Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 7 - Đại học Kinh tế Quốc dân

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 7: Ước lượng tham số cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, phương pháp ước lượng điểm, phương pháp ước lượng khoảng, ước lượng tham số, ước lượng tham số ơ2, ước lượng tham số p. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chương 7 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

nhiên) là chưa biết

NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG 7

▪ 7.5 Ước lượng tham số σ2

7.1 KHÁI NIỆM

bởi tham số 

▪ Không biết đủ thông tin tổng thể,  chưa biết, cần

ước lượng tham số (parameter estimate)

(estimator)

▪ Mẫu cụ thể: được ước lượng cụ thể (estimate), hay

giá trị quan sát (observed value)

7.2 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

▪ Dùng một giá trị መ𝜃 ước lượng cho tham số 

▪ Sử dụng mẫu W = (X1, X2, …, X n)

መ𝜃 = G(X1, X2, …, X n)

▪ Có nhiều hàm ước lượng có thể sử dụng, cần có tiêu

chí lựa chọn “tốt nhất”

Tiêu chí lựa chọn hàm ước lượng

• መ𝜃 là ước lượng không chệch của   E( መ𝜃) = 

• Nếu E( መ𝜃)   : ước lượng chệch

▪ Tính hiệu quả (efficient)

• መ𝜃1, መ𝜃2 là ước lượng không chệch

• 𝑉( መ𝜃1) < 𝑉( መ𝜃2) thì መ𝜃1 là ước lượng hiệu quả hơn መ𝜃2

• 𝑉( መ𝜃1) là nhỏ nhất thì መ𝜃1 là ước lượng hiệu quả nhất

Bất đẳng thức Cramer-Rao

độ là f(x,  ) thì với mọi መ𝜃 là ước lượng không chệchcủa , luôn có:

▪ Do đó nếu መ𝜃∗ là ước lượng không chệch và có

phương sai bằng vế phải thì nó là ước lượng hiệu

Tiêu chí lựa chọn hàm ước lượng

▪ Tính vững (consistent): khi kích thước mẫu tiến đến

vô cùng thì ước lượng hội tụ đến tham số (theo

nghĩa xác suất)

▪ Tính đủ (sufficient): ước lượng sử dụng toàn bộ các

thông tin trong mẫu

Ước lượng điểm

▪ Khi X ~ N( , σ2) thì

• 𝑋 là ước lượng không chệch, hiệu quả củaത 

• S*2 là ước lượng không chệch, hiệu quả của σ2

• S2 là ước lượng không chệch của σ2

• MS là ước lượng chệch của σ2

▪ Khi X ~ A(p) thì f là ước lượng không chệch, hiệu

quả của p.

Ví dụ 7.1

▪ Trung bình tổng thể là m, phương sai là 2

▪ Với mẫu kích thước n = 3, trong các thống kê sau,

đâu là ước lượng không chệch, hiệu quả cho m:

Ước lượng hợp lý tối đa

▪ Mẫu W = (X1, X2, …, X n ), tại giá trị cụ thể (x1, x2, …, x n)

L(x1, x2, …, x n, ) = f(x1,  ) f(x2,  )… f(x n,  )

▪ L gọi là hàm hợp lý (likelihood function) của 

▪ Giá trị መ𝜃 làm L đạt max gọi là ước lượng hợp lý tối

▪ Nếu hàm L không dễ tìm cực đại thì tính thông qua

hàm logarit của L (maximum log-likelihood)

Ví dụ 7.2

▪ (a) Xác suất sinh viên đi làm ngoài giờ p = 0,4 Trong

các mẫu sau, mẫu nào hợp lý nhất, giá trị 1 ứng với

có đi làm và 0 nếu ngược lại:

w1 = (1, 0, 0, 1, 1) w2 = (1, 0, 1, 1, 1)

w3 = (0, 1, 0, 0, 1) w4 = (1, 0, 1, 0, 0)

▪ (b) Có mẫu (0, 1, 1, 0, 1) rút từ biến A(p) Trong các

giá trị ước lượng cho p sau, giá trị nào hợp lý nhất?

Ƹ𝑝

Ước lượng hợp lý tối đa

▪ Khi X ~ N(, σ2) thì

• 𝑋 là ước lượng hợp lý tối đa củaത 

• Biết  thì S*2 là ước lượng hợp lý tối đa của σ2

• Không biết  và thay bởi ത𝑋 thì MS là ước lượng

hợp lý tối đa của σ2

▪ Khi X ~ A(p) thì f là ước lượng hợp lý tối đa của p.

