Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm; giải hệ bằng phương pháp khử Gauss; giải và biện luận hệ Cramer,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH
NỘI DUNG
Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm
Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss
Giải và biện luận hệ Cramer
Hệ phương trình thuần nhất
Ứng dụng
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng tổng quát
aij gọi là các hệ số
bj: hệ số tự do
n n
n n
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
n n
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Dạng ma trận
Ma trận A gọi là ma trận hệ số
X: ma trận cột các ẩn số
B: ma trận hệ số tự do hay cột tự do
Nghiệm của phương trình là một bộ số:
Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình trong hệ đều thỏa
mãn
1, , ,2 n 1, , ,2 n
MỘT SỐ KHÁI NIỆM
Nếu số phương trình bằng số ẩn và detA≠0 Hệ Crammer
Nếu hệ số tự do triệt tiêu Hệ thuần nhất
Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
Augmented matrix
Trang 2ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
11 12 1 1
21 22 2 2
0 0 0 0
n
n
b
VÍ DỤ
Các hệ phương trình sau có nghiệm hay không?
)
a x x b x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x c
x x x
x x x
VÍ DỤ 2
HỆ CRAMER
Phương pháp ma trận nghịch đảo
Phương pháp định thức
1
Định lý Hệ Cramer với ma trận hệ số là A có nghiệm duy nhất và
nghiệm của nó được xác định bởi: xi=Di/D Trong đó D=detA và
Di là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do
det det
i i i
x
HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC
1
1
2
2
1 2
;
b b b
1 2
12 1
22 2
det
n n
b b
HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC
Vì detA khác 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A-1 Do đó:
Ta có:
1
Trang 3VÍ DỤ 3
Giải hệ phương trình sau:
Giải
Cách 1 Ta cĩ:
Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất
Nghiệm của hệ (1,1,-2)
VÍ DỤ 3
Cách 2 Ta cĩ:
Ta tính được:
Vậy nghiệm của hệ là:
1
3 3 0 5 18 1
12 18 12 1 18 1
12 6 6 5 36 2
X A B
VÍ DỤ 4
Tìm điều kiện để hệ sau đây là hệ Cramer Tìm nghiệm
của hệ trong trường hợp này
SỐ NGHIỆM CỦA HỆ TỔNG QUÁT
Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình và n ẩn
Trong trường hợp ii) hệ cĩ vơ số nghiệm phụ thuộc vào n-r(A) tham số
i) Hệ pt có nghiệm duy nhất ii) Hệ pt có vô số nghiệm iii) Hệ pt vô nghiệm iv) Hệ pt có nghiệm
PP KHỬ GAUSS - JORDAN
- Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma
trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang
- Ở dạng này ta dễ dàng nhận biết hệ cĩ nghiệm hay
khơng và việc giải tìm nghiệm cũng đơn giản hơn
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng?
-PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN
bdsc hang
r r
Trang 4VÍ DỤ 5
VÍ DỤ 6
Giải và biện luận hệ phương trình:
Giải.
Ma trận hệ số bổ sung:
VÍ DỤ 6
Biện luận
BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER
Cho hệ phương trình tuyến tính cĩ ma trận hệ số A là ma trận vuơng
Đặt:
hoặc vô số nghiệm
Ta giải tiếp
1
i i i n
D x D
bằng phương pháp Gauss
VÍ DỤ 6
Ta cĩ:
Sinh viên tự làm tiếp
m
m
VÍ DỤ 7
Giải và biện luận hệ phương trình sau
2
Trang 5HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT
Hệ thuần nhất có dạng:
Hoặc dạng ma trận:
Ma trận mở rộng:
Để thuận tiện ta chỉ xét và biến đổi trên ma trận A
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0 0
0
n
n
A X
| 0
A A r A r A
TÍNH CHẤT
1 Hệ phương trình thuần nhất luôn luôn có nghiệm
2 (0,0,…,0) luôn là nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm thường
3 Mọi tổ hợp tuyến tính các nghiệm của hệ thuần nhất cũng là nghiệm Do đó, hệ thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm
Q Khi nào thì hệ có nghiệm tầm thường? Vô số nghiệm?
A
VÍ DỤ 8
Giải hệ phương trình
Giải
Xét ma trận hệ số của phương trình
VÍ DỤ 8
Hệ đã cho tương đương với hệ:
Tập nghiệm của hệ là:
Nghiệm cơ sở (basic solutions):
8, 6,1,0 ; 7,5,0,1
BÀI 1
Cho hai ma trận:
Tìm ma trận nghịch đảo của A
Tìm X biết: X.A=3B
BÀI 2
Giải các phương trình sau
0
2 2 1
) 2 3 6 1 )
7
7 3 10
Trang 6BÀI 3
Giải các hệ phương trình sau
) 3 5 4 ) 2 3 4 21
4 3 2 6
)
8 5 3 4 12
3 3 11 5 6
c
BÀI 4
Tìm m để ma trận sau khả nghịch
m
BÀI 5
Cho hệ phương trình tuyến tính
A) Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất
B) Tìm a, b để hệ trên có nghiệm với mọi m
1
BÀI 6
Giải và biện luận theo m
2
1
ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ
Công ty Honda có hai đại lý bán xe X và Y Hai đại lý này chỉ
chuyên bán xe Dream II và xe môtô Doanh số bán hàng trong
tháng 8 & 9 của 2 đại lý được ghi lại như sau:
a/ Tính toán doanh số trong 2 tháng 8 và 9 cho mỗi đại lý và mỗi
loại xe
Tháng 8
Dream II Môtô
Đại lý X $ 18,000 $ 36,000
Đại lý Y $ 36,000 $ 0
Tháng 9
Dream II Môtô Đại lý X $ 72,000 $ 144,000 Đại lý Y $ 90,000 $ 108,000
GIẢI
Ta có:
)
)
) 5%
X
a A B
Y X
Y X
Y
Trang 7ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ
Số giờ công lao động cho mỗi sản phẩm được cho như sau:
Tiền lương tính theo giờ:
cut assemble package
product A
product C
Factory Factory
cut assemble package
N
VÍ DỤ
a/ Kích thước của M, N và M*N
b/ Tính M*N và giải thích kết quả
Giải
A)
B) Ta có:
a11: chi phí lao động cho sản phẩm A tại nhà máy I
Bảng kết quả của M*N cho thấy rằng chi phí lao động cho mỗi sản phẩm tại mỗi nhà máy
9 11 14.1 17.2 19.8 24.1
product A
product C
11
6 0.6 0.6 0.2 8 9$
3
a
BÀI 1
A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
B) Tìm ma trận nghịch đảo:
1
3 2
2 3 3
1 2 3
2 5 3
1 0 8
A
BÀI 2
A) Giải phương trình:
B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất:
2
3 2 2
1 2 3 4
0
3 2 2 2
9 2 3 18
m
