Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - Hoàng Mạng Dũng

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Không gian véc tơ cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm không gian véc tơ, không gian véc tơ con, độc lập tuyến tính, phục thuộc tuyến tính, hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ,... Mời các bạn cùng tham khảo.



( , )

u   x y

x

y

z

( , , )

u  x y z



Không gian véc tơ

Kháiniệm không gian véc tơ có nguồn gốc từ vật lý Ban đầu các véc tơ là những đoạn thẳng có định hướng, với kháiniệm này người ta đã sử dụng để biểu diễn các đại lượng vật lý như: véc

tơ vận tốc, lực tác động, lực điện từ

Cuối thế kỷ 17 Descartes đã đề xuất phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán hìnhhọc Với phương pháp nàymỗi véc tơ trong mặt phẳng được đồng nhất với một cặp số là hoành độ

và tungđộ còn véc tơ trong không gianđược đồng nhất với bộ ba số Kháiniệm không gian véc tơ 4 chiều được Einstein (Anh-xtanh) sử dụng trongthuyết tương đối

x

y u 

u 

u 

v

 u   v

u

ku

u v wu v w

     

u       0 0 u u

( ) ( )

u u  u  u 0

    

u        v v u

( k  h u )   ku   hu 

k u     v ku   kv 

( kh u )   k hu (  )

1u    u

2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1.1 Định nghĩa và các ví dụ

Giả sửVlàtập khác, Klàtập các số thực hoặc số phức

Vđược gọi là không gian véc tơ trênKnếu có hai phép toán:

Phép toán trong

( , )

:

u vV Vu vV





Phép toán ngoài

( , )u u

 

 thoả mãn các tiên đề sau với mọi u,v,w  Vvà ,  K

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

V1 ( u      v ) w u ( v w )

V2 Có 0  V sao cho u     0 0 u u

V3 Với mỗi u V  có   u V sao cho u       ( u ) ( u ) u 0

V4 u v    v u

V5 (    )u   u   u

V6  ( u   v )  u   v

V7 (  ) u    ( u )

V8 1u u, trong đó 1 là phần tử đơn vị của K Khi K  thì Vđược gọi là không gian véc tơ thực Khi K  thì Vthì được gọi là không gian véc tơ phức Các phần tử của Vđược gọi là các véc tơ

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

x’

u 

v

 u   v

u



ku 

( , , )

u   x y z

( ', ', ')



( ', ', ')

u     v x  x y  y z  z

( , , )

ku   kx ky kz

( , , ) ( ', ', ') x y z  x y z  ( x  x y ',  y z ',  z ')

( , , ) ( , , )

k x y z  kx ky kz

Vậy

v 

u



x

y

y’

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.1 Giả sử  là trường số thực,

xét n  x  ( , , x1 xn) xi  , i  1, n 

Ta định nghĩa: ( , , x1 xn)  ( , , y1 yn)  ( x1 y1, , xn yn)

( , , x xn) ( x , , xn), 

Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ có véc tơ không là

(0, ,0)

n



0    phÇn tö

ta có không gian véctơ thựcn

phần tử đối của x(x1, … , xn) là  x( x1,… ,  xn)

1 1 1

( , , ); ( , , ); ( , , ) n

( , ,x1 x n) ( , ,y1 y n) ( , ,z1 z n) (x y) z

( ) ( , ,n) ( , , n) ( , , n)

v 1

v 4 x y (x1y1, ,x ny n)(y1x1, ,y nx n) y x

v 2 x 0 ( , ,x1 x n) (0, , 0) ( , ,x1 x n)x

v 3 ( , ,x1 x n) ( x1, ,x n)(0, , 0)0

v 5 (  )x(  )( , ,x1 x n)(  ) , ,(x1   )x nxx

v 6 (xy)(x1y1, ,x ny n)(x1y1, ,x ny n)xy

v 7 ( )x( )( , ,x1 x n)( ) , ,(x1 )x n  x1, ,x n ( x)

v 8 1x1( , ,x1 x n)( , ,x1 x n)x

x1 (y1 z1), ,x n (y n z n) (x1 y1) z1, , (x n y n) z n

Ví dụ 2.2

Ký hiệu Xlà tập các hàm số xác định trên tập con X  , X  

Tađịnh nghĩa phép toán cộng và nhân với số thực như sau:

( f  g t )( )  f t ( )  g t ( ), (  f t )( )   f t ( ),   t X

Với hai phép toán nàyXcócấu trúc không gian véc tơ thực với véctơ không là0(t)  0,  t  

Ví dụ 2.3

GọiPnlàtậpcácđa thức bậcn,nlàsố nguyên dương cho trước:

 0 1 n; 0, , ,1 

n p p  a  a t   a t a an an

Tađịnh nghĩa phép cộng hai đa thức và phép nhân một số với một

đa thức như phép cộng hàm số và phép nhân một số với hàm số trong Vídụ 2.2 thìPnlà không gian véctơ với véc tơ không là đa thức0

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.4

GọiPlàtập các đa thức

 0 1 n; 0, , ,1 , 

n







Tađịnh nghĩa phép cộng là phép cộng hai đa thức và phép nhân

với một số với đa thức theo nghĩa thông thường ở Ví dụ 2.3 thì

Plà không gian véctơ vàPn Pvới mọin  .

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Tính chất

2) Có luật giản ước: u  v  u  w  v  w 3) Với mọi u  V, u  0, (  1 ) u  u 4) Với mọi  K,  0  0

5) Nếu  u  0 thì   0 hoặc u  0

1) Véctơ0là duynhất véctơ đối ucủauvới mọiu  Vlà duynhất

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Từ định nghĩa của không gian véc tơ ta có thể mở rộng các phép

toán sau

1)Ta có thể định nghĩa phép trừ hai véc tơ

) (

v

u    

w      u v u w v

2)Do tính kết hợp của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo

qui nạp:

n n n

n

k k

u u u u u



1

Tương tự

n n n n n

n n

k

k

ku   u    u   u    u   u



1

biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tínhcủa các véc tơ

n

u

u , ,1

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ

Giả sử tập conW   củaVthỏa mãn tính chất:

Khi đó có thể xác định 2 phép toán từ không gian Vthu hẹp vào W

( , ) :

u v u v



:





Hai phép toán này thỏa mãn các điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8

của không gian véc tơ Ngoài ra vì W  do đó tồn tại ít nhất véc

tơ u  W, suy ra 0  0u W  và   u W:    u ( 1) u W 

u v W u v W

    (2.1)

      (2.2)

V1 ( u      v ) w u ( v w )

V4 u v    v u

V5 (    )u   u   u

V6  ( u   v )  u   v

V7 (  ) u    ( u )

V8   u W :1 u  u

Hai phép toán này thỏa mãn các

điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8

của không gian véc tơ

Ngoài ra vì W  do đó tồn tại ít nhất véc tơ u  W,vậy 0 0uW

V2   u W u :   0 u

V3 Với mọi u  W;  u  (1)uW: u +(u)  0

Vậy W thỏa mãn các tiên đề V1– V8của không gian véc tơ

Tập conW   củaV thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (2.1)-(2.2) được gọi là không gian véc tơ con củaV (hay nóitắt: không gian concủaV)

Định lý 2.2:

Giả sử tập conW   củaV, khiđóWkhông gian véctơ con củaVkhi vàchỉ khi:

Tập{0}chỉ gồm véc tơ không là không gian véc tơ con nhỏ nhất của V

V là không gian véc tơ con lớn nhất của V

Định nghĩa

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.6

W  u  x y x y    

W  u  x y z   x  y  z 

là hai không gian véctơ con của3

W  u  x y x y    

không là không gian véctơ con của3

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định lý 2.3:

Nếu   Wi i I là họ các không gian con của V thì i

i I W



 cũng là không gian con của V

Từ Định lý 2.3 suy ra rằng với mọi tập con S bất kỳ của V luôn tồn tại không gian con W bé nhất của V chứa S

