Bài giảng Toán cao cấp 1: Giới thiệu môn học giúp các bạn nắm bắt được những thông tin chung về môn học như đối tượng, mục tiêu, lịch giảng dạy, tài liệu tham khảo, phương pháp giảng dạy, cách đánh giá môn học cùng một số thông tin khác.
Trang 1Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
TOÁN TÀI CHÍNH
Nội dung
• Chương 1: Toán cho tài chính
• Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng
• Chương 3: Hàm nhiều biến
• Chương 4: Tích phân và ứng dụng
• Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng
• Chương 6: Phương trình vi phân
• Chương 7: Chuỗi thời gian
• Thời lượng: 75 tiết, 25 buổi
Chương 1
• Lãi suất
• 1.1 Dãy số, chuỗi số
• 1.2 Lãi đơn, Lãi gộp
• 1.3 Khấu hao
• 1.4 Giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ
• 1.5 Niên kim, các khoản cho vay và thế chấp
• 1.6 Mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu
• Số chỉ số
• 1.7 Số chỉ số và năm cơ sở
• 1.8 Ghép các dãy số chỉ số
• 1.9 Số chỉ số hỗn hợp
• 1.10 Các chỉ số thông dụng CPI, RPI
Chương 2
• Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng
• 2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm
• 2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân
• 2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị
• 2.4 Ứng dụng kinh tế
• 2.5 Độ cong và ứng dụng
• 2.6 Hệ số co dãn
Chương 3
• Chương 3: Hàm nhiều biến số
• 3.1 Đạo hàm riêng
• 3.2 Áp dụng của đạo hàm riêng
• 3.3 Tối ưu không điều kiện
• 3.4 Tối ưu có điều kiện và nhân tử Lagrange
Chương 4
• Chương 4: Tích phân và ứng dụng
• 4.1 Nguyên hàm, Tích phân
• 4.2 Các tính chất
• 4.3 Tích phân của hàm mũ exp
• 4.4 Diện tích dưới một đường
• 4.5 Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất
• 4.6 Giải phương trình vi phân bậc 1
• 4.7 Phương trình vi phân cho tăng trưởng giới hạn và tăng trưởng không giới hạn
Trang 2Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chương 5
• Chương 5: Đại số tuyến tính và ứng dụng
• 5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến
• 5.2 Ma trận
• 5.3 Giải hệ phương trình: phương pháp khử
• 5.4 Định thức
• 5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích
input/output
• 5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn
biến
Chương 6
• Chương 6: Phương trình vi phân
• 6.1 Giới thiệu phương trình vi phân
• 6.2 Giải phương trình vi phân bậc 1
• 6.3 Ứng dụng của phương trình vi phân bậc 1
Chương 7 (đọc thêm)
• Chương 7 : Chuỗi thời gian
• 7.1 Thành phần và mô hình chuỗi thời gian
• 7.2 Dự báo xu hướng tuyến tính
• 7.3 Dự báo thành phần theo mùa
• 7.4 Điều chỉnh theo mùa
• 7.5 Dịch chuyển theo trung bình
• 7.6 Đánh giá các mô hình dự báo
Kiểm tra – Đánh giá
• Điểm danh: 10%
• Kiểm tra giữa kì: 20% (01 bài)
• Thi cuối kì: 70%
• Hình thức:
– Giữa kỳ: trắc nghiệm hoặc tự luận (60 phút) – Cuối kỳ: tự luận (75 phút)
Tài liệu học tập chính
• 1 Nguyễn Thị Toàn (chủ biên), Lý thuyết Toán cao
cấp 1, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012
bài tập Toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh
tế, NXB Thông tin và truyền thông, năm 2012.
• 3 Lê Sĩ Đồng (chủ biên), Toán cao cấp (phần giải
tích), NXB Giáo dục, 2007.
