Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 1 - Phan Trung Hiếu

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Đại cương về xác suất cung cấp cho người học các kiến thức: Bổ túc về tập hợp và giải tích tổ hợp, hiện tượng ngẫu nhiên, phép toán trên các biến cố, quan hệ giữa các biến cố,... Mời các bạn cùng tham khảo.

LOG O

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):

Tự luận, không được sử dụng tài liệu.

-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):

Tự luận, không được sử dụng tài liệu.

2

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

3

-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:

1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1

câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không

trừ điểm)

Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

4

-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:

Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm

bài: -0,5 điểm/lần.

Khi không có SV xung phong lên làm thì GV

sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ trên xuống:

-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần.

Trang web môn học:

https://sites.google.com/site/sgupth

SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng

tuần, điểm quá trình trên trang web sau:

Nội dung:

Chương 1: Đại cương về Xác suất.

Chương 2: Biến ngẫu nhiên.

Chương 3: Một số phân phối xác suất quan

Tài liệu học tập:

[1] Bài giảng trên lớp.

[2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng

dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.

[3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê

ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.

[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,

Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.

Các tài liệu tham khảo khác.

Ví dụ 1: Tập hợp các sinh viên đang học trong

giờ môn XSTK tại phòng A…

 Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn

(đếm được, thấy được cụ thể)

Chú ý:Phương pháp liệt kê

- Không quan tâm thứ tự liệt kê

- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không

Ví dụ 7: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai

môn thể thao là cầu lông và bóng bàn Có 5bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng kýchơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả haimôn Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thểthao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thểthao

A là tập con của B, ký hiệu:

A chứa trong B B chứa A

-Là tập hợp không chứa một phần tử nào.

Ví dụ 9:

A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng

A… mà có số tuổi lớn hơn 80}  A 

Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây.

Hỏi có mấy cách chọn 1 quần để mặc?

Ví dụ 2: Có 4 quần Jean khác nhau và 3

áo sơ mi khác nhau Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để mặc?

Giải

chọn 1 bộ đồ

Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:

Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi:

án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong

công việc Khi đó, ta dùngquy tắc cộng

-Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua

nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 3 người

vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi?

3! 6  cách

35

Ví dụ 4: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B,

C, D, E vào 1 chiếc ghế dài có 5 chỗ Có

bao nhiêu cách xếp sao cho A, B ngồi hai

n C

Ví dụ 6: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ

một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận

kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3

hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu

nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách chọn được 3 hộp sữa cùng

39

Ví dụ 8: Một tổ có 17 bạn gồm 8 nam và 9 nữ.

Chọn từ tổ ra 5 bạn và xếp vào một bàn học

ngang có thứ tự 5 vị trí Có bao nhiêu cách xếp

sao cho 5 bạn được chọn có 2 nữ và 3 nam

n A

n k (0cách.kn k n; ,  )

Nhận xét: A n kC k n k !

k n

Hiện tượng tất định:

IV Hiện tượng ngẫu nhiên:

Hiện tượng ngẫu nhiên:

là những hiện tượng

mà khi thực hiện

trong cùng mộtđiều

kiện như nhau sẽ

cho kết quả như

nhau

là những hiện tượng mà

dù được thực hiện trongcùng mộtđiều kiện như nhau vẫn có thể chonhiều kết quả khác nhau

biết trước kết quả

kết quả có thể xảy ra của phép thử.

4.2 Không gian mẫu ( ):  Tập hợp tất cả các

Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi

T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi

T: tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp

thì dừng

 

47

4.3 Biến cố: là tập con của không gian mẫu

Thường được ký hiệu là A, B, C,…

Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của

biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.

 : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).

 : biến cố không thể (không bao giờ xảy ra).

A  

 

A

 A xảy ra thì suy ra B xảy ra

: biến cố A kéo theo biến cố B

Trong các biến cố trên, biến cố

nào kéo theo biến cố B?

A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau” A T Đ. 

A: “Sinh viên A đậu”

B: “Sinh viên B đậu”

C: “Có ít nhất một sinh viên đậu”C A B 

Ví dụ 5: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy.

