Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 5 - ĐH Kinh tế Quốc dân

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 5: Biến ngẫu nhiên hai chiều cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều, bảng phân phối xác suất hai chiều, tham số đặc trưng. Mời các bạn cùng tham khảo.

▪ 5.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều

BÀI 5 – BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU

▪ Chiều cao nữ sinh viên VN (m): 𝑋 là biến ngẫu nhiên 1 chiều

𝑃 𝑋 = 1,5 = 0,25

▪ Điểm 10%, 20%, 70% của môn LT Xác suất &TKT: (𝑋, 𝑌, 𝑍) là biến ngẫu nhiên 3 chiều

𝑃 𝑋 = 9, 𝑌 = 9, 𝑍 = 9 = 0,01

𝑃 𝑋 = 9 = 0,3

Hệ 𝑛 biến ngẫu nhiên 1 chiều được xét một cách đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 𝑛 chiều

Kí hiệu: (𝑋 , 𝑋 , … 𝑋 )

5.1 KHÁI NIỆM BNN NHIỀU CHIỀU

▪ Hệ hai biến ngẫu nhiên 1 chiều được xét một cách

đồng thời tạo nên biến ngẫu nhiên 2 chiều

▪ Kí hiệu: (𝑋, 𝑌)

▪ Ví dụ: Thu nhập và tiêu dùng của hộ gia đình; chiều dài

và chiều rộng của 1 sản phẩm

• BNN 2 chiều rời rạc: nếu 𝑋, 𝑌 đều rời rạc

• BNN 2 chiều liên tục: nếu 𝑋, 𝑌 đều liên tục

Biến ngẫu nhiên hai chiều

▪ Ví dụ 5.1 Cho các biến ngẫu nhiên:

▪ 𝑋: Doanh thu (triệu), 𝑌: Chi quảng cáo (triệu)

a) 𝑃(𝑋 = 200, 𝑌 = 6) =

b) 𝑃 𝑋 = 300 𝑌 = 9) =

𝑌 𝑋

100 0,1 0,02 0.01

200 0,16 0,12 0,08

Ví dụ

5.2 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Y

1

Bảng phân phối xác suất đồng thời

Y

P(Y) P(y1) P(y2) … P(y m) 1

▪ Bảng phân phối xác suất biên của 𝑋

▪ Bảng phân phối xác suất biên của 𝑌

𝑃 𝑃(𝑥1) … 𝑃(𝑥𝑖) … 𝑃(𝑥𝑛)

𝑃 𝑃(𝑦1) … 𝑃(𝑦𝑗) … 𝑃(𝑦𝑚)

Bảng phân phối xác suất biên

Bảng phân phối xác suất có điều kiện

▪ Bảng phân phối của (𝑋 | 𝑌 = 𝑦𝑗):

▪ Bảng phân phối của (𝑌 | 𝑋 = 𝑥𝑖)

(𝑋 | 𝑌 = 𝑦𝑗) 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛

𝑃 𝑃(𝑥1 | 𝑦𝑗) 𝑃(𝑥2| 𝑦𝑗) … 𝑃(𝑥𝑛 | 𝑦𝑗)

(𝑌 | 𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑚

𝑃 𝑃(𝑦1 | 𝑥𝑖) 𝑃(𝑦2| 𝑥𝑖) … 𝑃(𝑦𝑚| 𝑥𝑖)

i j

j

P x y

P x y

P y

▪ 5.3.1 Kì vọng

1 1

( ) ( , ) [ ( )]

n m

i i j

i j

5.3 THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

▪ Từ bảng phân phối có điều kiện, ta có

▪ Tính độc lập: 𝑋, 𝑌 độc lập nếu

P Y = y X = x = P Y = y  i j

𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖, 𝑌 = 𝑦𝑗) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗)∀𝑖, 𝑗

i

j

j

i

=

=

=

=





Kì vọng có điều kiện và tính độc lập BNN

▪ Hiệp phương sai (covariance): 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

( , ) ( ) ( )

= =

1 1

n m

i j i j

i j

,

( , )

ρ

σ σ

=

X Y

X Y

Cov X Y

Hiệp phương sai và hệ số tương quan

▪ Tính chất của hiệp phương sai

• 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋)

• 𝑋, 𝑌 độc lập  𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0

• 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 0 thì 𝑋, 𝑌 có “tương quan dương”

• 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) < 0 thì 𝑋, 𝑌 có “tương quan âm”

▪ Phương sai tổng hiệu tổng quát

• 𝑉(𝑎𝑋  𝑏𝑌) = 𝑎2 𝑉(𝑋) + 𝑏2 𝑉(𝑌)  2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

Hiệp phương sai

Tính chất của hệ số tương quan

▪ X,Y = Y,X

▪ –1  X,Y  1

▪ X,Y > 0: tương quan cùng chiều, X,Y < 0: ngược chiều

▪ X,Y = 0: không tương quan

▪ 𝑋, 𝑌 độc lập  X,Y = 0

▪ X,Y =  1: 𝑋, 𝑌 có quan hệ hàm số bậc 1 với nhau

Hệ số tương quan