Không gian W bé nhất chứa S được gọi là không gian sinh bởi hệ S,

ký hiệu W  span S, và S được gọi là hệ sinh của W

Khi S hữu hạn thì W được gọi là không gian véc tơ hữu hạn sinh

W là giao của tất cả các không gian con của V chứa S

Định nghĩa

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định lý 2.4

span

W  S bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S

1) Trường hợp S hữu hạn: S   v1, , vn

 1 1 n n 1, , n 

W      v v   

1, , n: 1 1 n n

Vậy

Ta chứng minhWlà không gian con bé nhất chứaS

1

; 0 1 0

, ; u v W u, : v n n v,v v n n v

( n n) ( n n) ( ) ( n n)n

                

Giả sửW’là không gian concủaVchứaS

1 1

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2) Trường hợp S vô hạn tập W có dạng

1 1 1, , ; 1, , ; 1, 2, 

W   v    v     v v  S n 

1, , ; , , : 1

Ví dụ 2.11

Trong không gian vectơ con

1 ( , ,0) | ,

W  x y x y    

u W    u x y  x  y  xe  ye

Vậy W1spane e1,2

Ví dụ 2.11

2

3

y

u  x y z  W   u  y  z y z     z

W  u  x y z  3 x  y  z  có tính chất u  ( , , ) x y z  W2 2 x  3 y  4 z    0 x 3/ 2 y  2 z

Xét v1 (3, 2,0), v2  ( 2,0,1)  W2, ta được W2 span  v v1, 2

2

u x y z W  u  y z y zy z 

Ta cũng có

3 span ' , ' ; ' ,1,0 , ' (2,0, 1)

2

Như vậy một không gian véc tơ có thể được sinh bởi nhiều hệ

sinh khác nhau

2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

Kháiniệm phụ thuộc tuyến tính khái quát hóa từ khái niệm 2 véc

tơ cùng phương và 3 véc tơ đồng phẳng ChohệnvéctơS  {u1, ,un}củaV(các véctơ này có thể trùng nhau)

Hệ không phụ thuộc tuyến tính được gọi hệ là độc lập tuyến tính

HệS  {u1, ,un}phụ thuộc tuyến tínhkhi vàchỉ khi ta có thể tìmđược1, ,n khôngđồng thời bằng0sao cho

1 1u n nu

thì

1 1u n nu , 1, , n

      0     1  n 0 Vậy hệSđộc lập tuyến tính nếu

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)

Hệ  e e e1, 2, 3 là độc lập, vì nếu

1(1,0,0) 2(0,1,0) 3(0,0,1) ( 1, 2, 3) (0,0,0)

Ví dụ 2.14

 Hệ chứa véc tơ 0 là hệ phụ thuộc tuyến tính

 Hệ hai véc tơ  u u1, 2 là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

chúng tỷ lệ, nghĩa là u1  u2 hoặc u2  u1

 Xét các véc tơ u1 (4, 2,8)  , u2  ( 6,3, 12)  , u3 (3, 2,5) 

Hệ hai véc tơ  u u1, 2 phụ thuộc tuyến tính (u2  3/ 2 u1)

và hệ  u u1, 3 độc lập tuyến tính

thì

1 1e 2 2e 3 3e

      0

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

1) Nếu  v , ,1 vn độc lập tuyến tính và u     1 1v n nv thì cách viết này là duy nhất

2)Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc tuyến tính Vì vậy, mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính là hệ độc lập tuyến tính

Định lý 2.6

1 1

1 1

n n

n n





( ) ( n n)n

u u   v   v

      11, ,nn

Giả sử hệ Su1, ,u m chứa hệ con u1, ,u n phụ thuộc Khi đó tồn tại 1, , n  không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1u  n n u 0

Chọnn1  m0ta được1, , n, n1, ,m không đồng thời bằng 0 thỏa mãn1 1u  n n u n1u n1  m m u 0

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

3)Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc

tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại

4) Giả sử hệ  v1, , vn độc lập tuyến tính Khi đó hệ  v1, , v un, 

phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi u là tổ hợp tuyến tính của các véc

tơ  v1, , vn, khi đó ta có thể biểu diễn duy nhất u  1 1v   n nv

Hạng

Giả sử hệ Su1, ,u n phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại 1, , n 

không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1u  n n u 0

Giả sử10 ta đượcu1 ( 2/ 1)u2  ( n/ 1)u n

(): suy từ 3)