A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”

C AB

A: “Sinh viên A đậu”

B: “Sinh viên B đậu”

C: “SV A và SV B đều đậu”C AB

B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”

C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy”

A và B được gọi là đối lậpnhau

luôn luôn có đúng 1biến cố xảy ra

Nhận xét:

 A và B đều không xảy ra

đều xảy ra không đối nhau.A và B

 đối nhau xung khắc

S “Sinh viên i thi đậu” (i=1,2)

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo

a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”

:

i

S

b) B: “Không có ai thi đậu”

e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”

f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”

d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu”

g) G: “Có sinh viên thi đậu”

h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”

c) C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”

VII Các tính chất của biến cố:

xanh Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi

T: “Lấy được viên trắng”

Đ: “Lấy được viên đỏ”

X: “Lấy được viên xanh”

{T, Đ, X} là một nhóm đầy đủ

IX Định nghĩa xác suất:

Xác suất của một biến cốlà một con số đặctrưng cho khả năng xảy ra khách quan củabiến cố đó

Ký hiệu:

P(A): xác suất của biến cố A

9.1 Định nghĩa cổ điển:

| | ( )

|A số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra.|:

| số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.|:

quả cầu đen,2 quả cầu xanh Lấy ngẫu nhiên

đồng thời 4 quả Tính xác suất để:

a) 4 quả cầu lấy ra cùng màu đen.

b) 4 quả cầu lấy ra có 3 quả màuđỏ

c) 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màuđỏ

d) 4 quả cầu lấy ra đều cùng màu

e) 4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu

V Định nghĩa xác suất:

76

Chú ý (Điều kiện của định nghĩa cổ điển):

 Các kết quả trong không gian mẫu phải đồng khả năng xảy ra

 Không gian mẫu phải hữu hạn





9.2 Định nghĩa theo thống kê:

-Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất

Ví dụ 3: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút

thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi

Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thìxác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng:

910,91

Ví dụ 4: Có 3 khách hàng (không quen biết

nhau) cùng đi vào một cửa hàng có 6 quầy

phục vụ Tính xác suất để:

a) Cả 3 khách cùng đến 1 quầy.

b) Mỗi người đến 1 quầy khác nhau.

c) Hai trong 3 người cùng đến 1 quầy.

Số lần ngửa Tần suất

Xét một phép thử đồng khả năng, không gian

mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành

một miền hình học  cóđộ đoxác định (độ dài,

diện tích, thể tích)

Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền 

A: điểm M thuộc miền S  

( )

P A  độ đo của S

độ đo của 

82

Ví dụ 6: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình

tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm

??? ???

21

3

3 S

/ 3( ) 0,6046

3 3 3

   

9.4 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn:

-Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác

suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong

thực tế nó không xảy ra trong một phép thử

-Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác

suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong

thực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử

9.5 Xác suất có điều kiện:

( )( | )

a) chọn được bạn giỏi Toán.

b) chọn được bạn chỉ giỏi Toán

c) chọn được bạn giỏi ít nhất một môn

d) chọn được bạn không giỏi môn nào

e) chọn được bạn giỏi Văn, biết rằng đã chọnđược bạn giỏi Toán?

Ví dụ 8: Một ông vua được sinh ra từ

một gia đình có 2 đứa bé Tính xác suất

để đứa bé còn lại là gái.

92

Ví dụ 9: Điều tra 500 cặp vợ chồng về mức lương

hàng năm (triệu đồng) kết quả cho trong bảng

Chọn ngẫu nhiên 1 cặp vợ chồng Tính xác suất chọn được:

a) Cặp vợ chồng thu nhập ít hơn 30 triệu.

b) Cặp vợ chồng có thu nhập triệu, biết chồng cũng có thu nhập triệu.

c) Cặp vợ chồng có thu nhập triệu, biết chồng có thu nhập < 30 triệu.

30

 30

acquy đã đảm bảo cho một ôtô mới hoạt động

trên 10000km thì xác suất để nó đảm bảo cho

ôtô hoạt động tất cả trên 20000km là bao

Ví dụ 12: Một chùm chìa khóa gồm 10 chìa,

trong đó chỉ có 1 chìa mở được khóa Một

người mở khóa bằng cách thử lần lượt các chìa

khóa cho đến khi nào mở được mới dừng

a) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần

đầu tiên

b) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần

thứ 2 biết lần thứ nhất không mở được khóa

c) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần

thứ 3 biết lần thứ nhất và lần thứ hai đều

không mở được khóa

Hai biến cố được gọi làđộc lậpnếu sự xảy

ra hay không xảy ra của biến cố này khônglàm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia

Ví dụ 15: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2

bi đỏvà 8 bi xanh Lấy lần lượt 2 bi

a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ?b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏbiếtlần thứ nhất lấy được bi đỏ?

c) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏbiếtlần thứ nhất không lấy được bi đỏ?

99

Giải Lấy mẫu

có hoàn lại

Lấy mẫu không hoàn lại

Lần 1 lấy ra quan sát

rồibỏ trở lạivào hộp,

sau đó lấy tiếp lần 2

Lần 1 lấy ra quansát rồi để ra ngoài luôn, sau đó lấy tiếplần 2

100

Lấy mẫu

có hoàn lại

Lấy mẫu không hoàn lại a) Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”

Kết quả độc lập nhau không độc lập nhau Kết quả

 Đặc biệt: Nếu A, B xung khắc thì

Tổng quát: Nếu A1,A2,…,Anđôi một xung khắc thì

Ví dụ 1: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II

hoạt động độc lập với nhau Xác suất để động

cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7

Tính xác suất để:

a) Cả 2 động cơ đều chạy tốt.

b) Cả 2 động cơ đều không chạy tốt.