• 4 Lê Đình Thúy (Chủ biên), Toán cao cấp cho các
nhà kinh tế (Phần I, II), NXB ĐH KTQD, 2013.
Tài liệu tham khảo
• 5 Graham Eaton: CIMA C03 Fundamentals of Business math (Study text)
• 6 Marvin L Bittinger, David J Ellenbogen, Scott: Calculus and its applications (10th-edition)
• 7 Linda Almgren Kime, Judith Clark, Beverly K
Michael: Explorations in College Algebra (3rd Edition)
• 8 G Keller : Statistics for Management and Economics (9th edition)
Trang 3Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Tài liệu giảng viên
• Slide bài tập
• Slide lý thuyết
• File bài giảng
• Đề thi tham khảo
(đang chỉnh sửa lại)
• Liên lạc:nguyenvantien0405@yahoo.com
• Website:nguyenvantien0405.wordpress.com
Yêu cầu
• Đi học đầy đủ, đúng giờ
• Học bài và làm bài tập đầy đủ
• Tinh thần tự học và chú ý cao
• Giữ trật tự trong khi học
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
PHÂN TÍCH INPUT/OUTPUT
Chương 5a
Nhắc lại về ma trận nghịch đảo
• Ma trận A khả nghịch khi?
• Công thức:
• Ma trận C là gì?
det
T
A
Ma trận nghịch đảo_1
• Ta có:
• Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A
• Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A
T
A
ij ij 1i jdet ij
c A M
Ví dụ
• Tìm ma trận nghịch đảo của A nếu có:
A
Trang 4Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Phương trình ma trận
• Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số
ẩn
• Nếu ma trận A khả nghịch thì:
.
Giải phương trình ma trận
a) Xét phương trình: A.X=B Giả sử A khả nghịch Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B Giả sử A khả nghịch Khi đó: X=B.A-1
c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch Khi đó: X=A-1.B.C-1
Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự
của phương trình.
Ví dụ
• Tìm các ma trận X và Y sao cho: A.X=B và Y.A=B
Mô hình cân đối liên ngành
• Mô hình Input-Output Leontief
• Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền kinh tế phải đảm bảo một mức sản xuất hàng hóađầu ra bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãntổng cầuvề loại hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành công nghiệp
đó và nhu cầu chung của xã hội
Bảng vào ra (I/O)
• Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927
• Ghi lại sự phân phối của các ngành trong nền
kinh tế quốc dân và quá trình hình thành sản
phẩm kinh tế mỗi ngành
• Mỗi ngành đều có 2 chức năng: sản xuất ra sản
phẩm cung cấp cho chính mình và cho các
ngành khác như yếu tố đầu vào và một phần
dùng cho tích lũy tiêu dùng và xuất khẩu
Mô hình I/O
• Phân tích các mối liên hệ kinh tế giữa các ngành
– Giá trị sản phẩm mỗi ngành được phân phối cho ai, phân phối như thế nào
– Giá trị sản phẩm của mỗi ngành được hình thành như thế nào
– Phân tích tác động dây chuyền trong ngành kinh tế
Trang 5Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Các giả thuyết
• Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một
loại hàng hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ
lệ cố định
• Mỗi ngành công nghiệp sử dụng mộttỷ lệ đầu
vào cố địnhđể sản xuất hàng hóa đầu ra
• Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất
hiệu suất không đổi(constant return to scale),
tức là nếu mở rộng đầu vào k lần thì đầu ra sẽ
tăng k lần
Ma trận hệ số kỹ thuật
• Gọi tỷ lệ đầu vào cố định là aij
• Để ngành công nghiệp j sản xuất ra một đơn vị
hàng hóa (loại j) cần có các tỷ lệ đầu vào cố
định aijcác hàng hóa loại I
• Ví dụ: a23= 0,35 có nghĩa gì?
Ma trận hệ số kỹ thuật
• Ma trận A=[aij] gọi là ma trận các hệ số đầu vào
hay ma trận hệ số kỹ thuật
• Tổng phần tử cột j có ý nghĩa gì?