(): Giả sử v1, ,v u phụ thuộc khi đó tồn tại các số n,  1, , n, 

không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1v  n n v u0

Vì hệ v , ,1 v n độc lập nên  0 , do đó u 1v n v

Cách viết duy nhất suy từ tính chất 1)

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.4 HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ

2.4.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại

ChohệScác véctơ của không gian véc tơV.Hệ conS của hệ

Sđược gọi là độc lập tuyến tính tối đại củaSnếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

1) S là hệ độc lập tuyến tính 2)Nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của Svào S thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính (tối đại)

Nói riênghệ{v1,… ,vn}làhệ con độc lập tuyến tính tối đại củaV

nếu hệ{v1,… ,vn}độc lập và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác củaV

ta cóhệ mới là phụ thuộc

Định lý 2.7

1)NếuS làhệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệSthìmọi véc

tơ củaSlàtổ hợp tuyến tính các véc tơ củaS và cáchbiểu

diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất

Đlý 2.6 

Giả sử S'u1, ,u k là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ

1, , k, k1, , n

S u u u u

1 11 02 0k

uu u  u u20u11u2  0u k… u k0u10u2  1u k

1, ,

   hệ u1, ,u u k, j phụ thuộc và hệ u1, ,u kđộc lập

Do đó u j1 1u  k k u

Định lý 2.7

2)Giả sử{v1,… ,vn}làhệ con độc lập tuyến tính của một hệ hữu hạnS Khiđó ta có thể bổ sung thêm để được một hệ con độc lập tuyến tính tối đại củaSchứa{v1,… ,vn}

Thật vậy, nếu v1, ,v n không tối đại thì tồn tại một véc tơ của S, ta ký hiệu v 1, sao cho hệ v1, ,v v n,n 1 độc lập tuyến tính

Lập luận tương tự và vì hệ S hữu hạn nên quá trình bổ sung thêm này

sẽ dừng lại, cuối cùng ta được hệ v1, ,v v n,n1, ,v n k độc lập tuyến tính tối đại của S

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.15 Tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại hệ véc tơ

1 (3,1, 4), 2 (2, 3,5), 3 (5, 2,9), 4 (1, 4, 1)

Hai véc tơ  u u1, 2 độc lập vì không tỉ lệ

Có thể kiểm tra được: u3  u1 u2; u4  u1 u2

Vậy  u u1, 2 là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S

Tương tự có thể kiểm tra được  u u1, 3,  u u1, 4,  u u2, 3,  u u2, 4

cũng là các hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S

3 1 2

3 2 5

1

3 2

1

4 5 9

x y

x

u xu yu x y

y

x y





        



4 1 2

1

1

x y

x

u xu yu x y

y

x y

 









         



CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.4.2 Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ

Định lý 2.9:

Mọihệ con độc lập tuyến tính tối đạicủa hệ hữu hạnSđều có

số phần tử bằng nhau

Định nghĩa

Số các véc tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệS

được gọi làhạng(rank)củaS, kýhiệur(S) Qui ước hệ chỉ có véc tơ{0}cóhạng là0

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Hệ véc tơ

1 (3,1, 4), 2 (2, 3,5), 3 (5, 2,9), 4 (1, 4, 1)

Các hệ con độc lập tuyến tính tối đại

 u u1, 2  u u1, 3  u u1, 4

 u u2, 3

 u u2, 4

Vậy có hạng bằng 2

Ví dụ 2.12

u u3, 4

Các hệ con độc lập tuyến tính tối đại đều có 2 phần tử

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 2.5 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của Vđược gọi là

một cơ sởcủa V

Định lý 2.10

Giả sử{e1,… ,en}làmột hệ các véc tơ củaV Cácmệnh đề sau làtương đương

(i) Hệ  e , ,1 en là một cơ sở của V

(ii) Hệ  e , ,1 en là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V

(iii) Mọi véc tơ u  V tồn tại một cách viết duy nhất

1 1 n n, 1, , n

u  x e   x e x x  

(x1,… ,xn)được gọi làtoạ độ của véc tơutrongcơ sở{e1,… ,en}

Ký hiệu   u  ( , , x1 xn)

