Bài giảng Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng cung cấp cho người học các kiến thức: Các loại tích phân suy rộng, khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng. Cuối bài giảng có thêm phần bài tập để người học có thể ôn tập và củng cố kiến thức.
Trang 1LOG O
Chương 6:
Tích phân suy rộng
GV Phan Trung Hiếu
§1 Các loại tích phân suy rộng
§2 Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng
2
§1 Các loại tích phân suy rộng
3
Loại 1:
b
a
Loại 2:
( )
b
a
f x dx
trong đó vớilim ( )
x c f x
c[ , ].a b
4
Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân
suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy cho biết nó thuộc loại nào
2 1
1 )
1
dx
b x
/ 2 0
sin ) cos
xdx
c
x
1 1
)
dx
d x
1 2
dx
e x
5
§2 Khảo sát sự hội tụ
của tích phân suy rộng
6
tại điểm suy rộng của tích phân xác định để
tính tích phân
chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả
hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm
Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay phân kỳ.
Trang 27
TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm
[ , ]
x c f x
-Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích
phân xác định để tính tích phân.
8
Chú ý 2.1:
a a
b b
c
c
f x dx f x dx f x dx c
b
f x dx f x dx f x dx b
tùy ý
tùy ý
9
Điểm suy rộng tại a lim ( )
x a f x
t a t
a
Điểm suy rộng tại b lim ( )
x b f x
t
t b
f x dx f x dx
b
Điểm suy rộng tại a và b
( ) ( ) ( ) , ( , )
f x dx f x dx f x dx c a b
b
a
10
-Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn tại hữu hạnthì kết luận tích phânhội tụ, ngược lại là tích phânphân kỳ
-Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân
hội tụ, ngược lại là tích phânphân kỳ
Điểm suy rộng tại c( , )a b
( ) ( ) ( )
f x dx f x dx f x dx
c
c
11
Định lí 2.2:
a
f x dx
a
g x dx
a
f x g x dx
a
f x dx
hội tụ và k là một hằng số
( )
a
k f x dx
k f x dx k f x dx
12
Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích
phân sau (trong trường hợp hội tụ)
2 1
) dx
a x
0
) x
b e dx
0
) x
1
dx
f x
1 2 0
) 1
dx
g
x
1 1
) 1
x
x
e dx i e
/2 0
sin )
1 cos
h
x
1
ln ) x
x
2 2 2
) 4
dx
j
x
2
2 ) 1
xdx
e x
Trang 3TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):
Phương pháp:
-Chú ý những điểm suy rộng: , điểm
[ , ]
x c f x
-Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã
có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên
hàm
14
Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên và khả tích trên mọi đoạn [a,b],
[ ,a )
Xét lim ( ) .
( )
x
f x k
g x i) 0k :
( ) , ( )
f x dx g x dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
ii) k 0 : ( )
a
g x dx
a
f x dx
( )
a
f x dx
a
g x dx
iii) k : ( )
a
f x dx
a
g x dx
( )
a
g x dx
a
f x dx
.
b a
15
Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên và
thì
[ ,a )
f x g x khi x
( )
a
f x dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
( )
a
g x dx
và
Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên
[ , ), ( , ]a b a b
16
Chú ý 2.4:
Với , ta có0 a
1
n a
dx x
hội tụ phân kỳ
1
n
1
n
Với , ta có0 b
0
1
b
n dx x
hội tụ phân kỳ
1
n
1
n
17
Với , ta cóa b
1
( )
b
n
a
dx
hội tụ phân kỳ
1
n
1
n
Với , ta cóa b
1
( )
b
n a
dx
x a
hội tụ phân kỳ
1
n
1
n
18
Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân
3 1
)
1
dx a
1
2 )
1
xdx b
3 3
1
( 5) )
1
c
1 3/2 0
ln(1 ) ) x dx
e x
1 0
) sin
dx f x
3 0
) dx
d x
Trang 419
Ví dụ 2.3: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích
phân suy rộng sau hội tụ
1
01
m x dx x
20
Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân
2
2 0
)
x
x
e
2 3 1
5ln )
2
1 1 0
) x
1 0
1 ) ln
x
2 2 1
)
1
dx
e x
2 5 3
0
) (1 )
x dx
f
x
0
5 ) tan
x x
21
Ví dụ 2.5: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích
phân suy rộng sau hội tụ
1 0
m x
x e dx
22
Định lí 2.5:
0 f x( )g x( )với mọi x trên
[ , ) [ , ), lim ( ) ( , ], lim ( )
x b
x a
a
Khi đó:
( )
b
a
g x dx
b
a
f x dx
( )
b
a
f x dx
b
a
g x dx
23
Ví dụ 2.6: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân
1
)
2 sin 3
dx
a
3 1
ln ) 5
x
x
0
)
x
e dx
c
x
2 2 0
sin
x
0
arctan
)
2 x
x
e
24
Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu
Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định
lý sau
Tích phân suy rộng của hội tụ f x( )
Tích phân suy rộng của hội tụ f x( )
Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt
đối.