P D P(Đ1).P(Đ2) +P(Đ1).P(Đ2)

Ví dụ 2: Có hai hộp, mỗi hộp chứa một số sản

phẩm bao gồm 2 loại chính phẩm và phế

phẩm Xác suất lấy được 1chính phẩmtừ hộp

I là 0,2; từ hộp II là 0,3 Lấy ngẫu nhiên từ mỗi

a) Có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng.

b) Chỉ sử dụng loại thẻ M.

c) Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng.

d) Không sử dụng thẻ của ngân hàng.

111

Ví dụ 4:Trong một căn phòng có một mạch

điện gồm 3 bóng đèn như hình vẽ Các bóng 1,

2, 3 bị cháy khi bật công tắc K là ngẫu nhiên và

độc lập với nhau Xác suất các bóng 1, 2, 3 bị

cháy lần lượt là 0,1; 0,2; 0,3 Tính xác suất

phòng không có ánh sáng khi bật công tắc K

112

Ví dụ 5: Từ lô sản phẩm có 20 sản phẩm trong

đó có 5 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên (liên tiếptừng sản phẩm một và không hoàn lại) 2 sảnphẩm Tính xác suất để cả 2 sản phẩm đều là sảnphẩm xấu

Giải

A1: “Lần thứ 1 lấy được sản phẩm xấu”

A2: “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”

C C

Chú ý:

 Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật

và không hoàn lạiLấy cùng lúc k vật.

Ví dụ 6: Hai em sinh viên A và B chơi trò chơi

như sau: Mỗi người lần lượt rút 1 viên bi từ mộthộp đựng 3 bi đỏ và 5 bi vàng Bi được rút rakhông trả lại vào hộp Người nào rút được bi đỏtrước thì thắng cuộc Tính xác suất thắng cuộccủa người rút trước

Ví dụ 7: Một sinh viên muốn hoàn thành khóa

học phải qua 3 kì thi với nguyên tắc: đỗ kì thi

thứ nhất là 0,9 Nếu đỗ kì thi đầu thì xác suất

sinh viên đó đỗ được kì thi thứ hai là 0,85,

tương tự đỗ kì thi thứ hai thì xác suất sinh viên

đó đỗ kì thi thứ ba là 0,7 Nếu sinh viên đó

không đỗ 3 kì thi thì xác suất anh ta bị trượt ở kì

thi thứ hai là bao nhiêu?

Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của

các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế

nào khi một biến cố đã xảy ra.

118

Ví dụ 8: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng

sản xuất ra một loại sản phẩm Sản phẩm củaphân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhàmáy Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%

Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50% Tỷ lệphế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là5%, 4% và 10% Lấy 1 sản phẩm của nhà máy

a) Tính xác suất để nhận được phế phẩm?

b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm Tính xác suất để

nó do phân xưởng II sản xuất?

(phế phẩm)

120

A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I”

B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II”

C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III”

H: “Lấy được phế phẩm”

P(A) =0,4 P(B) =0,1 P(C) =0,5

P(H|A) = 0,05 P(H|B) = 0,04 P(H|C) = 0,1





Ví dụ 9: Một trung tâm chuẩn đoán bệnh dùng

một phép kiểm định T Xác suất để một ngườiđến trung tâm mà có bệnh là 0,8 Xác suất đểngười khám có bệnh khi phép kiểm địnhdương tính là 0,9 và xác suất để người khámkhông có bệnh khi phép kiểm định âm tính là0,5 Tính các xác suất:

a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 1 bi Tính xác suất lấy được bi đỏ

b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 2 bi Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi

đỏ

124

Ví dụ 11: Hộp 1 có 10 quả cầu đỏ, 5 quả cầu

vàng Hộp 2 có 7 quả cầu đỏ, 3 quả cầu vàng

Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu, sau đólấy ngẫu nhiên 1 quả từ 2 quả cầu này Tính xácsuất quả cầu lấy sau là quả cầu vàng

Ví dụ 12: Một trò chơi hái hoa có thưởng có 10

phiếu hoa, trong đó có 5 phiếu hoa có thưởng

Ba người đầu tiên tham gia trò chơi, mỗi người

hái 1 phiếu hoa (tất nhiên hoa nào đã được hái

thì sẽ không còn trên cây nữa) Hãy cho biết xác

suất hái được phiếu hoa có thưởng của 3 người

đó có như nhau không?