B B   e , ,1 en

Định nghĩa

Ví dụ 2.16

là hai cơ sở của không gian véc tơ 2

Hai hệ véc tơ B{e1, e2}, B {e1, e 2}

với e1(1, 0), e2(0, 1)vàe 1(1,1),e 2(4,3)

2

( , )

u x y

  u B  ( , ); x y   u B '  (4 y  3 , x x  y )

Vậy

B{e1, e2} được gọi là cơ sở chính tắc của không gian véc tơ 2

( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1)

u  x y  x  y  x  y  xe  ye

( , ) ' ' ' ' '(1,1) '(4,3) ( ' 4 ', ' 3 ')

u  x y  x e  y e  x  y  x  y x  y

x y y y x y

Chẳng hạn u  (3,1);   u '   ( 5, 2)

B

Định lý 2.11

Giả sửVlà không gianhữu hạn sinh và{v1,… ,vk}làhệ độc lập tuyến tính các véc tơ củaV Khiđó có thể bổ sung thêm để có được hệ{v1,… ,vk,vk1,vkm}làmột cơ sở củaV

Mọi không gian hữu hạn sinh đều tồn tại cơ sở

Số phần tử của mọi cơ sở của đều bằng nhau

Số véc tơ của một cơ sở của Vđược gọi là số chiều của V

Quy ước dim{0}0

Ký hiệu dim V

Giả sử Vcó một hệ sinh có nvéc tơ Nếu Sv1 , ,v kkhông phải là cơ sở thì S không phải là hệ sinh, do đó tồn tại véc tơ,

ta ký hiệu v k1, sao cho hệ v1 , ,v v k,k 1độc lập tuyến tính

Tiếp tục quá trình này cuối cùng ta có hệ v1 , ,v v k,  1 , ,v k mđộc lập tuyến tính và là hệ

sinh, k m n Vậy v1 , ,v v k,  1 , ,v k m là một cơ sở cần tìm

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Ví dụ 2.12

là một cơ sở của ngọi là cơ sở chính tắc

Ví dụ 2.13

HệB{1, t,… ,tn}làmột cơ sở củaPn

Vậy dimnn

Vậy dim Pnn1

Trong không gian n

1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0,0, ,1)

 e1, , en

 B

hệ véc tơ

được gọi là cơ sở chính tắc

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Chú ý 2.14:

Thật vậy, hệ  2 

1, , , t t có vô hạn véc tơ và độc lập tuyến tính nên không thể là hữu hạn sinh

Định lý 2.14

Giả sử dim V  n và S   v1, , vm là hệ m véc tơ của V Khi đó:

(i) Nếu hệ S độc lập tuyến tính thì m  n

(ii) Nếu hệ S là hệ sinh của thì m  n

(iii) Nếu m  n thì hệ S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi S là hệ sinh

Không gian

1

n n







P  P là một ví dụ về không gian véc tơ không hữu

hạn sinh

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Định lý 2.16

Giả sửSlàhệ hữu hạn các véc tơ củaV,S0làmột hệ con củaS

ĐặtWspanS Khiđó:

1)HệS0làmột con độc lập tuyến tính tối đại củaSkhi vàchỉ

khiS0làmột cơ sở củaW, dođór(S)dimW.

Giả sửS0làhệ con độc lập tuyến tính tối đại củaS

Mọi véc tơ của Wbiểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính các véc tơ của S

và đồng thời mọi véc tơ của Scó thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính các véc tơ S0

Do đó S0là một hệ sinh của W, vậy S0là một cơ sở của W

Ngược lại nếuS0làmột cơ sở củaWthìS0làhệ con độc lập tuyến tính tối đại

củaW, dođó cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại củaS



)

(S

r số véc tơ củaS0dimW

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2) Khithực hiện một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp sau lênhệS:

Nhân một số khác 0với một véc tơ của hệ S

 Cộng vào một véc tơ của hệSmột tổ hợp tuyến tính các véctơ khác củaS; thìhệSbiến thành hệS 

ĐặtW span S thìWW , dođór(S)r(S ) dimW.

Vì SWdo đó mọi tổ hợp tuyến tính các véc tơ của Scũng thuộc W, vậy S’Wdo đó W’W

Tương tự cũng có WW’

Vậy WW’

( ) dim ( ')