1 2
1
2
n n
n
A
n
Đầu ra
Đầu vào
1
1 , 1, 2, , n
n ij i
Tổng cầu, cầu trung gian và cầu cuối cùng
• xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất hàng hóa ngành i
• xijlà giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần
sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian);
• bilà giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng
và xuất khẩu (cầu cuối cùng);
1 2
i i i in i ij
j
x
x
Bảng I-O dạng giá trị
Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng
x1 x11 x12 … x1n b1
x2 x21 x22 … x2n b2
xn xn1 xn2 … xnn bn
• Ta có:
• Công thức:
1 2
i i i in i ik
k
x
x
Mua của ngành 1
Bán của ngành 1
Mô hình I-O
• Ta có mô hình I-O:
• Dạng ma trận:
n
x a x a x a x b x a a a x
x a x a x a x b x a a a x
hay
x
x a x a x a x b a a a
1
2
b b
x b
XA XBXA X B IA X B
1
Trang 6Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Một số thuật ngữ
• A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ
số kĩ thuật
• X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)
• B là ma trận cầu cuối cùng
• T=(I-A) ma trận Leontief hay ma trận công nghệ
• C=(I-A)-1: ma trận hệ số chi phí toàn bộ
• Hệ số cij: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu
cuối cùng của ngành j thì ngành i cần phải sản
xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij
Ví dụ
• Cho bảng I/0:
• A) Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận hệ số chi phí cuối cùng
• B) Giải thích ý nghĩa của a32 và c21
Ngành GTSX Nhu cầu trung gian Nhu cầu cuối cùng
1 100 20 10 8 62
2 50 10 16 14
3 40 10 10 8 12 GTGT 60 88
GTSX 100 50 40
Đáp án
• Ta có:
• a32=0,2 nghĩa là để ngành 2 sx một đơn vị sp thì
ngành 3 phải cung cấp cho ngành 2 một khối
lượng sp có giá trị là 0,2
1
0, 2 0, 2 0, 2
0,1 0, 2 0, 4
0,1 0, 2 0, 2
1,3681 0, 495 0,594
0, 297 1,5346 0,8415
0, 2475 0, 4455 1,5346
A
Đáp án
• Ta có:
• c21=0,297 nghĩa là để ngành 1 sx một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng thì ngành 2 phải cung cấp cho ngành 1 một khối lượng sp có giá trị là 0,297
1
1,3681 0, 495 0,594
0, 297 1,5346 0,8415
0, 2475 0, 4455 1,5346
C I A
Ví dụ 1
• Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất:
ngành 1, ngành 2, ngành 3 Cho biết ma trận hệ
số kĩ thuật:
• a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A
• b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của
các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD Hãy xác
định mức tổng cầu đối với mỗi ngành
0, 2 0,3 0, 2
0, 4 0,1 0, 2
0,1 0,3 0, 2
Giải
• a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$
hàng hóa của ngành 2
• b) Ta có:
1
0,8 0,3 0, 2 0, 66 0,30 0, 24
1
0, 4 0,9 0, 2 0,34 0, 62 0, 24
0,384 0,1 0,3 0,8 0, 21 0, 27 0, 60
Trang 7Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Giải
• Ma trận tổng cầu:
• Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1
là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68;
đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu
USD)
1
0,66 0,30 0, 24 10 24,84 1
0,34 0, 62 0, 24 5 20,68 0,384
0, 21 0, 27 0,60 6 18,36
Phân tích thêm
• Với j=2 ta có:
• Như vậy khi sản xuất 1$ hàng hóa loại 2 ta có tiền lãi là 0,3$ Tiền lãi này được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản (dịch vụ, lao động sử dụng trong ngành công nghiệp 2 cho việc sản xuất ra 1$ hàng hóa loại 2)
3
1
1 i 1 0,3 0,1 0,3 0,3 0
i
Phân tích thêm
• Ta có:
• Mức lương ngành 1:
• Mức lương cả nền kinh tế:
01 1
02
03
a
a
3
0
1
0,3.28,84 0,3.20,68 0, 4.18,36 21($)
j j
j
a x
01 1 0,3.28,84 8, 65($)