b) 3 trái không cùng loại

Bài 4: Một lớp có hai tổ, tổ I gồm 12 sinh viên nam và 4 sinh viên nữ, tổ II gồm 8 sinh viên nam

và 6 sinh viên nữ Gọi ngẫu nhiên ra 8 sinh viên của lớp đó Tính xác suất các biến cố sau:

a) Trong 8 sinh viên gọi ra có 5 em ở tổ I và 3 em ở tổ II

b) Trong 8 sinh viên gọi ra có 5 em nam và 3 em nữ

Bài 5: Một nhóm vận động viên (VĐV) gồm: 8 VĐV bóng chuyền, 7 VĐV cầu lông và 5 VĐV

bóng bàn Chọn ngẫu nhiên ra 8 VĐV, tính xác suất để trong số 8 VĐV chọn ra:

a) Có 3 VĐV bóng chuyền, 4 VĐV cầu lông và 1 VĐV bóng bàn

b) Có 3 VĐV bóng chuyền

Bài 6: Một người đến cửa hàng điện để mua một hộp bóng đèn Anh ta lấy ngẫu nhiên 2 bóng từ

hộp bóng đèn để kiểm tra nếu có bóng hỏng thì không mua hộp bóng đèn Tính xác suất người

đó mua hộp bóng đèn Biết hộp bóng đèn có 15 bóng, trong đó có 40% bóng hỏng

Bài 7: Trong ví có 6 tờ 200 nghìn, 4 tờ 100 nghìn Rút ngẫu nhiên 5 tờ Tính xác suất để tổng số

tiền rút được đó bằng 800 nghìn

Bài 8: Để thi hết môn học, mỗi sinh viên phải học 30 câu Đề thi gồm 5 câu trong 30 câu đã cho

Một sinh viên chỉ thuộc 20 câu Tính xác suất một sinh viên dự thi làm được ít nhất 1 câu

Bài 9: Có 12 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm tốt Chia đều cho 3 người, mỗi người 4 sản

phẩm Tính xác suất:

a) mỗi người đều có 1 sản phẩm tốt

b) có đúng 1 người có 2 sản phẩm tốt

Bài 10: Một hộp có 4 bi đỏ, 2 bi xanh Một em bé lấy lần lượt cho tới khi hết bi trong hộp thì

thôi Tính xác suất để bi đỏ được lấy ra ở lần cuối cùng

Bài 11: Lai hai giống hoa màu hồng và màu đỏ người ta được ba kết quả: Cây ở thế hệ sau có

hoa màu hồng, đỏ, hoặc cánh sen với cùng khả năng Chọn ngẫu nhiên 5 hạt hoa lai đem gieo Tìm xác suất để:

a) có đúng 3 cây màu đỏ

b) có 2 cây màu đỏ, 2 cây màu cánh sen và 1 cây màu hồng

Bài 13: Theo thống kê hàng năm ở một vùng trong 3 tháng cuối năm có mưa lớn 6 lần Tìm tỉ lệ

ngày của vùng không có mưa lớn quá 1 lần trong thời gian đó

Dạng 2: Tính xác suất bằng công thức cộng, công thức nhân, xác suất có điều kiện Bài 1: Một nồi hơi có 2 van bảo hiểm hoạt động độc lập, xác suất mỗi van hỏng tương ứng là 0,1

và 0,05 Tính xác suất nồi hơi hoạt động an toàn:

a) Khi nồi hơi có van không hỏng

b) Khi nồi hơi không có van hỏng

Bài 2: Trong một nghiên cứu về phạm vi của hai loại bệnh, bệnh tim và bệnh huyết áp, trong một

vùng dân cư, người ta ghi nhận được kết quả sau: có 9% dân cư mắc bệnh tim, 12% bệnh huyết

áp và 7% mắc cả hai bệnh này Dựa trên dữ kiện này, tính tỷ lệ dân cư của vùng:

a) mắc ít nhất một bệnh

b) không bị bệnh nào

c) không mắc cả hai bệnh

d) bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp

e) không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp

Bài 3: Một lô hàng có 6 sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng người ta lấy ngẫu nhiên ra 2 sản

phẩm Sau khi kiểm tra xong lại trả trở lại vào lô hàng Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra lô hàng thì tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra

Bài 4: Một thành phố có 3 tờ báo A, B, C Tỉ lệ dân của thành phố đọc các tờ báo này như sau: A: 10%; B: 30%; C: 6%; A và B: 8%; A và C: 2%; B và C: 4%; A, B và C: 1%

Bài 5: Xác suất để đóng mỗi công tắc trong mạch (hình vẽ) lần lượt là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 và 0,5

Các công tắc hoạt động độc lập Tìm xác suất để trong mạch từ A đến B có điện theo các mô hình sau:

a) b)