bởi thu nhập thực – cầu tiền thực: YL(i)
• Một khi thu nhập thực tăng thì làm tăng cầu tiền thực, nếu cung tiền trong thị trường tiền tệ không đổi thì lãi suất sẽ tăng
• Một khi thu nhập thực giảm thì làm giảm cầu tiền thực, nếu cung tiền trong thị trường tiền tệ không đổi thì lãi suất sẽ giảm
• Quan hệ giữa thu nhập và lãi suất nói trên khi thị trường tiền tệ cân bằng là ý tưởng của quan hệ LM Rõ ràng, chúng đồng biến với nhau
Trang 9ĐƯỜNG LM
Tập hợp các kết hợp khác nhau giữa lãi suất và thu nhập
sao cho cầu tiền thực tế bằng cung tiền thực tế
Phương trình cân bằng:
,
M
L Y r
P
MÔ HÌNH CÂN BẰNG HÀNG HÓA VÀ TIỀN TỆ
Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r
Xét mô hình cân bằng thu nhập và tiêu dùng dạng:
Thay thế I, C vào ta có phương trình IS:
1 1 ( ,1 1 0)
I a b r a b
0
Y C I G
1 1 0
Y a bY a b r G
b r a a G b Y
MÔ HÌNH CÂN BẰNG HÀNG HÓA VÀ TIỀN TỆ
Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào
thu nhập Y và lãi suất r Giả sử
Giả sử lượng cung tiền cố định là M0
Điều kiện cân bằng thị trường tiền tệ là
2 2 ( ,2 2 0)
La Yb r a b
M a Yb rb ra YM
MÔ HÌNH IS-LM
Phương trình IS:
Phương trình LM:
Hệ IS-LM:
Giải hệ này ta được mức thu nhập và lãi suất cân bằng
1 1 0 (1 )
b r a a G b Y
2 2 0
b r a a G b Y
b r a Y M
VÍ DỤ
•Cho
trường hàng hóa và tiền tệ
0 250 ; 0 4500 ; 34 15
10 0,3 ; 22 200
GIẢI
Phương trình IS Ta có:
Phương trình LM
Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ
phương trình
0 (10 0,3 ) (34 15 ) 250
15 294 0, 7
0 22 200 4500 200 22 4500
LM Y r r Y
15 294 0, 7
268, 72 ; 7, 06
200 22 4500
Trang 10BÀI TẬP 1
Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2 Ma trận hệ số kỹ
thuật:
Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và
ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng Hãy xác định giá
trị tổng cầu đối với mỗi ngành
BÀI TẬP 2
Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3 Ma trận hệ số
kỹ thuật:
Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là 40, 40, 110
Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành khác không đổi Xác định giá trị tổng cầu của các ngành
sx tương ứng
A
BÀI TẬP 3
Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi
hàng hóa như sau:
Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành
Lập ma trận hệ số kỹ thuật A
Ngành cung ứng sp
(Out)
Ngành sử dụng sp (Input)
BÀI 4
Cho biết hàm cung, cầu của thị trường 3 loại hàng hóa như sau:
Xác định điểm cân bằng thị trường
BÀI 5
Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C và mức
thuế T xác định bởi:
trong đó I0=500 là mức đầu tư cố định; G0=20 là mức chi
tiêu cố định
Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và
mức thuế cân bằng
15 0, 4( )
36 0,1
BÀI 6
Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hòa
Để các nhà sx cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá 1,2 phải thỏa điều kiện nào.
Xác định giá và lượng cân bằng cho hàng hóa theo a Khi a tăng thì giá cân bằng của hàng hóa 1 thay đổi như thế nào.
a
Trang 11BÀI 7
Cho mô hình cân bằng kinh tế:
Trong đó Y, C, I lần lượt là thu nhập quốc dân, tiêu dùng
A) Xác định thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư cân
bằng Khi x tăng thì thu nhập quốc dân tăng hay giảm Vì
sao?
;
BÀI 7
B) Cho biết:
Tính thu nhập quốc dân, tiêu dùng dân cư cân bằng
nhập quốc dân cân bằng tăng bao nhiêu %?
0
50 trieu USD ; 0, 3; 0, 2
BÀI 8
Cho mô hình IS-LM với
đình, thu nhập quốc dân, đầu tư, lãi suất, chi tiêu chính
phủ, lượng cầu tiền, lượng cung tiền
A) Xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng
0, 6 35; 65 ;
BÀI 9
Cho mô hình:
Trong đó: Y: thu nhập quốc dân, I: đầu tư; C: tiêu dùng; L:
mức cầu tiền; Ms: mức cung tiền; r: lãi suất
0; 0
s
BÀI 9
A) Hãy xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng
B) Với
Tính hệ số co giãn của thu nhập theo mức cung tiền tại
điểm cân bằng và giải thích ý nghĩa của chúng
0
0, 7; 1800; 500; 800
0, 6; 1000; s 2000; 400