Dạng bài tập
• Xác định ma trận tổng cầu X
• Xác định tổng chi phí mỗi ngành
• Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử
• Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại
• Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu cuối
• Xác định mức tiền lương trả của từng ngành, toàn ngành
Giải toán ma trận bằng FX570 ES
1 Nhập ma trận.
• Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA)
Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần
tính toán
• Nhập kết quả vào bằng phím =,
• Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm
ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1
(Dim) 2 (MatB)
• Lập lại tương tự cho MatC
Giải toán ma trận bằng FX570 ES
2 Tính định thức
Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (MatA)
=
3 Tìm ma trận nghịch đảo
Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) x-1
(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)
4 Giải phương trình: AX = B
Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x -1
x MatB để cho kết quả của X.
Trang 8Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Bài 1
• Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2 Ma trận
hệ số kỹ thuật:
• Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của
ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ
đồng Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi
ngành
Bài 2
• Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào:
•
• Cho biết b1=30; b2=15; b3=10 (đơn vị là 100 tỷ đồng)
• a) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp.
• b) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả ba ngành công nghiệp.
0, 2 0,3 0, 2
0, 4 0,1 0, 2 0,1 0,3 0, 2
A
Bài 3
• Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3 Ma trận hệ
số kỹ thuật:
• Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng
ngành là 40, 40, 110
• Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx
• Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các
ngành khác không đổi Xác định giá trị tổng cầu của
các ngành sx tương ứng.
0, 4 0,1 0, 2
0, 2 0,3 0, 2 0,1 0, 4 0,3
A
Bài 4
• Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan
hệ trao đổi hàng hóa như sau:
• Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành
• Lập ma trận hệ số kỹ thuật A
Ngành cung ứng sp (Out) Ngành sử dụng sp (Input)
Bài 5
• Xét một nền kinh tế với hai ngành công nghiệp chủ đạo Cho
biết ngành công nghiệp 1 sử dụng một lượng sản phẩm loại
hàng hóa 1 trị giá 0,1 triệu đồng và một lượng sản phẩm loại
hàng hóa 2 trị giá 0,6 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra một
lượng sản phẩm hàng hóa 1 trị giá 1 triệu đồng Trong khi đó
ngành công nghiệp 2 chỉ sử dụng một lượng sản phẩm loại hàng
hóa 1 trị giá 0,5 triệu đồng làm đầu vào để sản xuất ra được
một lượng sản phẩm loại hàng hóa 2 trị giá 1 triệu đồng.
• a) Hãy thiết lập ma trận đầu vào, ma trận hệ số công nghệ và
phương trình ma trận xác định các mức đầu ra cho nền kinh tế
trên.
• b) Hãy tìm các mức đầu ra cần thiết thỏa mãn được các nhu cầu
đầu vào sử dụng cho sản xuất cũng như nhu cầu của thành
phần mở.
Bài 6
• Xét mô hình I/O Leontief với ma trận đầu vào:
• Cho b1=1800; b2=200 và b3=900 (đơn vị là 100 tỷ đồng)
• a) Cho biết ý nghĩa các phần tử a21=0,33 và a33=0 trong ma trận A
• b) Cho biết ý nghĩa của tổng các phần tử trên cột thứ 3 của ma trận A
• c) Hãy xác định các mức đầu ra cần thiết của các ngành công nghiệp
• d) Hãy xác định mức tiền lương trả cho đầu vào cơ bản đối với từng ngành công nghiệp và cho cả 3 ngành công nghiệp.
0, 05 0, 25 0,34 0,33 0,10 0,12 0,19 0,38 0
A