Chú ý kết quả: sinX1; cosX1, X
Ví dụ 2.7: Khảo sát sự hội tụ của tích phân
3 1
sin x
dx x
Trang 51)
4
.
e dx
1
.
dx x
5)
0
2.
4
dx
x
0
.
x
x e dx
0
.
xdx x
2
3 ln
e
dx
e
dx
1
xdx x
11) x e2 x3dx
1
0 .
dx x
13)
1
2
0
.
dx
x
1
2 0
1
xdx x
2 5
2 0
4
x dx x
1
0
.
dx
17)
1
2
1
.
dx
x
4
2 0
.
dx
x
0
(ln )
.
x dx x
2
2
dx
21)
1
0
.
1
xdx
x
0 sin xdx
0 1/
3 1
.
x
e dx x
2 2
0
25)
1
0
ln
.
x
dx
x
Bài 2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau
1)
5 10
1
1
dx
3 3 5 1
.
xdx
2 5 4 1
1
dx
4)
3
2 1
2
x
dx
1
1
ln 1
1
x
x dx x
1
0
.
dx
x x
sin 0
1
x
x dx e
1
2 0
sin
x dx x
9)
1
0
.
1
x
dx
2 0
2
xdx x
3 0
.
dx
2
2
x dx x
13)
1
2 (1 cos ) dx
x
1
0
2
dx
/2
0
sin
dx
0
.
dx x
Bài 3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau
.
ln
e
dx
x
2)
1
ln(1 )
.
x dx x
1
4 0
1
x dx x
/2
0
cos
dx x
1
.
ln (1 )
dx
x
1
0
.
1 cos
x
e dx x
1
.
dx
1
.
x
e dx
9)
4
0
.
2
dx
x
2
1
ln
dx x
1
.
x
e dx x
2
2 0
2
dx
x x
Trang 6Bài tập Giải tích
1
ln
.
x
dx
x x
1
0
cos
x
dx
1
0
2
.
dx
1
0
.
dx
x
17)
1
3
0
( x x)
dx
x e e
1
2 0
ln
1
x dx x
Bài 4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau
1)
1
2
.
x
e
dx
x
1
(1 x)
dx
2
0
sin
.
x dx x
2
3 1
1
.
x dx x
5)
7
3
1
sin
cos sin 2
dx
3 1
arctan
1
dx x
3 3 0
sin
1
x dx x
8)
1
3 5
0
1
dx x
0
arctan
.
x dx e
0
1
x dx x
4 1
1
x dx
0
arctan
.
x
dx x
0
.
x
e dx x
3 0
cos
1
x dx x
Bài 5: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau
1)
0
cos
.
x
dx
x
/2
cos
.
x dx x
0
cos
1
x dx x
3 1
sin
.
x dx x
5)
1
.
x
dx x
1
1 cos
.
x dx x
0
s in2
x
0
sin
.
x dx
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tích phân suy rộng sau hội tụ
0
.
dx
(ln )m
e
dx
1
0
m
1
0
ln(1 )
.
m
x dx x
0
1
x
6)
0
1
m
dx