7.3 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

P(G1 <  < G2) = 1 – 

▪ Mức xác suất (1 – ) là độ tin cậy (confidence level)

▪ (G1, G2) là khoảng tin cậy (confidence interval)

▪ I = G2 – G1 là độ dài khoảng tin cậy

Xây dựng khoảng tin cậy

▪ Xét thống kê G liên kết giữa tham số và thống kê

trong mẫu, G có quy luật phân phối xác suất xác

định

▪ Với độ tin cậy (1 − 𝛼),

▪ Hai giá trị 𝛼1 và 𝛼2 sao cho: 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼

▪ Hai giá trị tới hạn: 𝑔𝛼1và 𝑔𝛼2

▪ 𝑃 𝑔1−𝛼1 < 𝐺 < 𝑔𝛼2 = 1 − 𝛼

7.4 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 

▪ X ~ N(, σ2)

▪ Mẫu W = (X1, X2, …, X n)

▪ Chia hai trường hợp:

• Khi σ là đã biết  dùng thống kê U

• Khi σ là chưa biết  Sử dụng S để thay, và dùng

thống kê T

Ước lượng  khi biết σ



0 1

X

N n

/

μ

α σ

Ước lượng  khi biết σ

▪ Khoảng tin cậy tối đa (phía trái: left-tail)

▪ Khoảng tin cậy tối thiểu (phía phải: right-tail)

▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng: two-tail)

Ước lượng  khi biết σ

▪ Khoảng tin cậy đối xứng có dạng: ത𝑋 ± 𝜀 hay ത𝑋 ± 𝑀𝐸

▪ 𝜀 là sai số biên (ME: marginal error): 𝜀 = 𝑢𝛼/2𝜎/ 𝑛

▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 2𝑢𝛼/2𝜎/ 𝑛

▪ Xác định kích thước mẫu khi có yêu cầu về sai số

hoặc độ dài khoảng tin cậy:

Ước lượng  khi không biết σ

▪ Khoảng tin cậy tối đa

▪ Khoảng tin cậy tối thiểu

▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng)

Ước lượng  khi không biết σ

▪ Khoảng tin cậy đối xứng: ത𝑋 ± 𝜀 hay : ത𝑋 ± 𝑀𝐸

▪ Với 𝜀 = 𝑀𝐸 = 𝑡𝛼/2(𝑛−1)𝑆/ 𝑛

▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 2𝑡𝛼/2(𝑛−1)𝑆/ 𝑛

▪ Khi có yêu cầu về sai số hoặc độ dài khoảng tin cậy

( ) /

Ví dụ 7.3

là 25,32g và phương sai là 5,28g2 (từ ví dụ 6.1) Giả

sử khối lượng phân phối chuẩn Với độ tin cậy 95%

▪ (a) Ước lượng khối lượng trung bình của tất cả các

sản phẩm bằng khoảng tin cậy tối đa

trung bình

▪ (c) Muốn sai số trong câu (b) còn không quá 0,5g thì

cần cân thử thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm?

7.5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ p

▪ Ước lượng tần suất tổng thể, ước lượng xác suất

▪ Tổng thể có dấu hiệu A (biến cố A), biến X = 1 khi A

xảy ra, X = 0 khi A không xảy ra, hay X ~ A(p)

▪ Ước lượng p cũng là ước lượng xác suất A xảy ra

Ước lượng tham số p

▪ Với độ tin cậy (1 – α), khoảng tin cậy tối đa

▪ Khoảng tin cậy tối thiểu

▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng)

Ước lượng tham số p

▪ Khoảng tin cậy đối xứng: f  ME hay f  

Ví dụ 7.4

144 người mua hàng Với độ tin cậy 95%:

▪ (a) Ước lượng tỉ lệ khách mua hàng bằng khoảng tin

cậy đối xứng

xuống còn một nửa thì cần quan sát tối thiểu bao

nhiêu người?

thì có tối đa bao nhiêu người mua hàng?

7.6 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ σ2

Ước lượng tham số σ2

▪ Khoảng tin cậy tối đa

▪ Khoảng tin cậy tối thiểu

▪ Khoảng tin cậy hai phía

( )

2

2 1 1

Ví dụ 7.5

là 25,32g và phương sai là 5,28g2 Giả sử khối lượngcủa sản phẩm phân phối chuẩn

tối đa là bao nhiêu?

▪ (b) Tìm khoảng tin cậy cho độ lệch chuẩn của khối

lượng sản phẩm

TÓM TẮT CHƯƠNG 7

trung bình, phương sai, tần suất

▪ Ba loại khoảng tin cậy: tối đa, tối thiểu, hai phía (đối

xứng)

Bài tập cơ bản trong Giáo trình